【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第5章 第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式 含解析【高考】.doc，共(18)页，225.500 KB，由小赞的店铺上传

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1第3讲简单的三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式公式名公式二倍角的正弦sin2α＝072sinαcosα二倍角的余弦cos2α＝08cos2α－sin2α＝091－2sin2α＝102cos2α－1二倍角的正切tan2α＝112t

anα1－tan2α3．半角公式sinα2＝12±1－cosα2，cosα2＝13±1＋cosα2，tanα2＝14±1－cosα1＋cosα.1．公式的常用变式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；tanαtanβ＝1－tanα＋

tanβtan(α＋β)＝tanα－tanβtan(α－β)－1.22．降幂公式：sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1＋cos2α2；sinαcosα＝12sin2α.3．升幂公式：1＋cosα＝2cos2α2；1－cosα＝2sin2α2；1＋sinα＝sinα2

＋cosα22；1－sinα＝sinα2－cosα22.4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；π4＋α＝π2－

π4－α等．5．辅助角公式：一般地，函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tanφ＝ba或f(α)＝a2＋b2cos(

α－φ)其中tanφ＝ab.1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B．32C．－12D．12答案D解析原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12.2．(2021·全国乙卷)cos2π12－c

os25π12＝()A．12B．33C．22D．32答案D解析cos2π12－cos25π12＝cos2π12－cos2π2－π12＝cos2π12－sin2π12＝cosπ6＝32，故选D.3．(多选)化简：35sinx＋335cosx＝

()3A．65sinx＋π3B．65sinx＋π6C．65cosx－π6D．65cosx－π3答案AC解析35sinx＋335cosx＝6512sinx＋32cosx＝65s

inx＋π3＝65cosπ2－x＋π3＝65cosx－π6.故选AC．4．(2020·全国Ⅱ卷)若sinx＝－23，则cos2x＝________.答案19

解析cos2x＝1－2sin2x＝1－2×－232＝1－89＝19.5．设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan(π－2α)＝________.答案－3解析因为sin2α＝－sinα，α∈

π2，π，所以cosα＝－12，α＝2π3，因此tan(π－2α)＝tanπ－4π3＝tan－π3＝－3.6．(2021·海口高考调研考试)已知α∈π2，π，且sinα＝45，则tanα＋π4的

值为________.答案－17解析因为α∈π2，π，且sinα＝45，所以cosα＝－1－452＝－35，tanα＝sinαcosα＝45－35＝－43.所以tanα＋π4

＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝－43＋11－－43×1＝－17.第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式4考向一公式的直接应用例1(1)若cosα＝－45，α是第三象限角，则sinα＋π4＝()A．7

210B．－7210C．－210D．210答案B解析∵α是第三象限角，∴sinα<0，且sinα＝－1－cos2α＝－1－－452＝－35，因此sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝－35×22＋－45×22＝－7210，故选

B.(2)(2021·武汉模拟)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α，β的终边分别与单位圆交于点Ax1，13，Bx2，23，其中x1<0<x2，则co

s(2α－β)＝()A．－75＋8227B．82－7527C．75－8227D．75＋8227答案C解析由题意可知sinα＝13，sinβ＝23，由x1<0<x2可知cosα＝－1－sin2α＝－223，cosβ

＝1－sin2β＝53，所以cos2α＝－2232－132＝79，sin2α＝2×13×－223＝－429，所以cos(2α－β)＝cos2αcosβ＋sin2αsinβ＝7

5－8227.(3)(2021·全国甲卷)若α∈0，π2，tan2α＝cosα2－sinα，则tanα＝()5A．1515B．55C．53D．153答案A解析解法一：因为tan2α＝sin2αcos2α＝2sinαco

sα1－2sin2α，且tan2α＝cosα2－sinα，所以2sinαcosα1－2sin2α＝cosα2－sinα，解得sinα＝14.因为α∈0，π2，所以cosα＝154，tanα＝sinαcosα＝1515.故选A．解法二：因

为tan2α＝2tanα1－tan2α＝2sinαcosα1－sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α－sin2α＝2sinαcosα1－2sin2α，且tan2α＝cosα2－sinα，所以2sinαcosα1－2sin2α＝cosα2－sinα，解得sinα＝14，因为α∈

0，π2，所以cosα＝154，tanα＝sinαcosα＝1515.故选A．三角函数公式的应用策略(1)熟悉各个公式的结构特征，明确待求目标能与哪个公式联系．(2)使用公式求值时，应先求出相关角相应的函数值，再代入公式求值．1.(2021

·沈阳模拟)已知点P的坐标为(1,1)，将向量OP→绕原点O逆时针方向旋转π3到OP′→的位置，则点P′的坐标为()A．1－32，1＋32B．1＋32，1－32C．－12，52D．－52，12答案A解析

由题意可得OP→＝(1,1)＝2cosπ4，sinπ4，将向量OP→绕原点O逆时针方向旋转π3得到OP′→，则OP′→＝2cosπ4＋π3，sinπ4＋π3＝22－64，2＋646＝1－32，1＋32，即点P′

的坐标为1－32，1＋32.故选A．2．(2020·全国Ⅲ卷)已知2tanθ－tanθ＋π4＝7，则tanθ＝()A．－2B．－1C．1D．2答案D解析∵2tanθ－tanθ＋π4＝7，∴2tanθ－tanθ＋1

1－tanθ＝7.令t＝tanθ，t≠1，则2t－1＋t1－t＝7，整理得t2－4t＋4＝0，解得t＝2，即tanθ＝2.故选D.考向二公式的逆用和变形用例2(1)tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°的值为()A．3B．33C．－33D．－3答案D解析

因为tan120°＝tan70°＋tan50°1－tan70°tan50°＝－3，所以tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°＝－3.故选D.(2)(2020·全国Ⅲ卷)已知sinθ＋sin

θ＋π3＝1，则sinθ＋π6＝()A．12B．33C．23D．22答案B解析由题意可得sinθ＋12sinθ＋32cosθ＝1，则32sinθ＋32cosθ＝1，32sinθ＋12cosθ＝33，从而有sinθcosπ6＋cosθsinπ6＝33，即sin

θ＋π6＝33.故选B.7(3)化简sin235°－12cos10°cos80°＝________.答案－1解析sin235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1.两角和与差及倍角公式的逆用和变

形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)和差角公式变形sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．(3)倍角公

式变形：降幂公式．3.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是()A．3B．1＋2C．2D．2(tan18°＋tan27°)答案C解析(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan1

8°·tan27°)＋tan18°tan27°＝2.4．设a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b＝22(sin56°－cos56°)，c＝1－tan239°1＋tan239°，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．a>c>b答案D8

解析由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°·cos127°＋sin50°sin127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝

cos77°＝sin13°，b＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－22cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°，c＝1－tan239°1＋tan239°＝1－sin239°cos239°1＋sin239°cos239°＝cos239°－sin239°＝cos78

°＝sin12°.因为函数y＝sinx，x∈0，π2为增函数，所以sin13°>sin12°>sin11°，所以a>c>b.考向三角的变换例3(1)(2021·齐齐哈尔二模)已知sinx－5π12＝13，则cos202

1π6－2x＝()A．23B．79C．89D．－23答案B解析因为sinx－5π12＝13，则cos2021π6－2x＝cos336π＋5π6－2x＝cos2x－5π6＝1－2sin2x－5π12＝1－2×19＝79.故选B.(2)(

2021·黑龙江大庆实验中学训练)已知α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝2425，则cosα＋π4＝________.答案－45解析由题意知α＋β∈3π2，2π，sin(α＋β)＝－35，所以cos(α＋β)

＝45.因为β－π4∈π2，3π4，sinβ－π4＝2425，所以cosβ－π4＝－725.则cosα＋π4＝cos(α＋β)－β－π4＝cos(α＋β)cosβ－π4＋sin(

α＋β)sinβ－π4＝－45.1．求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示．9(1)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)当“已知角”有

两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α＋β2－

α2＋β等．5.(2022·江苏南通期末)已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin2α等于()A．5665B．－5665C．1665D．－1

665答案B解析因为π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2，由cos(α－β)＝1213，得sin(α－β)＝513，由sin(α＋β)＝－35，得cos(α＋β)＝－45，则sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α

－β)sin(α＋β)＝513×－45＋1213×－35＝－5665.故选B.6．(2022·重庆摸底)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55，则cos2α＝________，

tan(α－β)＝________.答案－725－211解析因为tanα＝43＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，因此cos2α＝2cos2α－1＝－725.

因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2(α＋β)＝255，因此tan(α＋β)＝－2.10因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247，因此tan(α－β)＝tan[2α－

(α＋β)]＝tan2α－tan(α＋β)1＋tan2αtan(α＋β)＝－211.一、单项选择题1．(2022·河北秦皇岛月考)－sin133°cos197°－cos47°cos73°等于()A．12B．33C．22D．32答案

A解析原式＝－sin(180°－47°)cos(180°＋17°)－cos47°cos(90°－17°)＝sin47°cos17°－cos47°·sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12.2．(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(

0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝()A．53B．23C．13D．59答案A解析由3cos2α－8cosα＝5，得6cos2α－8cosα－8＝0，解得cosα＝－23或cosα＝2(舍去)．∵α∈(0，π)，∴sin

α＝1－cos2α＝53.故选A．3．(2021·烟台模拟)已知α∈(0，π)，2sin2α＝cos2α－1，则cosα＝()A．55B．－55C．255D．－255答案B11解析∵2sin2α＝cos2α－1，∴4sinαcosα＝－2sin2α.∵α∈(0，π)

，∴sinα>0,2cosα＝－sinα，∴cosα<0，结合sin2α＋cos2α＝1，得cosα＝－55.4．(2022·山东日照期末)已知sinα＝35，α∈π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为()A．－211B．211C．112D．－1

12答案A解析∵α∈π2，π，∴cosα＝－45，tanα＝－34，又tan(π－β)＝12，∴tanβ＝－12，∴tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝－34＋121＋－34×－1

2＝－211.5．(2021·威海一模)已知sin(β－α)cosβ－cos(α－β)sinβ＝35，α为第三象限角，则cosα＋π4＝()A．－210B．－7210C．210D．7210答案A解析∵sin(β－α)cosβ－

cos(α－β)sinβ＝sin[(β－α)－β]＝－sinα＝35，∴sinα＝－35，又α为第三象限角，则cosα＝－45，cosα＋π4＝cosαcosπ4－sinαsinπ4＝－45×22＋3

5×22＝－210.故选A．6．(2021·江苏镇江联考)已知sin(α＋15°)＝35，则cos(α－30°)＝()A．7210B．－21012C．7210或210D．7210或－210答案D解析∵sin(α＋15°)＝35，∴cos(α＋15°)＝45或－

45.当cos(α＋15°)＝45时，cos(α－30°)＝cos[(α＋15°)－45°]＝cos(α＋15°)cos45°＋sin(α＋15°)sin45°＝22×45＋35＝7210；当cos(α＋15°)＝－45时，cos(α－30°)＝cos[(α＋15°)－45°]＝

cos(α＋15°)cos45°＋sin(α＋15°)·sin45°＝22×－45＋35＝－210，∴cos(α－30°)＝7210或－210，故选D.7．(2021·湖南长沙一中调研)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin

2α＋π3的值为()A．1225B．2425C．－2425D．－1225答案B解析∵α为锐角，即0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3，又cosα＋π6＝45，∴sinα＋π6＝1－cos2α＋π6＝35，∴sin

2α＋π3＝sin2α＋π6＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2×35×45＝2425，故选B.8．(2021·新余四模)已知角θ的顶点与原点重合，始边与

x轴非负半轴重合，若M(－1，y)是角θ终边上一点，且tan2θ＋π4＝7，则y＝()A．－13B．3C．－13或3D．13或－3答案C13解析因为M(－1，y)是角θ终边上一点，所以tanθ＝－y，又t

an2θ＋π4＝7，即tan2θ＋11－tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＋11－2tanθ1－tan2θ＝7，整理可得3tan2θ＋8tanθ－3＝0.解得tanθ＝－3或13，则y＝3或－13.

故选C．二、多项选择题9．下列四个等式中正确的是()A．tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°＝3B.tan22.5°1－tan222.5°＝1C．cos2π8－sin2π8＝12D.1sin10°－3cos10°

＝4答案AD解析A项，∵tan(25°＋35°)＝tan25°＋tan35°1－tan25°tan35°＝3，∴tan25°＋tan35°＝3(1－tan25°tan35°)＝3－3tan25°tan35°，∴tan25°＋tan35°＋3

tan25°tan35°＝3，正确；B项，∵tan45°＝2tan22.5°1－tan222.5°＝1，∴tan22.5°1－tan222.5°＝12，错误；C项，cos2π8－sin2π8＝cos2×π8＝cosπ4＝22，错误

；D项，1sin10°－3cos10°＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝2(sin30°cos10°－cos30°sin10°)12×2sin10°cos10°＝

2sin20°12sin20°＝4，正确．故选AD.10．(2021·聊城质检)下列各式中，值为14的是()14A．sinπ12sin5π12B．13－23cos215°C．1sin50°＋3cos50°D．cos72°cos36°答案AD解析对于A，sinπ12s

in5π12＝sinπ12cosπ12＝12sinπ6＝14；对于B，13－23cos215°＝13(1－2cos215°)＝－13cos30°＝－36≠14；对于C，1sin50°＋3cos50°＝cos50°＋3sin50°sin50°cos50°＝21

2cos50°＋32sin50°12sin100°＝2sin(30°＋50°)12sin100°＝4≠14；对于D，cos72°cos36°＝2sin36°cos36°cos72°2sin36°＝sin72°cos72°2sin36°＝12sin144°2sin36°＝14.故选AD.

11．(2022·福建厦门质检)已知α，β，γ∈0，π2，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则下列说法正确的是()A．cos(β－α)＝12B．cos(β－α)＝－12C．β－α＝

π3D．β－α＝－π3答案AC解析由已知得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.两式分别平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴c

os(β－α)＝12，∴A正确，B错误；∵sinγ＝sinβ－sinα>0，α，β∈0，π2，∴β>α，∴β－α＝π3，∴C正确，D错误．故选AC．12．(2021·河北张家口模拟)已知tan(α＋β)＝tanα＋tanβ，其中α≠kπ2(k∈Z)且β≠mπ2(m∈Z)，则下列结

论一定正确的是()A．sin(α＋β)＝015B．cos(α＋β)＝1C．sin2α2＋sin2β2＝1D．sin2α＋cos2β＝1答案AD解析∵tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝tanα＋t

anβ，∴tanα＋tanβ＝0或1－tanαtanβ＝1，∴α＋β＝nπ(n∈Z)或者α＝kπ(k∈Z)或β＝mπ(m∈Z)，又α≠kπ2(k∈Z)，β≠mπ2(m∈Z)，∴α＋β＝nπ(n∈Z)，且α≠kπ2

(k∈Z)，β≠mπ2(m∈Z)．对于A，sin(α＋β)＝sin(nπ)＝0(n∈Z)，故A正确；对于B，由于cos(α＋β)＝cos(nπ)＝±1(n∈Z)，故B错误；对于C，sin2α2＋sin2β2＝sin2nπ2－β2＋sin2β2(n∈Z)，当n为偶数时，s

in2α2＋sin2β2＝sin2nπ2－β2＋sin2β2＝sin2β2＋sin2β2＝2sin2β2≠1，故C错误；对于D，sin2α＋cos2β＝sin2(nπ－β)＋cos2β＝sin2β＋cos2β＝1(n

∈Z)，故D正确．三、填空题13．(2021·泰安三模)已知2sin2α＝cosα＝sinβ，且α，β∈－π2，π2，则cos(2α＋β)＝________.答案－14解析由2sin2α＝cosα，得4sinαcosα＝cosα，因为α∈－π2，π2，所

以sinα＝14，α∈0，π2，所以cosα＝sinβ＝154，所以α＋β＝π2，所以cos(2α＋β)＝－sinα＝－14.14．(2022·山东德州模拟)已知cosα＋π6－sinα＝435，则s

inα＋11π6＝________.答案－4516解析由cosα＋π6－sinα＝32cosα－12sinα－sinα＝32cosα－32sinα＝312cosα－32sinα＝3s

inπ6－α＝435，得sinπ6－α＝45.sinα＋11π6＝－sin2π－α＋11π6＝－sinπ6－α＝－45.15．(2021·甘肃、青海、宁夏联考)若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，则tan(α＋β

)＝________，tanα＝________.答案－112解析∵tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝tan(α＋2β)－tanβ1＋tan(α＋2β)tanβ＝2－(－3)1＋2×(－3)

＝－1.tanα＝tan(α＋β－β)＝－1－(－3)1＋(－1)×(－3)＝12.16．(2021·南京模拟)若λsin160°＋tan20°＝3，则实数λ的值为________.答案4解析由λsin160°＋tan20°＝3，得λsin20°＋sin20°cos20°＝λsin

20°cos20°＋sin20°cos20°＝λsin40°＋2sin20°2cos20°＝3，所以λsin40°＋2sin20°＝23cos20°，即λsin40°＝23cos20°－2sin20°＝4sin(60°－20°)＝4sin40°，所以λ＝4.四、解答题17

．已知α∈π2，π，sinα＝55.(1)求sinπ4＋α的值；(2)求cos5π6－2α的值．解(1)因为α∈π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－1－sin2α＝－255.故sin

π4＋α＝sinπ4cosα＋cosπ4sinα＝22×－255＋22×55＝－1010.17(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×55×－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，所以

cos5π6－2α＝cos5π6cos2α＋sin5π6sin2α＝－32×35＋12×－45＝－4＋3310.18．(2022·辽宁朝阳月考)已知tanα＝2.(1)求tanα－π4的值；(2

)求sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1的值．解(1)tanα－π4＝tanα－tanπ41＋tanαtanπ4＝2－11＋2＝13.(2)sin2αsin2α＋sinαco

sα－cos2α－1＝2sinαcosαsin2α＋sinαcosα－(2cos2α－1)－1＝2sinαcosαsin2α＋sinαcosα－2cos2α＝2tanαtan2α＋tanα－2＝2×222＋2－2＝1.19．已知0<α<π2<β<π，cos

β－π4＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)求cosα＋π4的值．解(1)解法一：因为cosβ－π4＝cosπ4cosβ＋sinπ4sinβ＝22cosβ＋22sinβ＝13，所以cosβ＋sinβ＝23，所以1＋s

in2β＝29，所以sin2β＝－79.18解法二：sin2β＝cosπ2－2β＝2cos2β－π4－1＝－79.(2)因为0<α<π2<β<π，所以π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2.所以sinβ－π4>0，cos(α＋

β)<0，所以sinβ－π4＝223，cos(α＋β)＝－35.所以cosα＋π4＝cos(α＋β)－β－π4＝cos(α＋β)cosβ－π4＋sin(α＋β)sinβ－π4＝－35×13＋45×223＝82－315.