【文档说明】河南省南阳市第六完全学校高级中学2021-2022学年高一下学期第三次考试数学试题 含解析.docx，共(17)页，1.075 MB，由小赞的店铺上传

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高一年级数学班级：姓名：一、单选题（每题5分，共60分）1.已知点()()1,3,4,1,AB−则与AB同方向的单位向量为A3455−，B.4355−，C.3455−，D.

4355−，【答案】A【解析】【详解】试题分析：(41,13)(3,4)AB=−−−=−所以与AB同方向的单位向量为134(3,4)(,)555ABeAB==−=−，故选A.考点：向量运算及相关概念.2.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是（）

A.cos2yx=B.sinyx=C.πsin2()2yx=+D.3πcos(2)2yx=−【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式判断奇偶性，结合最小正周期即可得出结果．【详解】对于A，∵cos2()cos2xx−=，∴函数

cos2yx=是偶函数，故A错误；对于B，∵sin()sinsinxxx−=−=，∴函数sinyx=是偶函数，故B错误；对于C，函数πsin(2)cos22yxx=+=是偶函数，故C错误；对于D，函数3πcos(2)sin22yxx=−=−是奇函数，最小正周期2ππ2T==

，故D正确．故选：D.3.已知向量()3,1a=，b是单位向量，若3ab+=rr，则a与b的夹角为（）A.6B.3C.23D.56【答案】C【解析】.【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得1ab=−，再结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】由题意，向量()3,1a=，b是单位向量，

可得2,1ab==，因为3ab+=rr，可得222()24123abababab+=++=++=可得1ab=−，则,11cos,212ababab−===−，因为,[0,]ab，所以2,3ab=.故

选：C.4.已知3sin()35x−=，则7cos()6x+等于A.35B.45C.35-D.45−【答案】C【解析】【分析】由诱导公式化简后即可求值．【详解】7πcosx6+＝-πcosx6+=−sin[26x−+

]＝π3sinx35−=−故选C．【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题．5.函数()tan()4fxx=−与函数()sin(2)4gxx=−的最小正周期相同，则=A.1B.1C.2

D.2【答案】A【解析】【详解】解：因为函数()tan()4fxx=−与函数()sin(2)4gxx=−的最小正周期相同，因此2||2==1选A6.设1e，2e是两个不共线的向量，若向量12=−+mek

e(k∈R)与向量212=−nee共线，则（）A.k＝0B.k＝1C.k＝2D.k＝12【答案】D【解析】【分析】根据向量共线定理可得=mn，再由1e与2e是不共线向量，可得12k−=−=，解方程组即可求

解.【详解】由共线向量定理可知存在实数λ，使=mn，即()12212122ekeeeee−+=−=−，又1e与2e是不共线向量，∴12k−=−=，解得1,21.2k==故选：D7.已知5317tan,cos,cos1254abc=

==−，则（）A.bacB.abcC.bcaD.acb【答案】D【解析】【分析】化简，利用三角函数正负值及及有界性，即可得出结论.【详解】5317tan1,cos0,1coscos012544abc=

==−=.故选:D【点睛】本题考查诱导公式化简三角函数值，考查三角函数的正负及有界性，属于基础题.8.已知()2sin(),6fxx=+把f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移6个单位，得到g(x)的函数图象，则（）A.g(x)图象的对称轴为

,32kxkZ=+B.g(x)图象的对称轴为,42kx=+k∈Z且为奇函数C.g(x)图象的对称轴为x=π+2kπ，k∈Z且为奇函数D.g(x)图象的对称轴为52,6=+xkkZ【答案】A【解析】【分析】根据图象变换得()gx表

达式，再结合对称轴公式求解即可.【详解】依题意得()2sin26gxx=−，由262xk−=+得,32kxkZ=+故选：A9.已知函数()fx的局部图象如图所示，则下列选项中可能是函数

()fx解析式的是（）A.2cosyxx=B.cosyxx=C.2sinyxx=D.sinyxx=【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性首先排除选项AD再通过特殊值排除选项B，确定正确答案.【详解】选项A，()()cos()co

s()22fxxxxxfx−=−−==，是偶函数，其图象关于y轴对称，所以选项A错误；同理选项BC的函数是奇函数，它们的图象关于原点对称；选项D的函数也是偶函数，其图象关于y轴对称，所以选项D错误；当2x=时，coscos022yxx===，与函数的图象不符，所以选项B错误；当2x=

时，222sinsin0424yxx===，与图象相符，所以选项C正确.故选：C【点睛】方法点睛：根据函数的图象找解析式，一般研究函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性、特殊点等，来确定正确答案.10.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具

有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4m，肩宽约为8m，“弓”所在圆的半径约为5m4，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：21.414，31.732）（）A.1.012mB.1.768mC

.2.043mD.2.945m【答案】B【解析】【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧ACB的长54488l=++=，其所对圆心角58524

==，则两手之间的距离()522sin1.768m44ABAD==．故选：B．11.设点(2,2)A−−，(2,6)B−，(4,2)C−，(2sin,2cos)P，其中R，则|+|APBP

CP+的取值范围为（）A.[4,8]B.[4,6]C.[2,4]−D.[6,8]【答案】A【解析】【分析】由题可知，点P在圆224xy+=上，设(,)Pxy，根据向量的坐标运算可求得2|+|4012AP

BPCPy+=−，由y的范围可求得|+|APBPCP+的取值范围得选项．【详解】由题可知，点P在圆224xy+=上，设(,)Pxy，则(2,2)APxy=++，(2,6)BPxy=+−，(4,2)CPxy=−+，所以(3,32)APBPCPxy++=−，所以222|+|991244

012APBPCPxyyy+=+−+=−，因为22y−≤≤，所以16401264y−，所以4|+|8APBPCP+，所以|+|APBPCP+的取值范围为[4,8]，故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查向量模的范围的问

题，关键在于得出点P的轨迹方程，运用点的坐标表示出所求的向量的模，由点的坐标的范围可得以解决．12.已知ABAC⊥，1ABt=，ACt=，若P点是ABC所在平面内一点，且9ABACAPABAC=+，则PBPC的最大值等于（）A.16B.4C.82D.76【答案】D【解

析】【分析】以A为坐标原点建立平面直角坐标系，可得1,0Bt，()()0,0Ctt，利用平面向量坐标运算可求得()1,9P，由数量积的坐标运算可表示出PBPC，利用基本不等式可求得结果.【详

解】以A为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，则1,0Bt，()()0,0Ctt，的1,0ABt=，()0,ACt=，()()19,00,1,9APtttt=+=，即()1,9P，11,

9PBt=−−，()1,9PCt=−−，111981829ttBtPCtP=−−+=−+，0t，119296tttt+=（当且仅当19tt=，即13t=时取等号），()82676PBPC

−=.故选：D.【点睛】方法点睛：求解平面向量数量积问题的常用方法有两种：（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.二、填空题（每题5分，共20分）1

3.设OA=(1-2)OB=(a-1)OC=(-b0)a>0b>0O为坐标原点若ABC三点共线则a+2b的值是_____.【答案】12##0.5【解析】【详解】()()1,1,1,2ABaACb=−=−−，，则ABAC，，所以221ab−=−

−，，所以21ab+=，，即122ba+=．点睛：本题考查平面向量的三点共线问题．三点共线问题向量平行，本题中得()()1,1,1,2ABaACb=−=−−，则ABAC，由向量平行的公式，若()()1122,,,axybxy==，且ab，则1221xyxy=，利用公式，解得答案．14.已知A

BC是边长为2的正三角形，则向量AB在BC上的投影数量是______．【答案】1−【解析】【分析】根据数量积的几何意义即可求解.【详解】向量AB在BC上的投影数量为cos,2cos1201ABABBC==−，故答案为：1−15.已知函数()()π2sin

0,2fxx=+的部分图象如图所示，则()fx在3π,2π2上的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】先根据图象求出函数解析式，再根据所在区间求出最大值.【详解】32π13ππ3π41234=−=，解得2=，由13π13π2sin221212f

=+=，所以π2π3k=+，Zk.因为π3，所以π3=，所以()π2sin23fxx=+.因为3π,22x，所以πππ23π,4π333x+++，所以()π2sin22,33fxx=+−

，所以()fx的最大值为3.故答案为：3.16.将函数()sin2fxx=的图象向右平移6个单位后得到函数()gx的图象，若存在12,xx，使得2212[()][()]2fxgx+=，则12minxx−=_______．【答案】6【解析】【分

析】根据三角函数图象的平移变换求得g(x)，然后考察最值点可得.【详解】由题知()()sin(2)63gxfxx=−=−所以22221212[()][()]sin2sin(2)23fxgxxx+=+−=所以2212sin2sin

(2)13xx=−=则112212,2,232xkxkk=+−=+Z，2kZ，即121215,,42122kkxxk=+=+Z，2kZ，所以121212()54212226kkkkxx

−−=+−−=−当120kk−=时，12min6xx−=.故答案为：6三、解答题（共70分）17.已知向量a、b的夹角为4，且12ab==，，（1）求ab+的值；（2）求a与ab+的夹角的余弦.【答案】（1）5（2）255.【解析】【分析】

（1）先求出()22222ababaabb+=+=++rrrrrrrr的值，再开方即可求出ab+的值；（2）设a与ab+的夹角为，由()cosaabaab+=+可以求出.【详解】（1）21212ab==，222()21225ababaa

bb+=+=++=++=；（2）设a与ab+的夹角为，2()112aabaab+=+=+=，()225cos515aabaab+===+，故a与ab+的夹角的余弦255.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，正确使用数量积的定义运算，对于ab+，一般先平

方，再开方进行求解.18.已知sin(3)(),cosxfxxRx−=（1）若为第三象限角，且3sin5=−，求()f的值．（2）若,34x−，且21()2()1cosgxfxx=++，求函数()gx的最小值，并求出此时对应的x的值．【答案】(1)34−(2

)函数()gx的最小值为1，此时4x=【解析】【分析】(1)先化简函数解析式得()tanfxx=−，则由条件可得3tan4=，得出答案.(2)由条件可得()2tan2tan2gxxx=−+，则由,34x−，设tan3,1tx=−，根据二次函数(

)222211yttt=−+=−+即可得出答案.【详解】由已知有sin(3)sin(3)sin()tancoscoscosxxxfxxxxx−−−===−=−（1）若为第三象限角，且3sin5=−，则4cos5=−，则3tan4=()3tan4f=−=−（2）()()2222c

ossin21tan2tan2cosxxgxfxxxx+=++=−+,34x−，设tan3,1tx=−即()222211yttt=−+=−+，当1t=，即4x=时，有最小值1所以当4x=时，函数()gx有最小值1.【点睛】关键点

睛：本题考查根据三角函数求值和将函数化为tan的二次式求最值，解答本题的关键是由()()2222cossin21tan2tan2cosxxgxfxxxx+=++=−+将函数化为二次式，根据tan3,1−求最小值，属于中档题.19.已知向量(1,2)a=，(

,1)bx=r．（1）若(2)(2)abab+⊥−时，求x的值；（2）若向量a与向量b的夹角为锐角，求x的取值范围．【答案】（1）2x=−或72；（2）{2|xx−且1}2x．【解析】【分析】（1）先求出2ab+，2ab−坐标，再由(2)(2)abab+⊥−得(2)(2

)0abab+−=，列方程可求出x的值；（2）由向量a与向量b的夹角为锐角，可得0ab，且向量a与向量b不共线，从而可求出x的取值范围【详解】解：（1）因为向量(1,2)a=，(,1)bx=r，所以2(1,

2)2(,1)(21,4)abxx+=+=+，22(1,2)(,1)(2,3)abxx−=−=−，因(2)(2)abab+⊥−，所以(2)(2)0abab+−=，所以(21)(2)430xx+−+=，即223140xx−−=，解得2x=−或72x=，（2）因为向

量a与向量b的夹角为锐角，所以0ab，且向量a与向量b不共线，所以20121xx+，解得2x−且12x，所以x的取值范围为{2|xx−且1}2x20.已知函数π()2sin(2)13fxx=−+

+．的为（1）求()fx的单调递增区间；（2）求()fx在区间ππ[,]44−上的最值，并求出取最值时x的值；（3）求不等式()2fx的解集．【答案】（1）5π11π[π,π+],Z1212kkk+（2）当π12x=−时

，函数()fx取最大值3；当π4x=时，函数()fx取最小值0；（3）ππ[π,π+],Z412kkk−【解析】【分析】(1)根据正弦函数的单调性，计算ππ3π2π22π,Z232kxkk+−+即可求解；(2)由ππ44x−可得：5π

ππ2636x−−，利用正弦函数的性质即可求解()fx在区间ππ[,]44−上的最值，并能求出取最值时x的值；(3)由()2fx可得：π1sin(2)32x−−，利用正弦函数的图象和性质即可求解不等式.

【小问1详解】因为ππ()2sin(2)12sin(2)133fxxx=−++=−−+，令ππ3π2π22π,Z232kxkk+−+，解得：5π11πππ+,Z1212kxkk+，所以函数()fx的单调递增区间为5π11π[π,π+],Z1212kkk+.【小问2详解】由（1）知：π

()2sin(2)13fxx=−−+，因为ππ44x−，所以5πππ2636x−−，由正弦函数的图象和性质可得：π11sin(2)32x−−，所以()[0,3]fx，当ππ232x−=−，也即π12x=−时，函数()fx取最

大值3；当ππ236x−=，也即π4x=时，函数()fx取最小值0；【小问3详解】由()2fx，即π2sin(2)123x−−+，可得：π1sin(2)32x−−，由正弦函数的图象和性质可得：5πππ2π22π,Z636kxkk−−−，解得：ππππ+,

Z412kxkk−，所以不等式()2fx的解集为：ππ[π,π+],Z412kkk−.21.如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设EFABAD=+，求λ+μ的值．（2）若AB＝

2，当AEBF=1时，求DF的长．【答案】（1）16；（2）32．【解析】【分析】（1）先转化得到13CFAB=−，12ECAD=，再表示出1132EFABAD=−+uuuruuuruuur，求出λ13=−，μ12=，最后求λ+μ的值；（2）先得到12

AEABAD=+uuuruuuruuur和0ABAD=uuuruuur，再建立方程421−+=求解λ14=，最后求DF的长.【详解】（1）∵点E是BC边上中点，点F是CD上靠近C三等分点，∴1133CFDCAB=−=−uuuruu

uruuur，1122ECBCAD==，∴1132EFECCFABAD=+=−+，∴λ13=−，μ12=，故λ+μ111326=−+=.（2）设CF=λCD，则BFBCCFAD=+=−λAB，又12=+=+AEABBEABAD，ABAD=0，∴AEBF=（12ABAD+）•（AD−λAB）

＝﹣λAB2212AD+=−4λ+2＝1，的故λ14=，∴DF＝（1﹣λ）×232=．【点睛】本题考查利用向量的运算求参数，是基础题22.已知点()()11,Axfx，()()22,Bxfx是函数()()2sinfxx=+(0,0

)2−图象上的任意两点，且角的终边经过点()1,3P−，若12()()4fxfx−=时，12xx−的最小值为3．（1）求函数()fx的解析式；（2）若方程23()()0fxfxm−+=在4(,)99x内有两个不同的解，求实数m的取值

范围．【答案】（1）()2sin33fxx=−；（2）112m=或100m−．【解析】【分析】（1）根据函数图象性质可得参数值及函数解析式；（2）设()tfx=，将方程转化为函数23ytt=−与ym=−公共点问题

.【小问1详解】角的终边经过点()1,3P−，tan3=−02−3=−由()()124fxfx−=时，12xx−的最小值为3，得23T=，即223=，3=()2sin33fxx=−.【小问2详解】∵4,99x，()

30,3x−，0sin313x−，设()fxt=，问题等价于方程230ttm−+=在()0,2仅有一根或有两个相等的根．23mtt−=−，()0,2t，作出曲线2:3Cytt=−，()0,2t与直线:lym=−的图象．16t=时，112y=−；0=t时

，0y=；2t=时，10y=．当112m−=−或010m时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．m的取值范围是：112m=或100m−．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com