【文档说明】浙江省温州市环大罗山联盟2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.149 MB，由小赞的店铺上传

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2021学年第二学期温州环大罗山联盟期中联考高一年级数学学科试题第Ⅰ卷（选择题部分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.若向量(2,3)a=，(1,2)b=−，则ab−的坐标为（）A.(1,5)

B.(1,1)C.(3,1)D.(3,5)【答案】C【解析】【分析】直接进行向量的减法即可.【详解】因为向量(2,3)a=，(1,2)b=−，所以()()()2,31,23,1ab−=−−=.故选：C2.

已知角以坐标原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点()21,2aa−+，且3cos5=，则实数a的值是（）A.2B.112C.211−D.12−【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】由题意有222213cos1120405(21)(2)aaaaa

−==−−=−++，解得2a=或211a=−，由于3cos05=，则210a−，所以2a=满足题意.故选：A3.将函数sin23yx=+向右平移6个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A.sin26yx=+

B.cos2yx=C.sin23yx=−D.sin2yx=【答案】D【解析】【分析】利用三角函数平移变换求解.【详解】函数sin(2)3yx=+向右平移6个单位长度，sin[2()]sin263yxx=−+=.故选：D.4.已

知一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转4弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为（）A.2B.8+C.28+D.48+【答案】C【解析】【分析】根据旋转体的定义可知该几何

体为圆柱的八分之一，求其表面积即可.【详解】因为一个边长为2的正方形纸片绕着一条边旋转4弧度，所形成的几何体为柱体的一部分，是底面半径r为2,高h为2的圆柱的八分之一，所以其表面积21(22)8Srhr=++22122(222

22)8288=++=+，故选：C5.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，当0x时，()21xfxx=+−，则不等式()12fx−的解集为（）A.()0,2B.(),2−C.()2,+D.()(),

02,−+【答案】A【解析】【分析】判断函数()fx在[0,)+上单调性，再结合偶函数的性质解不等式作答.【详解】当0x时，()21xfxx=+−，则()fx在)0,+上单调递增，又函数()fx是R上的偶函数，且(1)2f=，因此，()()

()121111fxfxfx−−−，解得02x，所以不等式()12fx−的解集为()0,2.故选：A6.在ABC中，D为边BC上一点，6AD=，3BD=，45ABC=，则sinADC的值为（）

A.233+B.124+C.174+D.34【答案】C【解析】【分析】由正弦定理求得2sin4BAD=，继而求出14cos4BAD=，再根据三角形外角定理，结合两角和的正弦公式，求得答案.【详解】如图示：在ABD△中，由正弦定理得：63,sinsinsin45si

nADBDABDBADBAD==,故2sin4BAD=,而BADABC,故BAD只能是锐角，故14cos4BAD=，所以sinsin()sin(45)ADCBADABDBAD=+=+221421+7=+=42424，故选：C7.如图，平面内有三个向量O

A，OB，OC，OA与OB夹角为120°，OA，OC的夹角为150°，且1OAOB==，33OC=，若(),OCOAOB=+R，则+=（）的A.92B.9−C.92−D.9【答案】B【解析】【分析】作OB的相反向量OB，再以射线OC，OA为邻边，以OB为对角线作ODBE，根

据向量加法求解即可.【详解】作OB的相反向量OB，再以射线OC，OA为邻边，以OB为对角线作ODBE，因为OA与OB的夹角为120°，OA，OC的夹角为150°，且1OAOB==，33OC=，所以90,60DOBEOBOBD===，所以

tan60||3ODOB→==，2||2OEOB→==，所以123OBOAOC=+，所以123OBOBOAOC=−=−−，即63OCOAOB→→→=−−即9+=−．故选：B8.设函数()()2236,2

|log2,2xxxfxxx−+=−，若关于x的方程()fxt=有四个实根()12341234,,,xxxxxxxx，则1234122xxxx+++的最小值为（）A.192B.172C.10D.9【答案】D【解析】【分

析】作函数()fx的大致图象，可知122xx+=，由()yfx=与yt=的图象有四个交点可得()011tf=，计算2log(2)1tx=−=求得x的值即可得4x的范围，根据()()4232log4log40

xx−+−=可得3x与4x的关系，再根据基本不等式计算34122xx+的最小值即可求解.【详解】作函数()fx的大致图象，如图所示：当2x时，()236fxxx=−+对称轴为1x=，所以122xx+=，关于

x的方程()fxt=有四个实根()12341234,,,xxxxxxxx，则()013tf=，由2log(2)(1)3txf=−==，得178=x或10x=，则434x，又2423log(2)log(2)xx−=−−，所以()()4232l

og2log20xx−+−=，所以()()43221xx−−=，所以43122xx=+−，且42(1,8)x−，所以()444434112125222222212xxxxxx=−++=+++−−()441257222225xx−=+=−+，当且仅当()4412222

xx−=−，即44x=时，等号成立，故1234122xxxx+++的最小值为9.故选：D.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数

分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题（本题共4小题，每小题题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分

，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知i是虚数单位，z是复数，且()1i17iz−=+，则下列说法正确的是（）A.z在复平面上对应的点位于第一象限B.z在复平面上对应的点位于第二象限C.52z=D.5z=【答案】BD【解析】【分析】根据复数的乘除运算求出z，利用复数的几何意

义可判断A、B；利用复数模的求法可判断C、D.【详解】由()1i17iz−=+，则()()()()17i1i17i68i34i1i1i1i2z+++−+====−+−−+，所以z在复平面上对应的点为()3,4−，即z在复平面上对应的点位于第二象限.所以()224

53z=+=−.故选：BD10.给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是（）A.水平放置的角的直观图一定是角B.相等的角在直观图中仍然相等C.相等的线段在直观图中仍然相等D.两条平行线段在直观图中仍是平行线段【答案】AD【解

析】【分析】根据直观图和斜二测画法的规则，判断选项.【详解】水平放置的角的直观图一定是角，故A正确；角的大小在直观图中都会发生改变，有的线段在直观图中也会改变，比如正方形的直方图中，故BC错误；由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，所以D正确.故选：AD11.已知

向量()1,2a=，()(),10bmm=，且向量b满足()3bab+=，则（）A.2b=B.()()2//2abab++C.向量2ab−与2ab−的夹角为4D.向量a在b方向上的投影向量为12br【答案】ACD【解析】【分析】由()3bab

+=rrr得1m=−，()11b=−,，进而依次讨论各选项即可得答案.【详解】由题知()1,3abm+=+,因为()3bab+=rrr,所以()133mm++=,解得1m=−或0m=,又因为0m,所以1m=−，所以()11b=

−,，对于A选项，()22112b=−+=，故A选项正确；对于B选项，()()21,5,21,4abab+=+=−，由于1415−，所以2ab+与2ab+不平行，故B选项错误；对于C选项，()23,3ab−=，()23,0ab−=，所以

92cos2323,22aabb−==−，又()2,0,2abba−−，所以2,42aabb=−−，故C选项正确；对于D选项，向量a在b方向上的投影向量为11222abbbbbb→→→→==，故D选项正确.故选：ACD12.已知函数

()()sin0,0,2fxAxA=+−−的部分图象如图所示，把函数()fx图象上所有点的横坐标伸长为原来的1110倍，得到函数()ygx=的图象，则（）A.3gx+为偶函数B.()gx的最小正周期是C.()gx的图象关于直线23x=对称D.()

gx在区间7,12上单调递减【答案】BC【解析】【分析】根据已知条件求出()fx的解析式，在通过三角函数的伸缩变化求出()gx的解析式，结合三角函数的单调性、周期性、对称性、奇偶性即可求出答案.【详解】由图知，()

2,01Af==−，则2sin1=−，即1sin2=−，因为2−−，所以56=−.因为56x=为()fx的零点，则()5566kkZ−=，得615k=+.由图知，5226T=，则1215，所以1k=，115=，从而()11

52sin56fxx=−.由题设，()1110552sin2sin251166gxxx=−=−，则52sin22sin23366gxxx+=+−=−

为非奇非偶函数，所以A错；()gx的最小正周期22T==，所以B正确；当23x=时，5262x−=，则()gx的图象关于直线23x=对称，所以C正确.当7,12x

时，572,636x−，()gx不单调，所以D错误.故选：BC.第Ⅱ卷（非选择题部分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数1()ln(4)26fxxx=+−−的定义域是___________.【答案】(3,

4)【解析】【分析】由对数的真数大于零，同时二次根式在分母，则其被开方数大于零，从而可求出定义域【详解】由题意可得260,40,xx−−解得34x，即()fx的定义域是(3,4).故答案为：(3,4)14.

已知在ABC中，sin:sin:sin4:3:2ABC=，则cosB等于________.【答案】1116【解析】【分析】由正弦定理可得::4:3:2abc=，令4,3,2ambmcm===，然后利用余弦定理可求出cosB【详解】因在ABC中，sin:sin:sin4:3:2ABC=，

所以正弦定理可得::4:3:2abc=，则令4,3,2ambmcm===（0m），由余弦定理得2222222216491111cos22421616acbmmmmBacmmm+−+−====，为故答案为：111615.若4m=，3n=r，m与n的夹角为60°，则2mn−=_____

_．【答案】27【解析】【分析】利用平面向量的模长公式和数量积运算进行求解.【详解】由题意，得()2222244mnmnmmnn−=−=−+2214cos6041644336272mmnn=−+=−+=.故答案为：27.16.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述

：设物体的初始温度是0T，经过一定时间t（单位：min）后的温度是T，则()012thaaTTTT−=−，其中aT称为环境温度，h为常数，现有一杯用85℃热水冲的速溶咖啡，放在21℃的房间中，如果咖啡降到37℃需要16min，那么这杯咖啡要

从37℃降到25℃，还需要______min．【答案】16【解析】【分析】根据所给函数模型，由Ta＝21℃．令T0＝85℃，T＝37℃，求得h，然后令T0＝37℃，T＝25℃，求得t．【详解】由题意知Ta＝2

1℃．令T0＝85℃，T＝37℃，得161(8521)23721h−−=，∴h＝8．令T0＝37℃，T＝25℃，则812521(3721)2t−=−，∴16t=．故答案为：16．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在△

ABC中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc，已知1a=，2b=，1cos4C=.（1）求c的值；（2）求△ABC的面积.【答案】（1）2c=（2）154【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理即可

求解；（2）先用同角三角函数关系式22sincos1CC+=求出sinC，再用三角形面积公式求解即可.【小问1详解】由余弦定理可得2222coscababC=+−，即2114212=44c=+−，解得2c=，【小问2详解】∵1cos04C

=，且0πC，∴π02C,由22sincos1CC+=得，2115sin1cos1164CC=−=−=,∴1sin2ABCSabC=△1151512244==.故△ABC的面积为154.18.如图所示，正方体1111ABCDABCD−的棱长为a，过顶点B、D、1A

截下一个三棱锥．（1）求剩余部分体积；（2）求三棱锥1AABD−的高；的（3）4个面都是直角三角形的四面体，被称为鳖臑．你能写出以该正方体的4个顶点为顶点的鳖臑吗？写出一个即可，不需证明．【答案】（1）356a（2）33a（3）1DDBC−(答案不唯一)【解析】【分析】（1）根据题意及体积

公式直接求解即可；（2）运用等体积法求解即可;(3)根据鳖臑定义，直接写出即可.【小问1详解】设正方体的棱长为a，则323115()326Vaaaa=−=.【小问2详解】1123111()326AABDAABDVVaaa−−===，易知△1ABD为等边三角形，且边长为2a，其面积为

21322sin6022Saaa==，32113632aah=，解得33ha=．即三棱锥1AABD−的高为33a.【小问3详解】由鳖臑定义可知，三棱锥1DDBC−一个鳖臑.19.已知向量a→＝（1，2），b→＝（－3，k）．（1）若a→∥b→，求b→的值；

（2）若a→⊥（a→＋2b→），求实数k的值；（3）若a→与b→的夹角是钝角，求实数k的取值范围．是【答案】（1）35；（2）k＝14；（3）k＜32且k≠－6.【解析】【分析】（1）解方程1×k－2×(3)−＝0即得解；（2）解方程1×(5)−＋2×(22)k+＝0即

得解；（3）解不等式1×(3)−＋2×k＜0且k≠－6，即得解.【小问1详解】解：因为向量a→＝（1，2），b→＝（－3，k），且a→∥b→，所以1×k－2×(3)−＝0，解得k＝－6，所以b→＝22(3

)(6)−+−＝35．【小问2详解】解：因为a→＋2b→＝(5,22)k−+，且a→⊥(2)ab→→+，所以1×(5)−＋2×(22)k+＝0，解得k＝14．【小问3详解】解：因为a→与b→的夹角是钝角，则ab→→＜0且a→与b→不共

线．即1×(3)−＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜32且k≠－6．20.已知向量()sin,1ax=，1,sin3bx=−，()fxab=.（1）求函数()fx的单调递增区间和最小正周期；（2）若当0,4x

时，关于x的不等式()21fxm−有解，求实数m的取值范围.【答案】（1）单调增区间为52,266kk−++，kZ；2T=；（2）31m−.【解析】【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数()fx的解析式，有三角函数的

性质求得周期，单调增区间；（2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意义得到()min12mfx+；然后根据角的范围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得m的的取值范围.【详解】（1）因为()13sinsinsi

ncossin3223fxabxxxxx==+−=+=+所以函数()fx的最小正周期2T=；因为函数sinyx=的单调增区间为2,222kk−++，kZ，所以22

232kxk−+++，kZ，解得52266kxk−++，kZ，所以函数()fx的单调增区间为52,266kk−++，kZ；（2）不等式()21fxm−有解，即()min12mfx+；因为0,4x，所以73312x

+，又75sinsinsin12123=，故当33x+=，即0x=时，()fx取得最小值，且最小值为()302f=，所以31m−.21.提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交

通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）满足关系式：()60,02070,20120140xvkRkxx=−−.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车道速度是0千米/小

时.（1）若车流速度v不小于50千米/小时，求车流密度x的取值范围；（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足yxv=，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.【答案】（1）(0

,70；（2）隧道内车流量的最大值约为3792辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米.【解析】【分析】（1）把120,0xv==代入已知式求得k，解不等式40v可得x的范围．（2）由（1）求得函数yxv=，分别利用函数的单调性和基本不等式分段求

得最大值，比较可得．【详解】（1）由题意知当120x=（辆/千米）时，0v=（千米/小时），代入70140kvx=−−，得070140120k=−−，解得1400k=，所以60,020140070,20120140xvxx=−−当020x时，6050v=，符合

题意；当20120x时，令14007050140x−−，解得70x，所以2070x.综上，070x.答：若车流速度v不小于50千米/小时，则车流密度x的取值范围是(0,70.（2）由题意得60,0201400

70,20120140xxyxxxx=−−，当020x时，60yx=为增函数，所以1200y，等号当且仅当20x=成立；当20120x时，14002020(140)28007070

70140140140xxxyxxxxxx−−=−=−=+−−−28002800702070160(140)140140xxxx=+−=−−+−−280070160

2(140)70(160407)3792140xx−−=−−.即3792y，等号当且仅当2800140140xx−=−，即()21402800x−=，即(1402078720,120x=−成立.综上，y的最大值约为3792，此时x约为87.答：隧道内车流量的

最大值约为3792辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米..【点睛】关键点点睛：本题考查函数模型的应用，对于已经给出函数模型的问题，关键是直接利用函数模型列出方程、不等式或利用函数性质求解，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.22.

已知函数()1lg1xfxx−=+．（1）判断函数()fx的奇偶性，并说明理由；指出单调性，不需证明；（2）函数()()20,1xgxaaa=−，若存在)12,0,1xx，使得()()12fxgx=成立，求实数a的取值范围；（3）若函数()()(),11

1,,11,fxxhxkxx−=+−−+，讨论函数()()2yhhx=−的零点个数．【答案】（1）奇函数，证明见解析，(1,1)−上单调递减.（2）()2,+（3）答案见解析.【解析】【分析】（

1）先由函数解析式求出函数定义域，判断其奇偶性及单调性即可；（2）根据题中，先得到()fx和()gx在)01x，上的值域的交集不为空集；分别讨论1a和01a两种情况，分别求出两函数的值域，根据交集不为空集，列出不

等式求解，即可得出结果；（3）利用已知条件令()thx=，则()2ht=，画出()hx的图象，观察图像，k分情况讨论即可得出结果.【小问1详解】函数()1lg1xfxx−=+，由101xx−+，可得11x−，即(

)fx的定义域为()1,1−；又()()1lg1xfxfxx+−==−−，所以()fx为奇函数，当01x时，()2lg11fxx=−++显然单调递减，所以()fx在()11−，上单调递减.【小问2详解】函数()2(

0,1)xgxaaa=−，若存在)12,0,1xx，使得()()12fxgx=成立，则()fx和()gx在)0,1x上的值域的交集不为空集；由（1）可知：01x时，()12lglg111xfxxx−==−+++

显然单调递减，所以其值域为(,0−；若1a，则()2xgxa=−在)0,1上单调递减，所以()gx的值域为(2,1a−，此时只需20a−，即2a，所以2a；若01a，则()2xgxa=−在)0,1递增，可得()gx的值域为)1,2a−，此时)1,2a−与(,0−

的交集显然为空集，不满足题意；综上，实数a的范围是()2,+；【小问3详解】由()20yhhx=−=，得()2hhx=，令()thx=，则()2ht=，画出()()(),111,,11,fx

xhxkxx−=+−−+的图象，①当0k，()||111，(htktt=+−或1)t,所以只有一个10t−满足()2ht=，即1lg21tt−=+，解得99101t=−，由991101kx+=

−得2001||101xk=−，当||1x即2000101k−时，()hxt=有3个交点，即()()2yhhx=−有3个零点，当||1x即200101k−时，()hxt=有1个交点，即()()2yhhx=−有1个零点.②当0k=时，显然()2yht==只有1解

，且(1,0)t−，此时，()hxt=只有1解，即()()2yhhx=−有1个零点③当1k时，||112kxk++，()2ht=只有1解，且10t−，所以此时()hxt=只有1解，即()()2yhhx=−只有1个零点.④当01k时，112k+，此时11t−

，210t−，311tk=，由21111551122kkkkkkkk+−+−+−==+−，得在5112k−，11kk+，三个t分别对应一个零点，共3个，在5102k−„时，11kk+„，三个t分别

对应1个，1个，3个零点，共5个，综上所述：当1k或0k=或200101k−时，()2yhhx=−只有1个零点，当2000101k−或5112k−„时，()2yhhx=−有3个零点，当5102k−„时，()2yhhx=−

有5个零点.【点睛】关键点睛：本题考查了函数的定义域和奇偶性，方程根的存在性以及个数判断.把函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，画出函数图像分析是解决本题的关键.