【文档说明】2023届高考人教B版数学一轮复习试题（适用于新高考新教材） 第四章 三角函数、解三角形 单元质检卷四　三角函数、解三角形含解析【高考】.docx，共(14)页，252.730 KB，由小赞的店铺上传

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1单元质检卷四三角函数、解三角形(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列函数中最小正周期为π的函数是()A.y=sinxB.y=cos12xC.y=tan2xD.y=|

sinx|2.若f(x)=3cos(2x+φ)的图像关于点4π3,0中心对称,则|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π23.某画家对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘,将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C处作圆弧的切线,两条切线交于B点,测得如下数

据:AB=6cm,BC=6cm,AC=10.392cm其中√32≈0.866.根据测量得到的结果推算,将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于()A.π3B.π4C.π2D.2π34.已知函数f(x)=sin2x-2sin2x+1

,给出下列四个结论,其中正确的结论是()A.函数f(x)的最小正周期是2πB.函数f(x)在区间π8,5π8上单调递减C.函数f(x)的图像关于x=π16对称D.函数f(x)的图像可由函数y=√2sin2x的图像向左平移π4个单位长度得到5.函数f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零点

个数为()A.2B.3C.4D.56.函数y=f(x)在区间-π2,π2上的大致图像如图所示,则f(x)可能是()2A.f(x)=ln|sinx|B.f(x)=ln(cosx)C.f(x)=-sin|tanx|D.f(x

)=-tan|cosx|7.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递增区间为()A.-54+kπ,-14+kπ,k∈ZB.-54+2kπ,-14+2kπ,k∈ZC.-54+k,-14+k,k∈ZD.-54+2

k,-14+2k,k∈Z8.已知x0是函数f(x)=2sinxcosx+2√3sin2x-√3,x∈-π4,π4的极小值点,则f(x0)+f(2x0)的值为()A.0B.-3C.-2-√3D.-2+√3二、选择

题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知函数f(x)=cos2x-π3-2sinx+π4cosx+π4(x∈R),现给出下列四个命题,其中正确

的是()A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)的最大值为1C.函数f(x)在-π4,π4上单调递增D.将函数f(x)的图像向左平移π12个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=sin2x10.在△ABC中,下列命题正确的有()A.若A=30°,b=4,a=5,则△ABC有

两解B.若0<tanA·tanB<1,则△ABC一定是钝角三角形C.若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC一定是等边三角形D.若a-b=c·cosB-c·cosA,则△ABC是等腰三角形或直角三角形311.在单位圆O:x2+y2=1上任取一点P

(x,y),圆O与x轴正向的交点是A,设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为θ,记x,y关于θ的表达式分别为x=f(θ),y=g(θ),则下列说法正确的是()A.x=f(θ)是偶函数,y=g(θ)是奇函数B.x=f(θ)在[-π2,π2]上单调递增,y=g(θ)在-π2,π2上单调递减C.f(θ

)+g(θ)≥1对于θ∈[0,π2]恒成立D.函数t=2f(θ)+g(2θ)的最大值为3√3212.已知函数f(x)=sin[cosx]+cos[sinx],其中[x]表示不超过实数x的最大整数,下列关于f(x)的结论正确的是()A.f(π2)=

cos1B.f(x)的一个周期是2πC.f(x)在(0,π)内单调递减D.f(x)的最大值大于√2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知tanα=2,则cos2α+π2=.14.已知函数f(x)=2cos(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图像向右平移π3个单位长度

后,与数学模型函数y=2sin2x图像重合,则φ=,若函数f(x)在区间[-a,a]上单调递减,则a的最大值是.15.函数f(x)=sinωx(ω>0)的图像向右平移π3个单位长度得到函数y=g(x)的图像,且f(x)与g(x)的图像关于点π3,0对称,那么ω的最小值为.16.某中学

开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=35

,BH∥DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为cm2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(

10分)已知函数f(x)=cos2x+√3sin(π-x)cos(π+x)-12.(1)求函数f(x)在区间[0,π]上的单调递减区间;4(2)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)=-1,a=2,bsinC=asinA,求△ABC的面积.18.(12分)如图,

在四边形ABCD中,AB⊥AD,,DC=2.在下面给出的三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答.①3AB=4BC,sin∠ACB=23;②tan∠BAC+π6=√3;③2BCcos∠ACB=2AC-√3AB

.(1)求∠DAC的大小;(2)求△ADC面积的最大值.519.(12分)(2020山东淄博4月模拟,18)已知点A,B分别在射线CM,CN(不含端点C)上运动,∠MCN=2π3,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c依次成等差数列,

且公差为2,求c的值;(2)若c=√3,∠ABC=θ,试用θ表示△ABC的周长,并求周长的最大值.20.(12分)如图,平面四边形ABCD,点B,C,D均在半径为5√33的圆上,且∠BCD=π3.(1)求BD的长度;(2)若AD=3,∠ADB=2∠ABD,求△

ABD的面积.621.(12分)如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好,设计要求管道的接口H是AB的中

点,EF分别落在线段BC,AD上,已知AB=20米,AD=10√3米,记∠BHE=θ.(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域;(2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.722.(12分)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分

别为a,b,c,且asin(A+B-C)=csin(B+C).(1)求角C的值;(2)若2a+b=6,且△ABC的面积为√3,求△ABC的周长.参考答案单元质检卷四三角函数、解三角形1.DA选项的最小正周期为T=2π1=2π;B选项的最小正周期为T=2π1

2=4π;C选项的最小正周期为T=π2;D选项,由其图像可知最小正周期为π.故选D.2.A由于函数f(x)=3cos(2x+φ)的图像关于点4π3,0中心对称,所以f4π3=0,即2×4π3+φ=kπ+π2,φ=kπ-13π6(k∈Z).所以|φ

|min=π6.3.A依题意AB=BC=6,设∠ABC=2θ,则sinθ=5.1966=0.866≈√32,则𝜃≈π3,2𝜃≈2π3.设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α,又A,C都是圆弧对应圆的切

点,设圆的圆心为O,则OA⊥AB,OC⊥BC,∠AOC=α,所以α+2θ=π,则𝛼≈π3,故选A.84.B函数f(x)=sin2x-2sin2x+1=sin2x+cos2x=√2sin2x+π4,T=2π2=π,故A不正确;由π2+

2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ,k∈Z,解得π8+kπ≤x≤5π8+kπ,k∈Z,令k=0,则π8≤x≤5π8,故函数f(x)在区间π8,5π8上单调递减,故B正确;x=π16时,y=√2sin2×π16+π4≠±√2,故C不正确;由函数y=√2sin2x的图像向左平移π4个单位长度得

到函数f(x)=√2sin2x+π2,所以D不正确.故选B.5.B由f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx)=0,得sinx=0或cosx=1.∵x∈[0,2π],∴x=0或x=π或x=2π.故f(x)在区间[0,2π]

上的零点个数是3.故选B.6.B当x=0时,sin0=0,ln|sin0|无意义,故排除A;又cos0=1,则f(0)=-tan|cos0|=-tan1≠0,故排除D;对于C,当x∈0,π2时,|tanx|∈(0,+∞),所以f(x)

=-sin|tanx|不单调,故排除C.故选B.7.D由图像知𝑇2=54−14=1,所以T=2,ω=2π2=π,又图像过点34,-1,所以-1=sin3π4+φ,且|φ|<π,故φ=3π4,所以f(x)=sinπx+3π4,令2k

π-π2≤πx+3π4≤2kπ+π2,k∈Z,解得2k-54≤x≤2k-14,k∈Z,则f(x)的单调递增区间为-54+2k,-14+2k,k∈Z,故选D.8.Cf(x)=2sinxcosx+2√3sin2x-√3=sin2x-√3cos2x=2sin2x-

π3,∵x0为极小值点,∴f(x0)=-2,即sin2x0-π3=-1,∴2x0-π3=-π2+2kπ,k∈Z,即x0=-π12+kπ,k∈Z.∵x0∈-π4,π4,∴x0=-π12,f(2x0)=f-π6=2sin-π3−π3=-√3,∴f(x0)+f(2x0)=-2-√3,故选C.9.BDf

(x)=cos2x-π3-sin2x+π2=√32sin2x-12cos2x=sin2x-π6,所以函数f(x)的最小正周期为π,最大值为1,故A不正确,B正确;当x∈-π4,π4时,2x-π6∈-2π3,π3,函数y=sin2x-π6在此区间不单调,故C错误;当将函数f(x)的图像向左平移π1

2单位长度,得到的函数解析式为g(x)=fx+π12=sin2x,故D正确.故选BD.10.BCD因为A=30°,b=4,a=5,所以由正弦定理得sinB=𝑏sin𝐴𝑎=25,b<a,所以角B只有一个解,故A错误;0<tanA·

tanB<1,即0<sin𝐴sin𝐵cos𝐴cos𝐵<1,所以cosAcosB-sinAsinB>0,即9cos(A+B)>0,所以A+B<π2.所以C=π-A-B>π2.则△ABC一定是钝角三角形,故B正确;因为cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,所以cos(A-B

)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C=60°,故C正确;因为a-b=c·cosB-c·cosA,所以sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA,所以sinA-sinCcosB=sinB-sinCcosA.又因为sinA=sin

(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinBcosC=sinAcosC,所以sinA=sinB或cosC=0,所以A=B或C=π2,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形,故D正确.故选BCD.11.

ACD由题意,得x=f(θ)=cosθ,y=g(θ)=sinθ,由正弦、余弦函数的奇偶性,知选项A正确;由正弦、余弦函数的单调性,知选项B错误;f(θ)+g(θ)≥1,即sinθ+cosθ≥1,由正弦、余弦函数在第一象限的三角函数值,知选项C正确;函数t=2f(θ)+g(2θ)

=2cosθ+sin2θ,θ∈[0,2π],则t'=-2sinθ+2cos2θ=-2sinθ+2(1-2sin2θ)=-2(2sinθ-1)(sinθ+1),令t'>0,则-1<sinθ<12;令t'

<0,则12<sinθ<1,故函数t在(-1,12)内单调递增,在(12,1)内单调递减,当sinθ=12,cosθ=√32时,函数t取得最大值,为2×√32+2×12×√32=3√32,故D正确.故选ACD.12.ABDf(π2)=sin[co

sπ2]+cossinπ2=sin0+cos1=cos1,故A正确;∵f(x+2π)=sin[cos(x+2π)]+cos[sin(x+2π)]=sin[cosx]+cos[sinx]=f(x),∴f(x)的一个周期是2π,故B正确;当x∈(0

,π2)时,0<sinx<1,0<cosx<1,∴[sinx]=[cosx]=0,∴f(x)=sin[cosx]+cos[sinx]=sin0+cos0=1,故C错误;∵f(0)=sin[cos0]+cos[sin0]=sin1+cos0=sin1+1

>√22+1>√2,故D正确.13.-45cos2α+π2=-sin2α=-2sinαcosα=-2sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=-2tan𝛼tan2𝛼+1=-44+1=-45.14.π6π12函数f(x)=2cos(2x+φ)(-π

≤φ≤π)的图像向右平移π3个单位后得到y=2cos2x-π3+φ,由于-π≤φ≤π,所以当φ=π6时,与函数y=2sin2x图像重合,10所以f(x)=2cos2x+π6.令2kπ≤2x+π6≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,由于函数f(x)在区间[-a,a]

上单调递减,所以kπ-π12≤-a≤x≤a≤kπ+5π12(k∈Z),当k=0时,{𝑎≤5π12,𝑎≤π12,所以a的最大值为π12.15.6由题意,得g(x)=sinωx-π3(ω>0),由f(x)与g(x)的图像关于点π3,0对称,得g(x)=-f2π3-x,即sinωx

-𝜔π3=sinωx-2𝜔π3(ω>0)恒成立,所以ωx-𝜔π3=2kπ+ωx-2𝜔π3或ωx-𝜔π3=2kπ+π-ωx+2𝜔π3(ω>0)恒成立,即𝜔π3=2kπ或2ωx=2kπ+π+ωπ(ω>0)恒成立,因为2ωx=2kπ+π+ωπ不恒

成立,所以𝜔π3=2kπ,k∈Z,所以正数ω的最小值为6.16.52π+4作OM⊥CG交CG于点M,AP⊥OH交OH于点P,AQ⊥CG交CG于点Q,图略.设OM=3x,则DM=5x,∴OP=MQ=7-5x,∴AP=7-2-3x=5-3x,∴tan∠AOP=𝐴𝑃𝑂𝑃=

5-3𝑥7-5𝑥.又∵∠AOP=∠HAP,∴tan∠HAP=𝑄𝐺𝐴𝑄=12-77-2=1=tan∠AOP,∴5-3𝑥7-5𝑥=1,解得x=1.∴∠AOP=π4,AP=2,∴OA=2√2,∴S阴=S扇AOB+S△AOH-12×π×12=12×(π-π4)×(2

√2)2+12×2√2×2√2−12π=3π+4-π2=52π+4.1117.解(1)f(x)=cos2x-√3sinxcosx-12=1+cos2𝑥2−√32sin2x-12=-sin2x-π6,令2kπ-π2≤2x-π

6≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈Z,∵x∈[0,π],∴函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为0,π3和5π6,π.(2)由(1)知f(x)=-sin2x-π6,∴f(A)=-sin2A-π6=-1,∵△ABC为锐角三角形,∴0<A<π2,∴-π6<2A-π

6<5π6,∴2A-π6=π2,即A=π3.∵bsinC=asinA,∴bc=a2=4,∴S△ABC=12bcsinA=√3.18.解若选①:(1)在△ABC中由正弦定理可得𝐴𝐵sin∠𝐴𝐶𝐵=�

�𝐶sin∠𝐵𝐴𝐶,又3AB=4BC,sin∠ACB=23,可得sin∠BAC=12,∴∠BAC=π6.又AB⊥AD,∴∠BAD=π2,∴∠DAC=π3.(2)在△ACD中,DC=2,由余弦定理可得DC

2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,故S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12×4×√32=√3.当且仅当AC=AD时,等号成立,故△ADC面积的最大值为√3.若选②:(1)由tan∠BAC+π6=√3,可得∠BA

C=π6,又AB⊥AD,∴∠BAD=π2,12∴∠DAC=π3.(2)在△ACD中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,故S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12×4×√32=√3.当且仅当AC=AD时,等号成立,故△ADC面积的最大值为√3

.若选③:(1)2BCcos∠ACB=2AC-√3AB,由正弦定理得2sin∠BACcos∠ACB=2sin∠ABC-√3sin∠ACB,2sin∠BACcos∠ACB=2sin(∠ACB+∠BAC)-√3sin∠ACB,可得cos∠BAC=√32,∴∠BAC

=π6.又AB⊥AD,∴∠BAD=π2,∴∠DAC=π3.(2)在△ACD中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,故S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12×4×√32=√3.当且仅当AC=AD时,等

号成立,故△ADC面积的最大值为√3.19.解(1)∵a,b,c依次成等差数列,且公差为2,∴a=c-4,b=c-2,又∠MCN=2π3,即cosC=-12,由余弦定理可得𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎

𝑏=-12,将a=c-4,b=c-2代入,得c2-9c+14=0,解得c=7或c=2.又c>4,∴c=7.(2)在△ABC中,由正弦定理可得𝐴𝐶sin∠𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐶sin∠𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐵sin∠𝐴𝐶𝐵,∴𝐴𝐶sin𝜃=𝐵𝐶sin(π3-𝜃)=√3sin2π

3,即AC=2sinθ,BC=2sin(π3-𝜃).∴△ABC的周长f(θ)=|AC|+|BC|+|AB|=2sinθ+2sin(π3-𝜃)+√3=212sinθ+√32cosθ+√313=2sinθ+π3+√3.又θ∈0,π3,

∴π3<θ+π3<2π3,当θ+π3=π2,即θ=π6时,f(θ)取得最大值2+√3.20.解(1)由题意可知,△BCD的外接圆半径为5√33,由正弦定理𝐵𝐷sin∠𝐵𝐶𝐷=2R=5√33×2,解得BD=5.(2)(方

法1)在△ABD中,设∠ABD=α,α为锐角,则∠ADB=2α,因为𝐴𝐵sin2𝛼=𝐴𝐷sin𝛼,所以𝐴𝐵2sin𝛼cos𝛼=3sin𝛼,所以AB=6cosα.因为AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosα,即9=36cos2α+25-60cos

2α,所以cosα=√63.则AB=6cosα=2√6,sinα=√33,所以S△ABD=12AB·BD·sinα=5√2.(方法2)在△ABD中,因为∠ADB=2∠ABD,所以sin∠ADB=sin2∠ABD=2sin∠ABDcos∠ABD,所以AB=2AD·

cos∠ABD=2AD·𝐴𝐵2+𝐵𝐷2-𝐴𝐷22𝐴𝐵·𝐵𝐷,因为BD=5,AD=3,所以AB=2√6,所以cos∠ABD=√63,则sin∠ABD=√33,所以S△ABD=12AB·BD·s

in∠ABD=5√2.21.解(1)由题意可得EH=10cos𝜃,FH=10sin𝜃,EF=√𝐸𝐻2+𝐹𝐻2=10sin𝜃cos𝜃,由于BE=10tanθ≤10√3,AF=10tan𝜃≤10√3,所以√33≤tan𝜃≤√3,故θ∈π6,π3,所以L=10cos𝜃

+10sin𝜃+10sin𝜃cos𝜃=10×sin𝜃+cos𝜃+1sin𝜃cos𝜃,θ∈π6,π3.14(2)设sinθ+cosθ=t,则sinθcosθ=𝑡2-12,由于θ∈π6,π3,所以t=√2sinθ+π4∈√3+12,√2,L=10×sin𝜃+cos𝜃+

1sin𝜃cos𝜃=20(𝑡+1)𝑡2-1=20𝑡-1.由于L=20𝑡-1在区间√3+12,√2上单调递减,故当t=√3+12,即θ=π6或θ=π3时,L取得最大值为20(√3+1)米.22.解(1)因为asin(A+B-C)=

csin(B+C),由正弦定理得sinAsin(π-2C)=sinCsin(π-A)=sinCsinA,因为sinA≠0,所以sin(π-2C)=sinC,即sin2C=2sinCcosC=sinC.因为sinC≠0,所以cosC=12.因为0

<C<π,所以C=π3.(2)由S△ABC=12absinC=√3,可得ab=4.因为2a+b=6,所以2a+4𝑎=6,解得a=1或2.当a=1时,b=4,c2=a2+b2-2abcosC=13,c=√13,所以周长为5+√1

3.当a=2时,b=2,c2=a2+b2-2abcosC=4,c=2,所以周长为6.综上,△ABC的周长为6或5+√13.