【文档说明】2023届高考人教B版数学一轮复习试题（适用于新高考新教材） 第八章 平面解析几何 课时规范练47　抛物线含解析【高考】.docx，共(9)页，197.036 KB，由小赞的店铺上传

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1课时规范练47抛物线基础巩固组1.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.92.若抛物线x2=ay的焦点到准线的距离为1,则a=()A.2B.4C.±2D.±43.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点

是椭圆𝑥23𝑝+𝑦2𝑝=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.84.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为5m,跨径为12m,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.

2512mB.256mC.95mD.185m5.(多选)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l的斜率为√3且经过点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线C的准线交于点D,若|AF|=

4,则以下结论正确的是()A.p=2B.F为AD的中点C.|BD|=2|BF|D.|BF|=26.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=()A.13B.√23C.23D.2√237.以抛

物线C的顶点为圆心的圆交抛物线C于A,B两点,交抛物线C的准线于D,E两点.已知|AB|=4√2,|DE|=2√5,则抛物线C的焦点到准线的距离为.8.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与抛物线C

交于A,B两点,过线段AB的中点N且垂直于l的直线与抛物线C的准线交于点M,若|MN|=|AB|,则直线l的斜率为.9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l:x=-1,点M在抛物线C上,点M在准线l上的射影为A,且直线AF的斜率为-√3,则△AMF的面积为.10.

已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=.综合提升组11.已知F为抛物线C:y2=6x的焦点,过点F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则|AB|=()2A.6B

.8C.10D.1212.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长,交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB最大时,|AD|=()A.4B.8C.16

D.16313.已知抛物线C:x2=2py(p>0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在点A,B处的切线的交点为N.(1)若点N在以AB为直径的圆上,求p的值;(2)若△ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程

.14.如图,已知椭圆C1:𝑥22+y2=1,抛物线C2:y2=2px(p>0),点A是椭圆C1与抛物线C2的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于M(B,M不同于A).(1)若p=116,求抛物线C2的焦点坐标;(2)若存在不过原点的直线

l使M为线段AB的中点,求p的最大值.创新应用组15.3(多选)如图,已知椭圆C1:𝑥24+y2=1,过抛物线C2:x2=4y的焦点F的直线交抛物线C2于M,N两点,连接NO,MO并延长,分别交椭圆C

1于点A,B,连接AB,△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN,S△OAB,则下列说法正确的为()A.若直线NO,MO的斜率分别为k1,k2,则k1k2为定值-14B.S△OAB为定值1C.|OA|2+|OB|2为定值

5D.设λ=𝑆△𝑂𝑀𝑁𝑆△𝑂𝐴𝐵,则λ≥216.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M(2,m)(m>0)在抛物线C上,且|MF|=2.(1)求抛物线C的方程;(2)若点P(x0,y0)为抛物线C上任意一点,过该点

的切线为l0,证明:过点F作切线l0的垂线,垂足必在x轴上.参考答案课时规范练47抛物线1.C解析设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为9可得x=9,由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+𝑝2=12,解得p=6.故选C.2.C∵x2=ay,∴p=𝑎2=1,∴a=±2.故选C.3

.D∵y2=2px的焦点坐标为𝑝2,0,椭圆𝑥23𝑝+𝑦2𝑝=1的焦点坐标为(±√3𝑝-𝑝,0),∴3p-p=𝑝24,解得p=8.故选D.44.D建立平面直角坐标系如图所示.设抛物线的解析式为x2=-2py,p>0,因为抛物线

过点(6,-5),所以36=10p,解得p=185.所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185m.故选D.5.ABC如图,点F𝑝2,0,直线l的斜率为√3,则直线l的方程为y=√3x-𝑝2.由{𝑦2=2𝑝𝑥,𝑦=√3(𝑥

-𝑝2),得12x2-20px+3p2=0,解得xA=32p,xB=16p.由|AF|=32p+𝑝2=2p=4,得p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.又xB=16p=13,所以|BF|=13+1=43,所以|BD

|=43cos60°=83,所以|BD|=2|BF|.因为|BD|+|BF|=83+43=4=|AF|,所以F为AD的中点.故选ABC.6.D设抛物线C:y2=8x的准线为l,则直线l的方程为x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0).如图,分别过点A,B作AM⊥l于点M,BN⊥l

于点N,由|FA|=2|FB|,知|AM|=2|BN|,所以B为线段AP的中点.连接OB,则|OB|=12|FA|,所以|OB|=|FB|,所以点B的横坐标为1.因为k>0,点B在抛物线C上,所以点B的坐标为(1,2√2).所以k=2√2-01-(-2)=2√23.故选D.7.4

依题意,不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0).由|AB|=4√2,|DE|=2√5,可取A4𝑝,2√2,D-𝑝2,√5.设O为坐标原点,由|OA|=|OD|,得16𝑝2+8=𝑝24+5,解得p=4.8.√33设抛物线C的准线为m,分别过点A,N,B作AA'

⊥m,NN'⊥m,BB'⊥m,垂足分别为A',N',B'(图略).5因为直线l过抛物线C的焦点F,所以|BB'|=|BF|,|AA'|=|AF|.又N为线段AB的中点,|MN|=|AB|,所以|NN'|=12(|BB'|+|AA'|)=12(|BF|+|AF|)=12|AB|=12|

MN|,所以∠MNN'=60°,所以直线MN的倾斜角为120°.又MN⊥l,所以直线l的倾斜角为30°,所以直线l的斜率为√33.9.4√3设准线l与x轴交于点N,则|FN|=2.∵直线AF的斜率为-√3,∴∠AFN=60°,∴∠MAF=60°,|A

F|=4.由抛物线的定义可得|MA|=|MF|,∴△AMF是边长为4的等边三角形.∴S△AMF=√34×42=4√3.10.2(方法1)由题意知抛物线C的焦点坐标为(1,0),则过抛物线C的焦点且斜率为k的直线方程为y=k(x-1)(k≠0).由{�

�=𝑘(𝑥-1),𝑦2=4𝑥,消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2𝑘2+4𝑘2,x1x2=1.所以y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=4𝑘,

y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=-4.由∠AMB=90°,得𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+1=0,即1+2𝑘2+4𝑘2+1+(-4)-4𝑘+1=0,解得k

=2.(方法2)设抛物线的焦点为F,点A(x1,y1),B(x2,y2),则{𝑦12=4𝑥1,𝑦22=4𝑥2,所以𝑦12−𝑦22=4(x1-x2),所以k=𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=4𝑦1+𝑦2.取AB的中点N(x0,y0),分别过点A

,B作准线x=-1的垂线,垂足分别为A',B',又∠AMB=90°,点M在准线x=-1上,所以|MN|=12|AB|=12(|AF|+|BF|)=12(|AA'|+|BB'|).又N为AB的中点,所以MN平行于x轴,所以y0=1,所以y1+y2=2,所以k=2.11.B由已知得抛物线C:y

2=6x的焦点坐标为32,0,准线方程为x=-32.设点A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|=3|BF|,所以x1+32=3x2+32,|y1|=3|y2|.所以x1=3x2+3,x1=9x2,所以x1=92,x2=1

2.6所以|AB|=x1+32+x2+32=8.故选B.12.C设点A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y1+y2+2,因为𝑦1+𝑦22=|AB|-1,

所以|AF|+|BF|=2|AB|,所以cos∠AFB=|𝐴𝐹|2+|𝐵𝐹|2-|𝐴𝐵|22|𝐴𝐹||𝐵𝐹|=3(|𝐴𝐹|2+|𝐵𝐹|2)-2|𝐴𝐹||𝐵𝐹|8|𝐴𝐹||𝐵𝐹|≥6|𝐴𝐹||𝐵𝐹|-2|𝐴𝐹||�

�𝐹|8|𝐴𝐹||𝐵𝐹|=12,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.所以当∠AFB最大时,△AFB为等边三角形,AB∥x轴.不妨设此时直线AD的方程为y=√3x+1,由{𝑦=√3𝑥+1,𝑥2=4𝑦,消

去y,得x2-4√3x-4=0,所以x1+x3=4√3,所以y1+y3=√3(x1+x3)+2=14.所以|AD|=16.故选C.13.解设直线AB:y=kx+1,点A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2-2pkx-2p

=0,则x1+x2=2pk,x1x2=-2p.(1)由x2=2py得y'=𝑥𝑝,则抛物线C在点A,B处的切线斜率的乘积为𝑥1𝑥2𝑝2=-2𝑝.因为点N在以AB为直径的圆上,所以AN⊥BN,所以-2𝑝=-1,解得p=2.(2)由题意得直线AN:y-y1=𝑥1𝑝(x-x

1),直线BN:y-y2=𝑥2𝑝(x-x2),由{𝑦-𝑦1=𝑥1𝑝(𝑥-𝑥1),𝑦-𝑦2=𝑥2𝑝(𝑥-𝑥2),解得{𝑥=𝑝𝑘,𝑦=-1,即点N(pk,-1).因为|AB

|=√1+𝑘2|x2-x1|=√1+𝑘2√(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=√1+𝑘2√4𝑝2𝑘2+8𝑝,点N到直线AB的距离d=|𝑝𝑘2+2|√1+𝑘2,所以△ABN的面积S△ABN=12|AB|·d=√𝑝(𝑝𝑘2+2)3≥2√2𝑝,当k=0时取等号.

因为△ABN的面积的最小值为4,7所以2√2𝑝=4,解得p=2.故抛物线C的方程为x2=4y.14.解(1)由p=116,得C2的焦点坐标是(132,0).(2)由题意可设直线l:x=my+t(m≠0,t≠0),点A(x0,y0).将

直线l的方程代入椭圆C1:𝑥22+y2=1,得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,所以点M的纵坐标yM=-𝑚𝑡𝑚2+2.将直线l的方程代入抛物线C2:y2=2px,得y2-2pmy-2pt=0,所以y0yM

=-2pt,解得y0=2𝑝(𝑚2+2)𝑚,因此x0=2𝑝(𝑚2+2)2𝑚2.由𝑥022+𝑦02=1,得1𝑝2=4(𝑚+2𝑚)2+2(𝑚+2𝑚)4≥160,所以当且仅当m=√2,t=√10

5时取等号,p取到最大值√1040.15.ABCD由已知得点F(0,1),直线MN的斜率一定存在.设直线MN的方程为y=kx+1,点M(x1,y1),N(x2,y2),由{𝑦=𝑘𝑥+1,𝑥2=4𝑦,消去y,得x2-4kx-4=0,则x1+x2=4k,x1x2=-4,所以y1y2

=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,所以k1k2=𝑦1𝑦2𝑥1𝑥2=-14.故A正确.设直线OA的方程为y=mx(m>0),则直线OB的方程为y=-14𝑚x.由{𝑦=𝑚𝑥,𝑥24

+𝑦2=1,得x2=41+4𝑚2,由题图知点A在第三象限,则点A-2√1+4𝑚2,-2𝑚√1+4𝑚2,同理点B-2√1+14𝑚2,12𝑚√1+14𝑚2,即点B-4𝑚√1+4𝑚2,1√1+4𝑚2,所以点A到直线OB

的距离d=2√1+4𝑚2+8𝑚2√1+4𝑚2√1+16𝑚28=2+8𝑚2√1+4𝑚2√1+16𝑚2,|OB|=√16𝑚21+4𝑚2+11+4𝑚2=√16𝑚2+1√1+4𝑚2,所以S△OAB=12|OB|·d=12·√16𝑚2+1√1+4𝑚2·2

+8𝑚2√1+4𝑚2√1+16𝑚2=1.故B正确.因为|OA|2=41+4𝑚2+4𝑚21+4𝑚2=4+4𝑚21+4𝑚2,|OB|2=16𝑚2+11+4𝑚2,所以|OA|2+|OB|2=5+20𝑚21+4

𝑚2=5.故C正确.由{𝑦=𝑚𝑥,𝑥2=4𝑦,得x(x-4m)=0,解得x=0或x=4m,故点N(4m,4m2),所以|ON|=4m√𝑚2+1.同理点M-1𝑚,14𝑚2,所以点M到直线OA的距离h=|-1-14𝑚2|√𝑚2+1=1+14�

�2√𝑚2+1.所以S△OMN=12|ON|·h=2m+12𝑚≥2,当且仅当2m=12𝑚,即m=12时,等号成立.又S△OAB=1,所以λ=𝑆△𝑂𝑀𝑁𝑆△𝑂𝐴𝐵=S△OMN≥2.故D正确.故选ABCD.16.(1)解由抛物线的定义,可知|MF|=m+𝑝2

=2.①又点M(2,m)在抛物线C上,所以2pm=4.②由①②解得p=2,m=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)证明①当x0=0,即点P为原点时,显然符合;②当x0≠0,即点P不在原点时,由(1)得x2=4y,即y=�

�24,则y'=12x,所以抛物线C在点P处的切线l0的斜率为12x0,所以抛物线C在点P处的切线l0的方程为y-y0=12x0(x-x0).又𝑥02=4y0,所以y-y0=12x0(x-x0)可化为y=12x0x-y0.过点F(0,1)且与切线l0垂直的直线方程为y-1

=-2𝑥0x.由{𝑦=12𝑥0𝑥-𝑦0,𝑦-1=-2𝑥0𝑥,消去x,得y=-14(y-1)𝑥02-y0.9因为𝑥02=4y0,所以y=-yy0,即(y0+1)y=0.由y0>0,可知y=0,

即垂足必在x轴上.综上所述,过点F作切线l0的垂线,垂足必在x轴上.