【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第5章 第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数 含解析【高考】.doc，共(20)页，1.035 MB，由管理员店铺上传

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1第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)任意角①一条射线绕其端点按01逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按02顺时针方向旋转形成的角叫做负角．②如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个03零角.(2)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的04终边

在第几象限，就说这个角是第几象限角．(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合05S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于06半径长的圆弧所对的圆心角叫

做1弧度的角，弧度单位记作rad.(2)公式①弧度与角度的换算：360°＝072π弧度；180°＝08π弧度．②弧长公式：l＝09|α|r.2③扇形面积公式：S扇形＝1012lr＝1112|α|r2.说明：②③公式中的α必须为弧度制！3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，α∈

R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝12y，cosα＝13x，tanα＝14yx(x≠0).(2)三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．任意角

的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．2．象限角3．轴线角4．重要结论若α∈

0，π2，则tanα>α>sinα.31．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案C解析①中－3π4是

第三象限角，故①错误；②中4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确；③中－400°＝－360°－40°，从而③正确；④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．故选C．2．(多选)(2021·武汉调研)关于角

度，下列说法正确的是()A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°B．钝角大于锐角C．三角形的内角必是第一或第二象限角D．若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角答案BD解析对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角度是－60°，故错误；对于B，钝角大于锐角

，显然正确；对于C，若三角形的内角为90°，是终边在y轴正半轴上的角，故错误；对于D，因为α是第二象限角，所以2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z，所以kπ＋π4<α2<kπ＋π2，k∈Z，α2是第一或第三象限角，故正确．故选BD.3．下列

与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)4B．k·360°＋9π4(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)答案C解析与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用

，所以只有选项C正确．4．若sinθcosθ<0，则角θ是()A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角答案D解析因为sinθcosθ<0，所以sinθ>0，cosθ<0或sinθ<0，cosθ>0.所以角θ是第二或第四象

限角．故选D.5．(2022·湖南常德月考)若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1，2)，则sinα－cosα＋tanα＝________.答案35－105解析由已知得r＝

(－1)2＋22＝5，所以sinα－cosα＋tanα＝yr－xr＋yx＝25－－15＋2－1＝35－2＝35－105.6．(2022·福州摸底)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是____

____.答案2解析由圆的几何性质可知，圆内接正方形的边长为2r，故弧长为2r的弧5所对的圆心角为2.考向一角的概念及表示例1(1)(2021·赤峰模拟)若角α的终边与240°角的终边相同，则α2的终边所在象限是()A．第二或第四象限B．第二或第三象限C．第一或第四

象限D．第三或第四象限答案A解析由已知得α＝k·360°＋240°，k∈Z.所以α2＝k·180°＋120°，k∈Z.所以α2的终边所在象限是第二或第四象限．(2)(2021·合肥模拟)若角α与β的终边关于x轴对称，则有()A．α＋β＝90°B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈ZC．α＋β＝2k

·180°，k∈ZD．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z答案C解析因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z.所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.(3)终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为_______

_.答案－5π3，－2π3，π3，4π3解析如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它的倾斜角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个，分别为π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个，分别为－2π3，－5π3.故满

足条件的角α构成的集合为6－5π3，－2π3，π3，4π3.1．终边相同角的集合的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求

得所需角．2．象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中作出已知角，并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为2kπ＋α(α∈[0,2π)，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所

在的象限判断已知角是第几象限角．3．求θn或nθ(n∈N*)所在象限的方法(1)将θ的范围用不等式(含有k，k∈Z)表示．(2)两边同除以n或乘n.(3)对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N*)所在的象限．提醒：注意用旋

转的观点理解角的加减运算．例如：k·180°＋60°(k∈Z)表示的角的终边可理解为60°角的终边逆时针(k>0)或顺时针(k<0)旋转180°的倍数而得到的．1.集合α|kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案C7解析当k＝2n(n∈Z)时，

2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样．故选C．2．与－2020°终

边相同的最小正角是________.答案140°解析因为－2020°＝(－6)×360°＋140°，所以140°与－2020°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有140°与－2020°终边相同，故与－2020°终边相同的最小正角是140°.考向二扇形

的弧长、面积公式例2已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l，(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)∵α＝60°＝π3rad，R＝10cm，∴扇形的弧长l＝α·R＝π3×10＝

10π3(cm)．(2)由题意得l＋2R＝20，∴l＝20－2R.∴S扇＝12lR＝12(20－2R)R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25.∴当R＝5cm时，S扇有最大值25cm2.此时l＝20－2×5＝10(cm)

，α＝lR＝105＝2rad.∴当α＝2rad时，扇形面积最大．弧长和扇形面积的计算方法(1)在弧度制下，记住下列公式①弧长公式：l＝|α|r；②扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的

圆心角，r是扇形的半径)．8(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．3.(多选)(2021·青岛模拟)已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，下列说法正确的有()A．扇形的

半径可能为2B．扇形的半径可能为1C．圆心角的弧度数可能是1D．圆心角的弧度数可能是2答案ABC解析设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则由题意得2r＋αr＝6，12αr2＝2，解得r

＝1，α＝4或r＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1.4．(2021·黑龙江省实验中学三模)密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单

位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写，密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“0-07”，478密位写成“4-78”.1周角等于6000密位，记作1周角＝60-00,1直角

＝15-00.如果一个半径为2的扇形，它的面积为7π5，则其圆心角用密位制表示为()A．12-50B．17-50C．21-00D．35-00答案C解析设扇形所对的圆心角为α，则12α×22＝7π5，解得α＝7π10，由题意可知，其密位大小为6000×7π102π＝2100，

故其圆心角用密位制表示为21-00.故选C．9多角度探究突破考向三三角函数的定义及其应用角度利用定义求三角函数的值例3(1)函数y＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P，则sinα＋cosα的值为()A

．75B．65C．55D．355答案D解析因为函数y＝loga(x－3)＋2的图象过定点P(4,2)，且角α的终边过点P，所以x＝4，y＝2，r＝25，所以sinα＝55，cosα＝255，所以sin

α＋cosα＝55＋255＝355.故选D.(2)若角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα和tanα的值．解设α终边上任一点为P(－4a,3a)，a≠0，当a>0时，r＝5a，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34；当a<0时，r＝－5a，

sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34.角度判断三角函数值的符号例4(1)sin2cos3tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在答案A解析∵π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4

＞0.∴sin2cos3tan4＜0.故选A．(2)(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则()A．cos2α>0B．cos2α<010C．sin2α>0D．sin2α<0答案D解析当α＝－π3时，cos2α＝cos－2π3＜0，A错误；当α＝－π6时，cos2α＝cos

－π3＞0，B错误；由α为第四象限角可得sinα＜0，cosα＞0，则sin2α＝2sinαcosα＜0，C错误，D正确．故选D.角度利用三角函数的定义求参数例5(1)(2021·重庆市模拟)角α终边上有一点P(m,2)，则“cosα＝－13”是“m＝－22”的()A．必要不充分

条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析角α终边上有一点P(m,2)，cosα＝mm2＋22＝－13<0，解得m＝－22，所以“cosα＝－13”是“m＝－22”的充要条件．故选C．(2)

(2022·山东泰安高三月考)已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，则cosα＝________，tanα＝________.答案－64153或－153解析设P(x，y)，由题设知x＝－3，y＝m，所以r2

＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，即r＝3＋m2，所以sinα＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3＋m2＝22，即3＋m2＝8，解得m＝±5.当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；

当m＝－5时，r＝22，x＝－3，y＝－5，11所以cosα＝－322＝－64，tanα＝153.1．用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求

解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．2．要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号确定值的符号．如

果不能确定角所在的象限，那就要进行分类讨论求解．5.已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析因为点P在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，所以角α的终边在第二象限．6．若角α的终边过点P(2

sin30°，－2cos30°)，则sinα的值为()A．12B．－12C．－32D．－33答案C解析∵x＝2sin30°＝1，y＝－2cos30°＝－3，∴r＝|OP|＝x2＋y2＝2，∴sinα＝yr＝－32.故选C．7

．(2021·中卫三模)已知角θ的终边经过点P(2，a)，若θ＝－π3，则a＝()A．6B．6312C．－6D．－63答案C解析由已知得tanθ＝a2＝tan－π3，所以a2＝－3，所以a＝－6.一、单项选择题1．(2021·江西红色七校联考)“θ为第一或第四象限角”是

“cosθ>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当θ为第一或第四象限角时，cosθ>0，当θ＝2kπ(k∈Z)时，cosθ＝1>0，所以“θ为第一或第四象限角”是“cos

θ>0”的充分不必要条件．故选A．2.(2022·江苏常州模拟)如图，两个互相啮合的齿轮，大轮有64齿，小轮有24齿．当大轮转动一周时，小轮转动的角度为()A．8π3B．10π3C．14π3D．16π3答案D解析因为大轮有64齿，小轮有24齿，所以当大轮转动一周时，小轮转动的角度

为2π×6424＝16π3，故选D.133．(2022·辽宁大连月考)若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为()A．α|α＝k·2π－π4，k∈ZB．α|α＝k·2π＋3π4，k∈ZC．

α|α＝kπ－3π4，k∈ZD．α|α＝kπ－π4，k∈Z答案D解析由图知，角α的取值集合为α|α＝2nπ＋3π4，n∈Z∪α|α＝2nπ－π4，n∈Z＝

α|α＝(2n＋1)π－π4，n∈Z∪α|α＝2nπ－π4，n∈Z＝α|α＝kπ－π4，k∈Z.4．(2022·山东威海月考)已知点P32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A．5π6B．2π3C．11π6D．5π3答

案C解析因为点P32，－12在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tanθ14＝－1232＝－33，又θ∈[0,2π)，所以θ＝11π6.5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()A．2B．2sin1C．2sin1D．sin2答案C解析∵2Rsi

n1＝2，∴R＝1sin1，l＝|α|R＝2sin1.故选C．6．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为()A．－12B．12C．－32D．32答案B解析因为r＝6

4m2＋9，所以cosα＝－8m64m2＋9＝－45，所以m>0，4m264m2＋9＝125，因此m＝12.7．(2021·辽宁铁岭六校高三模拟)已知θ是第四象限角，则sin(sinθ)()A．大于0B．大于等于0C．小于0D．小于等于0答案C解析∵θ是第四象限角，∴s

inθ∈(－1,0)．令sinθ＝α，当－1<α<0时，sinα<0.故sin(sinθ)<0.故选C．8．(2021·毕节市模拟)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁，扇面形状较为美观．从半径为R的圆面中剪下扇形OAB，使剪下扇形OAB后所剩扇形的弧长

与圆周长的比值为5－12，再从扇形OAB中剪下扇环形ABDC制作15扇面，使扇环形ABDC的面积与扇形OAB的面积比值为5－12.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品(如图)的面积与圆面积的比值为()A．5－12B．5－14C．3－52D．

5－2答案D解析设扇形OAB的圆心角为α，由题意可得(2π－α)R2πR＝5－12，解得α＝(3－5)π，所以扇形OAB的面积为12αR2＝(3－5)π2R2.则一个按题中方法制作的扇环形装饰品(如题图)的面积与圆面积的比值为5－12·(3－5)π2R2πR2＝5－2.故选D.二、多项选择题9．

(2021·海南调研)已知α为第三象限角，则α2的终边所在的象限可能是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案BD解析∵α为第三象限角，∴π＋2kπ<α<3π2＋2kπ，k∈Z，∴π2＋kπ<α2<3π4＋kπ，k∈Z，当k＝2m，m∈Z时，π2＋2mπ<α2<3π

4＋2mπ，m∈Z，此时α2在第二象限，当k＝2m＋1，m∈Z时，3π2＋2mπ<α2<7π4＋2mπ，m∈Z，此时α2在第四象限．综上，α2的终边在第二或第四象限．1610．(2021·泰安模拟)已知x∈x|x≠kπ2，k∈Z，则函数y＝sinx|s

inx|＋cosx|cosx|－tanx|tanx|的值可能为()A．3B．－3C．1D．－1答案BC解析x∈x|x≠kπ2，k∈Z，当x在第一象限时，y＝sinx|sinx|＋cosx|cosx|－tanx

|tanx|＝1＋1－1＝1；当x在第二象限时，y＝sinx|sinx|＋cosx|cosx|－tanx|tanx|＝1－1＋1＝1；当x在第三象限时，y＝sinx|sinx|＋cosx|cosx|－ta

nx|tanx|＝－1－1－1＝－3；当x在第四象限时，y＝sinx|sinx|＋cosx|cosx|－tanx|tanx|＝－1＋1＋1＝1.故选BC．11．(2021·潍坊质检)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是()A．s

inα＋cosαB．sinα－cosαC．sinαcosαD．sinαtanα答案CD解析由已知得r＝|OP|＝m2＋1，则sinα＝mm2＋1>0，cosα＝－1m2＋1<0，tanα＝－m<0，∴sinα＋cosα的

符号不确定，sinα－cosα>0，sinαcosα<0，sinαtanα＝cosα<0.故选CD.12．(2021·山东菏泽模拟)已知点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，则x的区间可能是()A．π2，πB．－3π4，π4C．

－π2，π2D．5π4，9π4答案BD解析由已知，点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，可得sinx－cosx<0，即17sinx<cosx，所以－3π4＋2kπ<x<π4＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，x所在

的一个区间是－3π4，π4；当k＝1时，x所在的一个区间是5π4，9π4.三、填空题13．已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________.答案α|2kπ＋π4<α<2kπ＋5π6，k∈Z解

析∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，5π6，∴所求角的集合为α|2kπ＋π4<α<2kπ＋5π6，k∈Z.14.如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点Aco

sα，35，则cosα－sinα＝________.答案－75解析由题意得cos2α＋352＝1，cos2α＝1625.又cosα<0，所以cosα＝－45，又sinα＝35，所以cosα－sinα＝－

75.15．(2022·广东肇庆质检)给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；18③若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；④若cosθ<

0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的序号是________.答案②解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错误；②正确；由于sinπ6＝sin5π6，但π6与5π6的终边不相同，故③错误；当θ＝π时，cosθ＝－1

<0，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故④错误．综上可知，只有②正确．16．点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q，则点Q的坐标为________.答案12，32解析设点A

(－1,0)，点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q，则∠AOQ＝8π3－2π＝2π3(O为坐标原点)，所以∠xOQ＝π3，cosπ3＝12，sinπ3＝32，所以点Q的坐标为12，32

.四、解答题17.如图所示，十字形公路的交叉处周围成扇形，某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场．已知∠AOB＝60°，AB︵的长度为100πm．怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？解如图所示，19∵∠AOB＝6

0°＝π3，AB︵的长度为100πm，∴OA＝100ππ3＝300(m)．根据题意可知，当⊙O1是扇形AOB内切圆时，广场的占地面积最大，设⊙O1与OA切于C点，连接O1O，O1C．则∠O1OC＝30°＝π6，OO1＝OA－O1C＝300－O1C，又O1

C＝OO1sinπ6，故O1C＝(300－O1C)×12，解得O1C＝100m.这时⊙O1的面积为π×1002＝10000π(m2)．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点

B的横坐标为－45，求tanα的值；(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈0，2π3，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．解(1)由题意可得B－45，35，20根

据三角函数的定义得tanα＝yx＝－34.(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为β|β＝π3＋2kπ，k∈Z.(3)若α∈0，2π3，则S扇形＝12αr2＝12α，而S△AOB＝12×1×1×sinα＝12sinα，

故弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝12α－12sinα，α∈0，2π3.