【文档说明】四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，2.067 MB，由管理员店铺上传

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嘉陵一中高2023级高二上期中考试数学试卷考试时间：120分钟，满分150分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的）1.直线320xy+−=的倾斜角为（）A.π3B.5π6C.3−D.33−【答案】B【解析】【分析】求出给定直线的斜率，进而求出倾斜角.【详解】直线320xy+−=的斜率33k=−，则该直线的倾斜角为5π6.故选：B.2.已知

圆1C：224xy+=，圆2C：224440xyxy+−−+=，则两圆的公共弦所在直线的方程为（）A.20xy++=B.20xy+−=C.40xy++=D.40xy+−=【答案】B【解析】【分析】根据两圆的公共弦所在直线的特点，

两圆方程相减即可得解.【详解】圆1C：224xy+=，圆2C：224440xyxy+−−+=两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：20xy+−=.故选：B3.平面内，动点P的坐标(),xy满足方程()()2222

3326xyxy+++−+=，则动点P的轨迹方程为（）A.2212421xy+=B.22163xy+=C.22169xy+=D.22196xy+=【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义求解即可.【详解】由题意，点(),Pxy到两个定点()3,0，()3,0−的距离之和等于常

数2623，故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且6a=，3c=，故2223bac=−=，故椭圆的标准方程为22163xy+=.故选：B4.“3a=”是“直线()1:1210laxy−++=与直线2:310lxay+−=平行”的（）A

.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可.【详解】当3a=时，1:2210lxy++=，2:3310lxy+−=，显然12llkk

=，两直线平行，满足充分条件；当()1:1210laxy−++=与直线2:310lxay+−=平行时，12llkk=，则132aa−−=−∴3a=或2a=−，当3a=时显然成立，当2a=−时，1:3210lxy−++=，2:32

10lxy−−=，整理后1:3210lxy−−=与2:3210lxy−−=重合，故舍去，∴3a=，满足必要条件；∴“3a=”是“直线()1:1210laxy−++=与直线2:310lxay+−=平行”的充要条件.故选：C5.已

知12,FF是椭圆22:11612xyC+=的两个焦点，点P在C上，且23PF=，则12PFF的面积为（）A.3B.4C.6D.10【答案】C【解析】【分析】由椭圆定义和23PF=得到1835PF=−=，结合124FF=，由

余弦定理得123cos5FPF=，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案.【详解】由椭圆定义可得1228PFPFa+==，故1835PF=−=，又122216124FFc==−=，则由余弦定理得22221212121259163cos22535PFPFPFPFFFFPF++−===

−，故21234sin155FPF=−=，故121122sin611453225PFFSFPFPFPF===.故选：C6.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E为CD的中点，则点1D到平面1AEC的距离等于（）A.33B.34C.63D.

64【答案】C【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用点面距的向量公式，可得答案.【详解】由题意建立空间直角坐标系，如下图：则()10,0,1D，𝐴(1,0,0)，10,,02E，()10,1,1C，取()11,0,1AD=−，11,,02AE=−

，()11,1,1AC=−，设平面1AEC的法向量为n，则100nAEnAC==，可得1020xyxyz−+=−++=，令1x=，则2y=，1z=−，所以平面1AEC的一个法

向量()1,2,1n=−，点1D到平面1AEC的距离11163141nADdn−−===++.故选：C.7.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值(1)的点所形成的图形是圆，后

来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，(2,0)A−，(4,0)B.点P满足||1||2PAPB=，设点P所构成的曲线为C，下列结论不正确的是（）A.C的方程为22(4)16xy++=B.在C上存在点

D，使得D到点(1,1)的距离为3C.在C上存在点M，使得||2||MOMA=D.C上的点到直线34130xy−−=的最小距离为1【答案】C【解析】【分析】对A：设点𝑃(𝑥,𝑦)，由两点的距离公式代入化简

判断；对B：根据两点间的距离公式求得点(1,1)到圆上的点的距离的取值范围，由此分析判断；对C：设点𝑀(𝑥,𝑦)，求点M的轨迹方程，结合两圆的位置关系分析判断；对D：结合点到直线的距离公式求得C上的点到直线34130xy−−=的最大距

离，由此分析判断.【详解】对A：设点𝑃(𝑥,𝑦)，∵12PAPB=，则()()22222124xyxy++=−+，整理得()22416xy++=，故C的方程为()22416xy++=，故A正确；对B：()22416xy++

=的圆心()14,0C−，半径为14r=，∵点(1,1)到圆心()14,0C−的距离()()221141026d=++−=，则圆上一点到点(1,1)的距离的取值范围为1111,264,264drdr−+=−+

，而()3264,264−+，故在C上存在点D，使得D到点(1,1)的距离为9，故B正确；对C：设点𝑀(𝑥,𝑦)，∵2MOMA=，则()222222xyxy+=++，整理得2281639xy++=，∴点M的轨迹方程为2281639xy++=，是以2

8,03C−为圆心，半径243r=的圆，又12124833CCrr==−，则两圆内含，没有公共点，∴在C上不存在点M，使得2MOMA=，C不正确；对D：∵圆心()14,0C−到直线34130x

y−−=的距离为()()222344013534d−−−==+−，∴C上的点到直线34130xy−−=的最小距离为211dr−=，故D正确；故选：C.【点睛】思路点睛：利用点与圆的位置关系来判定B，利用圆与圆的位置关系来判定C，结合数形思想即可.8.,xyR，函数()()()221,

143455fxyxyxy=−+−++−的最小值为（）A.2B.125C.145D.165【答案】C【解析】【分析】利用两点之间的距离及点到直线的距离公式计算即可.【详解】设点(),Axy，()1,4

B和直线:3450lxy+−=，,AB到l的距离分别为12,dd，易知()1,fxyABd=+，显然()123144514,55fxyABdd+−=+==.当且仅当,AB重合时取得等号.故选：C二、多选题：（本题共3小题，每小题6

分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.对于随机事件A和事件B，()0.3PA=，()0.4PB=，则下列说法正确的是（）A.若A与B互斥，则()0.3PAB=B.若A与B

互斥，则()0.7PAB=C.若A与B相互独立，则()0.12PAB=D.若A与B相互独立，则()0.7PAB=【答案】BC【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】对于A：若A与B互斥，则()0PAB=

，故A错误；对于B：若A与B互斥，则()()()0.7PABPAPB=+=，故B正确；对于C：若A与B相互独立，则()()()0.12PABPAPB==，故C正确；对于D：若A与B相互独立，则()()()()0.30.40.30

.40.58PABPAPBPAB=+−=+−=，故D错误.故选：BC10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若直线l的方向向量为()2,4,2m=−，平面的一个法向量为()1,2,1n=−−，则l⊥B.若空间中任意一点O，有111362OPOAOBOC=++，则,,

,PABC四点共面C.若空间向量a，b满足0ab，则a与b夹角为钝角D.若空间向量()1,0,1=a，()0,1,1b=−，则a在b上的投影向量为110,,22−【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，由平面法向量的定义分析A，由空间向量基本定理分析B，由向量平行的性质分析C

，由投影向量分析D．详解】对于A：若直线l的方向向量为(2,4,2)m=−，平面的一个法向量为(1,2,1)n=−−，易得2mn=−，即//mn，则有l⊥，A正确；对于B：在111362OPOAOBOC=++中，由于1111362++=，故,,,PABC四点共面，B正确；对于C：当a，

b反向共线时，0ab也成立，但a与b夹角不为钝角，C错误；对于D，a在b上的投影向量为1111(0,,)2222abbbbbb−==−=−，D正确．故选：ABD．11.伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图

案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则【（）A.122CGAAPF=−B.直线CQ与平面1111DCBA所成角的正弦值为2

3C.异面直线CQ与BD所成角的余弦值为36D.点1C到直线CQ的距离是53【答案】ABD【解析】【分析】利用空间向量的线性运算计算A选项即可；建立空间直角坐标系，利用向量法求解判断BCD即可.【详解】由题可知，1111222

2CGCCCDAAPF=+=−,故选项A正确；建立如图所示的空间直角坐标系1Axyz−得()1,1,1C−−，()0,1,1Q−,()0,1,1B−,()10,1,0B,()1,0,1D−−()11,1,0C−，由题可知，()1,2

,2CQ=−，平面1111DCBA的一个法向量为()10,0,1BB=，所以直线CQ与平面1111DCBA所成角的正弦值为()12221·2231221CQBBCQBB==+−+，选项B正确；由题可知()1,2,2CQ=−,()1,1,0BD=−−

，所以()222·122cos,612211CQBDCQBDCQBD−+===+−++,所以异面直线CQ与BD所成角的余弦值为26，故选项C错误；易知，()10,0,1CC=,()1,2,2CQ=−，设点1C到直线CQ的距离为d，则22211·25133CCCQdCCC

Q=−=−=，故选项D正确.故选：ABD三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量()2,1,3a=−，()1,2,1b=−，若()aab⊥−，则=______.【答案】2【解析】【分析】由题意可得()0aab−=，由

向量的数量积公式求解即可.【详解】因为()aab⊥−，所以()0aab−=，即20aab−=，所以1470−=，解得2=.故答案为：213.已知两点(34)A−，，(32)B，，过点()10，P

的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是___________.【答案】(),11,−−+【解析】【分析】根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．【详解】解：点(

3,4)A−，(3,2)B，过点(1,0)P的直线L与线段AB有公共点，直线l的斜率PBkk…或PAkk„，PA的斜率为40131−=−−−，PB的斜率为20131−=−，直线l的斜率1k…或1k−„，即(),11,k−−+，故答案为：(),11,−−+．14.

已知圆O的方程为222xy+=，点P是直线250xy−−=上的一个动点，过点P作圆O的两条切线,,,PAPBAB为切点，则四边形PAOB面积的最小值为__________；直线AB__________过定点.【答案】①.6②.24,55−【解析】【分析】根据切线的相关

性质将四边形面积化为2224PAOBPAOSSPO==−，即求出PO最小值即可，即圆心到直线的距离；又可得PAOB、、、四点在以PO为直径的圆上，且AB是两圆的公共弦，设出点P坐标，求出圆的方程可得直线AB方程，即可得出定点.【详解】由圆

222xy+=得圆心()0,0O，半径2r=，由题意可得PAPBPAOAPBOB=⊥⊥，，,在RtPAO中，22222PAPOrPO=−=−，2212222242PAOBPAOSSPAAOPOPO===−=−，可知当PO垂直直线250xy−−=时，min55

5PO==，所以四边形PAOB的面积的最小值为6，可得PAOB、、、四点在以PO为直径的圆上，且AB是两圆的公共弦，设()25,Paa+，则圆心为25,22aa+，半径为222522aa++

，则该圆方程为222225252222aaaaxy++−+−=+，整理可得()22250xyaxay+−+−=，联立两圆可得直线AB的方程为()2520axay++−=，

即()2520axyx++−=可得当25x=时，45y=−，故直线AB过定点24,55−.故答案为：6；24,55−.四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知直线l的方程为260xy

+−=．（Ⅰ）直线1l与l垂直，且过点（1，-3），求直线1l的方程；（Ⅱ）直线2l与l平行，且直线2l与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线2l的方程．【答案】（1）250xy−−=（2）直线2l的方程为：240

xy++=或240xy+−=【解析】【详解】试题分析：（1）由直线1l与l垂直，可设直线1l的方程为：20xyc−+=，将点()1,3−代入方程解得5c=−，，从而可得直线1l的方程；(2)由直线2l与l平行，可

设直线2l的方程20xyc++=，由直线2l与两坐标轴围成的三角形的面积为4，解得4c=可得直线2l的方程.试题解析：（1）设直线1l的方程为：20xyc−+=直线1l过点（1，-3），()2130c−−+=解得5c=−直线

1l的方程为：250xy−−=．(2)设直线2l的方程为：20xyc++=令𝑥=0，得2cy=−；令0y=，得xc=−则1422csc=−−=，得4c=直线2l的方程为：240xy++=或240xy+−=．16.某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进

一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：)20,30，)30,40，[40,50

)，[50,60)，[60,70)，70,80，得到的频率分布直方图如图所示.（1）估计这40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数；（2）估计这40名读书者年龄的众数和第80百分位数；（3）从年龄在区间[20,40)上的读书者中任选两名，求这两名读书者年龄在区

间[30,40)上的人数恰为1的概率.【答案】（1）30（2）众数为55；第80百分位数为66（3）815【解析】【分析】（1）先根据频率分布直方图求出频率，再根据频数的计算方法可得答案；（2）最高矩形中点横坐标即为众数；根据百分位数定义可求得样

本的第80百分位数；（3）计算抽取的人中，位于[20,30)的有2人，记为,ab，数学成绩位于[30,40)的有4人，记为,,,ABCD，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.的【小问1详解】由频率

分布直方图知，年龄在区间[40,70)上的频率为：()0.0200.0300.025100.75++=所以40名读书者中年龄分布在区间上的人数为：400.7530=【小问2详解】由频率分布直方图可知，40名读书者年龄的众数约为55；年龄在区间[20,60)上的频率为：()0.0050.0100

.0200.030100.650.8+++=年龄在区间[20,70)上的频率为：()0.0050.0100.0200.0300.025100.90.8++++=，故第80百分位数位于[60,70)之间，设为x，所以()0.65600.0250.8x+−=，解得6

6x=，所以这40名读书者年龄的第80百分位数约为66.【小问3详解】由频率分布直方图知：年龄在区间[20,30)上的读书者有400.005102=人，分别记为,ab，年龄在区间[30,40)上的读书者有400.010104=

人，分别记为,,,ABCD，从上述6人中选出2人，则有()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,abaAaBaCaDbAbB()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,bCbDABACADBCBDCD

，共15种情况；其中恰有1人在[30,40)的情况有()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,aAaBaCaDbAbBbCbD，共8种情况；所以恰有1人在[30,40)的概率为815.17.已知线段AB的

端点B的坐标是()6,8，端点A在圆2216xy+=上运动，M是线段AB的中点，（1）求点M的轨迹方程；（2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点()1,0的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点C，求CPQ面积的最大值，并求此时直线l的方程．【答案】（1

）22(3)(4)4xy−+−=（2）10xy−−=或770xy−−=【解析】【分析】（1）设点11(,),(,)MxyAxy，根据题意得到(26,28)Axy−−，代入圆2216xy+=，即可求解；（2）根据题意，设直线:(1)lykx=−，求得圆心

(3,4)M到直线l距离为2241kdk−=+，得到2212442CPQSdddd=−=−，结合基本不等式，求得最小值，进而求得直线的方程.【小问1详解】解：设点11(,),(,)MxyAxy，由点B的坐标为()6,8，且M是线段AB的中点，则116282xxyy

+=+=，可得1126,28xxyy=−=−，即(26,28)Axy−−，因为点A在圆2216xy+=上运动，所以点A点坐标满足圆的方程2216xy+=，即22(26)(28)16xy−+−=，整理得22(3)(4)4xy−+−=，所

以点M的轨迹方程为22(3)(4)4xy−+−=.【小问2详解】解：过点定点(1,0)的直线l与曲线C交于,PQ两点，则直线l的斜率一定存在且不为0，设直线:(1)lykx=−，即kxyk0−−=，则圆心(3,4)M到直线l的距离为2241kdk−=+，又因为22221(4)244222CPQ

ddSdddd+−=−=−=，当且仅当24dd=−时，即2d=时，等号成立，所以2d=时，CPQS△取得最大值2，此时22421kdk−==+，解得1k=或7k=，所以CPQS△取得最大值2，此时直线l的方程为10xy−−=或770xy−−=.的18.如图，在四棱锥PABCD−中，P

D⊥平面,,90ABCDABCDADC=∥，且22ADCDPDAB====.（1）求证：AB⊥平面PAD；（2）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；（3）在棱PB上是否存在点G（G与,PB不重合），使得DG与平面PBC所成角的正弦值为23

？若存在，求PGPB的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明过程见解析（2）23（3）89【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行

求解即可；（3）利用空间向量线面角夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为PD⊥平面,ABCDAB平面ABCD，所以PDAB⊥，又因为,90ABCDADC=∥，所以ADAB⊥，而,,ADPDDADPD=平面PAD，所以AB⊥平面PA

D；【小问2详解】因为PD⊥平面,,ABCDADCD平面ABCD，所以,PDCDPDAD⊥⊥，而CDAD⊥，于是建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()0,0,0,0,0,2,2,0,0,2,1,0

,0,2,0DPABC，由（1）可知：AB⊥平面PAD，所以平面PAD的法向量为()0,1,0AB=，设平面PBC的法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，()()2,1,2,0,2,2PBPC=−=−，则有()02201,2,

22200mPBxyzmyzmPC=+−==−==，设平面PAD与平面PBC夹角为，22cos31144ABmABm===++；【小问3详解】设()()0,1PGPB=，设(),

,Gxyz，于是有()()(),,22,1,22,,22xyzG−=−−，()2,,22DG=−，由（2）可知平面PBC的法向量为()1,2,2m=，假设DG与平面PBC所成角的正弦值为23，则有()2222244228339144422DGmDGm

++−===++++−，或0=舍去，即89PGPB=.19.圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆22:20Cxxy++=与圆()()22:34

9Mxy−+−=（1）求圆C与圆M的根轴l；（2）已知点P为根轴l上的一动点，过点P作圆C的切线,PAPB，切点为A，B，当PCAB最小时，求直线AB的方程；（3）给出定点()0,3G，设N，Q分别为根轴和圆M上的动点

，求GNNQ+的最小值及此时点N的坐标.【答案】（1）20xy+−=；（2）3310xy++=；（3）GNNQ+最小值为253−，此时17,33N−.【解析】【分析】（1）先求出圆C和圆M

的圆心C和M以及半径1r和2r，接着由222212TCrTMr−=−列式化简即可得解.（2）先由题意求得2PCABPA=，进而结合221PAPC=−求得PCAB取得最小值时亦即|𝑃𝐶|取得最小

值时，接着求出此时的点P坐标，再求出以线段PC为直径的圆的方程，从而求出该圆与圆C的公共弦所在直线方程即可得解.（3）先求出G关于根轴l对称的点1G，接着得11GNNQGNNQGQ+=+，从而得1G

M与圆M和根轴l相交的点Q和N使得1GQ最小，进而求得GNNQ+的最小值，再由1GMl联立根轴l的方程即可求出N.【小问1详解】由题圆C的圆心为()1,0C−，半径为11r=；圆M圆心为()3,4M，半径为23r

=，设点(),Txy为圆C与圆M的根轴l上的任意一点，则由题可得222212TCrTMr−=−，即()()()22222211343xyxy++−=−+−−，整理得20xy+−=，即圆C与圆M的根轴l为直线20xy+−=.的【小问2详解】由题意可知PCAB⊥且=PBPA，,PACAPB

CB⊥⊥，设PC与AB相交于点H，则()11112222PACBSPCHAPCHBPCHAHBPCAB=+=+=四边形，又11112222PACBSPACAPBCBPAPBPA=+=+=四边形，所以2PCABPA=，所以PCAB取得最小值时即为PA取得最小值时，又221P

APC=−，所以PCAB取得最小值时亦即|𝑃𝐶|取得最小值时，而|𝑃𝐶|取得最小值时PCl⊥，且该最小值为圆心C到根轴l的距离为1023222d−+−==，此时:1PClyx=+即10xy−+=，联立12021032xxyxyy=+−=−

+==，故此时13,22P，所以此时PC中点坐标为13,44P−，所以以线段PC为直径的圆的方程为2221332444xy++−=，

即221310222xyxy++--=，则AB是该圆与圆C的公共弦，所以两圆方程相减即为直线AB的方程为：3310222xy++=即3310xy++=.【小问3详解】设()0,3G关于根轴:20+−=lxy对称的点为()100,Gxy，则00000031102

032022yxxyxy−==−−=+++−=，故()11,2G−，则由三角形两边之和大于第三边可得11GNNQGNNQGQ+=+，连接1GM，则此时1GM与圆M和根轴l相交的点Q和N使得1GQ最小为()()221331423253GM−=−−+−−=−

，且此时()()142:4331GMlyx−−=−−−即250xy−+=，联立125032073xxyxyy=−−+=+−==，即此时17,33N−，所以GNNQ+的最小值为253−，此时17,33N−

.【点睛】关键点睛：求解直线AB的方程的关键点1是将PCAB转化为2PA，从而求得PCAB取得最小值时亦即|𝑃𝐶|取得最小值时，进而求出此时的点P坐标，关键点2是求出以线段PC为直径的圆的方程，从而将直线AB的方程转化为该

圆与圆C的公共弦所在直线方程而得解.