【文档说明】湖北省重点高中智学联盟2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题答案.docx，共(5)页，47.925 KB，由小赞的店铺上传

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湖北省重点高中智学联盟2023年秋季高三年级10月联考数学答案1.𝐵2.𝐴3.𝐵4.𝐴5.B6.C7.D8.C9.𝐴𝐵𝐷10.𝐴𝐶𝐷11.𝐴𝐵12.𝐵𝐶13.1614.π15.[83,4]16{𝑡|−𝑒≤𝑡<0或�

�=1𝑒}12.解法一：𝑓′(𝑥)=−3𝑥2+4𝑥−3，设切点为(𝑥0,−𝑥03+2𝑥02−3𝑥0)，则切线方程为𝑦+𝑥03−2𝑥02+3𝑥0=(−3𝑥02+4𝑥0−3)(𝑥−𝑥0)，将𝑥=−2，𝑦=𝑚代入得，𝑚=2𝑥03+4𝑥02−8𝑥0+

6，令𝑔(𝑥)=2𝑥3+4𝑥2−8𝑥+6，则𝑔′(𝑥)=6𝑥2+8𝑥−8=2(𝑥+2)(3𝑥−2)，∴𝑥>23或𝑥<−2时，𝑔′(𝑥)>0，当−2<𝑥<23时，𝑔′(𝑥)<0，故函数𝑔(𝑥)的单增区间为(−∞,−2)和(23,+

∞)，𝑔(𝑥)的单减区间为(−2,23)，∴𝑔(𝑥)的极大值为𝑔(−2)=22，极小值为𝑔(23)=8227，由题意知，8227<𝑚<22，又𝑚为整数，∴𝑚=4，5，……20，21解法二：𝑓′(𝑥)=−3𝑥2+4𝑥−3，𝑓′′(𝑥)=−6𝑥+4，∴函数𝑓(

𝑥)的对称中心坐标为P(23,𝑓(23))=(23，−3827)，函数𝑓(𝑥)在点P处切线方程为𝑦−(−3827)=𝑓′(23)(𝑥−23)，即为𝑦+3827=−53(𝑥−23)，再令𝑥=−2，得𝑦=8227，又𝑓(

−2)=22,由题意知，8227<𝑚<22，又𝑚为整数，∴𝑚=4，5，……20，2116.(1)当a>1时，先求？的值，有一个交点时，由题意可知切点在直线y=x上，设切点横坐标为𝑥0,由导数几何意义可知1𝑥0∙𝑙𝑛

𝑎=𝑎𝑥0∙lna=1,∴𝑎𝑥0=e,lna=1e，a=e1e；(2)由𝑒𝑡𝑥=1𝑡lnx，可得(𝑒𝑡)𝑥=log𝑒𝑡𝑥，令𝑒𝑡=𝑎，则log𝑎𝑥=𝑎𝑥（0<a且a≠1），由提供的信息可得，e−e≤a=𝑒𝑡<1或a=𝑒𝑡=e1e，∴{𝑡|−�

�≤𝑡<0或𝑡=1𝑒}17.解：(1)∵𝐴={𝑥|𝑥2−4𝑥+3<0}，∴𝐴=(1,3)，………………………（1分）又由𝑥−2𝑥−4≤0，得(𝑥−2)(𝑥−4)≤0，且(𝑥−4)≠0∴𝐵=[2,4)，……………（3分）∴𝐴∩𝐵=[2,3)，…

……………………（4分）∵∁𝑈𝐵=(−∞,2)∪[4,+∞)，∴𝐴∪(∁𝑈𝐵)=(−∞,3)∪[4,+∞)；……………………（6分）(2)∵𝐵∪𝐶=𝐵，∴𝐶⊆𝐵，……………………（7分）又∵𝐶=[𝑎,𝑎+1]，𝐵=[2,4)，∴{𝑎≥2,𝑎+

1<4,解得2≤𝑎<3，……………………（9分）∴实数𝑎的取值范围为[2,3)．……………………（10分）18.解：(1)∵函数𝑓(𝑥)是奇函数，∴𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)………………………（1分)即2−𝑥+𝑎2−𝑥+1=−2𝑥+𝑎2𝑥+1，整理

有对于∀x∈R,(1+a)(2x+1)=0,∴𝑎=−1………………（4分）（此处用𝑓(0)=0得出𝑎=−1的如果没有验证函数𝑓(𝑥)是奇函数的扣2分）(2)函数𝑓(𝑥)在R上单调递增，证明如下：………………（5分）∵𝑓(𝑥)=2𝑥

−12𝑥+1=1−22𝑥+1，∴𝑓′(𝑥)=2𝑙𝑛2∙2𝑥(2𝑥+1)2>0,∴函数𝑓(𝑥)在R上单调递增……………（8分）用单调性定义证明的同样给分。（3）设A={y|y=𝑔(𝑥1),𝑥1∈[0,1]},B={y|y=3𝑓(𝑥2),

𝑥2∈[0,1]},有条件可知，A⊆B……………（9分）由（2）问可知，y=3𝑓(𝑥2)在𝑥2∈[0,1]时单调递增，∴B=[0,1]，……………（10分）又∵A=[b,12+b]，∴{𝑏≥012+b≤1,，∴0≤

b≤12……………（12分）19.解：（1）sin40°(√3−tan10°)=sin40°(√3−𝑠𝑖𝑛10°𝑐𝑜𝑠10°)……………（1分）=sin40°(√3𝑐𝑜𝑠10°−𝑠𝑖𝑛10°𝑐𝑜𝑠10°)=sin40°2sin(

60°−10°)𝑐𝑜𝑠10°=sin40°2𝑐𝑜𝑠40°𝑐𝑜𝑠10°=𝑠𝑖𝑛80°𝑐𝑜𝑠10°=1……………（6分）(2)方法一：𝑠𝑖𝑛210°+𝑐𝑜𝑠240°+

𝑠𝑖𝑛10°cos40°=1−𝑐𝑜𝑠20°2+1+𝑐𝑜𝑠80°2+−𝑠𝑖𝑛30°+𝑠𝑖𝑛50°2……（8分）=1−14+𝑐𝑜𝑠80°−𝑐𝑜𝑠20°+𝑠𝑖𝑛5

0°2=34+𝑐𝑜𝑠80°−𝑐𝑜𝑠20°+𝑠𝑖𝑛50°2=34+𝑐𝑜𝑠（50°+30°）−𝑐𝑜𝑠（50°−30°）+𝑠𝑖𝑛50°2=34+0=34………（12分）方法二：构造对偶式设𝑚=𝑠𝑖𝑛210°+𝑐𝑜𝑠24

0°+𝑠𝑖𝑛10°cos40°,𝑛=𝑐𝑜𝑠210°+𝑠𝑖𝑛240°+𝑐𝑜𝑠10°𝑠𝑖𝑛40°,则……（8分）m+n=2+𝑠𝑖𝑛50°,n−m=𝑐𝑜𝑠20°−𝑐𝑜𝑠80°+�

�𝑖𝑛30°，则2m=2−12+𝑠𝑖𝑛50°−𝑐𝑜𝑠20°+𝑐𝑜𝑠80°=32，∴𝑚=34………（12分)方法三：构造三角形，令外接圆半径为12，则由正弦定理可得𝑎𝑠𝑖𝑛10°=𝑏𝑠𝑖𝑛50°=

𝑐𝑠𝑖𝑛120°=2R=2×12=1，………（8分）则a=𝑠𝑖𝑛10°,𝑏=cos40°=𝑠𝑖𝑛50°,c=𝑠𝑖𝑛120°,再由余弦定理，𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏𝑐

𝑜𝑠𝐶=𝑠𝑖𝑛210°+𝑠𝑖𝑛250°−2𝑠𝑖𝑛10°s𝑖𝑛50°𝑐𝑜𝑠120°=𝑠𝑖𝑛2120°=34……（12分)20.解：（1）记事件A="求恰有一个黑球"，则由古典概型公式可得P(𝐴)=𝐶81𝐶73𝐶1

54=839；………（3分）（2）X的可能取值为0,1,2,3,4，………（4分）BDCAP(𝑋=0)=𝐶84𝐶154=239，P(𝑋=1)=𝐶83𝐶71𝐶154=56195，P(𝑋=2)=𝐶

82𝐶72𝐶154=84195，P(𝑋=3)=𝐶81𝐶73𝐶154=839，P(𝑋=4)=𝐶74𝐶154=139，X的分布列如下：………（7分）（概率对了一个给1分，不超过7分，此处没有约分的不扣分）X01234P239561958419

5839139E(X)=0×239+1×56195+2×84195+3×839+4×139=364195=2815………（9分）（此处没有约分的扣1分）（3）记事件B="取出4个球同色，求全为红球"，则由条件

概率公式有P(𝐵)=𝐶74𝐶84+𝐶74=13.………（12分）21.解：（1）在∆BCD中，S∆BCD=12BD∙BC∙sin∠DBC=2√3,且BD=2,∠DBC=𝜋3，可得BC=4（2分）在∆BCD中，由余弦定理有，DC2=DB2+B

C2−2DB∙BC∙cos∠DBC=12,∴DC=2√3……（5分）（2）记∠DCA=θ,(θ∈(0，𝜋2))，则∠BDC=2θ,，∠DAC=θ,∠BCD=2𝜋3−2θ，∠ADC=π−2θ,……（6分）记AD=DC=m,BC=a,在∆BCD中,由正弦定理有𝐵�

�𝑠𝑖𝑛∠BDC=𝐵𝐷𝑠𝑖𝑛∠BCD=𝐶𝐷𝑠𝑖𝑛∠DBC,∴𝑎𝑠𝑖𝑛2𝜃=2𝑠𝑖𝑛(2𝜋3−2θ)=𝑚𝑠𝑖𝑛𝜋3……（7分）在∆ACD中，由正弦定理有𝐴𝐶𝑠𝑖𝑛∠

ADC=𝐴𝐷𝑠𝑖𝑛∠ACD，∴2√3𝑠𝑖𝑛2𝜃==𝑚𝑠𝑖𝑛𝜗,……（8分）∴𝑚∙sin2θ=2√3sinθ=a∙sin𝜋3,∴a=4sinθ，即有4𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛2𝜃=2𝑠𝑖�

�(2𝜋3−2θ)=𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽，……（9分）∴𝒔𝒊𝒏(𝟐𝝅𝟑−𝟐𝛉)=cosθ=sin(𝜋2∓𝜃)，∴∠DCA=θ=𝜋6或𝜋18……（12分）（掉了一个解扣2分）22.解：（1）∵𝑓(𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑥,(𝑥>0)∴𝑓′(𝑥)=𝑙

𝑛𝑥+1,令𝑓′(𝑥)=0，可得𝑥=1𝑒，列表如下：……………（1分）x(0,1𝑒)1𝑒(1𝑒,+∞)𝑓′(𝑥)−0+𝑓(𝑥)↓极小值−1𝑒↑………（2分）∴𝑓(𝑥)的单调递减区间为(0,1𝑒)，单调递增区间为(1𝑒,+∞)，极小值

为−1𝑒，无极大值。（“无极大值”掉了的扣1分）……（4分）（2）解法1：要证𝑒𝑥−2𝑥>𝑥∙𝑥𝑙𝑛𝑥，只需证𝑒𝑥−2𝑥𝑥2>𝑙𝑛𝑥（对数靠边走）………（5分）设𝑔(

𝑥)=𝑒𝑥−2𝑥𝑥2−𝑙𝑛𝑥，则𝑔′(𝑥)=(𝑒𝑥−𝑥)∙(𝑥−2)𝑥3，易知𝑒𝑥≥𝑥+1>x,令𝑔′(𝑥)=0，可得𝑥=2，列表如下：……（6分）x(0,2)2(2,+∞)𝑔′(𝑥)−0+𝑔(𝑥)↓极小值g(2)↑∴𝒈(𝑥)𝑚𝑖

𝑛=g(2)=𝑒2−44−ln2==𝑒2−(4+4𝑙𝑛2)4，由于𝑒2≈7.39>7，𝑒3≈20.09>16,…（7分）4+4𝑙𝑛2=4+𝑙𝑛16<4+𝑙𝑛𝑒3=7，……（8分）∴𝑒2−(4+4𝑙𝑛2)>0，从而不等式得证。……（9分）解法2

：要证𝑒𝑥−2𝑥>𝑥∙𝑥𝑙𝑛𝑥，只需证𝑥2𝑙𝑛𝑥+2𝑥𝑒𝑥<1，（指数找朋友）………（5分）设ℎ(𝑥)=𝑥2𝑙𝑛𝑥+2𝑥𝑒𝑥，则ℎ′(𝑥)=(𝑥𝑙𝑛𝑥+1)∙(2−𝑥)𝑒𝑥，又因为（1）中

的𝑓(𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑥的最小值即为极小值−1𝑒，∴𝒙𝒍𝒏𝒙+𝟏>0,从而列表如下：……（6分）x(0,2)2(2,+∞)ℎ′(𝑥)+0−ℎ(𝑥)↑极大值h(2)↓𝑒2≈7.39>7，𝑒3≈20.09>16,………（7分）从而ℎ(𝑥)𝑚𝑎𝑥=ℎ

(2)=4𝑙𝑛2+4𝑒2=𝑙𝑛16+4𝑒2<𝑙𝑛𝑒3+4𝑒2=3+4𝑒2=7𝑒2<1，从而不等式得证。……（9分）其他的证明方法参照给分。（3）设φ(𝑥)=−𝑥2+(𝑎+1)𝑥−𝑎，由数形结合可得{𝑓(1)≤φ(1)𝑓(2)≤φ(2)𝑓(3)≤φ

(3)𝑓(4)>φ(4)，解得{𝑎|3𝑙𝑛3+62≤𝑎<4𝑙𝑛4+123}……（12分）获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com