【文档说明】【精准解析】河南省林州市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题.doc，共(18)页，1.606 MB，由小赞的店铺上传

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林州一中2019~2020学年上学期期中考试高二数学一、选择题：1.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若::1:1:4ABC=，则::abc=（）A.1:1:2B.1:1:2C.1:1:5D.1:1:3【

答案】D【解析】【分析】由角度比例关系，可以算出每个角度，再根据正弦定理的推论，即可求得边长之比.【详解】因为::1:1:4ABC=，故可得2,63ABC===，故可得113113222sinAsinBsinC==：：：：：：由正弦定理可得11

3abcsinAsinBsinC==：：：：：：.故选：D.【点睛】本题考查正弦定理的推论，属基本知识点的考查.2.已知0ab，则下列成立的是（）A.baabB.22abC.2abbD.lnlnba【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，利用指数函数，对数函数的单调性以及不

等式性质，逐一分析即可.【详解】对baab，等价于220baab−，因为0ab，显然220baab−，不等式不成立；对22ab，因为2xy=是增函数，又因为0ab，故22ab，故不等式不成立；对lnlnba，因为ylnx=是增函数，又因为0ab，故lnalnb

，故不等式不成立；对2abb，等价于()0bab−，因为0ab，显然()0bab−，故不等式成立.故选：C.【点睛】本题考查不等式的性质，以及利用对数和指数函数的单调性比较大小，属基础题.3.“04x

”是“2log1x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解不等式2log1x，利用集合的包含关系可对两条件之间的关系进行判断.【详解】由2log1x得02x，故“04x”是“2log1x”的必要不充分条件

.故选B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为两集合的包含关系，同时也可以逻辑关系来进行判断，考查推理能力，属于基础题.4.已知椭圆()222210xyabab+=的两焦点为1F，2F，椭圆上一点M到1

F的距离为4，N为2MF的中点，则ON（O为坐标原点）的长为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】首先根据已知可得求出14MF=，进一步利用三角形的中位线求的结果．【详解】∵O，N分别为1F，2F，2MF的中点，∴1122MOFN=

=.故选：B【点睛】本题以椭圆为背景考查了三角形中位线定理，属于基础题．5.关于x的不等式()()101xaxaa−−的解集为（）A.|xxaB.1|xxaC.{|xxa或1}xaD.1|

xxaa【答案】C【解析】【分析】求出不等式对应方程的根，结合不等式和二次函数的关系，即可得到结果.【详解】不等式()()101xaxaa−−对应方程()10xaxa−−=的两根为1,aa，

因为1a，故可得1aa，根据二次不等式以及二次函数的关系可得不等式的解集为{|xxa或1}xa.故选：C.【点睛】本题考查含参二次不等式的求解，属基础题.6.下列各选项中叙述错误的是（）A.命题“若xy=，则sinsinxy=”的否命题是“若xy，则sinsinxy”B.若命题(

)pq为假命题，则pq为假命题C.命题p：0xR，使得200220xx++，则p：xR，使得2220xx++D.“2m=”是“直线410mxy−+=与直线()120mxmy−−+=垂直”的充要条件【答案】D【解析】【分析】根据逆否命题的改写规则，或且非命题的真假性，以及

带量词命题的否定求解，充要条件的定义，结合具体知识，即可分析选择.【详解】直线410mxy−+=与直线()120mxmy−−+=垂直，等价于()2410mm+−=，解得2m=.故2m=是直线410mxy−+=

与直线()120mxmy−−+=垂直的充要条件，故D错误.根据逆否命题的改写规则，或且非命题的真假性，以及带量词命题的否定，可以判断ABC、、正确；故选：D.【点睛】本题考查逆否命题的改写规则，或且非命题的真假性，以及带量词命题的否定求解，充要条件的判定，属命题综合题.7.在

ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若coscossinaBbAbC+=，则ABC的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】B【解析】【分析】根据射影定理，以及正弦定理，对目标式进行化简，再根据正弦值，求得角度，即可

判断形状.【详解】因为coscossinaBbAbC+=根据射影定理故可得cbsinC=，再利用正弦定理将边化角，可得sinCsinBsinC=又因为0sinC，故可得1sinB=，又()0,B故可得90B=，故ABC是直角三角形.故选：B.【点睛】本题考查射影定理，正弦定理将边

化角，从而判断三角形形状，属基础题.8.已知等比数列na的前n项和为nS，1010S=，2030S=，则30S=（）A.60B.70C.80D.90【答案】B【解析】【分析】根据等比数列前n项和的片段和性质，结合题意，进行具体计算即可.【详解】因为

na是等比数列，故由前n项和的片段和性质，可得1020103020,,SSSSS−−依旧成等比数列，因为1010S=，2030S=，201020SS−=，则302040SS−=故解得3070S=.故选：B.【点睛】本题考查等比数列前n项和的片段和

性质，属基础题.9.已知点F是椭圆()222210xyabab+=的左焦点，直线23by=与椭圆交于A，B两点，且90AFB=，则该椭圆的离心率为（）A.14B.33C.12D.55【答案】D【解析】【分析】令椭圆()222210xyabab+=中的23by=，可解得AB、两点的坐标，

根据1AFBFkk=−，即可求得,,abc之间的关系式，利用222bac=−，得到,ac关系式，即可得离心率.【详解】令()222210xyabab+=中的23by=，可解得53xa=，不妨设5252,,,3333bbAaBa

−，又(),0Fc−根据90AFB=，故可得1AFBFkk=−即223315533bbacac=−−++，整理得2224599bac=−又222bac=−，代入可得225ac=，故215,55ee==.故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心

率的求解，其重点是根据斜率之积为-1，建立,,abc的齐次式.10.设命题:p若函数()()32xfxa=−−是减函数，则1a，命题:q若函数()224gxxax=++在)2,+上是单调递增，则2a−.那么下列命题为真命题的是（）A.pqB.pC.()pq

D.()pq【答案】D【解析】【分析】先判断出命题p、q的真假，然后利用复合命题的真假判断出各选项中命题的真假.【详解】若函数()()32xfxa=−−是减函数，则321a−，解得1a，命题p为真

命题；若函数()224gxxax=++在)2,+上是单调递增，其对称轴为直线xa=−，则2a−，解得2a−，命题q为假命题.因此，pq为假，p为假，()pq为假，()pq为真.故选D.

【点睛】本题考查复合命题真假的判断，同时也考查了指数函数与二次函数的单调性，解题的关键就是判断出各简单命题的真假，考查推理能力，属于中等题.11.已知0x，0y，223xyxy++=，则2zxy=+的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A

【解析】【分析】利用均值不等式，根据题意，即可求得目标函数的最小值.【详解】因为223xyxy++=，故可得()223xyxy=−++因为0x，0y，故可得()21224xyxy+即()()212324xyxy−

+++，令z=2x+y,则24120zz+−解得2z或6z−，因为0z，故2z当且仅当2,xy=223xyxy++=时，即1,12xy==时取得最小值.故选：A.【点睛】本题考查均值不等式的直接使用，属

基础题；需要注意取等得条件.12.已知椭圆2222915:xyCaa+=，点P为椭圆C上位于第一象限一点，O为坐标原点，过椭圆左顶点A作直线//lOP，交椭圆于另一点B，若12ABOP=，则直线l的斜率为（）A.533B.3

C.355D.5【答案】A【解析】【分析】设点11(,)Bxy，()22,Pxy，由题意得出12ABOP=，可得出12121212xxayy=−=，然后将点B、P的坐标代入椭圆方程，得出2x、2y，即可求出直线l的斜率.【详解】由题知()

,0Aa−，设11(,)Bxy，()22,Pxy.则12ABOP=，可得()112211,,22xayxy+=，1212xxa=−，1212yy=，点P、B都在椭圆C上，2222222222595159522xyayxaa+=

−+=，解得24ax=，2543ay=，因此，直线l的斜率为225453343yaxa==.故选：A.【点睛】本题考查直线斜率的求解，同时也考查了直线与椭圆的综合问题，在涉及平行线截椭圆所得弦长的

比例关系时，可转化为共线向量比的问题求解，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“0xR，0sin20x−”的否定为______.【答案】xR，sin20x−【解析】【分析】根据特称命题的

否定的求解原则，根据题意，即可求得.【详解】特称命题的否定是全称命题，故0xR，0sin20x−的否定为：,20xRsinx−.故答案为：,20xRsinx−.【点睛】本题考查特称命题的否定，属基础题；需要注意，命题的结论也要否定.14.已知实数x、y

满足约束条件102101xyxyx−+++，则3zxy=−的最小值为__________．【答案】3−【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线3zxy=−，观察该直线在x轴上的截距最小时对应的最优解，代入目标函数即可得出结果.【详解】作出不等式组1

02101xyxyx−+++所表示的可行域如下图所示：联立21010xyxy++=−+=，解得10xy=−=，得点()1,0A−，平移直线3zxy=−，当直线3zxy=−经过可行域的顶点()1,0A−时，该直线在x轴上的截距取最小值，此时，目标函数3zxy=−取得最小值

()min3103z=−−=−.故答案为3−.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般要作出可行域，利用数形结合思想来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.15.已知三条

线段的长度分别为x、3、4，且03x，若这三条线段能构成锐角三角形，则实数x的取值范围为______.【答案】()7,3【解析】【分析】由最大角的余弦值大于零，结合题中已给条件，即可得到x的范围.【详解】设该锐角三角形的最大边

4对应的角度为，故由题可得291606xcosx+−=，解得27x，即可得7x又因为03x，故可得()7,3x.故答案为：()7,3.【点睛】本题考查余弦定理的推论，需要注意的是，若要构成锐角三角形，只

需最大角为锐角即可.16.已知点A、B为椭圆22:14xCy+=的左、右顶点，点M为x轴上一点，过M作x轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，过M作AP的垂线交BQ于点N，则BMNBMQSS=_______．【答案】45【解析】【分析】设点(),Pmn，则(),0Mm，(),Qmn−

，写出直线MN和BQ的方程，联立这两条直线的方程，求出点N的坐标，即可得出BMNBMQSS的值.【详解】如下图所示，设(),Pmn，则(),0Mm，(),Qmn−，由题设知2m且0n，直线AP的斜率2APnkm=+，直线MN斜率2MNmkn+=−.直线MN的方程为()2

myxmn+=−−，直线BQ的方程为()22nyxm=−−.联立()()222myxmnnyxm+=−−=−−，解得()22244Nnmymn−=−−+.又点P在椭圆C上，得2244mn−=，45

Nyn=−.又1225BMNNSBMyBMn==，12BMQSBMn=，45BMNBMQSS=.故答案为45.【点睛】本题考查椭圆中三角形的面积比的计算，解题的关键就是要求出点的坐标，同时也要注意点的坐标满足椭圆方程，结合等式进

行计算，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.在前n项和为nS的等差数列na中，14222aaa+=−，348S=．（1）求

数列na的首项和公差；（2）记nnba=，求数列nb前20项的和．【答案】（1）首项为18，公差为2−（2）200【解析】【分析】（1）由基本量法可求得数列的首项和公差；（2）由（1）得202nan=−，这样当110n时0na，当11n时0na，因此{

}nb前20项中，分两类，前10求和，后10项再求和，最后相加即可．【详解】解：（1）设数列na的公差为d，由题意有：()()11113223348aadadad++=+−+=，解得：1182ad==−故数

列na的首项为18，公差为2−，（2）由（1）知()1821202nann=−−=−，可知当110n时0na，当11n时0na，数列nb前20项的和为()()()()92181022018162242

0==20022++++++++++．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，解题方法是基本量法，属于中档题型．18.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2222sinsinsinsinsin3ABC

AB+−=.（1）求cosC的值；（2）若3c=，5ab+=，求a、b的值.【答案】（1）13（2）32ab==或23ab==【解析】【分析】（1）利用正弦定理，将角化边，再反凑余弦定理即可；（2）利用余弦定理，结合5ab+=，解方程组即可求得a、b的值.【详解】（1）由正

弦定理有，22223abcab+−=，由余弦定理有222213cos223ababcCabab+−===；故cosC13=.（2）由余弦定理有2222coscababC=+−，得22293abab=+−，可化为()2893abab=+−，代入5ab+=，得6ab=，解方程组56abab+=

=，可得32ab==或23ab==.故3,2ab==或2,3ab==.【点睛】本题考查正弦定理将角化边，以及余弦定理的应用和逆用，属基础题.19.已知数列na的前n项和为nS，且满足()341nnSa=

−.（1）求数列na的通项公式；（2）求nS，并判断是否存在正整数n使得nS，1157nS+，2nS+成等差数列，若存在，请求出n的值，不存在请说明理由.【答案】（1）4nna=（2）()4413nnS=−，存在，2n=【解析】【分析】（1）

利用1nnnaSS−=−的关系式，即可求得通项公式；（2）由（1）可知，该数列是等比数列，故由公式可得nS，再根据等差中项，列方程求解即可.【详解】（1）当1n=时，()11341aa=−，得14a=，当2n时，1133344nnnnna

SSaa−−=−=−，得14nnaa−=，故数列na是以4为首项，4为公比的等比数列，数列na的通项公式为4nna=；（2）由()()414441143nnnS−==−−，有()()()22444414

11742333nnnnnSS+++=−+−=−，若存在正整数n使得nS，1157nS+，2nS+成等差数列，则有()()141541742241373nn+−=−，解得2n=，由上知，存在2

n=使得nS，1157nS+，2nS+成等差数列.【点睛】本题考查由na和nS之间的关系，求解通项公式，以及利用等差中项的性质解决问题，属综合基础题.20.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、

c，已知3sincos2bCcBba−=−.（1）求C；（2）若ABC为锐角三角形，且3a=，求ABC面积的取值范围.【答案】（1）3C=（2）3333,82【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用正弦的和角公式转化，然后解方程即可求得；（2）利用正弦定理，得到b

关于A的函数，再求该函数的值域，结合面积公式即可求得.【详解】（1）由正弦定理有3sinsinsincos2sinsinBCCBBA−=−，又由()sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+，代入上式得，3si

nsin2sinsincosBCBBC=−，由0B，有sin0B，上式可化为：31sincos122CC+=，得sin61C+=，由0C，有7666C+，故有62C+=，故3C=；（2）由（1）知，

133sin234ABCbSb==，由正弦定理有23sinsin3sinsinAaBbAA−==313cossin223cos3sin2sin2AAAAA+==+332tan2A=+，由ABC为锐角三

角形，有022032ABA=−，得62A，有3tan3A，可得3232b，故ABC面积的取值范围为3333,82.【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角，以及利用正弦定理求解三角形面积的范围，涉及正弦的和角公式，属

解三角形中的经典重点题型.21.已知数列na的前n项和为nS，且()2112nannS++=.（1）求数列na的通项公式；（2）请问是否存在正整数k，使得21kkkaaa++为数列na中的项，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）

31nan=−（2）不存在，理由见详解【解析】【分析】（1）先对原式赋值，求得1a，再利用na与nS关系，求得na；（2）先计算21kkkaaa++的值，根据其为数列na中的项，可得对应的关系式，结合题意，即可求

得.【详解】（1）当1n=时，1122aa+=，得12a=，可得232nnnS+=，当2n时，()()22131133122nnnnnnnaSSn−−+−+=−=−=−，由12a=符合()312nann=−，故数列na的通项公式为31nan=−；（2）由()()2

1313532kkkkkaaak++−+=+()()()23233233293232kkkkk+−+++−==++93232kk=+−+，若21kkkaaa++为数列na中的项，必定有932k+为正整数，

故321k+=或3或9，解得13k=−或13或73，由k为正整数，故不存在正整数k，使得21kkkaaa++为数列na中的项.【点睛】本题考查由nS求解na，以及数列中的存在性问题，属经典好题，尤其第二问的思路，值得总结.22.已知椭圆()222:122xyCaa+=的右焦点为F，

P是椭圆C上一点，PFx⊥轴，22PF=.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，且2OM=，求AOB面积的最大值.【答案】（1）22182xy+=；（2）2.【解析】【分析

】（1）设椭圆C的焦距为()20cc，可得出点2,2c在椭圆C上，将这个点的坐标代入椭圆C的方程可得出2234ca=，结合222ac=+可求出a的值，从而可得出椭圆C的标准方程；（2）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，在ABx⊥轴时，可得

出6AB=，从而求出AOB的面积；在直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为ykxt=+，设点()11,Axy、()22,Bxy，将直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合2OM=，得出()2222214116ktk+=

+，计算出AB与AOB的高，可得出AOB面积的表达式，然后可利用二次函数的基本性质求出AOB面积的最大值.【详解】（1）设椭圆C的焦距为()20cc，由题知，点2,2Pc，2b=，则有2222212ca+=，2234ca=，又22222abcc=+=+

，28a=，26c=，因此，椭圆C的标准方程为22182xy+=；（2）当ABx⊥轴时，M位于x轴上，且OMAB⊥，由2OM=可得6AB=，此时132AOBSOMAB==；当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为ykxt=+，与椭圆交于()11,Axy，()22,Bxy，由22182xyyk

xt+==+，得()222148480kxktxt+++−=.122814ktxxk−+=+，21224814txxk−=+，从而224,1414kttMkk−++已知2OM=，可得()2222214116ktk+=+.()(

)()22222212122284814141414kttABkxxxxkkk−−=++−=+−++()()()222221682114ktkk−+=++.设O到直线AB的距离为d，则2221tdk=+，()()()22222222168

2114114AOBkttSkkk−+=+++.将()2222214116ktk+=+代入化简得()()2222219241116AOBkkSk+=+.令2116kp+=，则()()()2222221

1211192414116AOBppkkSpk−−++==+211433433p=−−+.当且仅当3p=时取等号，此时AOB的面积最大，最大值为2.综上：AO

B的面积最大，最大值为2.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积最值的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，同时在计算最值时，常用函数的基本性质以及基本不等式进行求解，考查运算求解能力，属于难题.