【文档说明】【精准解析】山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（一）数学试卷.doc，共(28)页，2.583 MB，由小赞的店铺上传

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2020年高考适应性训练数学试题（一）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案

写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|320Axxx=−+，|1|1B=x|x−，则AB=（

）A.|02xxB.1|0xxC.|2xxD.|12xx【答案】D【解析】【分析】解出集合A、B中的不等式即可.【详解】因为2|320|12Axxxxx=−+=，|1|102B=x|xx|x<−=所以AB=|12xx故选

：D【点睛】本题考查的是一元二次不等式的解法和集合的运算，较简单.2.已知()2ii2iz+=−，则z=（）A.3B.2C.1D.12【答案】C【解析】【分析】本题首先可根据复数的四则运算得出4355zi=−+，然后根据复

数的模的相关计算即可得出结果.【详解】()()()()()2221222122222iiiiiiiziiiii+−++−====−−−−+224224224343441555iiiiiiii+−−−−−−+====−+−+，故2243155z=−+=，故

选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算以及复数的模，若复数zabi=+，则22zab=+，考查计算能力，是简单题.3.下列结论正确的是（）A.残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低.B.在线性回归模型中，相关指数0.96=2R，说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%

.C.已知随机变量2(2,)XN，若(02)0.4PX=，则(4)0.2PX=.D.设,ab均为不等于1的正实数，则“log2log2ba”的充要条件是“1ab”.【答案】B【解析】【分析】根据残差点均匀分布的带状

区域的宽度越窄，说明模型拟合效果越好、精度越高可知，选项A正确；根据相关指数意义可知，选项B正确；根据正态曲线的对称性可知，故选项C错误；根据对数的性质以及对数函数的单调性可知，选项D错误.【详解】对于A，残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，故选项A错

误；对于B，在线性回归模型中，相关指数0.96=2R，说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%，故选项B正确；对于C，因为2=且(02)0.4PX=，所以(24)0.4PX=，所以(4)(2)(02)0.50.40.1

PXPXPX=−=−=，故选项C错误；对于D，log2log2ba2211loglogba101ba或1ab或01ba，故选项D错误.故选：B.【点睛】本题考查了回归分析，考查了正态分布，考查了对数的性质以及对数函数的单调

性，考查了充要条件，属于基础题.4.若3nxx+的展开式中各项系数之和为256，则展开式中x的系数是（）A.54B.81C.96D.106【答案】A【解析】【分析】先由题意求出n，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果.【详解】因为3nxx+的展开式中各项系数之和为25

6，所以8(213)256n+==，解得4n=，因此43xx+的展开式的通项是432442214433rrrrrrrrTCxxCx−−−−−+==，由3212r−=得2r=，所以，展开式中

x的系数为224354C=.故选：A.【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.5.若圆锥的侧面展开图是半径为l的半圆，则这个圆锥的表面积与侧面积比值是（）A.32B.2C.43D.53【答案】A【解析】【分析】设该圆锥的底面半径为r，母线长为l，根

据题意可得rl=，所以2lr=，然后根据圆锥的表面积公式计算即可.【详解】设该圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据题意可得rl=，所以2lr=所以这个圆锥的表面积与侧面积比值是()222:2:32:3rlrlrrr+==故选：A【点睛】本题

考查的是圆锥的表面积公式，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.6.已知点00(,)Mxy在直线320xy++=上，且满足001xy−，则00yx的取值范围为（）A.1(3,]3−−B.()1,3(,)3−−−+C.1(,3](,3+)−−−D.1(3,)

3−−【答案】B【解析】【分析】由001xy−，求出0x的取值范围，再求00yx的范围．【详解】由题意00320xy++=，0032yx=−−，∵001xy−，∴00321xx−−−，解得034x−，000003223yxxxx−

−==−−，∵034x−，∴0143x−或010x，∴0233x−−−或02133x−−−，所以01(,3)(,)3y−−−+．故选：B．【点睛】本题考查直线方程，考查不等式的性质，解题过程是利用点在直线上，且满足的不等关系求出0x的范围，然

后再利用不等式的性质求解．7.函数()cos2lg22xxxfx−−=−在区间)(3,00,3−上的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简函数()yfx=的解析式，判断函数()yfx=的奇偶性及()3f的符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】()coss

in2lg22lg22xxxxxxfx−−−==−−，()()()sinsinlg22lg22xxxxxxfxfx−−−−==−=−−−，函数()yfx=为奇函数，排除A、D选项；()sin3301lg88f=

−，排除B选项.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的解析式选择函数图象，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号进行分析，结合排除法得出合适的选项，考查推理能力，属于中等题.8.已知函数4(),[,)afxxbxbx=+++，其中0,baR，记M为()fx的最小

值，则当2M=时，a的取值范围为（）A.13aB.13aC.14aD.14a【答案】D【解析】【分析】根据a的正负以及与b大小关系分类讨论()fx单调性，再根据单调性确定最小值取法，最后根据最小值求结果.【详解】①当0a时，()fx在[,)+b上单调

递增，所以min4118()()2202aafxfbbbbb+−==+==Q，因此0a满足题意；②当0a时，()fx在[2,)a+上单调递增，在(0,2)a上单调递减因此⑴当2ab时，()fx在[,)+b上单调递增，所以

2min4118()()2220180,22aafxfbbbbaabab−==+=−+==−=Q，222121182()042432bbaababbbbb+−−=QQ118121841

0216aaaaa+−−−Q或116181681aaaa−−+1016a或11169a109a⑵当2ab时，()fx在[2,)a+上单调递增，在[,2)ba上单调递减，所以min

11()(2)4202224094fxfaabbaaaa==+=−Q；综上，a的取值范围为14a，故选：D【点睛】本题考查函数最值、分式函数单调性，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小

题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和

，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（）A.此数列的第20项是200B.此数列的第19项是182C.此数列偶数项的通项公式为222nan=D.此数列的前

n项和为(1)nSnn=−【答案】AC【解析】【分析】首先寻找出数列的规律，归纳出通项公式，然后判断各选项即可．【详解】观察此数列，偶数项通项公式为222nan=，奇数项是后一项减去后一项的项数，2122nnaan−=−，由

此可得220210200a==，A正确；192020180aa=−=，B错误；C正确；2(1)nSnnnn=−=−是一个等差数列的前n项，而题中数列不是等差数列，不可能有(1)nSnn=−，D错．故选：AC．【点睛】本题考查数列的通项公式，要求从数列的前

几项归纳出数列的通项公式．这里我们只能从常见的数列出发，寻找各项与项数n之间的关系，归纳结论．有时需要分奇数项与偶数项分别讨论归纳出结论，或者寻找两者的关系，从而得出结论．10.已知1F、2F是双曲线22:142yxC−=的上、下焦点

，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12FF为直径的圆经过点M，则下列说法正确的是（）A.双曲线C的渐近线方程为2yx=B.以12FF为直径的圆的方程为222xy+=C.点M的横坐标为2D.12MFF△的面积为23【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线的标准方程求出渐

近线方程，以12FF为直径的圆的方程，M点坐标，12MFF△的面积然后判断各选项．【详解】由双曲线方程22142−=yx知2,2ab==，焦点在y轴，渐近线方程为2ayxxb==，A正确；226cab=+=，以12FF为直径的圆的方程是226xy+=，B错；由

2262xyyx+==得22xy==或22xy=−=−，由对称性知M点横坐标是2，C正确；1212112622322MFFMSFFx===△，D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查双曲线的几何性质，解题时可根据双曲线方程确定,,abc，同时注

意焦点据的轴，然后根据,,abc求解其他量．11.已知定义在R上的函数()fx满足()()0,(6)()fx+fxfxfx−=+=−，且对12,3,0xx−，当12xx时，都有11221221()()()()xfxxfxxfxxfx++，则以下判断正确的是（）A.函数()fx是偶

函数B.函数()fx在9,6−−单调递增C.3x=是函数()fx的对称轴D.函数()fx的最小正周期是12【答案】BCD【解析】【分析】由()+()0fxfx−=得函数为奇函数，判断A选项；通过(6)()fxfx+=−得函数的最小正周期，判断D选项；通过题意得(6)()fxfx

+=−，进而得函数的对称轴，判断C选项；化简11221221()()()()xfxxfxxfxxfx++为()()()()12120xxfxfx−−得到函数在3,0−上的单调性，结合奇偶性、对称轴、周期得9,6−−上的单

调性，判断B选项即可.【详解】解：因为()+()0fxfx−=，即()()fxfx−=−，所以函数为奇函数，故A选项错误；因为(6)()fxfx+=−，而()()fxfx−=−，所以(6)()fxfx+=−，所以函数的对称轴为6032x+==

，故C选项正确；因为(6)()fxfx+=−，所以()(12)(6)fxfxfx+=−+=，即()(12)fxfx+=，所以()fx的最小正周期是12，故D选项正确；因为12,3,0xx−，当12xx时，都有11221221()()()()xfxxfxxfxxfx++，

由11221221()()()()xfxxfxxfxxfx++化简得()()()()12120xxfxfx−−，所以[]3,0x?时，()fx为减函数.因为函数为奇函数，所以0,3x时，()fx为减函数，又因为函数()fx关于3

x=对称，所以3,6x时，()fx为增函数.因为()fx的最小正周期是12，所以9,6x−−的单调性与3,6x时的单调性相同.故，9,6x−−时，()fx单调递增，故B选项正确.故选：BCD.

【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性，奇偶性，对称轴和周期，属于中档题.12.如图四棱锥PABCD−，平面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD是边长为26的正三角形，底面ABCD为矩形，23CD=，点Q是PD的中点，则下列结论正确

的是（）A.CQ⊥平面PADB.PC与平面AQC所成角的余弦值为223C.三棱锥BACQ−的体积为62D.四棱锥QABCD−外接球的内接正四面体的表面积为243【答案】BD【解析】【分析】取AD的中点O，BC的中点E，连接,OEOP，则由已知可得

OP⊥平面ABCD，而底面ABCD为矩形，所以以O为坐标原点，分别以,,ODOEOP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可.【详解】解：取AD的中点O，BC的中点E，连接,O

EOP，因为三角形PAD为等边三角形，所以OPAD⊥,因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD，因为ADOE⊥，所以,,ODOEOP两两垂直，所以，如下图，以O为坐标原点，分别以,,ODOEOP所在的直

线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(6,0,0),(6,0,0)ODA−，(0,0,32),(6,23,0),(6,23,0)PCB−，因为点Q是PD的中点，所以632(,0,)22Q，平面PAD的一个法向量为(0,1,0)m=，632(,23,)

22QC=−，显然m与QC不共线，所以CQ与平面PAD不垂直，所以A不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,23,0)22PCAQAC=−==，设平面AQC的法向量为(,,)nxyz=，

则363202226230nAQxznACxy=+==+=，令=1x，则2,3yz=−=−，所以(1,2,3)n=−−，设PC与平面AQC所成角为，则261sin366nPCnPC===ruuurruuur，所以22cos3=，所以B正确；三棱锥BACQ−的体

积为1132BACQQABCABCVVSOP−−==1112326326322==，所以C不正确；设四棱锥QABCD−外接球的球心为(0,3,)Ma，则MQMD=，所以()()()22222263236322aa++−=++

，解得0a=，即(0,3,0)M为矩形ABCD对角线的交点，所以四棱锥QABCD−外接球的半径为3，设四棱锥QABCD−外接球的内接正四面体的棱长为x，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面

的对角线，故正方体的棱长为22x，所以222362x=，得224x=，所以正四面体的表面积为2342434x=，所以D正确.故选：BD【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.三、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.13.用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成________个三位正整数.【答案】100【解析】【分析】用分步乘法原理计数．【详解】用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成三位数的个数为455100=．故答案为：100．【点睛】本题考查分

步乘法原理，解题关键是确定完成这件事的方法，是分步还是分类．14.函数()2sincossin222xxxfx=+−在0,上的最小值是________.【答案】212+−【解析】【分析】利用三角恒等变换思想化简得出()21sin242f

xx=−−−，由0x计算得出4x−的取值范围，再利用正弦函数的基本性质可求得函数()yfx=的最小值.【详解】()2211cossincossinsincossinsin22222222xxxxxxxfxx−=+−=−−=−−

11121sincossin222242xxx=−−−=−−−，当0x时，3444x−−，所以当42x−=时，函数()yfx=取得最小值，即()min2121222fx+=−−=−.故答案为：212+−.【点睛】

本题考查正弦型函数在区间上最值的求解，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题.15.已知一袋中装有红，蓝，黄，绿小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回.当四种颜色的小球全部取出时即停止，则恰好取6次停止的概率为_

_____.【答案】75512【解析】【分析】事件“恰好取6次停止”是第4种颜色第6次才取到，前5次只出现3种颜色，求出它的方法数，再求出取6次球的总方法数，由概率公式可计算出概率．【详解】取球6次，总的方法为64，记“恰好取6次停止”为事件A，事件A的发生，前5

次取球只出现3种颜色，第6次取出的是第4种颜色，而前5次出现3种颜色又可从3种颜色出现的次数分成两类，1、1、3和1、2、2，因此事件A的方法数为223335345322600CCCCAA+=，所以660075()4512PA==．故答案为：755

12．【点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定事件发生的过程，即怎样完成事件“恰好取6次停止”．是分类还是分步，根据不同的方法选择不同的计数方法．16.已知圆F：()2231xy++=，直线:2ly=，则与直线l相切

且与圆F外切的圆的圆心M的轨迹方程为_________.点P是圆心M轨迹上的动点，点A的坐标是()0,3，则使|PF||PA|取最小值时的点P的坐标为__.【答案】(1).212xy=−(2).()6,3−【解析】【分析】根据直线与圆位置关系以及圆与圆位置关

系列式，再化简得结果；根据两点间距离公式化简，再根据基本不等式确定最小值取法，即得结果.【详解】因为圆M与直线l相切且与圆F外切，所以||1MlMFd−=+设22(,)(3)|2|1Mxyxyy++=−+当2y时，222(3)312xyyxy++=−=−

当2y时，222(3)1880xyyxy++=−=−−，舍综上，圆心M的轨迹方程为212xy=−设2(,)12,0Pmnmnn=−2222222(3)12(3)121189(3)12(3)mnnn|PF|n|PA|nnmn

nn++−++===+−++−−+−当0n=时，1|PF||PA|=当0n时，121211192918()182()|PF||PA|nnnn=++=−−−+−−−−−当且仅当23,3,36,6nnmm−==−==时取等号综上，使|PF||PA|取最小

值时的点P的坐标为()6,3−故答案为：212xy=−，()6,3−【点睛】本题考查求动点轨迹方程、利用基本不等式求函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列

na各项均为正数，11a=，2na为等差数列，公差为2.（1）求数列na的通项公式；（2）求2223221232222nnnSaaaa=++++.【答案】（1）21nan=−；（2）()16232n+nSn=+−.【解析】【分析】（1）确定等差数列2na的首项和公差，可求得数列

2na的通项公式，进而可求得数列na的通项公式；（2）利用错位相减法可求得nS.【详解】（1）11a=，211a=，2na为等差数列，公差为2，()2211221naann=+−=−，0na，数列na的通项公式为21nan=−；（2）2223221

232222nnnSaaaa=++++，即()23123252212nnSn=++++−则()23412123252212n+nSn=++++−以上两式相减，得()23112222222212nn+nSn−=+

+++−−()()()()31123112122212222212623212nnnn+n+nnn−++−=+−−=+−−−=−−−−.因此，()16232n+nSn=+−.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了错

位相减法，考查计算能力，属于中等题.18.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且222(2)()2cosbcbacabcC−−+=.（1）求角A的大小.（2）若3B=，D为ABC外一点，2BD=，1CD=，四边形ABDC的面积是5324+，求a.【答案】（

1）3A=；（2）523a=+.【解析】【分析】（1）本题首先可以根据正弦定理以及余弦定理对()()22222cosbcbacabcC−−+=进行化简，得出2sincossinBAB=，再根据sin0B以及()0,A

即可得出结果；（2）首先可以结合题意绘出图像，然后在BCD中根据余弦定理得出254cosBCD=−，再然后根据解三角形面积公式求出ABCS以及BDCS，并根据四边形ABDC的面积是5324+求出56D=，最后将56D=代入2

54cosBCD=−，即可得出结果.【详解】（1）因为()()22222cosbcbacabcC−−+=，所以()()2222cos2bcbcaaCbc−+−=，由余弦定理可得()2coscosbcAaC−=，由正弦定理可得2sincoss

incossincosBACAAC−=，因为ABC++=，所以()2sincossincoscossinsinsinBACACACAB=+=+=，因为sin0B，所以1cos2A=因为()0,A，所以3

A=.（2）如图，结合题意绘出图像：在BCD中，2BD=，1CD=，由余弦定理得：22212212cos54cosBCDD=+−=−，因为3AB==，所以3C=，ABC为等边三角形，所以2153sin3cos234ABCSBCD△==−，因为1sinsin2BDCS

=BDDCDD=，所以5353sin3cos2sin4453324ABDCSDDD四边形=+−=+−=+，所以sin()13D−=，因为(0,)D，所以56D=，故2554cos54cos5+236BCD=−=−=，523BC=+，即523a=+.【点睛】

本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式以及正弦定理边角互化，考查三角恒等变换，考查的公式有()sincoscossinsinCACACA+=+、1=sin2SabC、2222cosabcbcA=+−等，

考查化归与转化思想，是中档题.19.条件①：图（1）中4tan23B=−.条件②：图（1）中2133ADABAC=+uuuruuuruuur.条件③：图（2）中三棱锥ABCD−的体积最大.从以上三个条件中任选一个，补充在问题（2）中的横线

上，并加以解答.如图（1）所示，在ABC中，45ACB=，3BC=，过点A作ADBC⊥，垂足D在线段BC上，沿AD将ABD△折起，使90BDC=（如图（2）），点,EM分别为棱,BCAC的中点.（1）求证：CDME⊥.（2）已知______，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM⊥，

并求锐二面角MBNC−−的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）证明见解析；（2）不论选择哪个条件，66.【解析】【详解】解：（1）,,CDADCDBDADBDD⊥⊥=，CD\^平面ABD，ABÌ平面ABD，CDAB⊥.又

,ME分别为,ACBC的中点，//,MEAB.CDME⊥（2）方案一：选①在图（1）所示的ABC中，由242tantan231tanBBB=−=−，解得tan2B=或1tan2B=−（舍去）.设ADCDx==，在RtABD△中，tan23ADxBBD

x===−，解得2x=，1BD=.以点D为原点，,,DBDCDA分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−，1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1),(,1,0)2DBCAME，则(1),1,1BM=−设(0,

,0)Na，则1(,1,0)2ENa=−−.,0ENBMENBM⊥=，即1,1,0()(1,1,1)02a−−=−，12a=，1(0,,0)2N，∴当12DN=（即N是CD的靠近D的一个四等分点）时，ENBM⊥.取平面BNM的一个法

向量(,,)nxyz=，且1(1,,0)2BN=−，由00nBNnBM==，得200xyxyz−+=−++=，令1x=，则(1,2,1)n=−.取平面BNC的一个法向量(0,0,1)m=，222(0

,0,1)(1,2,1)6cos,6|12(1)mnmnm||n−===−++−|，锐二面角MBNC−−的余弦值为66.方案二：选②在图（1）所示的ABC中，设BDBC=，()(1)ADABBDABBCABACABABAC

=+=+=+−=−+，又因为2133ADABAC=+uuuruuuruuur，由平面向量基本定理知13=，即1BD=.以点D为原点，,,DBDCDA分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−，1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1),(,

1,0)2DBCAME，则(1),1,1BM=−.设(0,,0)Na，则1(,1,0)2ENa=−−.,0ENBMENBM⊥=.即1,1,0()(1,1,1)02a−−=−，12a=，1(0,,0)2N，∴当12DN=（即N是CD的靠近D的一个四等分点）时，E

NBM⊥.取平面BNM的一个法向量(,,)nxyz=，且1(1,,0)2BN=−，由00nBNnBM==，得200xyxyz−+=−++=，令1x=，则(1,2,1)n=−.取平面BNC的一个法向量(0,0,1)m=，222(0,0,1)(1,2,1)6cos,6|1

2(1)mnmnm||n−===−++−|，锐二面角MBNC−−的余弦值为66.方案三：选③在图（1）所示的ABC中，设(03)BDxx=，则3CDx=−，∵,45ADBCACB⊥=，∴ADC为等腰直角三角形，∴3A

DCDx==−，折起后,ADDCADBD⊥⊥，且BDDCD=I，∴AD⊥平面BCD，又90BDC=，1(3)2BCDSxx=−△，321111(3)(3)(69)3326ABCDBCDVADSxxxxxx−==−

−=−+△，(0,3)x，令321()(69)6fxxxx=−+，1()()3)12(fxxx=−−，当01x时，()0fx，当13x时，()0fx，∴1xBD==时，三棱锥ABCD−体积最大.以点D为原点，,,DBDCDA分别为,,xyz轴建立如图所示的

空间直角坐标系Dxyz−，1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1),(,1,0)2DBCAME，则(1),1,1BM=−.设(0,,0)Na，则1(,1,0)2ENa=−−.,0ENBMEN

BM⊥=，即1,1,0()(1,1,1)02a−−=−，12a=，1(0,,0)2N，∴当12DN=（即N是CD的靠近D的一个四等分点）时，ENBM⊥.取平面BNM的一个法向量(,,)nxyz=，且1(1,,0)

2BN=−，由00nBNnBM==，得200xyxyz−+=−++=，令1x=，则(1,2,1)n=−.取平面BNC的一个法向量(0,0,1)m=，222(0,0,1)(1,2,1)6cos,6|12(1)mnmnm||n−

===−++−|，锐二面角MBNC−−的余弦值为66.【点睛】本题考查证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角．解题关键是确定图形中点的位置关系，特别是线段的长度．其中方案①利用正切的二倍角公式求得tanB，从而确定出线段,ADBD，方案②利用平面向量基本定

理确定,BDAD，方案③，设一条线段如CDx=，求出棱锥体积，用导数求最值得出x值在，确定出,ADBD，然后建立空间直角坐标系，写出各点坐标，由向量垂直的坐标运算确定N点位置，求出二面角两个面的法向量，由法向量夹角的余弦得二面角的余弦．20.已知椭圆()2222:10xyCabab+=

的离心率为12，左、右焦点分别是1F、2F，不经过左焦点1F的直线20xy−+=上有且只有一个点A满足1290FAF=.（1）求椭圆C的标准方程.（2）与圆222xy+=相切的直线l：ykxm=+交椭圆C于P、Q两点，若椭圆上存在点M满足()()0OM

OPOQ=+，求四边形OPMQ面积的取值范围.【答案】（1）22143xy+=；（2）)2,6.【解析】【分析】（1）依题意可得直线20xy−+=与圆222xyc+=相切，利用点到线的距离公式即可求出c，再根据离心率及222bac=−，求出椭圆方程；（2）直线与圆相切得到()2221mk

=+，且22m，设()11,Pxy，()22,Qxy，()00,Mxy联立直线与椭圆方程消元列出韦达定理，由()OMOPOQ=+可得0202843643kmxkmyk−=+=+，又M在椭圆C上，得到2432km+=，则四边形OPMQ的面积2221

22343POQkSSk+==+△，最后根据函数的性质求出面积的取值范围；【详解】解：（1）直线20xy−+=上有且只有一个点A满足1290FAF=，直线20xy−+=与圆222xyc+=相切，()2200211c+−+=

−，1c=.又12ca=，2a=，2223bac=−=，椭圆C的方程为22143xy+=.（2）直线l：ykxm=+与圆222xy+=相切，221mk=+，即()2221mk=+，且22m.设()11,Pxy，()22,Qxy，()00,Mxy由22143ykxmx

y=++=消去y得，()2224384120kxkmxm+++−=，122843kmxxk−+=+，212241243mxxk−=+，()121226243myykxxmk+=++=+.()OMO

POQ=+，0202843643kmxkmyk−=+=+，又M在椭圆C上，2222864343143kmmkk−+++=，2432km+=.设P

Q的中点为E，则()2OMOPOQOE=+=，()0,0O到:lykxm=+的距离为d=2，∴四边形OPMQ的面积12222POQSSPQdPQ===△()()()2222222644412432143kmm

kkk−−+=++()()222224223234343kkkk−++=++22212343kk+=+，令()222211143286kfkkk+==−++，2866k+，()1132fk，26S，四边形OMPN面积的取值范围为)

2,6.【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.21.已知函数()ln1fxxxax=+−()aR.（1）讨论()fx的零点个数.（2）正项数列na满足123a=，11ln12nna+a++=（

nN），求证：121111nnaaa++++.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先利用导数求出()fx的最小值为11(e)1eaaf−−=−，然后分1a、1a=、1a三种情况讨论即可；（2）

由（1）知：当1a=时，()0fx，即1ln1xx−，可得121nnnaaa++，然后可得1112nna−，再由等比数列的前n项和公式，即可证明.【详解】（1）()fx的定义域为|0xx，令()ln10fxxa=+−=，则1axe−=.当10axe−

时()0fx；当1axe−时，()0fx，()fx在1(0,)ae−单调递减，在1(,)ae−+单调递增，()fx的最小值为11(e)1eaaf−−=−.当1a时，110ae−−，此时()fx无零点.

当1a=时，11e0a−−=，此时()fx只有一个零点当1a时，11e0a−−，(e)10af=，又1eeaa−，()fx在1(,)ae−+上有且只有一个零点.2(e)12eaaaaeafae−−−=−=，令()2ahaea=−，()e2aha=

−，1a，()0ha，()(1)20hahe=−，2eaa，(e)0af−，所以()fx在1(0,)ae−上有且只有一个零点.综上：当1a时，函数无零点；当1a=时，函数有且只有一个零点；当1a时，函数有两个零点.（2）由（1）知

：当1a=时，()0fx，1ln1xx−，1122ln12211nnnnnaaaaa++=+−=++，11111222nnnnaaaa++=+，11111(1)2nnaa+−−，21121111111111(1)(1)

(1)2222nnnnnaaaa−−−−−−−=，1112nna+12111()1111221()11212nnn+nnnaaa−+++=+−+−.【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的零点和证明不

等式，考查了分类讨论的思想，属于较难题.22.为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在[7

0,100)内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“=Y频率组距”)时，发现Y满足*8109,16300,N,55(1)11,161520nnYnnXnknn−=+−−„„.（1）试确定n

的所有取值，并求k；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在)95,100的参赛者评为一等奖；分数在[90,95)的同学评为二等奖，但通过附加赛有111的概率提升为一等奖；分数在[85

,90)的同学评为三等奖，但通过附加赛有17的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段评为二等奖.（i）求学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级的

概率；（ii）已知学生A和B都获奖，记AB，两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）314,15,16,17,18,19,50k=；（2）（i）51220；（ii）分布列见解析，2099.【解析】【分析】（1）X在)70,100内，按组距为5可分成6个

小区间，分别是[70,75),)75,80,[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100).由70100X，()551nXn+*nN，能求出n的所有取值和k；（2）（i）

由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.学生B的分数属于区间)70,75，)75,80，)80,85，)85,90，)90,95，)95,100的概率分别是360，1160，1960，1460，1160，260.用

符号ijA或（ijB）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中(),1,2,3jij=，记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W，由此能求出学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级的概率；（i

i）学生A最终获得一等奖的概率是()21111PA=，学生B最终获得一等奖的概率是()121211112727119PBB+=+=，的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，求出的分布列和E.【

详解】（1）根据题意，X在[70,100)内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100)，70100X，由*55(1),nXnn+N，14,15,16,17,18,19

n=.每个小区间的频率值分别是8109,14,15,16605115,17,18,19320nnPYknn−===−=−.由3111911151160606032k+++−++=，解得350k=.n的所有取值为14,15,16,17,18,19，350k=.（2）

（i）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.由（1）知，学生B的分数属于区间))))))70,75,75,80,80,85,85,90,90,95,95,100的概率分别是：360，1160，1960，1460，

1160，260.我们用符号ijA（或ijB)表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中(,1,2,3)jiij=„.记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W，则()12122223222()PWPBBBABA=+++()()()()()()1212

2223222PBPBPBPAPBPA=+++2111111010141105160601160111160711220=+++=.（ii）学生A最终获得一等奖的概率是()21111PA=，学

生B最终获得一等奖的概率是()12121112116060272711272796060PBB+=+=+=，1180(0)1111999P==−−=，111118(1)1111911999P=

=−+−=，111(2)11999P===，的分布列为：012P80991899199801812001299999999E=++=.【点睛】本题考查频率分布直方图、条件概率、离散型随机变量的分布列、数学期望，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属

于难题.