【文档说明】四川省成都市东部新区2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题 含解析.docx，共(16)页，1.033 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-b9ca0d7aa7dc56cdc8e7e2e5bbe1a8b0.html

以下为本文档部分文字说明：

成都东部新区2021~2022学年度（下）半期调研考试高二数学理科试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数2()7fxxx=−在区间[1,2]上的平均变化率为（）A.4−B.4C

.6−D.6【答案】A【解析】【分析】利用平均变化率的定义代入求解即可.【详解】()()()()2222144721712111ff−−−=−=−=−−.故选：A.2.已知i是虚数单位，则复数3i(1i)+的虚部是（）A.1B.

iC.1−D.i−【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘方运算和乘法运算化简复数，再根据复数的概念可得结果.【详解】3i(1i)+i(1i)=−+1i=−，所以复数3i(1i)+的虚部是1−.故选：C3.在空间直角坐标系中，已知()1,0,2M−，()3,

2,0N，则MN的中点P到坐标原点О的距离为（）A.3B.2C.2D.3【答案】A【解析】【分析】利用中点坐标公式及空间中两点之间的距离公式可得解.【详解】1,(,2)0M−Q，(3,2,0)N，由中点坐标公式，得(1,1,1)P，所以1113OP=++=.故选：A4.若直线l的方向

向量(1,0,1)a=，平面的法向量(1,1,1)n=−，则（）A.lB.l⊥C.l//D.l或l//【答案】D【解析】【分析】根据0an=可得结果.【详解】因为110an=−=，所以an⊥，所以l或l//.故选：D

5.已知()cos2fxx=，则0()()limxfxxfxx→+−=（）A.sin2xB.sin2x−C.2sin2xD.2sin2x−【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义以及复合函数求导法则可求出结果.【详解】因为

()cos2fxx=，所以()sin2(2)2sin2fxxxx=−=−，0()()limxfxxfxx→+−=()2sin2fxx=−.故选：D6.若1x=是函数()lnfxaxx=+的极值点，则a的值是（）A.1−B.0C.1D.e【答案】A【解析】【分析】根据()

01f=即可得解.【详解】()fx的定义域为(0,)+，()1afxx=+，因为1x=是函数()lnfxaxx=+的极值点，所以()01f=，即10a+=，所以1a=−，当1a=−时，11()1xfxxx

−=−=，令()0fx，得1x，令()0fx，得01x，所以()fx在1x=处取得极小值，符合题意.综上所述：1a=−.故选：A7.已知2()2e2xfxxaxax=−−在[0,)+上单调递增，则实数a取值范围为（）A.(,1]−B.(,e]−C.[1,

)+D.[e,)+【答案】A【解析】【分析】转化()0fx，即exa在[0,)+上恒成立，利用最小值可得结果.【详解】因为()2e2e22xxfxxaxa=+−−，所以()0fx，即exa在[0,)+上恒

成立，当0x时，min(e)1x=，所以1a.所以实数a的取值范围为(,1]−.故选：A8.如图所示，在平行六面体1111ABCDABCD−中，M为11AC与11BD的交点，若ABa=，ADb=，1AAc=，则BM=（）A.1122abc−+B.1122abc++C.1122abc−−

+D.1122−++abc的为【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.【详解】由题意得，()()1111111111121222112BMBBBDAAADABAAADAbcBa=+=+−−+=+

−=+.故选：D9.在长方体1111ABCDABCD−中，1ABBC==，13AA=，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为A.15B.56C.55D.22【答案】C【解析】【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹

角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,3),(0,0,3)DABD,所以11(1,0,3),(1,1,

3)ADDB=−=,因为111111135cos,525ADDBADDBADDB−+===，所以异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为55，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第

二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.10.已知函数32e,0()461,0xxfxxxx=−+，则方程23[()]2()10fxfx−−=实根的个数为（）A.2B.3C.4D.5【

答案】C【解析】【分析】将原方程化为1()3fx=−或()1fx=，利用导数研究函数的性质，作出函数()fx的图象，利用图象可得结果.【详解】由23[()]2()10fxfx−−=，得[3()1][()1]0fxf

x+−=，得1()3fx=−或()1fx=，则问题转化为求函数()yfx=的图象与直线13y=−和1y=的交点的个数，当0x时，32()461fxxx=−+，2()121212(1)fxxxxx=−=−

，令()0fx，得01x，令()0fx，得1x，所以()fx在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，所以()fx在(,)−+上的图象如图：由图可知，原方程实根的个数为4.故选：C11.已知()fx是定

义在(0,)+上的函数，且(1)1f=，导函数()fx满足()()fxfx恒成立，则不等式1()exfx−的解集为（）A.(1,)+B.10,2C.1,12D.()0,1【答案】D【解析】【分析】1()exfx−等价于()1eexfx，构

造函数()()exfxFx=，对其求导结合已知条件可判断()()exfxFx=在(0,)+上的单调性，所要解的不等式等价于()()1FxF，根据单调性即可求解.【详解】令()()exfxFx=，则()()()(

)()2eeeexxxxfxfxfxfxFx−−==，因为导函数()fx满足()()fxfx恒成立且e0x，所以()0Fx，所以()()exfxFx=在(0,)+单调递增，因为()()1

11eefF==，所以不等式()1eexfx等价于()()1FxF，因为所以()()exfxFx=在(0,)+单调递增，所以1x，所以不等式1()exfx−的解集为()0,1，故选：D12.在平面向量中，我们用||cos,aab表示a在b方向上的投影，换个角度，向量OA在直线O

B的法向量AC方向上的投影的绝对值就是点A到直线OB的距离（如图1），如果利用类比的方法，那么图2中点A到平面BCD的距离为（）A.23B.36C.32D.33【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及法向量的定义求出平面BCD的法向量，类比点A到直线OB的距离即可求解.【

详解】由题意可知，()()1,2,1,0,1,1BCBD=−=−，设(),,nxyz=为平面BCD的一个法向量，则00nBCnBD==，即020yzxyz−+=−+=，令1y=，则1,1xz==，所以()1,1,1n=

，因为3,0,12AD=−，所以点A到平面BCD的距离为2223110111232||61113ADndn−++++====.故选：B.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()102xexdx+=______.【答案】e【解析】【

分析】由题意结合微积分基本定理运算即可得解.【详解】由题意()()()112002110xxexdxexee+=+=+−+=.故答案为：e.【点睛】本题考查了微积分基本定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14.已知复数z满足()

117izi+=−（i是虚数单位），则z=．【答案】5【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【详解】由（1+i）z=1﹣7i，得()()()()17117

68341112iiiiziiii−−−−−====−−++−，则|z|=22(3)(4)5−+−=．故答案为5．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．15.已知向量(1,1,)ak=，(2,0,1)b=−，若b与ab+互相垂直，则k=________

___.【答案】3−【解析】【分析】利用向量垂直数量积等于零即可求解.【详解】由题设可知：()1,1,1abk+=−+，因为b与ab+互相垂直，所以()0bab+=，即：2010k+++=，解得：3k=−，故答案为：3−16.已知ykxb=+是函数()lnfxx=的切线，则2kb

+的最小值为___________.【答案】ln2【解析】【分析】根据导数的几何意义及切点在切线上和函数上得出,kb的关系，再结合导数法求函数最值即可求解.【详解】设切点为(),lnmm，则由()lnfxx=，得1()fxx

=，1()fmm=所以切线方程为()1lnymxmm−=−，即1ln1yxmm=+−，又由切线方程ykxb=+，则1,ln1kbmm==−.所以22ln1kbmm+=+−.设()2ln1gmmm=+−，则()22212mgmmmm−=−+=.令()0gm，即220m

m−，解得2m；令()0gm，即220mm−，解得02m.所以函数()gm在()2,+上单调递增，在()0,2上单调递减.当2m=时，()gm取得极小值，也为最小值()min2(2)ln21ln22gmg==+−=所以2kb+的最小值为为l

n2.故答案为：ln2.三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设数列na满足11a=，1235nnaan+=−+.（1）求2a，3a，4a，并猜想数列na的通项公式；（2）用

数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】（1）24a=，37a=，410a=，猜想：*32()nann=−N（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据首项和递推公式可求出234,,aaa，根据234,,aaa，可猜得通项公式；（2）根据数学归纳法的步骤进行证明即

可.【小问1详解】由11a=，1235nnaan+=−+，可得：2123154aa=−+=，3223257aa=−+=，43233510aa=−+=为由1a，2a，3a，4a可猜想：*32()nann=−N【小问2详解】证明：①当1n=时，13121a=−=成立；②假设当(1,)nkkk

=N…时，猜想成立，即32kak=−.则当1nk=+时，12352(32)35313(1)2kkaakkkkk+=−+=−−+=+=+−即当1nk=+时，猜想成立由①②可知，对于任意的*nN，都有32nan

=−成立.综上所述，猜想得证.18.已知函数32()5(,)fxxaxbxab=+++R，曲线()yfx=在1x=处的切线方程为31yx=+.（1）求,ab的值；（2）求()yfx=在区间[3,0]−上的最值.【答案】（1）2a=，4b=−（2）最大值为13，最小值为5【解析】【分

析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；（2）利用导数判断单调性，根据单调性可求出最值.【小问1详解】32()5(,)fxxaxbxab=+++R，2()32fxxaxb=++，又∵曲线()yfx=在1x=处的切线方程为31yx=+.(1)3

f=，(1)4f=，即得：23364abab++=++=，解得：2a=，4b=−【小问2详解】由（1）得：32()245fxxxx=+−+，2()344(32)(2)fxxxxx=+−=−+，.令()0fx，得32x−−，

令()0fx，得20x−，所以()fx在[3,2)−−上单调递增，在(2,0]−上单调递减，所以max()(2)888513fxf=−=−+++=，因为(3)8f−=，(0)5f=，所以min

()5fx=.()yfx=在区间[3,0]−上的最大值为13，最小值为5.19.已知空间三点(0,2,3)A，(2,1,6)B−，(1,1,5)C−.（1）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；（2）设(,1,1)Dx−，若A，B，C，D四点共面，求x

的值【答案】（1）73（2）5x=【解析】【分析】（1）由空间向量的数量积得夹角后求解（2）由空间向量共面定理求解【小问1详解】由已知，得：(2,1,3)AB=−−，(1,3,2)AC=−，2361coscos,2||||419194ABACAABACABAC−++====++

++∴3sin2A=，∴3||||sin1414732SABACA===∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为73【小问2详解】由(,1,1)Dx−，得：(,1,4)ADx=−−∵A，B，C，D四点共面∴存在实数，

，使得ADABAC=+∴(,1,4)(2,1,3)(1,3,2)x−−=−−+−，即得：231324x−+=−−=−+=−解得：2=−，1=，∴5x=20.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，2ABAC==，14AA=，ABAC⊥，1BEAB

⊥交1AA于点E，D为1CC的中点.（Ⅰ）求证：BE⊥平面1ABC；（Ⅱ）求二面角1CABD−−的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）306【解析】【分析】（Ⅰ）由直三棱柱的性质结合ABAC⊥可得AC⊥

平面11AABB，进而ACBE⊥，结合1BEAB⊥即可得线面垂直；（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系Axyz−，平面1ABC的一个法向量为(2,0,1)BE=−，求出平面1ABD的一个法向量为(2,1,1)n=−，求出两法向量夹角的余弦值即可得结果.【详解】（Ⅰ）

因为三棱柱111ABCABC−为直三棱柱，所以1AA⊥平面ABC，所以1AAAC⊥..因为ACAB⊥，1ABAAA=，所以AC⊥平面11AABB.因为BE平面11AABB，所以ACBE⊥.因为1BEAB⊥，1ACABA=，所以BE⊥平面1ABC.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1,,A

BACAA两两垂直，如图建立空间直角坐标系Axyz−.则()000A，，,1(2,0,4)B,(0,2,2)D,(2,0,0)B.设)(0,0,Ea，所以1(0,2,2),(2,0,4),(2,0,)ADABBEa=

==−，因为ABBE⊥，所以440a−=，即1a=.所以平面1ABC的一个法向量为(2,0,1)BE=−.设平面1ABD的法向量为(,,)nxyz=，所以100nADnAB==所以220,240.yzxz+=+=即,

2.yzxz=−=−令1z=−，则2,1xy==，所以平面1ABD的一个法向量为(2,1,1)n=−.所以530cos,6||||65nBEBEnnBE−===−.由已知，二面角1CABD−−为锐

角，所以二面角1CABD−−的余弦值为306.21.设函数21()ln(1)2fxxaxax=+−+，其中Ra.（1）当0a时，讨论函数()fx的单调性；（2）若对任意121xx，1212()()1fxfxxx−−−恒成立，求

a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）(,4]−【解析】【分析】（1）根据题意得(1)()()xxafxx−−=，再分01a，1a=和1a三种情况分类讨论即可；（2）根据题意得()()1122

fxxfxx++，构造函数()()gxfxx=+，则上式等价于()gx在区间(1,)+上单调递增，所以21xax−„，再构造函数2()1xhxx=−，求2()1xhxx=−在(1,)+上的最小值即可.【小问1详解】()fx的定义域为(0,)+

，21()ln(1)2fxxaxax=+−+，所以2(1)(1)()()(1)axaxaxxafxxaxxx−++−−=+−+==，因为0a，令()0fx=，得1x=或xa=，①当01a时，则当由()0fx，得0xa或1x；由()0fx

，得1ax所以()fx在区间(0,)a和(1,)+单调递增，在区间(,1)a单调递减；②当1a=时，2(1)()0xfxx−=…在(0,)+恒成立，所以()fx在(0,)+单调递增；③当1a时，则由()0fx，得01x或xa；由()0fx，得1xa，所以()f

x在区间(0,1)和(,)a+单调递增，在区间(1,)a单调递减；综上所述：当01a时，()fx在区间(0,)a和(1,)+单调递增，在区间(,1)a单调递减；当1a=时，()fx在(0,)+上单调递增；当1a时，()

fx在区间(0,1)和(,)a+单调递增，在区间(1,)a单调递减；【小问2详解】对任意121xx，()()12121fxfxxx−−−恒成立等价于对任意121xx，()()1122fxxfxx++恒成立，设函数()()gxfxx=+，则上式等价于()gx在区间

(1,)+上单调递增，即()0agxxax=+−…，从而21xax−„在(1,)+恒成立，令2()1xhxx=−，则2222(2)()(1)(1)xxxxhxxx−−==−−，令()0hx，解得2x；令()0hx，解得

12x，故()hx在(1,2)单调递减；在(2,)+单调递增，所以min()(2)4ahxh==„所以a的取值范围是(,4]−.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等

式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22.已知函数()()lnexafxx+=−（其中e2.718=为自然对数的底数）.（1）若曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线与x轴交于点(2,

0)，求a的值；（2）求证：11ea−时，()fx存在唯一极值点0x，且010ex.【答案】（1）ln21a=−−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线方程，再结合点在切线上即可求解；（2）根据已知条

件及函数导数极值的定义，再利用导数研究函数极值即可证明.【小问1详解】因为()()1exafxx+−=，所以()()111eaf+=−，又(1)(1)eaf+=−，所以曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为11e(1e

)(1)aayx+++=−−，令0y=，得111eax+=−，因为切线与x轴正半轴交于点(2,0)，所以1121ea+=−，所以ln21a=−−；【小问2详解】因为()()1exafxx+−=，设()()()1exagxfxx+==−，因为()()21exagxx+=−+，

所以0x时，()0gx，故()gx在(0,)+上是减函数，因为()eexaa+，若1ex，则eax−时，()0gx，当01x时，()1eexaa++，若11ex+，则(1)ea

x−+，故当(1)0eax−+时，()0gx，所以()()gxfx=有唯一零点0x，当00xx时，即()0fx，故()fx为增函数，当0xx时，即()0fx，故()fx为减函数.所以()fx存在唯一极大值点0x，又因()001exax+=，即00001ln

(ln)axxxx=−=−+，所以11ea−等价于()00111ln1lneeexx−+−=−+所以()0011lnlneexx++，因为00lnxx+是增函数，故010ex获得

更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com