【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第5章 高考大题冲关系列（2） 含解析【高考】.doc，共(11)页，88.000 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1命题动向：三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具．高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题．对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等

．备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口．题型1三角函数图象与性质的综合例1(2021·潍坊模拟)在①函数y＝f(x)的图象关于直线x＝π3对称，②函数y＝f(x)的图象关于点Pπ6，0对称，③函

数y＝f(x)的图象经过点Q2π3，－1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知函数f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且________，判断函数f(x)在π6，π

2上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的x值；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ＝sin(ωx＋φ)，由已知函数f(x)的最小正周期T＝2π

ω＝π，得ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．若选①，则有2×π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，解得φ＝kπ－π6(k∈Z)，又因为|φ|<π2，所以k＝0，φ＝－π6，所以f(x)＝sin2x－π6.2当x∈π6，π2时

，t＝2x－π6∈π6，5π6，所以当t＝π2，即x＝π3时，函数f(x)取得最大值，为1.若选②，则有2×π6＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－π3(k∈Z)，又因为|φ|<π2，所以k＝0，φ＝－π3，所以f(x)＝

sin2x－π3.当x∈π6，π2时，t＝2x－π3∈0，2π3，所以当t＝π2，即x＝5π12时，函数f(x)取得最大值，为1.若选③，则有2×2π3＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，解得φ

＝2kπ－11π6(k∈Z)，又因为|φ|<π2，所以k＝1，φ＝π6，所以f(x)＝sin2x＋π6，当x∈π6，π2时，t＝2x＋π6∈π2，7π6，显然，函数f(

x)在π6，π2上没有最大值．[冲关策略]解决此类问题，一般先由图象或三角公式确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b等)的解析式，然后把ωx＋φ看成一个整体研究函数的性质．变式训练1(2021·临沂二模)在①直线x＝－π6是函数f(

x)图象的一条对称轴，②π12是函数f(x)的一个零点，③函数f(x)在[a，b]上单调递增，且b－a的最大值为π2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．3已知函数f(x)＝2sinωxcosωx－π6－12(0<ω<2)，________，求f(x)在－

π2，π2上的单调递减区间．解f(x)＝2sinωxcosωx－π6－12＝2sinωxcosωxcosπ6＋sinωxsinπ6－12＝3cosωxsinωx＋sin2ωx－12＝32sin2ωx－12cos2ω

x＝sin2ωx－π6.若选①直线x＝－π6是函数f(x)图象的一条对称轴，则－πω3－π6＝kπ＋π2，k∈Z，得ω＝－3k－2，k∈Z，又0<ω<2，∴当k＝－1时，ω＝1，∴f(x)＝sin2x－π6.若选②π12是函数f(x

)的一个零点，则π12×2ω－π6＝kπ，k∈Z，得ω＝6k＋1，k∈Z.又0<ω<2，∴当k＝0时，ω＝1，∴f(x)＝sin2x－π6.若选③函数f(x)在[a，b]上单调递增，且b－a的最大值为π2，则T＝π＝2π2ω，∴ω＝1，∴f(x)＝sin2x－π6.

由π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π3＋kπ≤x≤5π6＋kπ，k∈Z，令k＝0，得π3≤x≤5π6，令k＝－1，得－2π3≤x≤－π6，又－π2≤x≤π2，∴f(x)在－π2，π2上的单调递减区间为

－π2，－π6，π3，π2.题型2三角函数与解三角形的综合例2(2021·泰安二模)在①3sinC＋cosC＝b＋ca，②sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，③2cosA(cco

sB＋bcosC)＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，4并解答．问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________.(1)求角A；(2)若O是△ABC内一点，∠AOB

＝120°，∠AOC＝150°，b＝1，c＝3，求tan∠ABO.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解选条件①，(1)∵3sinC＋cosC＝b＋ca＝sinB＋sinCsinA，∴3sinCsinA＋co

sCsinA＝sin(A＋C)＋sinC，整理得(3sinA－cosA)sinC＝sinC.∵C∈(0，π)，∴sinC≠0，∴3sinA－cosA＝1，∴sin(A－30°)＝12，又0°<A<180°，∴A＝60°.(2)∵∠OAC＋∠OAB＝6

0°，∠OAB＋∠ABO＝180°－120°＝60°，∴∠OAC＝∠ABO.在△ABO中，AOsin∠ABO＝3sin120°，∴AO＝23sin∠ABO，在△ACO中，1sin150°＝AOsin∠ACO＝AOsin(30°－∠ABO)，∴AO＝2sin(30°－∠ABO)，∴2

sin(30°－∠ABO)＝23sin∠ABO，整理得cos∠ABO＝33sin∠ABO，∴tan∠ABO＝39.选条件②，5(1)∵sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，∴b2＋c2－a2＝bc.∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12

，又0°<A<180°，∴A＝60°.(2)同选条件①.选条件③，(1)∵2cosA(ccosB＋bcosC)＝a，∴2cosA(sinCcosB＋sinBcosC)＝sinA.∴2cosAsinA＝sinA，∵A∈(0，π)，

∴sinA≠0，∴cosA＝12，又0°<A<180°，∴A＝60°.(2)同选条件①.[冲关策略]三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此

类问题的关键．变式训练2(2021·大庆模拟)在①(sinB＋sinC)2＝sin2A＋3sinBsinC，②c＝acosB＋12b这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b

，c，且________.(1)求角A的大小；(2)若△ABC是锐角三角形，且b＝2，求c的取值范围．解若选择条件①，(1)因为(sinB＋sinC)2＝sin2A＋3sinBsinC，所以sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，根据正弦定理可得b

2＋c2－a2＝bc，6由余弦定理可得cosA＝12.因为A是△ABC的内角，所以A＝π3.(2)因为A＝π3，△ABC为锐角三角形，所以0<B<π2，0<2π3－B<π2，解得π6<B<π2，在△ABC中，csinC＝2sinB，所以c＝2sin2π3－BsinB＝

232cosB＋12sinBsinB＝3cosB＋sinBsinB，即c＝3tanB＋1，由π6<B<π2，可得tanB>13，所以0<1tanB<3，所以1<c<4.若选择条件②，(1)因为c＝acosB＋12b，

由正弦定理可得sinC＝sinAcosB＋12sinB，因为A，B，C是△ABC的内角，所以sinC＝sin(A＋B)，所以sin(A＋B)＝sinAcosB＋12sinB，展开可得cosAsinB＝12sinB，因为B是△ABC的内

角，所以sinB>0，所以cosA＝12，因为A是△ABC的内角，所以A＝π3.(2)同选择条件①.7题型3三角函数与平面向量的综合例3(2021·龙岩模拟)已知向量a＝(3，1)，b＝(sin2x,2sin2x－1)，x∈R.(1)若a∥b，且x∈[0，π]，求x的值；(2)记

f(x)＝a·b(x∈R)，若将函数f(x)的图象上的所有点向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象．当x∈0，π2时，求函数g(x)的值域．解(1)因为a∥b，所以3(2sin2x－1)－sin2x＝0，即sin2x＝－3

cos2x.若cos2x＝0，则sin2x＝0，与sin22x＋cos22x＝1矛盾，故cos2x≠0.所以tan2x＝－3，又x∈[0，π]，所以2x∈[0,2π]，所以2x＝2π3或2x＝5π3，即x＝π3或x＝5π6，即x的值为π3或5π6.(2)因为f(x)＝a·b＝

(3，1)·(sin2x，－cos2x)＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6，所以g(x)＝2sin2x＋π6－π6＝2sin2x＋π6，当x∈0，π2时，2x＋π6∈

π6，7π6，所以sin2x＋π6∈－12，1，所以2sin2x＋π6∈[－1,2]，即当x∈0，π2时，函数g(x)的值域为[－1,2]．[冲关策

略](1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达8形式，解题思路是经过向量的

运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．变式训练3已知a＝(sinx，3cosx)，b＝(cosx，－cosx)，函数f(x)＝a·b＋32.(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；(2)若方程f(x)＝13在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)

的值．解(1)f(x)＝a·b＋32＝(sinx，3cosx)·(cosx，－cosx)＋32＝sinxcosx－3cos2x＋32＝12sin2x－32cos2x＝sin2x－π3.令2x

－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝5π12＋kπ2(k∈Z)，即函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝5π12＋kπ2(k∈Z)．(2)由(1)及已知条件可知(x1，f(x1))与(x2，f(x2))关于直线x＝5π12对称，则x1＋x2＝5π6，∴cos(

x1－x2)＝cosx1－5π6－x1＝cos2x1－5π6＝cos2x1－π3－π2＝sin2x1－π3＝f(x1)＝13.题型4解三角形与平面向量的综合例4(2021·聊城模拟)在①m＝(cosB,2c－b)，n＝(co

sA，a)，且m∥n；②b＝acosC＋33csinA；③cos2A＋cosAcos(C－B)＝sinBsinC这三个条件中任选一个补9充在下面问题中，并解答．已知在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且_____

___.(1)求A的值；(2)若a＝3，△ABC的面积是32，点M是BC的中点，求AM的长度．解选择条件①，(1)由m∥n得acosB＝(2c－b)cosA，得sinAcosB＝2sinCcosA－sinBcosA，得sin(A＋B)＝2s

inCcosA，又sin(A＋B)＝sinC，sinC≠0，所以cosA＝12，又0<A<π，所以A＝π3.(2)在△ABC中，由a＝3，A＝π3，得b2＋c2－bc＝3.由△ABC的面积为32，得bc＝2，

所以b2＋c2＝5.因为M是BC的中点，所以AM→＝12(AB→＋AC→)，从而|AM→|2＝14(|AB→|2＋|AC→|2＋2AB→·AC→)＝14(b2＋c2＋bc)＝74，所以AM＝72.选择条件②，

(1)因为b＝acosC＋33csinA，根据正弦定理得sinB＝sinAcosC＋33sinCsinA，所以sin(A＋C)＝sinAcosC＋33sinCsinA，所以sinAcosC＋cosAsinC

＝sinAcosC＋33sinCsinA，所以cosAsinC＝33sinCsinA.因为sinC≠0，10所以tanA＝3.又0<A<π，所以A＝π3.(2)同选择条件①.选择条件③，(1)因为cos2A＋cosAcos(C－B)＝sinBsinC，所以cosA[－

cos(B＋C)＋cos(C－B)]＝sinBsinC，所以2cosAsinBsinC＝sinBsinC.因为B∈(0，π)，C∈(0，π)，所以sinBsinC≠0，所以cosA＝12，又0<A<π，所以A＝π3

.(2)同选择条件①.[冲关策略]解决解三角形与平面向量综合问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．变式训练4(2021·江苏省部分学校调考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝

(2sin(x－A)，sinA)，n＝(cosx,1)，f(x)＝m·n，且对任意x∈R，都有f(x)≤f5π12.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若a＝23，sinB＋sinC＝62，求△ABC的面积．解(1)由题意可

得，f(x)＝m·n＝2sin(x－A)cosx＋sinA＝2(sinxcosA－cosxsinA)cosx＋sinA＝2sinxcosxcosA－2cos2xsinA＋sinA＝2sinxcosxcosA－(2cos2x－1)sinA＝sin2

xcosA－cos2xsinA＝sin(2x－A)，则f5π12＝sin5π6－A＝1，11因为A∈(0，π)，所以5π6－A∈－π6，5π6，所以5π6－A＝π2，即A＝π3，所以f(x)＝sin2x－π3，令2kπ－π2≤2x－π3≤2k

π＋π2(k∈Z)，解得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．(2)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得b＋c＝asinA(sinB＋sinC)＝26，所以b

2＋c2＋2bc＝24，①由余弦定理得b2＋c2－a2＝2bccosA，得b2＋c2－bc＝12，②由①②解得bc＝4，所以△ABC的面积为12bcsinA＝12×4×32＝3.