【文档说明】湖北省重点高中智学联盟2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.021 MB，由小赞的店铺上传

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湖北省重点高中智学联盟2023年秋季高三年级10月联考数学试题命题学校：新洲一中（邾城校区）命题人：黄宏斌审题人：陈双雄一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.1.设集合3{|,Z}24kMxxk==+，1{

|,Z}42kNxxk==+则（）A.MN=B.MNN=C.NMD.MN=【答案】B【解析】【分析】把集合M和N中的元素化为统一形式，再进行比较分析即可.【详解】对于集合:M323,Z244kkxk+=+=，对于集合:N12

,Z424kkxk+=+=，又因为23k+是奇数，2k+是整数，所以MN，则有MNN=，故选：B.2.已知命题p：1,3x−，230.xa−−若p为假命题，则a的取值范围为（）A.(),3−−B.

(),2−−C.(),6−D.(),0−【答案】A【解析】【分析】利用命题的关系、分离参数法、二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【详解】若命题p为真命题，即：1,3x−，23.xa−设()23fxx=−，则由二次函数图象与性质知，当13,x−时，()fx最小值为()

03f=−，所以3a−.因为命题p为假命题，所以3a−，即a的取值范围为(),3−−.故选：A.3.已知abc且240abc++=，则ba的取值范围是（）A.1,6−−B.1,16−C.10,6D.1,16【

答案】B【解析】【分析】根据题目条件得到0,0ac，由1142cab=−−和bc得到16ba−，由ab得到1ba，从而得到答案.【详解】因为240abc++=，abc，所以0,0ac，由240abc++=得到1142cab=−

−，则11042ab−−，解得12ba−，由bc得1142bab−−，整理得1342ab−，解得16ba−，由ab得1ba，综上，116ba−.故选：B4.已知函数()fx满足()2()4fxfxx+−=，则()2f等于（）A.8−B.8C.6−D

.6【答案】A【解析】【分析】由题意在()2()4fxfxx+−=中分别令2x=、2x=−即可得到关于()()2,2ff−的方程组，解方程组即可.【详解】因为函数()fx满足()2()4fxfxx+−=，所以在()2()4fxfxx+−=中分别令2x=、2x=−，可

得(2)2(2)8(2)2(2)8ffff+−=−+=−，解不等式组得()()28,28ff=−−=.故选：A.5.已知角终边上一点()2,3P−，则()()()πcossinπ2cosπsin3π++−

+的值为（）A.32B.32−C.23D.23−【答案】B【解析】【分析】由任意角三角函数的定义求出tan，再由诱导公式化简代入即可得出答案.【详解】因为角终边上一点()2,3P−，所以3tan2=−()()()()()πcossinπsinsin32tancosπsi

n3πcossin2++−−===−−+−−.故选：B.6.设函数()()()()22e16−=+−xafxxaxR，若关于x的不等式()117fx有解，则实数a的值为（）A.15B.110C.117D

.118【答案】C【解析】【分析】将函数()fx转化为1()4=gxx及e()4=xhx上两点间距离的平方，求出直线14yxm=+与函数()hx相切的切点，从而求出切点到1()4=gxx的距离，得到21()17=fxd，结合题干中()117fx得到()1

17=fx，并求出点P坐标，求出实数a的值.【详解】设点e,,,44xaPaQx，则()22e()44=−+−=xafxxaPQ，令1()4=gxx，e()4=xhx，可知()fx的最小值即为()gx上的点P与()

hx上的点Q之间的距离平方的最小值，若直线14yxm=+与函数()hx的图象相切，设切点的横坐标为n，因为e()4=xhx，可得e144=n，解得：0n=，则切点为10,4M，且切点在14yxm=+上，故14m=，点M到直线()gx的距离为2211417114==+d，

所以21()17=fxd，又因为1()17fx有解，则1()17=fx，此时点P在1()4=gxx上，也在直线1()4=gxx在点P处的垂线即直线MP上，其中直线1()4=gxx在点P处的垂线的斜率为4−，所以直线1

()4=gxx在点P处的垂线方程为：144=−+yx即点P坐标满足14144yxyx==−+，解得117x=，即117a=故选：C．【点睛】方法点睛：由不等式求参数范围常用方法和思路：1

.直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；3.数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.7.已知,,abc分别为ABC三个内角,,ABC的对边，且cos3sin0

aCaCbc+−−=，则A=（）A.π2B.π6C.2π3D.π3【答案】D【解析】【分析】由正弦定理及三角恒等变换可得sin(3sincos1)0CAA−−=，又因为sin0C，所以3sincos10AA--=，即可得π1sin()6

2A−=，再根据正弦函数的性质求解即可.【详解】因cos3sin0aCaCbc+−−=，.为所以sincos3sinsinsinsin0ACACBC+−−=，即sincos3sinsinsin()sin0ACACACC+−+−=,sincos3sinsinsincoscoss

insin0ACACACACC+−−−=，所以3sinsincossinsin0ACACC−−=，sin(3sincos1)0CAA−−=，又因为()0,πsin0CC，所以3sincos10AA--=，即3sincos1AA−=，π2sin()16A−=，所以π1sin()6

2A−=，又因为(0,π)A，所以ππ5π(,)666A−−，所以ππ66A−=，解得π3A=.故选：D.8.已知定义在R上的函数()fx的图像关于直线1x=对称，且关于点()20，中心对称.设()()()1gxxfx=−，若()2388g=，()2

0231igi==（）A.4040B.4044C.4048D.4052【答案】C【解析】【分析】根据函数的对称性，可得函数的周期性，结合题意，求得函数的值，可得答案.【详解】由题意可知()()2fxfx=−，且()()220fxfx−++=，所以()()2

fxfx=−+，则()()()42fxfxfx+=−+=，所以()fx是以4为周期的周期函数.由()20f=可知，()00f=，则()()()()24620220ffff=====，所以()()()()24620220gggg=====，由()2388g=得，()()()222322322188f

ff==−=，所以()14f=−，则()34f=，所以()()()130238ggf+=+=，()()()()()()57456741638ggffff+=+=+=，…，()()()()()()20212023202020212022202320201202238ggffff

+=+=+=，所以()()()()()()()()()2023124620221357igigggggggg==++++++++()()2021202385064048gg+++==.故选：C

.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.定义在实数集上的函数()1Q0QxDxx=，，称为狄利克雷函数．该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛．下列有关狄

利克雷函数()Dx的说法中正确的是（）A.()Dx的值域为01，B.()Dx是偶函数C.存无理数0t，使()()0DxtDx+=D.对任意有理数t，有()()DxtDx+=【答案】ABD【解析】【分析】由分段函数的解析式求得函数的值域，可判定选项A由偶函数的定义，可判定选项B由函数的

解析式可验证选项CD.、【详解】由题意，函数()1Q0QxDxx=，，，可得函数的值域为01，，故A正确；若x为有理数,则x−为有理数，可得()()1DxDx−==；若x为无理数,则x−为无理数，可得()

()0DxDx−==，所以函数()Dx为定义域上的偶函数，故B正确；当0t为无理数，若x为有理数，则0xt+为无理数，若x为无理数，则0xt+可能为有理数，也有可能是无理数，不满足()()0DxtDx+=，所以C错误；在对任意有理数t，若x为有理数，则x

t+为有理数，若x为无理数，则xt+为无理数，所以()()DxtDx+=，则D正确.故选：ABD.10.已知函数()πtan(0)6fxx=−，则下列说法正确的是（）A.若()fx的最小正周期是2π

，则12=B.当1=时，()fx的对称中心的坐标为()ππ0Z6kk+，C.当2=时，π2π125ff−D.若()fx在区间ππ3，上单调递增，则203【答案】ACD【

解析】【分析】对于A,利用函数周期公式求解即可；对于B，求出当1=时，函数的对称中心，即可判定；对于C，2=，求出π2π,125ff−，利用函数的单调性即可比较大小；对于D，求出函数的单调递增区间，结合题中条件列出不等式组，解出结果，再结合周期范围及0

，即可求出的范围.【详解】对于A,当()fx的最小正周期是2π，即π2π,T==则12=，故A正确；对于B,当1=时，()πtan6fxx=−，所以令ππ,Z62kxk−=,解得ππ,Z62kxk=+，所以函数的对称中心的坐标为()ππ0Z26kk+，，故B错

误；对于C，当2=时，()πtan26fxx=−，ππππ10π()tan[2()]tan()tan()12126330f−=−−=−=−，2π2ππ19π11π()tan(2)tantan()5563030f=−==−，由于正切函数tanyx

=在π(,0)2−单调递增，故π2π125ff−，故C正确；对于D,令ππππ<π,Z,262kxkk−+−+解得：ππ2ππ,Z33kkxk−++，所以函数的单调递增区间为ππ2ππ(,),Z33kkk−

++，又因为()fx在区间ππ3，上单调递增，所以πππ,33Z,2πππ,3kkk−++解得:213,Z3kkk−++，另一方面，ππ2π3π,,332T=−=所以235,,326kk+又因为0,所以0,k=故203，故

D正确.故选：ACD.11.设函数()fx的定义域为D，如果对任意的1xD，存在2xD，使得()()122fxfxc+=(c为常数)，则称函数()yfx=在D上的均值为c，下列函数中在其定义域上的均值为2的有（）A.3yx=B.tanyx=C.2s

inyx=D.24yx=−【答案】AB【解析】【分析】根据题中条件，依次分析选项中的函数是否满足条件，即可得到答案.【详解】对于A,函数3yx=的定义域为R,值域为R，对任意的1Rx,方程()()1222fxfx+

=，即33214xx=−必有解，则()fx在其定义域上的均值为2，符合题意；对于B,函数tanyx=的值域为R,对任意的1xD,方程()()1222fxfx+=，即12tantan4xx+=必定有解，则()

fx在其定义域上的均值为2，符合题意；对于C,函数2sinyx=的定义域为R，值域为[2,2]−，当1π2x=−时，1sin1x=−，若()()1222fxfx+=，可得2sin5x=，方程无解，不符合题意；对于D,函数24yx=−的定义域为[2,2

]−，值域为[0,2]，当12x=时，1()0fx=，方程()()1222fxfx+=化为2()4fx=，方程无解，不符合题意.故选：AB.12.已知函数()3223fxxxx=−+−，若过点()()2,Pmm−Z可作曲线()yfx=的三条切线

，则m的值可以为（）A.3B.4C.21D.22【答案】BC【解析】【分析】根据题意，由导数的几何意义可得切线方程，然后得到320002486mxxx=+−+，求出函数的值域，即可得到m的范围.【详解】因为()2343fxxx=−+−，设切点为()320000,23xxxx−+

−，则切线方程为()()32200000023343yxxxxxxx+−+=−+−−，将2x=−，ym=代入得，320002486mxxx=+−+，令()322486gxxxx=+−+，则()()()26882232gxxxxx=+−=+−，2

3x或<2x−时，()0gx，当223x−时，()0gx，故函数()gx的单增区间为(),2−−和2,3+，()gx的单减区间为22,3−，()gx的极大值为()222g−=，极小值为282327g=，由题意知，822227m，又m

为整数，4m=，5，L，20，21故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知[1,8]x,则函数()9fxxx=+的最大值与最小值的和为__________．【答案】16【解析】【分析】根据对勾函数的性质求解即可.【详

解】解：由对勾函数的性质可知()9fxxx=+在[1,3]上单调递减，在(3,8]上单调递增，所以()min(3)6fxf==，又因为()110f=，()973881088f=+=，所以()max10fx=，所以()()maxmin10616fxfx+=+=

.故答案为：1614.函数π2sin214yx=−++的最小正周期为________．【答案】π【解析】【分析】根据题意，由正弦型函数的周期计算公式，即可得到结果.【详解】函数π2sin214yx=−++的最小正周期为2π2ππ2T===.故答案为：π15

.若函数()()2log1(0afxxaxa=−++且1)a在()23，是减函数，则实数a的取值范围是__________．【答案】8[,4]3【解析】【分析】根据复合函数同增异减的单调性性质，分01a，1a两种情况

讨论，即可确定实数a的取值范围.【详解】因为2()log(1)afxxax=−++，令21txax=−++，则()logaftt=，①当01a时，()logaftt=单调递减，因为当(2,3)x时，()fx是减函数，则21txax=−++在(2,3)上单调递增，则

对称轴32ax=且4210a−++，解得6a，与01a矛盾，故此时无解；②当1a时，()logaftt=单调递增，因为当(2,3)x时，()fx是减函数，则21txax=−++在(2,3)上单调递减，则对称轴22ax=且2

3310a−++，解得843a，综上，a的取值范围为8[,4]3.故答案：8[,4]3.16.有这样一个事实:函数116logyx=与116xy=有三个交点11142P，，21124P，，3P在直线yx=上.一般地，我们有结论:对

于函数logayx=与xya=的图象交点问题，当e0ea−时，有三个交点，当ee1a−时有一个交点，借助导数可以推导:当1a？时有两个交点，当a=？时有一个交点，当a？时没有交点，先推导出？的

值，并且求：关于x的方程1eln0txxt−=在()0,+上只有一个零点，t的取值范围为________．【答案】1|e0ettt−=或【解析】【分析】当a=？（1a）时有一个交点时，由题意可知切点在直线yx=上，设切

点横坐标为0x，由导数为几何意义可知001ln1lnxaaxa==又00logxaxa=，即可求出0x与a，则1eln0txxt−=可转化为()eelogtxtx=，令eta=，结合已知信息求出t的取值范围.【详解】由logayx=与xya=，所以1lnyxa

=与lnxyaa=，当1a时，先求？的值，有一个交点时，由题意可知切点在直线yx=上，设切点横坐标为0x，由导数几何意义可知001ln1lnxaaxa==又00logxaxa=，0ex=，1lnea=，则1eea=；即当1eea=时logayx=与x

ya=有一个交点，由1eln0txxt−=，则1elntxxt=，可得()eelogtxtx=，令eta=，则logxaxa=（0a且1a），由提供的信息可得，eee1ta−=或e1eeta==，解得e0t−或1te=，即t的取值

范围为1|e0ettt−=或.故答案为：1|e0ettt−=或【点睛】关键点睛：本题的关键是求出当1eea=时logayx=与xya=有一个交点，再将目标式子转化为()eelogtxtx=.四、解答题：本题共6小题，共70

分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设U=R，2{|430}Axxx=−+，204xBxx−=−，1,RCxaxaa=+．（1）分别求AB，()UABð；（2）若BCB=，求实数a的取值范围．【答案】（1）23ABxx=，()

()),34,UAB=−+ð（2）)2,3【解析】【分析】（1）先化简集合，再利用集合间的基本运算求解即可.（2）由BCB=，可得CB，然后根据不等式的范围即可得出结果.【小问1详解】2{|430}Axxx=−+，{|13}Axx=，

又由204xx−−，得()()024xx−−且40x−，24Bxx=，23ABxx=；因()),24,UB=−+ð，()()),34,UAB=−+ð.【小问2详解】BCB=，CB，又

,1Caa=+，)2,4B=，214aa+，解得23a，所以实数a取值范围为)2,3.18.已知函数()()2R21xxafxa+=+为R上的奇函数，（1）求实数a的值；（2）

判断函数()fx的单调性并证明；（3）设函数()1,R2gxxbb=+，若对任意的101x，，总存在201x，，使得()()123gxfx=成立，求实数b的取值范围.【答案】（1）1−（2）函数()fx

在R上单调递增，证明见解析（3）102b【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性求解即可；（2）利用指数函数的单调性及函数单调性定义证明即可；（3）利用函数单调性分别求出()()123gxfx，在区间

01，上的值域，将问题转化为集合的包含关系，建的立不等式组求解即可.【小问1详解】函数()fx是奇函数，()()fxfx−=−，即222121xxxxaa−−++=−++，整理可得，对于()()R,1210xxa

++=，解得：1a=−.【小问2详解】函数()fx在R上单调递增，证明如下：()21212121xxxfx−==−++，设12,Rxx，且12xx，则()()121222112121−=−−−++xxfxfx()()()()1221122212212

221212121xxxxxx+−+=−=++++=()()()12122222121xxxx−=++，因为函数2xy=在R上单调递增，所以当12xx时，12220xx−，又12210,210xx++，所以()()12fxfx，故函数()fx在R上单调递增

.【小问3详解】设()()1122|01|301AyygxxByyfxx====，，，，，，由题意可知，AB，由（2）问可知，()23yfx=在201x，时单调递增，所以()()01012221213330312121fxfx−−++即集合01B=，

，又12Abb=+，，0112bb+，102b.19.求值：（1）()sin403tan10−（2）2sin10+2nc1os40si0cos40+【答案】（1

）1（2）34【解析】【分析】（1）根据题意，由辅助角公式化简，结合正弦的二倍角公式，即可得到结果；（2）根据题意，利用降幂公式化简，结合余弦的和差角公式，即可得到结果.【小问1详解】()sin403tan10−=sin10

sin403cos10−=()2sin60103cos10sin10sin40sin40cos10cos10−−==2cos40sin40cos10=sin8

01cos10=【小问2详解】2sin10+2nc1os40si0cos40+=1cos201cos80sin30sin50222−+−+++114=−+cos80cos20sin503cos80cos20sin50242−

+−+=+34=+cos5030cos5030sin502+−−+（）（）=33044+=20.现有大小相同的7个红球和8个黑球，一次取出4个.（1）求恰有一个黑球的概率；（2）取出红球的个数为X，求X的分布列和数学

期望；（3）取出4个球同色，求全为红球的概率.【答案】（1）839；（2）分布列见解析，2815（3）13【解析】【分析】（1）由古典概率的公式求解即可；（2）求出X的可能取值，及其对应的概率，即可求出X的分布列，再由数学期望公式即可求出X的数学期望；（3）由条件概率公式求

解即可.【小问1详解】记事件A="求恰有一个黑球"，则由古典概型公式可得()1387415CC8C39PA==；【小问2详解】X的可能取值为0，1，2，3，4，P()48415C20C39X===，P()3187415CC561C195X===，P()2287415CC842C19

5X===，P()1387415CC83C39X===，P()47415C14C39X===，X的分布列如下：X01234P2395619584195839139()EX=0239+156195+284195+3839+4139=364195=2815【小问3详解】记事件B="取出4个

球同色，求全为红球"，则由条件概率公式有()474487C1CC3PB==+.21.在ABC中，π3B=，点D在边AB上，2BD=，且.DADC=（1）若BCD△的面积为23，求边CD的长；（2）若23

AC=，求DCA.【答案】（1）23（2）π6或π18【解析】【分析】（1）由三角形面积公式首先可以求得BC的长度，然后在BCD△中，运用余弦定理即可求解.（2）设所求角DCA=，根据已知条件把图中所有角都用含有的式子表示出来，再设,ADDCmBCa===，在BCD△和ACD分

别运用正弦定理，对比即可得到关于的三角方程，从而即可得解.【小问1详解】在BCD△中，由题意有1sin232BCDSBDBCDBC==,且注意到2BD=，π3DBC=，所以有1322322BC=，解得4BC=，如图所示：在BCD△中

，由余弦定理有2222cosCDDBBCDBBCDBC=+−，代入数据得222124224122CD=+−=，所以23CD=.【小问2详解】由题意DADC=，所以设π,0,2DCA=，则2π,2,2,π23

DACBDCBCDADC===−=−，设,ADDCmBCa===，在BCD△中，由正弦定理有sinsinsinBCCDBDBDCDBCBCD==，代入数据得2π2πsin2sinsin233am==−，在ACD中，由正弦定理

有sinsinACADADCACD=，代入数据得()23sinπ2sinm=−，又()0,sinπ2sinADDCm==−=，所以以上两式相比得π23sinsin3a=，即4sinaθ=，所以有4sin222πsin2

cossin23==−，所以2ππsin2cossin32−==，所以2ππ232−=，或2πππ232−−=又π0,2，且2π203−，所以π0,3

，所以解得π6DCA==或π18.22.已知：函数()()ln0fxxxx=，（1）求()fx的单调区间和极值；（2）证明：()e2xxxfx−；(参考数据：2e7.39，3e20.09（3）若不等式()()21fxxaxa−+

+−的解集中恰有三个整数解，求实数a的取值范围.（三问直接写出答案，不需要详细解答，参考数据：ln20.6931,ln31.0986）【答案】（1）单调递减区间为10e，，单调递增区间

为1e+，，极小值为1e−，无极大值（2）证明见解析（3）3ln364ln41223aa++【解析】【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调区间，进而得到极值情况；（2）解法1：转化为只

需证2e2lnxxxx−，构造()2e2lnxxgxxx−=−，()0,x+，求导得到其单调性，求出()mingx，结合2e7.397，3e20.0916，得到最小值大于0，证明出结论；解法2：转化为只需证2ln21exxxx+，构造()2

ln2exxxxhx+=，()0,x+，求导后得到其单调性，得到()22max32ln164lne471eeehx++==，证明出结论；（3）数形结合可得不等式组，求出实数a的取值范围.【小问1详解】()lnfxxx=的定义域为()0,+，

()1lnfxx=+，令()0fx=，可得1ex=，列表如下：x10e，1e1e+，()fx-0+()fx极小值1e−()fx的单调递减区间为10e，，单调递增区间为1e+，，极小值为1e−，无极大

值.【小问2详解】解法1：要证2e2lnxxxx−，只需证2e2lnxxxx−，设()2e2lnxxgxxx−=−，()0,x+，则()()()()()22433e2e222e1e2e2xxxxxxxxxxx

xxgxxxxx−−−−−−+−=−==，令()exwxx=−，则()e10xwx=−在()0,+上恒成立，故()exwxx=−在()0,+上单调递增，所以()()01wxw=，即exx在()0,+上恒成立，令()0gx=，可得2x=，列表如下：x()02

，2()2+，()gx-0+()gx极小值()2g所以()()22mine4e44ln2ln2442gxg−−−=−==，由于2e7.397，3e20.0916，344ln24ln164lne7+=++=，所以2e44ln204−

−，从而不等式得证.解法2：要证2e2lnxxxx−，只需证2ln21exxxx+，设()2ln2exxxxhx+=，()0,x+，则()()()22ln12ln2lneexxxxxxxxxx

hx−++−−==，又因为（1）中的()lnfxxx=的最小值即为极小值1e−，故ln10xx+，令()0hx=得2x=，从而列表如下：x()02，2()2+，()'hx+0-()hx极大值()2h由于2e7.397，3e20.0916，从而(

)()23max2224ln24ln164lne4712eeeehxh==+++==，从而不等式得证.【小问3详解】设()()21xxaxa=−++−，开口向下，由于()fx定义域为()0,+，单调递减区间为10e，，单调递增区间为1e+，，极小

值为1e−，其中()()110f==，故1为满足要求的一个整数解，要想满足不等式()()21fxxaxa−++−的解集中恰有三个整数解，由数形结合可得()()()()()()223344fff，即2ln223l

n3624ln4123aaa−+−+−+，故22ln263ln324ln4123aaa+++，由于ln20.6931,ln31.0986，所以22ln221.38623.3862+=+=，63ln3631.09864.647922++=，故

63ln322ln22++，解得3ln364ln41223aa++.【点睛】方法点睛：导函数证明不等式或求解参数取值范围等问题上，经常用到不等式放缩，以下是常用的一些不等式，eexx，

e1xx+，()ln10xxx−，11ln1xx−，111ln11xxx++等.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com