【文档说明】【精准解析】山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（二）数学试题.doc，共(29)页，2.886 MB，由小赞的店铺上传

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2020年高考适应性训练数学试题（二）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.

写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U=R，集合1,0,1,2A=−，1Bxx=，则()UAB=ð（）A.1,0,1

−B.1,0−C.1xxD.11xx−【答案】B【解析】【分析】按照并集和交集的概念求解即可.【详解】由题可知1UBxx=ð，则()1,0UAB=−ð.故选：B.【点睛】本题考查并集和交集的求法，侧重考查对基础知识

的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.2.“2x”是“21122log(1)log0xx−−”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义

结合不等式的关系进行判断即可.【详解】21122log(1)log0xx−−可变形为21122log(1)logxx−，所以21xx−且210,0xx−，解之得：1512x+，所以由“2x”不能推出“

1512x+”，但“1512x+”可以推出“2x”，所以“2x”是“21122log(1)log0xx−−”成立的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要条件和充分条件的判断，考查逻辑思维能力和推理能力，考查计算能力，属于常考题.3.若向量()2,3a=

,(),2bx=且·(2)3aab−=,则实数x的值为()A.12−B.12C.3−D.3【答案】A【解析】【分析】根据题意列出方程，求解即可得出结果.【详解】因为向量()23a=，，()2bx=，，所以()2221abx−=−−，，又()·23aab−=，

所以()22233x−−=，解得12x=−.故选A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题型.4.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片的数字之和为奇数的概率为（）A.12B

.13C.23D.14【答案】C【解析】【分析】和为奇数，则取出的两张卡片一张奇数一张偶数，得到概率.【详解】根据题意：和为奇数，则取出的两张卡片一张奇数一张偶数，则1122244263CCpC===.故选：C.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力

和应用能力.5.已知144a=，133b=，5ln2c=，则（）A.abcB.acbC.bacD.bca【答案】C【解析】【分析】由3443，从而可得ab,再根据指数函数的单调性可得104441a==，由对数函数

的单调性有5lnln12ce==，从而得出答案.【详解】由12121341344343==，所以113443所以ab，又104441a==，而5lnln12ce==所以cab故选：C

【点睛】本题考查对数运算，指数函数的单调性，利用函数单调性比较大小,属于中档题题.6.在三棱锥PABC−中，PAAB⊥，PCCB⊥，1AB=，2BC=，点P到底面ABC的距离为2，当三棱锥体积达到最大值时，该三棱锥外接球的表面积是（）A.12B.9C.

3D.6【答案】B【解析】【分析】作PD⊥平面ABC于D，连接,,DADCDB，由体积最大，及已知垂直可得ABCD是矩形，又由已知PAAB⊥，PCCB⊥，得PB是PABCD−外接球的直径，求出PB长即可得球表面积．【详解】作PD⊥平面ABC于D，连接,,DADCDB，因

为点P到底面ABC的距离为2为定值，当三棱锥体积达到最大值时，ABC面积最大，只有ABBC⊥时，ABC面积最大，所以ABBC⊥，由PD⊥平面ABC，AB平面ABC，得PDAB⊥，同理PDBD⊥，又PAAB⊥，PAPDP=，所以AB⊥平面PAD，而AD平面PAD，所以ABAD⊥，同理BCCD⊥，

所以ABCD是矩形，22125BD=+=，又2PD=，所以22(5)23PB=+=，由PAAB⊥，PCCB⊥，知PB中点到,,,PABC四点距离相等，因此PB是PABCD−外接球的直径，所以外接球表面

积为23492S==．故选：B．【点睛】本题考查球的表面积，由已知垂直易知PB是PABCD−外接球的直径，解题关键是证明P在平面ABC上的射影D与,,ABC构成矩形ABCD．7.若曲线()lnyxa=+的一条切线为yexb=−（e为自然对数的底数），其中,ab为正实数，则11

eab+的取值范围是()A.)2,eB.(,4eC.)2,+D.),e+【答案】C【解析】【分析】设切点为()00,xy，由题意知()000ln1xaexbexa+=−=+，从而可

得2eab+=，根据“1”的代换，可求出11122beaeabeab+=++，由基本不等式可求出取值范围.【详解】解：()lnyxa=+，1yxa=+，设切点为()00,xy，则()000ln1xaexbexa+=−

=+，2eab+=，()111111222beaeabeabeabeab+=++=++.,,0abe原式12222beaeab+=，当且仅当beaeab=，即1,1abe==时等号成立

，即112eab+.故选:C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式.切线问题，一般设出切点，由切点处的导数值为切线的斜率以及切点既在切线上又在函数图像上，可列出方程组.运用基本不等式求最值时注意一正二定三相等.8.已知双曲线2222:1xyCab−=的右焦点

为F，过点F的直线交双曲线的右支于A、B两点，且3AFFB=uuuruur，点B关于坐标原点的对称点为B，且2BFBFBA=，则双曲线的离心率为（）A.5B.62C.102D.72【答案】C【解析】【分析】设双曲线C的

左焦点为F，连接FB、FB、AF，推导出四边形BFBF为矩形，设BFBFm==，则3AFm=，在ABF△中，利用勾股定理得出ma=，然后在BFF△中利用勾股定理可得出a、c的等量关系，由此可求得双曲线C的离心率.

【详解】设双曲线C的左焦点为F，连接FB、FB、AF，则四边形BFBF为平行四边形，设BFBFm==，则3AFm=，由双曲线的定义可得2BFBFma==+，32AFma=+，2BFBFBA=，()20BFBFBABFBFBABFAF

−=−==，BFAB⊥，所以，四边形BFBF为矩形，由勾股定理得222ABBFAF+=，即()()()2224232mmama++=+，解得ma=，BFa=，3BFa=，由勾股定理得222BFBFFF+=，即22104

ac=，双曲线C的离心率为101042e==.故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查利用双曲线的定义解决双曲线的焦点三角形问题，考查计算能力，属于中等题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.对于不同直线m，n和不同平面，，有如下四个命题，其中正确的是（）A.若m⊥，//n，mn⊥，则//B.若m⊥，//mn，n，则⊥C.若n⊥，n⊥，m⊥，则m⊥D.若m⊥，mn⊥，则//n【答案】

BC【解析】【分析】根据线面的平行、垂直的判定定理和性质定理，对选项进行逐一的判断,即可得出答案.【详解】选项A.若m⊥，//n，mn⊥，则与可能相交可能平行，故A不正确.选项B.若m⊥，//mn，则n⊥，又n，所以⊥，故B正

确选项C.若n⊥，n⊥，则//，又m⊥，所以m⊥，故C正确选项D.若m⊥，mn⊥，则//n或n，故D不正确.故选：BC【点睛】本题考查平面与平面的平行垂直的判断，直线与平面的平行与垂直的判断，属于基础题.10

.已知抛物线22(0)ypxp=的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M、N两点，设线段AB的中点为P，则（）A.234OAOBp=−B.若24AFBFp=，则直线AB的斜率为3C.若抛物

线上存在一点(2,)Et到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为24yx=D.若点F到抛物线准线的距离为2，则sinPMN的最小值为12【答案】ACD【解析】【分析】通过设直线:2plxmy=+，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系122yypm+=，212yyp=−，选项ABD均可转化为

坐标的运算，代入根与系数的关系，得到结果，C选项可直接根据焦半径公式，计算并判断.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，设直线:2plxmy=+，与抛物线方程联立222pxmyypx=+=，2220ypmyp−−=，12

2yypm+=，212yyp=−，A.222221212121232244yypOAOBxxyyyypppp=+=+=−=−,故A正确；B.根据焦半径公式可知12pAFx=+，22pBFx=+，()()121222ppAFBFxxmypmyp=++=++

()221212myypmyyp=+++()222222221mppmppm=−++=+，由条件可知，214m+=，解得：3m=，直线l的斜率133km==，故B不正确；C.由题意可知232p+=

，解得：2p=，则抛物线方程是24yx=，故C正确；D.由题意可知2p=，所以124yym+=，由圆的几何性质可知sindPMNr=，d是点P到y轴的距离122xxd+=，1222ABxxpr++==，由分析可知112pxmy=+，222pxmy=+，且122yypm+=，212yyp=

−，得221dm=+，222rm=+，所以()222211sin12221dmPMNrmm+===−++，当20m=时，sinPMN取得最小值12,此时直线l：1x=，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的

综合应用，重点考查直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，转化求值，属于中档题型.11.南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三

角”.下图是一种变异的杨辉三角，它是将数列na各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中na是集合220,,ststst+且中所有的数从小到大排列的数列，即1233,5,6,aaa

===459,10aa==…下列结论正确的是（）35691012A.第四行的数是17,18,20,24B.1(1)232nnna−+=C.(1)1221nnan−+=+D.10016640a=【答案】ABD【解析】【分析】采用逐一验证

的方法，利用(),st来表示每一项，寻找规律，可得结果.【详解】利用(),st来表示每一项，由题可知：第一行：()30,1第二行：()()50,2,61,2第三行：()()()90,3,101,3,122,3第四行：()()()()170,4,181

,4,202,4,243,4故A正确(1)2+nna表示第n行的第n项，则11(1)22232−−+=+=nnnnna，故B正确由(1)12−+nna表示第n行的第1项，则0(1)122212−+=+=+n

nnna故C错又100a表示第14行的第9项，所以1100842216640=+=a故D正确故选：ABD【点睛】本题考查合情推理，考验对问题的分析判断能力以及归纳能力，审清题意，耐心计算，属中档题.12.已知函数31?()1xxxexfxexx=

，，，函数()()gxxfx=，下列选项正确的是（）A.点(0,0)是函数()fx的零点B.12(0,1),(1,3)xx，使12()()fxfxC.函数()fx的值域为)1e,−−+D.若关于x的方程2()2()0−=gxagx有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

222ee,(,)e82+【答案】BC【解析】【分析】利用求导的方法，确定函数的单调区间、求出函数极值、零点，分别画出()fx和()gx的图像，进而可以确定选项AD不正确，BC为正确答案.【详解】()yfx=图像()ygx=图像对于选项A，0是函数()fx

的零点，零点不是一个点，所以A错误.对于选项B，当1x时，/()(1)=+xfxxe，可得，当1x−时，()fx单调递减；当11x−时，()fx单调递增；所以，当01x时，0()fxe当1x时，/4(3)()−=xexfxx，可得，当13x时，()fx单调递减；当3x

时，()fx单调递增；所以，当13x时，3()27eefx，综上可得，选项B正确.对于选项C，min1()(1)fxfe=−=−，选项C正确.对于选项D，关于x的方程2()2()0−=gxagx有两个不相等的实数根关于x的方程()[()2]0−=gxgxa有两

个不相等的实数根关于x的方程()20−=gxa有一个非零的实数根函数()ygx=与2ya=有一个交点，且0x22,1(),1xxxexgxexx=当1x时，/2()(2)=+xgxexx当x变化时，/()gx，()gx的变化情况如下：x2x−2

−20x−001x/()gx+0−0+()gx极大值极小值极大值24(2)ge−=，极小值(0)0g=当1x时，/3(2)()−=xexgxx当x变化时，/()gx，()gx的变化情况如下：x112x22x/()gx−0+()gxe极小值极小值2(2)4e

g=综上可得，22424eae或2ae，a的取值范围是222ee,(,)e82+，D不正确.【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数研究原函数的变化情况，对选项做出判断，考查了数学运算、逻辑推理、数形结合能力，属于难题.三、

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数i1()1iaa−+R是实数，复数2(i)ba+是纯虚数，则实数b的值为______【答案】【解析】【分析】先根据复数i1()1iaa−+R

是实数求出1a=−，再根据复数2(i)ba+是纯虚数求出b的值.【详解】由题得1(1)(1)1(1)=1(1)(1)2aiaiiaaiiii−−−−++=++−因为复数i1()1iaa−+R是实数，所以10,1

aa+==−.所以222(i)()12babibbi+=−=−−，因为复数2(i)ba+是纯虚数，所以210,120bbb−==−.故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的概念，意在考查学生对这些知识

的理解掌握水平.14.()()611xax−+（0a）的展开式中2x的系数为9，则a=______.【答案】1【解析】【分析】通过分类讨论结合二项展开式的通项公式进行求解即可．【详解】解：6(1)(0)axa+的通项公式166

()kkkkkkTCaxCax+==，若第一括号是1，则第二个括号必须是2x相乘，若第一括号是x−，则第二个括号必须是x相乘，则2x项系数为2212661569CaCaaa−=−=，即25230aa−−=，得(1)(53)0aa−+=，

得1a=或35a=−（舍)，故答案为：1．【点睛】本题主要考查二项式定义的应用，注意要对系数进行分类讨论，属于中档题．15.已知定义在R上的函数()fx满足：()2()fxfx=−−，且函数(1)fx+是偶函数

，当1,0x−时，2()1fxx=−，则20203f=________.【答案】139【解析】【分析】因为函数()fx满足：()2()fxfx=−−，且函数(1)fx+是偶函数，可知函数()fx是周期为4的周期函数；然后再根据周期性可得202033

4ff=，在根据题意可知42233ff=−−，即可求出结果.【详解】因为函数()fx满足：()2()fxfx=−−，且函数(1)fx+是偶函数，所以(1)(1)2fxf

x++−−=，且(1)(1)fxfx+=−+，可得(1)(1)2fxfx−++−−=，即(1)(1)2fxfx++−=所以(2)()2fxfx++=…①，(4)(2)2fxfx+++=…②②-①，可得(4)()fxfx+=，即()fx是周期为4的周期函数；4420201684333ff

f=+=，又1151311223333394922fffff=+=−==−−=−=，所以20203319f=

.故答案为：139.【点睛】本题考查了函数周期性，利用()2()fxfx=−−，且函数(1)fx+是偶函数得到函数()fx是周期为4的周期函数是本题的解题关键，本题属于中档题.16.将函数()cosfxx=图象上各点的横坐标变为原来

的12倍，然后再向右平移12个单位得到函数()ygx=的图象，则()gx的解析式为_______；若方程()25gx=在()0,x的解为1x、2x，则()12cosxx−=______.【答案】(1)

.()cos26gxx=−(2).25−【解析】【分析】利用三角函数图象变换可求得函数()ygx=的解析式为()cos26gxx=−，由()()1225gxgx==计算得出()12cos22xx−的值，并求出12xx−的取值范围，由此可求得()12cos

xx−的值.【详解】将函数()cosfxx=图象上各点的横坐标变为原来的12倍，然后再向右平移12个单位得到函数()ygx=的图象，则()cos2cos2126gxxx=−=−，当()0,x时，11

2666x−−，由题意可得()()1225gxgx==，即1223cos2cos26652xx−=−=，令26x−=，得712x=，可得函数()ygx=的图象关于直线712x=对称，1276

xx+=，所以，1222266xx−+−=，且12662x−，()121211cos22cos22cos2226666xxxxxx−=−−−=−−+−2211217co

s222cos212166525xx=−=−−=−=−，()()122121711cos22425cos2225xxxx−+−−===，12662x−，163x，121117752,66

62xxxxx−=−−=−−−，()122cos5xx−=−.故答案为：()cos26gxx=−；25−.【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了利用二倍角的

余弦公式、两角差的余弦公式，考查计算能力，属于中等题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知,,abc分别为ABC内角,,ABC的对边，若ABC是锐角三角形，需要同时满足下列四个条件中的三个：①3A=②13a=③15c=

④1sin3C=（1）条件①④能否同时满足，请说明理由；（2）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应的ABC的面积.【答案】（1）不能，理由见解析；（2）同时满足①②③，303.【解析】【分析】（1）如果条件①④能同时满足，可知在锐角ABC中32AC+，可

得2B，即可判断结结果；（2）由（1）知不能同时满足①④，故只能同时满足①②③或②③④；若同时满足②③④，因为ca，则6AC，可得2B，可知不满足题意；只能同时满足①②③，可根据余弦定理可求出b的值，再根据三角形面积公式即可求出结果.【详解】解：（1）ABC不能同时满足①，④

.理由如下：若ABC同时满足①，④，则在锐角ABC中，11sin32C=，所以06C又因为3A=，所以32AC+所以2B，这与ABC是锐角三角形矛盾所以ABC不能同时满足①，④.（2）因为ABC需同时满足三个条件，由（1）知不能同时满足①④，故只能同时满足①②③或②③④若

同时满足②③④，因为ca，所以CA，则6AC，则2B这与ABC是锐角三角形矛盾.故ABC不能同时满足②③④，只能同时满足①②③.因为2222cosabcbcA=+−，所以222113152152bb=+−，解得8b=或

7b=.当7b=时，22271315cos02713C+−=，所以C为钝角，与题意不符合，所以8b=.所以ABC的面积1sin3032SbcA==.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和等性质和余弦定理在

解三角形中的应用，属于中等题.18.在几何体EFGABCD−中，如图，四边形ABCD为平行四边形，////AFBGDE，平面//EFG平面ABCD，DF⊥平面ABCD，2AFABAD==，⊥EFEG.（1）求证：CEAD⊥；（2）求二面角ACED−−的余弦值.【答案

】（1）见解析（2）75555【解析】【分析】（1）由////AFBGDE，得到平面ADEF，平面ABFG，根据平面//EFG平面ABCD，由面面平行的性质定理得到//EFAD，进而得到四边形ADEF

为平行四边形，再根据DF⊥平面ABCD，得到DFAD⊥，由//DFGC，得到ADGC⊥，同理得到ADEG⊥，由线面垂直的判定定理得到AD⊥平面EGC得证.（2）由（1）可知，直线DF、DB、DA两两垂直.以D为坐标原

点，以DA、DB、DF为坐标轴建立的空间直角坐标系Dxyz−，设1DA=，则3DB=，3DF=，分别求得平面ACE和平面CED的一个法向量12,nn，代入121212cos,nnnnnn=求解.【详解】（1）证明：由////AFBG

DE，可知E、F、A、D四点确定平面ADEF，A、B、F、G四点确定平面ABFG.∵平面//EFG平面ABCD，且平面EFG平面ADEFEF=，平面ABCD平面ADEFAD=，∴//EFAD，四边形ADEF为平行四边形.同理可得，四边

形ABGF为平行四边形，四边形CDFG为平行四边形.∵DF⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴DFAD⊥，而//DFGC，于是ADGC⊥.由⊥EFEG，//EFAD，则ADEG⊥.由GCEGG=，GC平面EGC，GEÌ平面E

GC.∴AD⊥平面EGC，而EG平面EGC，∴ADEC⊥.（2）由（1）可知，直线DF、DB、DA两两垂直.以D为坐标原点，以DA、DB、DF为坐标轴建立的空间直角坐标系Dxyz−.不妨设1DA=，则3DB=，3DF=.∴()0,0,0D，()1,

0,0A，()0,3,0B，()1,0,3E−，()1,3,0C−，则()0,3,3CE=−，()2,3,0AC=−，()1,3,0DC=−，设平面ACE的一个法向量为()1111,,nxyz=，则1100CEnACn=

=，则1111330,230,yzxy−+=−+=，令11y=，则11z=，132x=，∴平面ACF的一个法向量为13,1,12n=.设平面CED的一个法向量为()2222,,nxyz=，则2200CEnDCn==

，则2222330,30,yzxy−+=−+=，令21y=，则21z=，23x=，∴平面CED的一个法向量为()23,1,1n=.∴二面角ACED−−的余弦值为121212755cos,5

5nnnnnn==.【点睛】本题主要考查线线平行，线面平行，面面平行的转化，线线垂直与线面垂直的转化以及向量法求二面角问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理、运算求解的能力，属于中档题.19.已知数列na的前n项和为nS，112a=，122nn

nSSa+=+；正项等差数列nb的首项为2，且1b，21b−，3b成等比数列.（1）求na和nb的通项公式.（2）若11+=+nnnncabb，nc的前n项和nT满足0+nTk()nN，求实数k的取值范围.【答案】（1）1()2nna=

；31nbn=−；（2）7,6−−.【解析】【分析】（1）根据公式11nnnSSa++−=，化简可知数列na是等比数列，求通项公式，再根据等()22131bbb−=，求得数列nb的公差和通项公

式.（2）由（1）可知11111111()()()2(31)(32)233132nnnnnncabbnnnn+=+=+=+−−+−+，根据等比数列求和以及裂项相消法求和求得nT，转化为()minnkT.【详解】解：（1）由122nnnSSa

+=+得，11222nnnnSSaa++−==，112nnaa+=na是首项为12，公比为12的等比数列.1()2=nna.设等差数列nb的公差为d，由12b=，1b，21b−，3b成等比数列.2(1)2(22)+=+dd即2230dd

−−=.0d3d=.31=−nbn.（2）11111111()()()2(31)(32)233132nnnnnncabbnnnn+=+=+=+−−+−+.21111111111()()()()()222325583132=++++−+−++−−+

nnTnn111()11171122()()13232623(32)12−=+−=−+++−nnnn.不等式0+nTk可化为117()23(32)6+−+nkn，*nN数列()112332nn++

单调递减，117()23(32)6nn+−+的值域是73,65−−故76−k因此实数k的取值范围为7,6−−.【点睛】本题考查数列递推公式求通项公式，以及等差和等比数列，裂项相消法求和，以及数列

的函数性质，重点考查了计算能力，转化与化归的思想，属于中档题型，20.随着人们生活水平的不断提高，肥胖人数不断增多.世界卫生组织（WHO）常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦成度以及是否健康，其计算公式是22kg)BMIm)=体重（单位：身高（单

位：.成人的BMI数值标准为：BMI18.4偏瘦；18.5BMI23.9为正常；24BMI27.9为偏胖；BMI28为肥胖.某研究机构为了解某快递公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工

体检数据中，抽取了8名员工（编号1-8）的身高x（cm）和体重y（kg）数据，并计算得到他们的BMI（精确到0.1）如下表：编号12345678身高（cm）163164165168170172176182体重（kg）54

60777268●7255BMI（近似值）20.322.328.325.523.523.723.216.6（1）现从这8名员工中选取3人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X，求X的分布列及数学期望.（2）研究机构分析发现公司员工的身高x（cm）和体重y（kg）之间有较强

的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为0.5yxa=+，且根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg，计算得到的其它数据如下：170x=，8189920==iiixy.①求a的值及表格中8名员工体

重的平均值y.②在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg，身高数据无误，请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm的员工的体重.附：对于一组数据1

1(,)xy，22(,)xy，…，(,)nnxy，其回归直线ybxa=+$$$的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：1221niiiniixynxybxnx==−=−，aybx=−.【答案】（1）分布列见解析，()158E

X=；（2）①19=−a，66=y；②0.869yx=−；75kg.【解析】【分析】（1）由题得X的可能取值为0，1，2，3，再利用古典概型求出对应的概率，再写出分布列和期望得解；（2）①先求出19=−a，再求出表格中8名员工体重的平均值y；②求出0.8b=，69a=−，求出

更正后该组数据的线性回归方程为0.869yx=−，再预估一名身高为180cm的员工的体重.【详解】解：（1）8名员工BMI数值为“正常”的员工有5人，记抽到BMI值为“正常”的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，则

0353381(0)56CCPXC===，12533815(1)56CCPXC===，2153383015(2)5628CCPXC====，305338105(3)5628CCPXC====.故X的分布列为X0123P15

615561528528则()1515510515123562828568EX=++==.（2）①调查员甲由线性回归方程0.5yxa=+预估一名身高为180cm的员工的体重为71kg，由此计算711800.519a=−=−，故0.517019

66ˆˆybxa=+=−=.②由①知更正前的数据170x=，66=y.由81822180.58iiiiixyxybxx==−==−得88221182(8)2(89920817066)320iiiiixxxyxy==−=−=−=，更正后的数据170==xx，6688678

+==y，888811181828iiiiiiiiixyxyxxy====+=+，888(1)88170xyxyxyxy==+=+，所以8811882222118(1828)(88170)960.50.832088iiii

iiiiiixyxyxyxybxxxx====−+−+===+=−−.故670.817069aybx=−=−=−.更正后该组数据的线性回归方程为0.869yx=−.当180x=时，0.81806975y=−=，所以重新预估一名身高为1

80cm的员工的体重约75kg.【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望，考查线性回归方程的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.21.已知椭圆C：22142xy+=，A、B分别为椭圆长轴的左、右端点，M为直线2x=上异于点B的任意一点，连接AM交椭

圆于P点.（1）若3△△=AOPMOPSS，求直线AM的方程；（2）是否存在x轴上的定点Q使得以MP为直径的圆恒过MQ与BP的交点？如果存在，请求出定点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）6

(2)6yx=+或6(2)6=−+yx；（2）存在，(0,0)Q.【解析】【分析】（1）根据3△△=AOPMOPSS，可得3=APPM，利用坐标计算，可得点P，代入椭圆方程，然后可得m，最后可得直线AM的斜率并得方程.（2）

假设直线AM的方程，然后分别与2x=，22142xy+=联立，可得,MP，然后假设点Q的坐标，根据0=QMBP，可得结果.【详解】解：（1）设00(,)Pxy，(2,)Mm.3△△=AOPMOPSS，3=A

PPM(2,0)A−，0000(2,)3(2,)+=−−xyxmy.整理得00134xym==，即3(1,)4mP.代入椭圆方程解得：263m=26(2,)3M，66=AMk.故直线AM的方程为6(2)6yx=+或6(2)6

=−+yx.（2）方法一：由题可知：直线AM的斜率存在设直线AM的方程为(2)(0)ykxk=+，00(,)Pxy，由(2)2ykxx=+=得(2,4)Mk.由22(2)142ykxxy=++=得222

2(21)8840+++−=kxkxk.2222(8)4(21)(84)160=−+−=kkk(2,0)A−20284221−−=+kxk2022421−=+kxk()20022242442,,

212121kkkykxPkkk−=+=+++.假设存在定点(,0)Qt满足要求，则0=QMBP.(2,0)B(2,4)=−QMtk，22284(,)2121−=++kkBPkk.2222816(2)02121−−+=++kk

tkk，整理得20=tk.0k0t=存在x轴上的定点(0,0)Q，使得以MP为直径的圆恒过MQ与BP的交点.方法二：假设存在定点(,0)Qn满足要求，设000(2,),(,),(0,2)MmPxymx，则由以

MP为直径的圆通过MQ与BP的交点得0=MQBP00000(2,)(2,)2240nmxynxnxmy−−−=−−+−=①设00(,)Pxy2200221xyab+=整理得2202220ybxaa=−−(,0),(,0)AaBa−00APykxa=−，00

BPykxa=+220222012APBPybkkxaa==−=−−，001422ymx=−−，整理得0024xmy+=.②将②代入①，有0(2)0nx−=，02x，解得0n=.存在x轴上的定点(0,0)Q，使得以M

P为直径的圆恒过MQ与BP的交点【点睛】本题考查椭圆的方程以及过定点问题，（1）中难点在于得到3=APPM，（2）中关键在于得到0=MQBP，考验分析能力以及计算能力，属较难题.22.已知函数()(1)xaxefx=−（e为自然对数的底数），其中0a.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若函

数()fx的两个极值点为()1212,xxxx，证明：2121ln()ln()2fxfxaxxa−−−.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求出()22+xxaxafxex−=，再对24aa=−分类讨论即得函

数的单调性；（2）求出()()21122121ln()ln()ln1ln11fxfxxxxxxx−−−−=+−−，2aa−()()122111xx=+−+−，转化成证明()()12ln1ln1xx−−−()()()(

)211221111xxxx−−−−+−成立，设11mx=−，21nx=−，则0nm，转化成证明21ln1mmnmnn−+成立，设mtn=，则01t，构造函数()()21ln1thttt−=−+，()

01t，证明()()10hth=，即()21ln1ttt−+成立，原题得证.【详解】解：（1）()fx的定义域0xx，()22+xxaxafxex−=，0a，方程20xaxa−+=，判别式24aa=−，当0

4a时，240aa=−，20xaxa−+恒成立，所以()22+xxaxafxex−=0恒成立，函数()fx在(,0)−和(0,)+上单调递增.当4a时，240aa=−，令()0fx¢=，得2142aaax−−=，224

2aaax+−=，因为4a，所以121xx.所以当(),0x−或()10,xx或()2,xx+时，()0fx¢>，当()12,xxx时，()0fx¢<，所以()fx在(),0-?和()10,x和()2,+x是增函数，在()12

,xx是减函数.综上所述：当04a时，函数()fx在(,0)−和(0,)+上单调递增；当4a时，函数()fx在(),0-?和240,2aaa−−和2+4+2aaa−，单调递增，在224+4,22aaaa

aa−−−单调递减.（2）由（1）可知，当4a时函数()fx存在两个极值点12,xx，且12,xx是方程2+0xaxa−=的两根，所以1212xxxxa+==，且121xx.()11121(1)(1)xxafxexex=−=−，()()2211xfxxe=−，

所以()()221lnln1xfxxe=−()12ln1xx=−+，()()112lnln1xfxxe=−()21ln1xx=−+，所以()()()()21122112212121ln()ln()ln1ln1ln1ln1=1

fxfxxxxxxxxxxxxx−−+−−−−−−=+−−−，又=2aa−()21221122axx+=+−+−()()122111xx=+−+−，所以，要证2121ln()ln()2fxfxaxxa−−−成立，即证()()1221ln1ln1xxxx−−−−()()12211xx

−+−成立，因为且121xx，所以即证()()12ln1ln1xx−−−()()()()()()()2121121221121111xxxxxxxx−−−−=−+−−+−成立，设11mx=−，21nx=−，则0nm，只要证()2lnlnnmmnm

n−−+成立，即证21ln1mmnmnn−+成立.设mtn=，则01t，构造函数()()21ln1thttt−=−+，()01t则()()24101ht+tt=+，所以()ht在()0,1t上单

调递增，()()10hth=，即()21ln1ttt−+成立，从而2121ln()ln()2fxfxaxxa−−−成立.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知

识的理解掌握水平和分析转化能力.