吉林省长春市东北师大附中2022届高三上学期第三次摸底考试数学(理)试题答案

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高三年级第三次摸底数学(理)试卷参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共计60分)题号123456789101112答案BCCAADBADABB二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分)(13)2−(14)36(15)137711(0,][,][,]481

2812(16)160π三、解答题(共70分)(17)(本小题满分12分)解:(Ⅰ)()112nSnn=+,当1n=时,111212S==;当2n,nN时,()1112nSnn−=−,()()111

1122nnnaSSnnnnn−=−=+−−=.当1n=时也符合,()nannN=.(Ⅱ)()()()()()()221212111111111nnnnnnnnnnanbaannnnnn++++=−=−=−=−+++++202111111111.

..12233420212022T=−+++−++−+111111112023=1...1223342021202220222022−−++−−+−−=−−=−.(18

)(本小题满分12分)解:(Ⅰ)根据频率分布直方图,该公司平均每天的配货量为:450.05550.2650.3750.3850.1950.0568.5+++++=(箱)(Ⅱ)每天的可配送货物量不低于80箱的概率为30.10.050.1520+==,每天的可配送货物量低于80

箱的概率为31712020−=.X的所有可能取值为50,100,150,200.则()172175020330PX===,,()31211502203315PX===,()3111200203

360PX===.所以X的分布列为:所以()1771123050100150200302015603EX=+++=(元).(19)(本小题满分12分)解:依题意,可以建立以A为原点,分别以A

BADAE,,的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)ABCD,(0,0,2)E.设(0)CFhh=>,则()1,2,Fh.(Ⅰ)法一:证明:依题意,AE⊥平面ABCD,CFAE∥,CF⊥平面A

BCD,CFAB⊥,又ABBC⊥,BCCFC=,AB⊥平面BCF,(1,0,0)AB=是平面BCF的法向量,又(0,1,2)DE=−,可得0ABDE=,又因为直线DE平面BCF,所以DE∥平面BCF.法二:CF

AE∥,CF平面ADE,AE平面ADE,//CF平面ADE.同理//BC平面ADE,CFBCC=,平面BCF//平面ADE,又DE平面ADE,所以DE∥平面BCF.(Ⅱ)解:设(),,xymz=为平面BDF的法向量,则00BDmBFm==

即0,20,xyyhz−+=+=不妨令1y=,可得21,1,mh=−.同理可得平面BDE的一个法向量为(2,2,1)n=()1713227100203203320PX==+=X5010015020

0P1730720115160xzyDEABCF由题意,有224||1cos,3||||432mnmnmhnh−===+,解得87h=.87CF=.CF⊥平面ABCD,FBC为直线FB与平面ABCD所成角,4tan.7CFF

BCBC==(20)(本小题满分12分)解:(Ⅰ)法一:l过()2,0Fc,且lx⊥,设(),Acy,不妨设A为第一象限点,则0y.则222221,,cybAcaba+=,22bAFa=,2153bAFa=,22

21258233bbbAFAFaaaa+=+==.()2222223444abacac==−=,12e=.法二:1211225245334AFAFaAFaAFAFAFa+====,2222253144442aacace−===

.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,可设椭圆2222:143xyCcc+=,()()1122,,,AxyBxy,线段AB的中点()00,Nxy,由题意可以判断直线l的斜率存在,设():lykxc=−()2222143x

yccykxc+==−,()2222223484120kxckxckc+−+−=,2122834ckxxk+=+,212024234xxckxk+==+()002334ckykxck−=−=

+①四边形1AFBM是平行四边形,N是1FM的中点,()002,2Mxcy+,M在椭圆上,()()22200324212xcyc++=②①代入②得,222222123634123434ckcckc

kk+−+=++,整理得,解得2920k=或234k=−(舍去),3510k=所以直线l的斜率为3510.(21)(本小题满分12分)解:(Ⅰ)ln(1)()cosexaxfxax−=+,因为0x=为()fx的零点,所以(0)0f=,

即ln0aa+=,从而(1)()cos[cos(1)e]exxaxfxaxaxx−−−=+=−−.①因为(0)0f=,所以0是()fx的零点.②当(0,π]x时,设()cos(1)exgxxx−=−−,则()(2)esinxgxxx−=−−.

(ⅰ)若π(0,]2x,令()()(2)esinxhxgxxx−==−−,则()(3)ecos0xhxxx−=−−,所以()hx在π(0,]2单调递减,因为π2ππ(0)20,()(2)e1022hh−==−−,所以存在唯一的0π(0,)2x,使得0()0hx

=.当0(0,)xx时,()()0hxgx=,()gx在0(0,)x上单调递增;当0π(,)2xx时,()()0hxgx=,()gx在0π(,)2x上单调递减;(ⅱ)若π(,2]2x,令()(2)exxx−=−,则()(3)e0xxx−

=−,故()x在π(,2]2上单调428024270kk+−=递减,所以π2ππ1()()(2)22exe−=−.又π1sinsin2sin(π2)sin62x=−=,所以()(2)esin0,()xgxxxgx−=−−在π(,2]2上单调递减;(ⅲ)若(2,π]x,则()

(2)esin0,()xgxxxgx−=−−在(2,π]上单调递减.由(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)可得,()gx在0(0,)x上单调递增,在0(,π]x上单调递减,因为π0()(0)0,(π)(π1)e10gxgg−

==−−,所以存在唯一10(,π)xx使得1()0gx=.当1(0,)xx时,()()0fxagx=,()fx在1(0,)x上单调递增,()(0)0fxf=,当1(,π]xx时,()()

0fxagx=,()fx在1(,π]x上单调递减,因为1()(0)0,(π)0fxff=,所以()fx在1(,π]x上有且只有一个零点.综上,()fx在0,π上有两个零点.(Ⅱ)当1a=时,()sinfxx=,则不等式化为sin2cosxmxx+,即为sin02cosxmxx−

+.法一:令sin()2cosxGxmxx=−+则()()2222cos+123111()=+=32cos2cos332cos2cosxGxmmmxxxx=−−−+−++++当13m时,()0Gx,()Gx在()0+,单调递

增,且(0)=0G,故13m时满足题意;当103m时,令()sin3Hxxmx=−,则()cos3Hxxm=−在()0+,有无数零点存在最小的一个()00,xx,使()0Hx,则()Hx在()0+,单调递增,()(0)0HxH=sin3xmx()00,xx,使si

nsin2cos3xxmxx+sin02cosxmxx−+,故103m不满足题意,舍去.当0m时,0,0xmx,令()sin2cosxnxx=+,πsinπ12=0π222cos2n=+,不满足题意,舍去.综上,13m.法二:令si

n()2cosxFxmxx=−+,则(0)0F=,22cos1()(2cos)xFxmx+=−+,1(0)3Fm=−.当13m时,sin1()2cos3xFxxx−+,令sin1()2cos3xGxxx

=−+,则22(1cos)()03(2cos)xGxx−=−+,于是()Gx在(0,)+上单调递减,所以()(0)0GxG=,故()0Fx.当13m时,考虑π(0,)2x,此时311()sin()336xFxxmxxmx−−−2(618)1

8mxx−−=.记min{618,}2tm=−,于是当0xt时,()0Fx,不符合题意.综上所述,实数m的取值范围是1[,)3+.(22)(本小题满分10分)解:(Ⅰ)22cos3cos3:1322sinsin2xxxyCyy

==+===Q.π22,4A在πcos4m−=上,ππ22cos2244mm−==Q.π22cos22,cossin22422−=+=:40

lxy+−=.(Ⅱ)1lllk⊥=Q,l的倾斜角为π4,21222xtlyt=+=的参数方程为(t为参数)代入22:132xyC+=得254280tt+−=,1212428,55tttt+=−=−.()221212121212124284554

1111385ttttttPMPNtttttt−−−+−−+=+====.(23)(本小题满分10分)解:(Ⅰ)由题设,()311=2,1213,.2xxfxxxxx−−−−

,;;∴要使()2fx,由132xx−−得1x−;由11222xx−−得10x−;由1232xx得23x;综上,()2fx的解集为203xxx或.(Ⅱ

)由(Ⅰ)知:的最小值为,即.∵42actb+=−∴+26acb+=∴()()()()1126abcabbcabbcabbc+++==++++++,∵,,abc为正实数,()()2662=322abbcabc++++

当且仅当=3abbc+=+时等号成立,∴1123abbc+++得证.()fx3232t=

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