【文档说明】山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试卷含答案.doc，共(10)页，580.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年第二学期高二期末考试数学试题（理科）【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合()20Axxx=−

，1Bxx=，则下图阴影部分表示的集合是（）A．)1,0−B．))1,01,2−C．()1,2D．()0,12．某高校《统计》课程的教师随机给出了选该课程的一些情况，具体数据如下：非统计专业统计专业男1310女720为了判断选修统计

专业是否与性别有关，根据表中数据，2K的观测值841.3844.4k，所以可以判定选修统计专业与性别有关.那么这种判断出错的可能性为()A．5%B．95%C．1%D．99%附：()02kKP0.1000.0500.0250.0100.0010

k2.7063.8415.0246.63510.8283．设Ra，则“2a”是“0232+−aa”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知命题p：“,||||ab

ab”，命题q：“000,20xx”，则下列为真命题的是()A．pqB．qpC．pqD．pq5．若cba，0=++cba，则（）A．acabB．bcacC．bcabD．22cb6．若nxx−321的展开式中第四项为常数项，则=n()A．4B．5C．

6D．77．已知函数()xxxxfln2−=，则函数()xfy=的大致图象为()A．B．C．D．8．如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是21，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为()A．81B．41C．21D．1619

．如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为()A．180B．240C．360D．42010．函数()xxxf++=12的值域是()A．)+，0B．(0，−C．+−，21D．)

+，111．方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用.某方舱医院医疗小组有七名护士（甲乙丙丁戊己庚)，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班.若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周

四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为()A．甲B．丙C．戊D．庚12．已知定义在R上的连续奇函数()xf的导函数为()xf'，当0x时，()()0'+xxfxf，则使得()()()0133122−−+xfxxxf成立的x的取值范围是

()A．()+,1B．()+−，，1511C．1,51D．()1,−二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．假设关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)有如下

的统计资料：x/年23456y/万元2.23.85.56.57.0若由资料可知y对x呈线性相关关系，且线性回归方程为+=axby，其中已知23.1=b，请估计是要年限为20年时，维修费用约为（万

元）.14．随机变量ξ的取值为0，1，2.若()510ξ==P，()1ξ=E，则()=ξD________.15．若正数x，y满足42=xy，则yx2+的最小值为.16．已知函数()222222xxfxxmxemem=−+−+，若存在实数0x，使得()012fx成立，则实数m

=_________.三、选做题：共10分.请考生在17、18题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．17．(本小题满分10分)已知曲线C的极坐标方程为222sin9

cos9+=，以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)A，B为曲线C上两点，若OBOA⊥，求2211OBOA+的值．18．(本小题满分10分)已知0,0ba.(1

)求证：baab112+；(2)若ba，且2=ab，求证：422−+baba．四、选做题：共12分.请考生在19、20题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．19．（本小题

满分12分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为212(22xttyt=−+=为参数），以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立

极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos2sin10−−+=．(1)求直线l的普通方程，曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于,AB两点，点Q在C上运动，求ABQ面积的最大值．20．（本小题满分12分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()||||fxxaxbc=

−+++，其中cba,,为正实数.(1)当2abc===时，求不等式()10fx的解集；(2)若函数()fx的最小值为1，求222abc++的最小值．五、解答题：本大题共4小题，每小题12分，共48分.21．(本题满分12分)设函数()bxaxxxf−−=221ln(1

)当21==ba时，求函数f(x)的单调区间；(2)当0=a，1−=b时，方程()mxxf=在区间2,1e内有唯一实数解，求实数m的取值范围．22．(本题满分12分)某省2021年全省高中男生身高统计调查数据

显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N(170.5，16)．现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5)，第二组[162.5，

167.5)，…，第六组[182.5，187.5]．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；(2)求这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人数；(3)在这50名男生身高在17

7.5cm以上(含177.5cm)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的均值．参考数据：若()2σμN~ξ，，则()6826.0σμξσ-μ=+P，()9544.02σ＋μ≤ξ<2σ－μP=，()9974

.03σ＋μξ3σμ=－P.23．(本题满分12分)已知函数()baxxxxf−−=21ln，()bxaxxg+=2.(1)当2=a，3−=b时，求函数()xf在ex=处的切线方程，并求函数()xf的最大值；(2)若函数()xfy=的

两个零点分别为1x，2x且21xx，求证：1221+xxg.24．(本题满分12分)如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决定谁先登上第3个台阶.他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上

一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为x.(1)求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；(2)求x的分布列和数学期望．202

0—2021学年第二学期高二期末考试数学答案（理科）1-5CAACA6-10BAADC11-12DC13、24.6814、2515、16、1217.解：(1)由ρ2＝9cos2θ＋9sin2θ得ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝9，将x＝ρcosθ，y＝ρ

sinθ代入得到曲线C的直角坐标方程是x29＋y2＝1.(2)因为ρ2＝9cos2θ＋9sin2θ，所以1ρ2＝cos2θ9＋sin2θ，由OA⊥OB，设A(ρ1，α)，则点B的坐标可设为ρ2，α±π2，所以1|OA|2＋1|OB|2＝1ρ21＋1ρ22＝cos2α9＋sin2α＋sin2

α9＋cos2α＝19＋1＝109.18.证明：(1)22“”11112?abababab===+，当且仅当时取；(2)()()()()222224442?4ababababababababababab−+−++===−+−=−−−−−()()()()222224442?4abab

ababababababababab−+−++===−+−=−−−−−，当且仅当13,13ab=+=−+或13,13ab=−=−−时取“=”.19.解:(1)将直线l的参数方程212(22xttyt=−+=为参数

），消去参数t，得10xy−+=，所以直线l的普通方程为10xy−+=．将222xy=+,cos,sinxy==代入22cos2sin10−−+=，得22(1)(1)1xy−+−=，所以曲线C的直角坐标方程为2

2(1)(1)1xy−+−=．(2)由(1)可知直线l：10xy−+=，曲线C:22(1)(1)1xy−+−=，所以圆心(1,1)C到直线l的距离|111|222d−+==，所以||2AB=．设AB的中点为D，则当曲线C上的点到直线l的距离最大，即

当Q为过点D且与AB垂直的直线与C的交点时，ABQS最大，此时max112()||(1)22ABQSABd+=+=．20.解：(1)当2abc===时，()|2||2|2fxxx=−+++，当2x−时，()10fx即2210x−，解得4x−，所以42x−−；当22x−

时，()10fx即610，不等式恒成立，所以22x−；当2x时，()10fx即2210x+，解得4x，所以24x．综上所述，不等式()10fx的解集为{|44}xx−．(2)因为0,0,0abc，所以()|||

|||fxxaxbcaxxbcabc=−+++−+++=++.因为()fx的最小值为1，所以1abc++=，2()abc++=2222221abcabaccb+++++=．因为222abab+，当且仅当ab=等号成立；222cbcb+，当且仅当cb=时等号成立；222acac+，

当且仅当ac=时等号成立，所以2()abc++=22222222213()abcabaccbabc+++++=++，所以22213abc++，所以222abc++的最小值为13，此时13abc===.21、解：(1)依题意，知f(x)的定义域为(0，＋∞)

，当a＝b＝12时，f(x)＝lnx－14x2－12x，∴f′(x)＝－（x＋2）（x－1）2x.令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－2(舍去)．经检验，x＝1是方程的根．当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，∴f(x)的

单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．(2)当a＝0，b＝－1时，f(x)＝lnx＋x.由f(x)＝mx得mx＝lnx＋x.又∵x>0，∴m＝1＋lnxx.要使方程f(x)＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，只需

m＝1＋lnxx有唯一实数解．令g(x)＝1＋lnxx(x>0)，∴g′(x)＝1－lnxx2(x>0)．由g′(x)>0，得0<x<e，由g′(x)<0，得x>e，∴g(x)在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，g(1)＝1＋ln

11＝1，g(e2)＝1＋lne2e2＝1＋2e2，g(e)＝1＋lnee＝1＋1e，∴m＝1＋1e或1≤m<1＋2e2.22、解：(1)由直方图，经过计算得我校高三年级男生平均身高为160×0.1＋165×0.2＋170×0

.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5，高于全省的平均值170.5.(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人数为10人．(3)∵P(170.5－3×4<ξ≤170.

5＋3×4)＝0.9974，∴P(ξ≥182.5)＝1－0.99742＝0.0013，0．0013×100000＝130.所以，全省前130名的身高在182.5cm以上，这50人中182.5cm以上的有

5人.随机变量ξ可取0,1,2，于是P(ξ＝0)＝C25C210＝1045＝29，P(ξ＝1)＝C15C15C210＝2545＝59，P(ξ＝2)＝C25C210＝1045＝29，∴E(ξ)＝0×29＋1×59＋2×29＝1.23、(1)解：当a＝2

，b＝－3时，f(x)＝lnxx－x＋3(x>0)，∴f′(x)＝1－lnx－x2x2，则f′(e)＝－1，切点为(e，1e－e＋3)，故函数f(x)在x＝e处的切线方程为x＋y－1e－3＝0.令h(x)＝1－lnx－x2，则

h(x)＝1－lnx－x2在(0，＋∞)是减函数，又h(1)＝0，∴x∈(0，1)时，h(x)>0,f′(x)>0，x∈(1，＋∞)时，h(x)<0,f′(x)<0,f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)是减函数，∴fmax(x)

＝f(1)＝2.(2)证明：∵x1，x2是f(x)的两个零点，且x1≠x2，不妨设x1<x2，∴f(x1)＝f(x2)＝0，即lnx1x1－12ax1－b＝0，lnx2x2－12ax2－b＝0，∴lnx1－12ax21－bx1＝0，

lnx2－12ax22－bx2＝0，相减得lnx1－lnx2－12a(x21－x22)－b(x1－x2)＝0⇒lnx1x2x1－x2－12a(x1＋x2)－b＝0，∴（x1＋x2）lnx1x2x1－x2－12a(

x1＋x2)2－b(x1＋x2)＝0，∴（x1＋x2）lnx1x22（x1－x2）－a(x1＋x22)2－b(x1＋x22)＝0，∴（x1＋x2）lnx1x22（x1－x2）＝g(x1＋x22)⇒g(x1＋x22)＝（x1＋x2）lnx1x22（x1－x2）＝（x1x2＋1）l

nx1x22（x1x2－1）.令t＝x1x2，即0<t<1，（t＋1）lnt2（t－1）>1.（t＋1）lnt2（t－1）>1⇔lnt<2（t－1）t＋1⇔lnt－2（t－1）t＋1<0.令m(t)＝lnt－2（t－1）t＋1在(0，1)上是

增函数．又∵m(1)＝0，∴t∈(0，1)，m(t)<0，命题得证．24、【解析】(1)易知对于每次划拳比赛，基本事件共有3×3=9(个)，其中小华赢(或输)包含三个基本事件，他们平局也包含三个基本事件.不妨设事件“第i(i∈N*)次划拳小华赢”为Ai，事件“第i

次划拳两人平局”为Bi，事件“第i次划拳小华输”为Ci，所以P(Ai)=P(Bi)=P(Ci)==.因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种，小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳两人平局，其概率

为P1=P(B1)P(C2)P(B3)+P(C1)P(A2)P(C3)P(B4)=；第二种，小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为P2=P(B1)P(B2)P(C3)+P(A1)·P(B2)P(C3)P(C

4)+P(A1)P(C2)·P(A3)P(C4)P(C5)=.所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为P=P1+P2=+=.(2)依题意可知，X的可能取值为2，3，4，5，P(X=5)=2P(A1)P(C2)P(A3)P(C4)=2×4=，P(X=2)=2P(A1)P(A2)=2×2=，P

(X=3)=2P(A1)P(B2)P(A3)+2P(B1)P(A2)P(A3)+P(B1)P(B2)·P(B3)+2P(A1)P(B2)P(B3)+2P(B1)P(A2)P(B3)+2P(B1)P(B2)·P(A

3)+2P(C1)P(A2)P(A3)=，P(X=4)=1-P(X=5)-P(X=2)-P(X=3)=，所以X的分布列为X2345P所以X的数学期望为：E(X)=2×+3×+4×+5×=.