【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第5章 第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式 含解析【高考】.doc，共(19)页，184.500 KB，由小赞的店铺上传

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1第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：01sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：02sinαcosα＝tanα.2．六组诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋

α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα－－口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限同角三角函数

基本关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα；sinα＝t

anαcosαα≠π2＋kπ，k∈Z；2sin2α＝sin2αsin2α＋cos2α＝tan2αtan2α＋1；cos2α＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1.1．若cosα＝13，α∈－π2，0，则tanα等于()A．－24B．24C．

－22D．22答案C解析由已知得sinα＝－1－cos2α＝－1－19＝－223，所以tanα＝sinαcosα＝－22，故选C．2．(2021·大同模拟)若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是()A．－43B．±43C．

3D．43答案A解析∵tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝3，∴a＝－43.故选A．3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于()A．－π6B．－π3C．π6D．π3答案D解析∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴

－sinθ＝－3cosθ，∴tanθ＝3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.4．已知cos31°＝a，则sin239°tan149°的值为()3A．1－a2aB．1－a2C．a2－1aD．－1－a2答案B解析sin

239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos31°(－tan31°)＝sin31°＝1－a2.5．化简cosα－π2sin5π2＋αsin(α－π)cos(2π－α)的结果为________.答案－

sin2α解析原式＝sinαcosα(－sinα)cosα＝－sin2α.6．若sinθcosθ＝12，则tanθ＋cosθsinθ＝________.答案2解析tanθ＋cosθsinθ＝sinθcosθ＋co

sθsinθ＝1cosθsinθ＝2.考向一诱导公式的应用例1(1)(2021·青岛一模)已知角θ终边上有一点Ptan4π3，2sin－17π6，则cosθ的值为()A．12B．－12C．－32D．32答

案D解析因为tan4π3＝tanπ＋π3＝tanπ3＝3，sin－17π6＝sin－2π－π＋π6＝4sin－π＋π6＝－sinπ－π6＝－sinπ6＝

－12，即2sin－17π6＝－1，所以P(3，－1)，所以cosθ＝3(3)2＋(－1)2＝32.故选D.(2)化简：tan(π＋α)cos(2π＋α)sinα－3π2cos(－α－3π)sin(－3π－α

)＝________.答案－1解析原式＝tanαcosαsin－2π＋α＋π2cos(3π＋α)[－sin(3π＋α)]＝tanαcosαsinπ2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα＝－t

anαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.(3)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________.答案－1713解析因为

cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，sin(75°＋α)＝－1－cos2(75°＋α)＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α)＝－sin(1

5°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α)＝－513－1213＝－1713.1．诱导公式的两个应用方向与原则5(1)求值．化

角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．(2)化简．化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.

1.(2022·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且cosα＋π6＝13，则cosα－π3的值为()A．223B．23C．26D．526答案A解析∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3，∴sinα＋π6＝1－cos2α＋π6＝223，∴cos

α－π3＝cosα＋π6－π2＝sinα＋π6＝223.故选A．2．计算：sin(－1200°)cos1290°＝________.答案34解析原式＝－sin1200°cos1290°＝

－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)＝－sin120°·cos210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)＝sin60°cos30°＝32×32＝34.3．(2021·潍坊一模)在平面直角坐标系xOy中，点P(3，1)，将向量OP→绕点O按逆时针

方向旋转π2后得到向量OQ→，则点Q的坐标是________.答案(－1，3)解析∵OP→＝(3，1)＝(2cosθ，2sinθ)，cosθ＝32，sinθ＝12，∴将向量OP→绕6点O按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ→＝2cosθ＋π2，2sinθ

＋π2＝(－2sinθ，2cosθ)＝(－1，3)，∴点Q的坐标是(－1，3)．多角度探究突破考向二同角三角函数的基本关系角度切弦互化例2(1)(2021·唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与

x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sinα，3)(sinα≠0)，则cosα＝()A．12B．－12C．32D．－32答案A解析由三角函数定义，得tanα＝32sinα，所以sinαcosα＝32sinα，则2

(1－cos2α)＝3cosα，所以(2cosα－1)(cosα＋2)＝0，则cosα＝12.(2)(2021·济宁三模)已知tan(π－α)＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＝________.答案13解析因为tan(π－α)＝2，所以tanα＝－2，所以sinα＋c

osαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝－2＋1－2－1＝13.同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，主要利用商数关系tanα＝sinαcosα和平方关系1＝sin2α＋cos2α.4.已知α为锐角，且tan

(π－α)＋3＝0，则sinα等于()A．13B．31010C．377D．3557答案B解析因为tan(π－α)＋3＝0，所以tanα＝3，sinα＝3cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝910.又因为α为锐角，故sinα＝31010.故选B.5．已知α是

第二象限角，cos3π2＋α＝45，则tanα＝________.答案－43解析∵cos3π2＋α＝45，∴sinα＝45，又α是第二象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－35，∴tanα＝sinαcosα＝－43.角度“1”的变换例3(2021·新高考Ⅰ卷)若

tanθ＝－2，则sinθ(1＋sin2θ)sinθ＋cosθ＝()A．－65B．－25C．25D．65答案C解析解法一：因为tanθ＝－2，所以sinθ(1＋sin2θ)sinθ＋cosθ＝sinθ(sinθ＋cosθ)2s

inθ＋cosθ＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin2θ＋sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ1＋tan2θ＝4－21＋4＝25.故选C．解法二：sinθ(1＋sin2θ)sinθ＋cosθ＝sinθ(sin2θ＋

2sinθcosθ＋cos2θ)sinθ＋cosθ＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝cos2θ(tan2θ＋tanθ)．由tanθ＝sinθcosθ＝－2，sin2θ＋cos2θ＝1，解得cos2θ＝15.所以sinθ(1＋sin2θ)sinθ＋cosθ＝cos2θ(tan2θ＋tanθ)＝1

5×(4－2)＝25.故选C．8对于含有sin2α，cos2α，sinαcosα的三角函数求值问题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin2α＋cos2α”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转

化为关于tanα的式子，从而求解．6.(2021·海口模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边上有一点P(1,2)，则sin2α1－3sinαcosα＝________.答案－4解析因为角α的终边上有一点P(1,2)，所以

tanα＝2.所以sin2α1－3sinαcosα＝sin2αsin2α＋cos2α－3sinαcosα＝tan2αtan2α＋1－3tanα＝2222＋1－3×2＝－4.角度sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之间的关系例4

(1)(2021·东北三省三校联考)若sinθ－cosθ＝43，且θ∈3π4，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝()A．－23B．23C．－43D．43答案A解析因为sinθ－cosθ＝43，所以1－2s

inθcosθ＝169，所以2sinθcosθ＝－79，所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝29，又因为θ∈3π4，π，所以sinθ＋cosθ＝－23，所以sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sinθ＋cosθ＝－23.(2)若θ∈π2，π

，则1－2sin(π＋θ)sin3π2－θ等于()A．sinθ－cosθB．cosθ－sinθC．±(sinθ－cosθ)D．sinθ＋cosθ答案A9解析因为1－2sin(π＋θ)sin3π2－θ＝1－2sinθcosθ＝(sinθ－cosθ)

2＝|sinθ－cosθ|，又θ∈π2，π，所以sinθ－cosθ>0，所以原式＝sinθ－cosθ.故选A．(1)已知asinx＋bcosx＝c可与sin2x＋cos2x＝1联立，求得sinx，cosx.(2)sinx＋cosx，sinx－cosx，sinx

cosx之间的关系为(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx，(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx，(sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2.因此，已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．7.若1sinα＋1cos

α＝3，则sinαcosα＝()A．－13B．13C．－13或1D．13或－1答案A解析由1sinα＋1cosα＝3，可得sinα＋cosα＝3sinαcosα，两边平方，得1＋2sinαcosα＝3sin2αcos2α，解得sinαcosα＝－13或sinαcosα＝1.由题意，知si

nα≠0，cosα≠0，且－1<sinα<1，－1<cosα<1，所以sinαcosα≠1.故选A．8．(2021·福州月考)若θ∈(0，π)，tanθ＋1tanθ＝6，则sinθ＋cosθ＝()A．233B．－233C．

±233D．23答案A10解析因为tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝sin2θ＋cos2θsinθcosθ＝6，所以sinθcosθ＝16，又θ∈(0，π)，则sinθ>0，cosθ>0，所以sinθ＋cosθ>0.所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2

sinθcosθ＝43，所以sinθ＋cosθ＝233，故选A．一、单项选择题1．(2022·湖南衡阳月考)若角α的终边在第三象限，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为()A．3B．－3C．1D．－1答案B解析因为角α的终边在第

三象限，所以sinα<0，cosα<0，所以原式＝cosα－cosα＋2sinα－sinα＝－3.2．(2021·山西太原一模)“∀α∈R，sinkπ2－α＝cosα，k∈Z”是“k＝1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B11解

析当k＝1时，sinkπ2－α＝cosα，满足必要性；当k＝5时，sinkπ2－α＝cosα，所以不满足充分性．故“∀α∈R，sinkπ2－α＝cosα，k∈Z”是“k＝1”的必要不

充分条件，故选B.3．已知α∈π2，π，tanα＝－34，则sin(α＋π)＝()A．35B．－35C．45D．－45答案B解析由题意可知sinαcosα＝－34，sin2α＋cos2α＝1，由此解得sin2α＝925，又α∈π2，π，因此有sinα＝3

5，sin(α＋π)＝－sinα＝－35.故选B.4．(2021·湖北四校联考)已知角α是第二象限角，且满足sin5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝()A．3B．－3C．－33D．－1答案B解析由sin5π

2＋α＋3cos(α－π)＝1，得cosα－3cosα＝1，∴cosα＝－12，∵角α是第二象限角，∴sinα＝32，∴tan(π＋α)＝tanα＝sinαcosα＝－3.5．(2022·山东泰安质检)已知sinα－

π12＝13，则cosα＋17π12的值为()A．13B．223C．－13D．－22312答案A解析cosα＋17π12＝cosα－π12＋3π2＝sinα－π12＝13.6．(2021·平顶山联考)已知sinα＋3cosα3c

osα－sinα＝5，则cos2α＋12sin2α＝()A．35B．－35C．－3D．3答案A解析由sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5得tanα＋33－tanα＝5，可得tanα＝2，则cos2α

＋12sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝cos2α＋sinαcosαcos2α＋sin2α＝1＋tanα1＋tan2α＝35.7．(2021·广州模拟)已知第二象限角θ的终边上有两点A(－1，a)，B(b,2)，且cosθ＋3sinθ＝0，则3a－b＝()A．－7B．－5C．

5D．7答案D解析因为cosθ＋3sinθ＝0，即tanθ＝－13，所以2－ab＋1＝－13，所以3a－b＝7.8．已知sinα＋cosα＝12，α∈(0，π)，则1－tanα1＋tanα＝()A．－7B．7C．3D．－3答案A解析因为(sinα＋cosα)2＝1＋2sinα

cosα＝14，所以sinαcosα＝－38，又α∈(0，π)，所以sinα>0，cosα<0.因为(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝74，所以cosα－sinα13＝－72.所以1－tanα1＋tanα＝cosα－s

inαcosα＋sinα＝－7212＝－7.故选A．二、多项选择题9．在△ABC中，下列结论正确的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sinB＋C2＝cosA2C．tan(A＋B)＝－tanCC≠π2D．cos(A＋B)＝cos

C答案ABC解析在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；sinB＋C2＝sinπ2－A2＝cosA2；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanCC≠π2；c

os(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC．10．(2021·淄博调研)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15，则下列结论正确的是()A．θ∈π2，πB．cosθ＝－35C．tanθ＝－3

4D．sinθ－cosθ＝75答案ABD解析因为sinθ＋cosθ＝15，所以1＋2sinθcosθ＝125，所以2sinθcosθ＝－2425<0，又θ∈(0，π)，所以θ∈π2，π，A正确；进而可得sinθ>cosθ，因为(sinθ－cosθ)2＝1－2s

inθcosθ＝4925，所以sinθ－cosθ＝75，D正确；由sinθ＋cosθ＝15，sinθ－cosθ＝75，解得sinθ＝45，cosθ＝－35，进而得tanθ＝－43，故B正确，14C错误．故选ABD.11．(2021·广东揭阳高三教学质量

测试)给出下列四个结论，其中正确的是()A．sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是角α是锐角B．若cos(nπ－α)＝13(n∈Z)，则cosα＝13C．若α≠kπ2(k∈Z)，则tanπ2＋α＝－1tanαD．若sinα＋cosα＝1，则sinnα＋

cosnα＝1答案CD解析由诱导公式二，知α∈R时，sin(π＋α)＝－sinα，所以A错误；当n＝2k(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cosα，此时cosα＝13；当n＝2k＋1(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π

－α)＝－cosα，此时cosα＝－13，所以B错误；若α≠kπ2(k∈Z)，则tanπ2＋α＝sinπ2＋αcosπ2＋α＝cosα－sinα＝－1tanα，所以C正确；将等式sinα＋cosα＝1两边平方，得sinαcosα＝0，所以sinα

＝0或cosα＝0.若sinα＝0，则cosα＝1，此时sinnα＋cosnα＝1；若cosα＝0，则sinα＝1，此时sinnα＋cosnα＝1，故sinnα＋cosnα＝1，所以D正确．12．(2021·湖北宜昌高三模拟)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”

．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是()A．sinβ＝154B．cos(π＋β)＝14C．tanβ＝15D．tanβ＝155答案AC解析∵sin(π＋α)＝－sinα＝－14，∴sinα＝14，若α＋β＝π2，则β＝π2－α.sinβ15＝sin

π2－α＝cosα＝±154，故A符合条件；cos(π＋β)＝－cosπ2－α＝－sinα＝－14，故B不符合条件；tanβ＝15，即sinβ＝15cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，∴sinβ＝±154，故C符合条件；tanβ＝155，即sin

β＝155cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，∴sinβ＝±64，故D不符合条件．故选AC．三、填空题13．(2021·西安调研)sin(－570°)＋cos(－2640°)＋tan1665°＝________

.答案1解析原式＝sin(－570°＋720°)＋cos(－2640°＋2880°)＋tan(1665°－1620°)＝sin150°＋cos240°＋tan45°＝sin30°－cos60°＋1＝12－12＋1＝1.14．已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝

35，则tanθ－π4＝________.答案－43解析因为θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cosθ＋π4＝45，所以tanθ－π4＝sinθ－π4c

osθ－π4＝－cosπ2＋θ－π4sinπ2＋θ－π4＝－cosθ＋π4sinθ＋π4＝－43.15．(2022·浙江名校协作

体检测)已知sin－π2－αcos－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sinα＝________，cosα＝________.答案3545解析sin－π2－αcos－7

π2＋α＝－cosα(－sinα)＝sinαcosα＝1225.∵0<α<π4，∴160<sinα<cosα.由sinαcosα＝1225，sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝35，cosα＝45.16．(2021·临沂一模)曲线y＝lnx－2x在x＝1处的切线的倾斜角

为α，则sinα＋π2＝________.答案1010解析y′＝1x＋2x2，y′|x＝1＝3，则tanα＝30<α<π2，∴sinα＋π2＝cosα＝132＋1＝1010.四、解答题17

．已知α为第三象限角，f(α)＝sinα－π2cos3π2＋αtan(π－α)tan(－α－π)sin(－α－π).(1)化简f(α)；(2)若cosα－3π2＝15，求f(α)的值．解(1)f(α)＝sin

α－π2cos3π2＋αtan(π－α)tan(－α－π)sin(－α－π)＝(－cosα)sinα(－tanα)(－tanα)sinα＝－cosα.(2)因为cosα－3π2＝15，所以－sinα＝15，从而sinα＝－15.又因为α为第三象限角，所以cosα＝

－1－sin2α＝－265，所以f(α)＝－cosα＝265.1718．已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值．(1)sinα－3cosαsinα＋cosα；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.解由已知得tanα＝12

.(1)sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝－53.(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tanαtan2α＋1＋2＝122＋12122＋1＋2＝135.19．(2

022·湖南郴州质检)已知－π2<α<0，且函数f(α)＝cos3π2＋α－sinα1＋cosα1－cosα－1.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝15，求sinαcosα和sinα－cosα的值．解(

1)f(α)＝sinα－sinα(1＋cosα)21－cos2α－1＝sinα＋sinα·1＋cosαsinα－1＝sinα＋cosα.(2)解法一：由f(α)＝sinα＋cosα＝15，平方可得sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝125，即2sinαcosα＝－2425，

∴sinαcosα＝－1225.又－π2<α<0，∴sinα<0，cosα>0，∴sinα－cosα<0.∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝4925，18∴sinα－cosα＝－75.解法二：联立方程si

nα＋cosα＝15，sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝－35，cosα＝45或sinα＝45，cosα＝－35.∵－π2<α<0，∴sinα＝－35，cosα＝45，∴sinαcosα＝－1225，sinα－cosα＝－75

.20．是否存在α∈－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cosπ2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解存在．由sin()3π－α＝2c

osπ2－β得sinα＝2sinβ，①由3cos(－α)＝－2cos(π＋β)得3cosα＝2cosβ，②∴sin2α＋3cos2α＝2(sin2β＋cos2β)＝2，∴1＋2cos2α＝2，∴cos2α＝12，又α∈－π2，π2，∴cosα

＝22，从而α＝π4或－π4，当α＝π4时，由①知sinβ＝12，由②知cosβ＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，当α＝－π4时，由①知sinβ＝－12，19与β∈(0，π)矛盾，舍去．∴存在α＝π4，β＝π6，符合题意．