【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第5章 第4讲　三角函数的图象与性质 含解析【高考】.doc，共(24)页，314.500 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1第4讲三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，

0)；在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域01x∈R02x∈R03x|

x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z值域04[－1,1]05[－1,1]06R单调性在07－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上递增；在08在09[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上递增；在10[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上递减在1

1－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上递增2π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上递减最值x＝12π2＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝13－π2＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1x＝142

kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝15π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1无最值奇偶性16奇17偶18奇对称性对称中心19(kπ，0)，k∈Z20kπ＋π2，0，k∈Z21kπ2

，0，k∈Z对称轴22直线x＝kπ＋π2，k∈Z23直线x＝kπ，k∈Z无对称轴最小正周期242π252π26π1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)和y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期T＝2π|ω|，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠

0)的最小正周期T＝π|ω|.函数y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acos(ωx＋φ)|，y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期均为T＝π|ω|.函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b

≠0)的周期均为T＝2π|ω|.2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．3．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝A

cosωx＋b的形式．4．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则：3(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．1．函数y＝tan

π4－x的定义域是()A．x|x≠π4B．x|x≠－π4C．x|x≠kπ＋π4，k∈ZD．x|x≠kπ＋3π4，k∈Z答案D解析y＝tanπ4－x＝－tanx－π4

，由x－π4≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠kπ＋3π4，k∈Z.故选D.2．函数y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是()答案B解析当x＝0时，y＝1；当x＝π2时，y＝0；当x＝π时，y＝1；当x＝3π2时，y＝2；当x＝2π时，y＝1.结合正弦函数的图象可知B正

确．故选B.3．下列函数中，周期为2π的奇函数为()A．y＝sinx2cosx2B．y＝sin2xC．y＝tan2xD．y＝sin2x＋cos2x4答案A解析y＝sin2x为偶函数；y＝tan2x的周期为π2；y＝sin2x＋cos2x为非

奇非偶函数，故B，C，D都不正确．故选A．4．(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sinx－π6单调递增的区间是()A．0，π2B．π2，πC．π，3π2D．

3π2，2π答案A解析令－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π3＋2kπ≤x≤2π3＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－π3≤x≤2π3.因为0，π2－π3，2π3，所以区间0，π2是函数

f(x)的单调递增区间．故选A．5．(多选)(2021·银川三模)已知函数f(x)＝cos2x＋π3，则下列说法正确的是()A．f(x)的最小正周期是πB．f(x)的图象关于点－5π12，0对称

C．f(x)在－π6，π3上为减函数D．f(x)的图象关于直线x＝π12对称答案ABC解析对于函数f(x)＝cos2x＋π3，它的最小正周期为2π2＝π，故A正确；令x＝－5π12，求得f(x)＝0，可得f(x)的图象关于点－

5π12，0对称，故B正确；当x∈－π6，π3时，2x＋π3∈[0，π]，故f(x)在－π6，π3上为减函数，故C正确；令x＝5π12，求得f(x)＝0，故f(x)的图象不关于直线x＝π12对称，故D错误．故选ABC．6．函数

y＝3－2cosx＋π4的最大值为________，此时x＝________.答案53π4＋2kπ(k∈Z)解析函数y＝3－2cosx＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x＋π4＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝3π4＋2kπ(k∈Z

)．考向一三角函数的定义域和值域例1(1)函数y＝cosx－32的定义域为()A．－π6，π6B．kπ－π6，kπ＋π6(k∈Z)C．2kπ－π6，2kπ＋π6(k∈Z)D．R答案C解析由cosx－32≥0，得cosx≥32，∴2kπ－π6≤x≤2kπ＋π6，k

∈Z.(2)函数y＝lgsin2x＋9－x2的定义域为________.答案－3，－π2∪0，π2解析由sin2x＞0，9－x2≥0，得kπ＜x＜kπ＋π2，k∈Z，－3≤x≤3.∴－3≤x＜－π2或0＜x＜π2.∴函数y＝lgsin2x＋9－x2的定义

域为－3，－π26∪0，π2.(3)(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________.答案－4解析∵f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2co

s2x－3cosx＋1＝－2cosx＋342＋178，－1≤cosx≤1，∴当cosx＝1时，f(x)有最小值－4.(4)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的最大值与最小值的差为________.答案2解析令t＝sinx－cosx，又x∈[0，π]，∴t

＝2sinx－π4，t∈[－1，2]．由t＝sinx－cosx，得t2＝1－2sinxcosx，即sinxcosx＝1－t22.∴原函数变为y＝t＋1－t22，t∈[－1，2]．即y＝－12t2＋t

＋12.∴当t＝1时，ymax＝－12＋1＋12＝1；当t＝－1时，ymin＝－12－1＋12＝－1.故函数的最大值与最小值的差为2.1．三角函数定义域的求法(1)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)．(2)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单

位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴．(3)对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集．2．三角函数值域的求法(1)利用y＝sinx和y＝cosx的值域直接求．(2)把所给的三角函数式变换成

y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)的形式求值域．(3)把sinx或cosx看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域，如y＝asin2x＋bsinx＋c，可先设sinx＝t，转换为关于t的二次函数求值域．7(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系将原函数

转换成二次函数求值域．1.(2021·新乡三模)已知函数f(x)＝4sin2x－π6＋1的定义域是[0，m]，值域为[－1,5]，则m的最大值是()A．2π3B．π3C．π6D．5π6答案A解析∵x∈[0，m]，∴2x－

π6∈－π6，2m－π6.∵f(x)的值域为[－1,5]，∴π2≤2m－π6≤7π6，解得π3≤m≤2π3，∴m的最大值为2π3.故选A．2．函数y＝lg(sinx－cosx)的定义域是________.答案x|π4＋2kπ<x<5π4＋2kπ，k∈Z解析要使函数有

意义，必须使sinx－cosx>0.利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示：在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，在π4，5π4内sinx>c

osx，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为x|π4＋2kπ<x<5π4＋2kπ，k∈Z.考向二三角函数的单调性例2(1)(2021·临汾模拟)已知θ＝π3，则下列各数中最大的是()A．sin(sinθ)B．sin(cosθ)C．cos(sinθ)D．cos(cosθ)答案

D解析当θ＝π3时，sinθ＝32，cosθ＝12，则sin(sinθ)＝sin32＝cosπ2－32，8sin(cosθ)＝sin12＝cosπ2－12，cos(sinθ)＝cos32，cos(cosθ)＝cos12.∵0<12<π2－32<32<π2

－12<π，且函数y＝cosx在(0，π)上单调递减，∴cos12>cosπ2－32>cos32>cosπ2－12，即最大的是cos12，即cos(cosθ)，故选D.(2)函数y＝2sin

π6－2x(x∈[0，π])的单调递增区间是()A．0，π3B．π12，7π12C．π3，5π6D．5π6，π答案C解析y＝2sinπ6－2x＝－2sin2x－π6，由π2＋2kπ≤

2x－π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π3＋kπ≤x≤5π6＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间为π3＋kπ，5π6＋kπ，k∈Z，∴当k＝0时，单调递增区间为π3，5π6.(3)已知ω>0，函数f(x)＝cosωx＋π4在

π2，π上单调递增，则ω的取值范围是________.答案32，74解析函数y＝cosx的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，则ωπ2＋π4≥－π＋2kπ，ωπ＋π4

≤2kπ，k∈Z，解得4k－52≤ω≤2k－14，k∈Z，又由4k－52－2k－14≤0且4k－52>0，k∈Z，得k＝1，所以ω∈32，74.1．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式(如ωx＋φ)整体当作一个角，利用基本

三角函数(y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx)的单调性列不等式9求解．(2)图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间．提醒：要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫忘记考虑函数自身的定义

域．2．利用单调性确定ω的范围的方法对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解，另外，若是选择题，利用特值验证、排除法求

解更为简便．3．比较三角函数值大小的方法先统一为同名的三角函数，然后利用诱导公式把角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．3.(2022·山东济南质检)已知函数f(x)＝2cos

x＋π6，设a＝fπ7，b＝fπ6，c＝fπ4，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．b>a>c答案A解析由2kπ≤x＋π6≤2kπ＋π，k∈Z得2kπ－π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z.所以f(x

)＝2cosx＋π6的单调递减区间为2kπ－π6，2kπ＋5π6(k∈Z)，所以f(x)在0，π2上单调递减，所以fπ7>fπ6>fπ4，即a>b>c.4．(2022·山东德州开学考试)函数y＝|tan

x|的单调递增区间为________，单调递减区间为________.答案kπ，kπ＋π2，k∈Zkπ－π2，kπ，k∈Z解析作出函数y＝|tanx|的图象，如图．10观察图象可知，函数y＝|tanx|的单调递增区间为kπ，kπ＋π2，k∈Z，单调递减区间

为kπ－π2，kπ，k∈Z.5．(2022·新余期末)若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝________.答案32解析∵f(x)＝sinωx(ω>0)的图象过原点，∴当0

≤ωx≤π2，即0≤x≤π2ω时，y＝sinωx单调递增；当π2≤ωx≤3π2，即π2ω≤x≤3π2ω时，y＝sinωx单调递减．由f(x)＝sinωx(ω>0)在0，π3上单调递增，在π3，π2上单调递减，知T

4＝2π4ω＝π3，∴ω＝32.多角度探究突破考向三三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度三角函数的周期性例3(1)(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sinx3＋cosx3的最小正周期和最大值分别是()

A．3π和2B．3π和2C．6π和2D．6π和2答案C解析由f(x)＝sinx3＋cosx3可得f(x)＝2sinx3＋π4，故函数f(x)的最小正周期为T＝2π13＝6π，最大值为2，故选C．11(2)函数f(x)＝sin2x＋|sin2x|的周期为______

__.答案π解析作出函数f(x)的大致图象，如图所示．根据图象可知f(x)为周期函数，最小正周期为π.若求最小正周期，可把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的形式，则最小正周期为T＝2π|ω|；三角函数式y＝Atan

(ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期为T＝π|ω|.求含有绝对值符号的三角函数的周期时，可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．6.(2021·广东汕头模拟)函数y＝sin2x＋π6＋cos2x－π3的最小正周期为()A．π2B．2π3

C．πD．2π答案C解析∵2x＋π6－2x－π3＝π2，∴2x＋π6＝π2＋2x－π3，∴y＝sin2x＋π6＋cos2x－π3＝2cos2x－π3.∴所求函数的最小正

周期为2π2＝π.7．若函数f(x)＝2tankx＋π3的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________.答案2或3解析由题意知1＜πk＜2，即k＜π＜2k.又k∈N，所以k＝2或k＝3.角度三角函数的奇偶性12例4已知函数y＝2

sinx＋θ＋π3θ∈－π2，π2是偶函数，则θ的值为()A．0B．π6C．π4D．π3答案B解析因为函数y＝2sinx＋θ＋π3为偶函数，所以θ＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)．又θ∈－π2，π2，所以θ＋π3＝π2，解得θ＝

π6，经检验符合题意．故选B.三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象的性质，对y＝Asin(ωx＋φ)，代入x＝0，若y＝0，则为奇函数，若y为最大值或最小值，则为偶函数．8.若函数y＝3cos2x－π3＋

φ为奇函数，则|φ|的最小值为________.答案π6解析依题意得，－π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，φ＝kπ＋5π6(k∈Z)，因此|φ|的最小值是π6.角度三角函数的对称性例5(1)(2021·云南、贵州、四川、

广西四省模拟)已知函数f(x)＝tanx－sinxcosx，则()A．f(x)的最小正周期为2πB．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的图象不关于π2，0对称D．f(x)的图象关于(π，0)对称答案D解析因为f(x＋π)＝f(x)，所以

f(x)的最小正周期不是2π，故A错误；因为f(－x)＝－f(x)≠f(x)，所以f(x)是奇函数，其图象不关于y轴对称，故B错误；因13为f(π－x)＝－tanx＋sinxcosx＝－f(x)，所以f(x)的图象关于π2，0对称，故

C错误；因为f(2π－x)＝－tanx＋sinxcosx＝－f(x)，所以f(x)的图象关于(π，0)对称，故D正确，故选D.(2)已知函数f(x)＝2sinωx＋π6(ω>0)的最小正周期为π，则下列说法正确的是()A．函数f(x)的图象关于点π6，0对称B．函

数f(x)的图象关于点－π12，0对称C．函数f(x)的图象关于直线x＝π3对称D．函数f(x)的图象关于直线x＝－π12对称答案B解析设函数f(x)的最小正周期为T，依题意得T＝2πω＝π，ω

＝2，f(x)＝2sin2x＋π6.fπ6＝2sinπ3＋π6＝2≠0，因此函数f(x)的图象不关于点π6，0对称，A不正确；f－π12＝2s

in－π6＋π6＝0，因此函数f(x)的图象关于点－π12，0对称，B正确，D不正确；fπ3＝2sin2π3＋π6＝1≠±2，因此函数f(x)的图象不关于直线x＝π3对称，C不正确．故选B.求函数y＝Asin

(ωx＋φ)图象的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题(1)∵y＝sinx图象的对称中心是(kπ，0)，k∈Z，∴y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称中心，由方程ωx＋φ＝kπ，k∈Z解出x即可．(2)∵y＝sinx图象的对称轴是直线x＝kπ＋π2，k∈Z，∴由ωx＋φ＝kπ＋π

2，k∈Z解出x，即可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴．(3)注意y＝tanx图象的对称中心为kπ2，0(k∈Z)．149.(2020·全国Ⅲ卷)关于函数f(x)＝sinx＋1sinx有如下四个命题：①f(x)的图象关于y轴对称；②f(x)的图象关于原

点对称；③f(x)的图象关于直线x＝π2对称；④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是________.答案②③解析函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称，f(－x)＝sin(－x)＋1sin(－x)＝－sinx

－1sinx＝－sinx＋1sinx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，命题①错误，命题②正确；对于命题③，因为fπ2－x＝sinπ2－x＋1sinπ2

－x＝cosx＋1cosx，fπ2＋x＝sinπ2＋x＋1sinπ2＋x＝cosx＋1cosx，则fπ2－x＝fπ2＋x，所以函数f(x)的图象关于直线x＝π2对称，命题③正确；对于命题④，当－π＜x＜0

时，sinx＜0，则f(x)＝sinx＋1sinx＜0＜2，命题④错误．一、单项选择题1．函数f(x)＝ln(cosx)的定义域为()A．x|kπ－π2<x<kπ＋π2，k∈ZB.{}x|kπ<x<kπ＋π，k∈ZC．x|2kπ－π2<x<2kπ＋π2，k∈ZD.{}x|2

kπ<x<2kπ＋π，k∈Z答案C解析由cosx>0解得2kπ－π2<x<2kπ＋π2，k∈Z.所以函数f(x)＝ln(cosx)的定义15域为x|2kπ－π2<x<2kπ＋π2，k∈Z.2．y＝|tanx|cosx0≤x<3π2，

x≠π2的图象是()答案D解析y＝|tanx|cosx＝sinx，0≤x<π2或π≤x<3π2，－sinx，π2<x<π，结合选项可知选D.3．(2022·湖南长沙长郡中学月考)已知f(x)＝2cosx，x∈[m，n]，则“存

在x1，x2∈[m，n]使得f(x1)－f(x2)＝4”是“n－m≥π”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由于f(x)＝2cosx在R上的最大值为2，

最小值为－2，且相邻的最大值与最小值之间的水平距离为半个周期，即π，所以若存在x1，x2∈[m，n]使得f(x1)－f(x2)＝4，则必有n－m≥π，但反之不成立，比如m＝－2π3，n＝2π3时，n－m＝4π3>π，但f(x)在[m，n]上的最大值为2，最小值为－1，x1，x2∈[m，n

]时，f(x1)－f(x2)的最大值为3，不可能等于4.所以“存在x1，x2∈[m，n]使得f(x1)－f(x2)＝4”是“n－m≥π”的充分不必要条件．故选A．4．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线段长为π4

，则fπ12的值是()16A．0B．33C．1D．3答案D解析由条件可知，f(x)的周期是π4.由πω＝π4，得ω＝4，所以fπ12＝tan4×π12＝tanπ3＝3.5．若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝

()A．π2B．2π3C．3π2D．5π3答案C解析∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，即直线x＝0为其对称轴．∴φ3＝π2＋kπ(k∈Z)，∴φ＝3kπ＋3π2(k∈Z)，∵φ∈[0,2π]，∴φ＝

3π2.故选C．6．(2021·广东江门一模)若f(x)＝sin2x－π4，则()A．f(1)>f(2)>f(3)B．f(3)>f(2)>f(1)C．f(2)>f(1)>f(3)D．f(1)>f(3)>f(2)答案A解析由π2≤2x－π4≤

3π2，可得3π8≤x≤7π8，所以函数f(x)在区间3π8，7π8上单调递减．由于1<3π8<2，且3π8－1<2－3π8，故f(1)>f(2)．由于3π8<2<7π8<3，且7π8－2>3－7π8，故f(2)>f(3)．所以f(1)>f(2)

>f(3)．故选A．7．(2021·天津市和平区模拟)函数f(x)＝cos2x的导函数为f′(x)，则函数g(x)＝23f(x)＋f′(x)在x∈[0，π]内的单调递增区间是()A．0，π2B．π2，π17C．5π12，11π

12D．5π12，π答案C解析f′(x)＝－2sin2x，∴g(x)＝23cos2x－2sin2x＝4cos2x＋π6，由－π＋2kπ≤2x＋π6≤2kπ，k∈Z，得－7π12＋kπ≤x≤－π12＋kπ，k∈Z，令k＝1得5π12≤x≤11π12，∴g(x)在x∈[0，

π]内的单调递增区间是5π12，11π12.故选C．8．(2021·榆林四模)已知函数f(x)＝cosωx＋φ－π6cosωx＋φ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，且曲线y＝f(x)关于直线x＝π8对称，则|φ|的最小值为()A．π6B．5π24C．7π24

D．π3答案B解析∵ωx＋φ＋π3＝ωx＋φ－π6＋π2，∴f(x)＝cosωx＋φ－π6cosωx＋φ－π6＋π2＝－sinωx＋φ－π6cosωx＋φ－π6＝－12sin2ωx＋2φ－π3.∵f(x)的最小正

周期是π，∴2π2ω＝π，∴ω＝1，则f(x)＝－12sin2x＋2φ－π3.∵曲线y＝f(x)关于直线x＝π8对称，∴2×π8＋2φ－π3＝kπ＋π2，k∈Z，∴2φ＝kπ＋7π12，k∈Z，即φ＝kπ2＋7π24，k∈Z，则当k＝0时，

|φ|＝7π24，当k＝－1时，|φ|＝5π24，则|φ|的最小值为5π24，故选B.二、多项选择题9．(2021·龙岩三模)已知两个函数f(x)＝tanx2和g(x)＝1－cosxsinx，下列说法正确的是()A．两个函数的

定义域相同B．两个函数都是奇函数18C．两个函数的周期相同D．两个函数的值域相同答案BC解析对于A，f(x)的定义域为x|x2≠kπ＋π2，k∈Z＝{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，而g(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，所以A不正确；对于B，因为f(－x)＝tan－x

2＝－tanx2＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，又g(－x)＝1－cos(－x)sin(－x)＝1－cosx－sinx＝－g(x)，则g(x)也为奇函数，所以B正确；对于C，因为f(x＋2π)＝tanx＋2π

2＝tanx2＋π＝tanx2＝f(x)，所以f(x)的周期为2π；又g(x＋2π)＝1－cos(x＋2π)sin(x＋2π)＝1－cosxsinx＝g(x)，则g(x)的周期也为2π，所以C正确；对于D，因为f(0)＝0，而g(x)≠0，所以两个函数值域不

相同，所以D不正确．故选BC．10．(2021·泰安模拟)下列关于函数y＝tan2x＋π3的说法正确的是()A．在区间－5π12，π12上单调递增B．最小正周期是πC．图象关于点π12，0成中心对称D．图象关于直线x＝－5π12对称答案AC解析对于A，

当x∈－5π12，π12时，2x＋π3∈－π2，π2，所以函数y＝tan2x＋π3在－5π12，π12上单调递增，A正确；对于B，函数y＝tan2x＋π3的最小正周期为T＝π2，所以B错误

；对于C，当x＝π12时，2x＋π3＝π2，所以函数y＝tan2x＋π3的图象关于点π12，0对称，C正确；对于D，正切型函数y＝tan2x＋π3的图象没有对称轴，所以D错误．故选AC．11．(2019·全国Ⅰ卷改编)关于函数f(x)＝|sinx

|＋sin|x|，下述四个结论正确的19是()A．f(x)是偶函数B．f(x)在区间－π2，0上单调递减C．f(x)在[－π，π]上有4个零点D．f(x)的最大值为2答案ABD解析对于A，由f(－x)＝|sin(－x)|＋sin|－x|＝|sinx|＋sin|x|＝f(x)

，可得f(x)为偶函数，故A正确；对于B，当x∈－π2，0时，f(x)＝|sinx|＋sin|x|＝－sinx－sinx＝－2sinx，所以f(x)在区间－π2，0上单调递减，故B正确；对于C，当x∈[0，π]时，f(x)＝|sinx|

＋sin|x|＝sinx＋sinx＝2sinx，当x＝0或x＝π时，f(x)＝0，又因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)在[－π，π]上有3个零点：－π，0，π，故C错误；对于D，由|sinx|≤1，sin|x|≤1可得f(x)＝|sinx|＋sin|x|≤2

，因为fπ2＝|sinπ2|＋sin|π2|＝2，所以f(x)的最大值为2，故D正确．故选ABD.12．(2022·济南市高三上学期期末)声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模

型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sinx＋12sin2x，则下列结论正确的是()A．2π是f(x)的一个周期B．f(x)在[0,2π]上有3个零点C．f(x)的最大值为334D．f(x)在

0，π2上是增函数答案ABC解析因为f(x)＝sinx＋12sin2x.y＝sinx的周期是2π，y＝12sin2x的周期是2π2＝π，20所以f(x)＝sinx＋12sin2x的周期是2π，故A正确；当f(x)＝si

nx＋12sin2x＝0，x∈[0,2π]时，sinx＋sinxcosx＝0，sinx(1＋cosx)＝0，sinx＝0或1＋cosx＝0，解得x＝0或x＝π或x＝2π，所以f(x)在[0,2π]上有3个零点，故B正确；f′(x)＝cosx＋cos2x＝2cos2x＋cosx－1＝(2

cosx－1)(cosx＋1)，cosx＋1≥0，当12<cosx≤1，即－π3＋2kπ<x<π3＋2kπ(k∈Z)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当－1≤cosx<12，即π3＋2kπ<x≤5π3＋2kπ(k∈Z)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减．所以当x＝π3＋2kπ(k∈Z)时

，f(x)取得最大值，f(x)max＝32＋12×32＝334，故C正确；由以上分析可知，当x∈0，π3时，f(x)单调递增，当x∈π3，π2时，f(x)单调递减，故D错误．故选ABC．三、填空题13．(2021·新高考八省联考)写出一个最

小正周期为2的奇函数f(x)＝_______.答案sinπx(答案不唯一)解析由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数f(x)＝Asinωx(A≠0，ω>0)，满足f(－x)＝－Asinωx＝－f(x)，即是奇函数；根

据最小正周期T＝2πω＝2，可得ω＝π.故函数可以是f(x)＝Asinπx(A≠0)中任一个，可取f(x)＝sinπx.14．(2021·辽宁沈阳皇姑区校级四模)已知x∈0，π2，函数y＝3cosx的图象与

函数y＝8tanx的图象交于点P，点P在x轴上的垂足为P1，直线PP1交y＝sinx的图象于点P2，则|P1P2|＝________.答案13解析设点P的横坐标为x0，则3cosx0＝8tanx0，∴3cos2x0＝8sinx0，即3(1－sin2x0)＝8sinx0，求得sin

x0＝13或sinx0＝－3(舍去)，则|P1P2|＝|sinx0|＝13.15．(2021·江西南昌模拟)已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω>0)，若f(x)在210，π2上恰有2个极值点，则ω的取值范围为________.答案

83，143解析∵函数f(x)＝3sinωx＋cosωx＝2sinωx＋π6(ω>0)，f(x)在0，π2上恰有2个极值点，ωx＋π6∈π6，ωπ2＋π6，∴3π

2<ωπ2＋π6≤5π2，得83<ω≤143，则ω的取值范围为83，143.16．(2021·扬州模拟)已知f(x)＝sinπ3(x＋1)－3cosπ3(x＋1)，则f(x)的最小

正周期为________，f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)＝________.答案63解析依题意可得f(x)＝2sinπ3x，其最小正周期T＝6，且f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0，故f(1)＋f(2)＋…＋f(2020

)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝3.四、解答题17．已知函数f(x)＝sin2x－π3＋32.(1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称中心；(2)若f(x0)≤3，求x0的取值范围．解(1)f(

x)的最小正周期T＝π.由2x－π3＝kπ，k∈Z得x＝π6＋kπ2，k∈Z，故f(x)图象的对称中心为π6＋kπ2，32，k∈Z.(2)因为f(x0)≤3，所以sin2x0－π3＋32≤3，即sin2x0－π3≤32，所以－4π3＋2k

π≤2x0－π3≤π3＋2kπ，k∈Z，22即－π2＋kπ≤x0≤π3＋kπ，k∈Z.即x0的取值范围为x0|－π2＋kπ≤x0≤π3＋kπ，k∈Z.18．(2021·湖北武汉调研)已知函数f(x)＝2asin

x＋π4＋a＋b.(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．解(1)当a＝－1时，f(x)＝－2sinx＋π4＋b－1，由2kπ＋π2≤x＋π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得2

kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)．(2)因为0≤x≤π，所以π4≤x＋π4≤5π4，所以－22≤sinx＋π4≤1，依题意知a≠0.①当a>0时，有2a＋a＋b＝

8，b＝5，所以a＝32－3，b＝5；②当a<0时，有b＝8，2a＋a＋b＝5，所以a＝3－32，b＝8.综上所述，a＝32－3，b＝5或a＝3－32，b＝8.19．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x－π6＋cos2x＋π

6，x∈R.(1)求fπ12的值；(2)求函数f(x)在区间π2，π上的最大值和最小值，及相应的x的值；23(3)求函数f(x)在区间π2，π上的单调区间．解(1)∵f(x)＝2sinxcosx＋cos2x－π6＋cos2x＋π6＝sin

2x＋cos2xcosπ6＋sin2xsinπ6＋cos2xcosπ6－sin2xsinπ6＝sin2x＋3cos2x＝212sin2x＋32cos2x＝2sin2x＋π3，∴fπ12＝2sin2×π12＋π3＝2sinπ2＝2.

(2)∵π2≤x≤π，∴4π3≤2x＋π3≤7π3，∴－2≤f(x)≤3，当2x＋π3＝3π2时，x＝7π12，此时f(x)min＝f7π12＝－2，当2x＋π3＝7π3时，x＝π，此时f

(x)max＝f(π)＝3.(3)∵π2≤x≤π，∴4π3≤2x＋π3≤7π3，由正弦函数图象知，当4π3≤2x＋π3≤3π2时，即π2≤x≤7π12时，f(x)单调递减；当3π2≤2x＋π3≤7π3时，即7π12≤x≤π时，f(x

)单调递增．故函数f(x)在区间π2，π上的单调递减区间为π2，7π12，单调递增区间为7π12，π.20．(2021·衢州市高三模拟)设O为坐标原点，定义非零向量OM→＝(a，b)的“相24伴函数”为f(x)

＝asinx＋bcosx(x∈R)，向量OM→＝(a，b)称为函数f(x)＝asinx＋bcosx的“相伴向量”．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.(1)设函数h(x)＝2sinπ3－x－co

sπ6＋x，求证：h(x)∈S；(2)记OM→＝(0,2)的“相伴函数”为f(x)，若函数g(x)＝f(x)＋23|sinx|－1，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围．解(1)证明：因为h(x)＝2sinπ3－x－cos

π6＋x＝－12sinx＋32cosx，所以函数h(x)的相伴向量OM→＝－12，32，所以h(x)∈S.(2)由题意知af(x)＝2cosx，则g(x)＝2cosx＋23|sinx|－1＝4sinx＋π6－1，0≤x≤π

，4cosx＋π3－1，π<x≤2π，则g(x)在0，π3上单调递增，在π3，π上单调递减，在π，5π3上单调递增，在5π3，2π上单调递减，又g(0)＝

1，gπ3＝3，g(π)＝－3，g5π3＝3，g(2π)＝1，因为函数g(x)＝f(x)＋23|sinx|－1，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，所以实数k的取值范围为1≤k<3.