【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第3章 第6讲　对数与对数函数 含解析【高考】.doc，共(24)页，424.000 KB，由小赞的店铺上传

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1第6讲对数与对数函数1．对数的定义如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作01x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的运算法则如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么(1)loga

(MN)＝02logaM＋logaN，(2)logaMN＝03logaM－logaN，(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．对数函数的定义函数04y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．4．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域

05(0，＋∞)值域R定点过点06(1,0)单调性07增函数08减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当x＞1时，y＜0；2当0＜x＜1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞05．反函数指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函

数y＝09logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线10y＝x对称．1．对数的性质(a＞0，且a≠1)(1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N.2．换底公式及其推论(1)logab＝logcblogca(a

，c均大于0且不等于1，b＞0)；(2)logab·logba＝1，即logab＝1logba(a，b均大于0且不等于1)；(3)logambn＝nmlogab；(4)logab·logbc·logcd＝logad.3．对数函数的图象与底数大小的比较如

图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1．(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝()A.116B．19C.18D．16答案B3解析由alog34＝2可得log34a＝

2，所以4a＝9，所以4－a＝19.故选B.2．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝12，则下列判断正确的是()A．c<b<aB．b<a<cC．a<c<bD．a<b<c答案C解析a＝log52<log55＝12＝log822<

log83＝b，即a<c<b.故选C.3．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，∵y＝l

nt为增函数，∴要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．∵当x∈(4，＋∞)时，函数t＝x2－2x－8为增函数，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.4．函数f(x)＝loga(x＋2)－2(a>0，且a≠1)的图象必过定点________.答案(－

1，－2)解析由loga1＝0(a>0且a≠1)知，f(－1)＝loga(－1＋2)－2＝0－2＝－2.所以函数f(x)的图象必过定点(－1，－2)．5．计算：.答案4解析.6．函数的定义域是________.答案

12，14解析由log23(2x－1)≥0得log23(2x－1)≥log231，所以0<2x－1≤1，解得12<x≤1.故原函数的定义域为12，1.考向一对数的化简与求值例1(1)(多选)下列运算错误的是()A．2log1510＋log150.2

5＝2B．log427×log258×log95＝89C．lg2＋lg50＝10D．答案ABC解析对于A,2log1510＋log150.25＝log15(102×0.25)＝log1552＝－2，A错误；对于B，log427×log258×log95＝l

g33lg22×lg23lg52×lg5lg32＝3×32×2×2＝98，B错误；对于C，lg2＋lg50＝lg100＝2，C错误；对于D，log(2＋3)(2－3)－(log22)2＝－1－122＝－54，D正确．故选

ABC.(2)(2021·济南二模)苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时天文学家处理“大数运算”提供了巨大的便利．已知正整数N的31次方是一个35位数，则由下面的对数表，可得N的值为()M23678911lgM0.300.480.780.850.

900.951.04M121314151617lgM1.081.111.151.181.201.235A．12B．13C．14D．15答案B解析因为正整数N的31次方是一个35位数，所以1034<N31<1035，则3431<

lgN<3531，即1.10<lgN<1.13，所以N＝13.故选B.(3)(2021·枣庄二模)已知函数f(x)＝ex＋ln2，x≤0，f(x－3)，x>0，则f(2021)＝()A.2eB．

2eC．2e2D．2e2答案A解析f(2021)＝f(3×674－1)＝f(－1)＝e－1＋ln2＝2e.故选A.(4)(2021·武进区校级模拟)十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改

进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即ab＝N⇔b＝logaN.现已知a＝log26,3b＝36，则1a＋2b＝________,2ab＝________.答案13解析a＝log26,3

b＝36，则b＝log336＝2log36，则1a＋2b＝log62＋log63＝log66＝1，ab＝log262log36＝lg6lg22lg6lg3＝lg32lg2＝12log23＝log23则.对数运算的一般思路(1)拆：把底数或真数进行变形，

将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运6算．(2)合：逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log

2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．1.(2021·银川市兴庆区校级一模)已知a＝lg2,10b＝3，则log56＝()A.a＋b1＋aB．a＋b1－aC.a－b1＋aD．a－b1－a答案B解析∵a＝lg2,10b＝

3，∴b＝lg3，log56＝lg6lg5＝lg2＋lg31－lg2＝a＋b1－a.故选B.2．lg52＋23lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2的值为________.答案3解析原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(1＋l

g2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg2＋lg5)＝2＋lg5＋lg2＝3.3．设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log32)＝________.答案6解析∵函数f(x)＝3x＋9x，∴f(log32)

＝.考向二对数函数的图象及其应用例2(1)(2021·石嘴山模拟)如图，①②③④中不属于函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝－log3x的一个是()7A．①B．②C．③D．④答案B解析根据函数的图象，函数

的底数决定函数的单调性，当底数a>1时，函数单调递增，当0<a<1时，函数单调递减，当底数0<a<1，满足底数越大函数的图象在x>1时，越远离x轴，故④对应函数y＝log0.5x的图象，③对应函数y＝－lo

g3x＝log13x的图象，根据对称性，①对应函数y＝log2x的图象，②与题中所给函数的图象相矛盾，故②错误．故选B.(2)若方程4x＝logax在0，12内有解，则实数a的取值范围为________.答案0，22解析构造函数f(x)＝4x和g(x)＝

logax.当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数的大致图象，如图所示．可知，只需两图象在0，12上有交点即可，则f12≥g12，即2≥loga12，则0<a≤22，所以实数a的取值范围为0，22.利用对数函数的图

象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，

利用数形结合思想求解．4.(2021·银川二模)函数f(x)＝cosx·ln(x2＋1－x)在[－1,1]的图象大致为()8答案B解析因为f(－x)＝cos(－x)·ln((－x)2＋1＋x)＝cosx·ln(x2＋1＋x)＝cosx·ln1x2＋1－x＝－cosx·ln(x2＋1－x

)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，排除C，D；又f(1)＝cos1×ln(2－1)<0，排除A.故选B.5．(2022·河南洛阳高三阶段性测试)已知正实数a，b，c满足12a＝log3a，14b＝log3

b，c＝log32，则()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．c＜a＜b答案B解析在坐标系里画出y＝12x，y＝14x与y＝log3x的图象，可得a＞b＞1.而c＝log32＜1，故c＜b＜a.多角度探究突破考向三对数函数的性

质及其应用角度比较对数值的大小例3(1)(多选)(2021·青岛一模)下列不等式成立的是()9A．log2(sin1)>2sin1B．1π2<π12C.7－5<6－2D．log43<log65答案BCD解析∵sin1∈(0,1)，∴log2(sin1

)<0,2sin1>1，∴log2(sin1)<2sin1，故A错误；0<1π2<1，π12>1，∴1π2<π12，故B正确；要判断7－5<6－2，即判定7＋2<6＋5，即判定(7＋2)2<(6＋5)2，即11＋47<11＋230，即47<23

0，即28<30成立，故C正确；∵log43＝1＋log434，log65＝1＋log656，∵log434<log456，且log456<log656，∴log434<log656，∴log43<log65，故D正确．故选BCD.(2)(多选)若实数a，b，c满足loga2<logb2<l

ogc2，则下列关系中可能成立的是()A．a<b<cB．b<a<cC．c<b<aD．a<c<b答案BCD解析由loga2<logb2<logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：①1<c<b<a；

②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.作出函数的图象(如图所示)．由图象可知选项B，C，D可能成立．(3)(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84,134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则10()A．a<b<cB

．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b答案A解析∵a，b，c∈(0,1)，ab＝log53log85＝lg3lg5×lg8lg5＜1(lg5)2×lg3＋lg822＝lg3＋lg82lg52＝lg24lg252＜1，∴a＜b.由b＝log8

5，得8b＝5，由55＜84，得85b＜84，∴5b＜4，可得b＜45.由c＝log138，得13c＝8，由134＜85，得134＜135c，∴5c＞4，可得c＞45.综上所述，a＜b＜c.故选A.比较对数值大小的方法6.(2021·贵阳市

南明区校级模拟)设a＝2ln13，b＝log56，c＝log617，则a，b，c的大小关系是()A．a<c<bB．b<a<cC．c<a<bD．a<b<c答案C解析因为ln13<0，所以a＝2ln13∈(0,1)，因为b＝log56>1，c＝log617<0，所以c<a<b.故选C.7．(多选)

(2021·辽宁三模)对于0<a<1，下列四个不等式中成立的是()A．loga(1＋a)<loga1＋1a11B．loga(1＋a)>loga1＋1aC．a1＋a<a1＋1aD．a1＋a>a1＋1a答案B

D解析∵0<a<1，∴a<1a，从而1＋a<1＋1a，∴loga(1＋a)>loga1＋1a.又0<a<1，∴a1＋a>a1＋1a.故选BD.8．(2021·山东模拟)设x，y均为正实数，且3x＝4y，则比较3x与4y的大小

关系是________.答案3x<4y解析设3x＝4y＝M(M>1)，则x＝log3M，y＝log4M，3x－4y＝3log3M－4log4M＝3×lnMln3－4×lnMln4＝lnM(3ln4－4ln3)ln3×ln4＝lnM(ln64－ln81)ln3×ln4<0，故3x<4y.角

度解简单的对数不等式例4(1)设函数若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)答案C解析由题意可得a>0

，log2a>－log2a或解得a>1或－1<a<0.故选C.12(2)(2021·泰安模拟)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝lg(3x＋1)－1，则不等式f(x)>0的解集为()A．(－3,

0)∪(3，＋∞)B．(3，＋∞)C．(－3,3)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)答案D解析∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，由f(x)＝lg(3x＋1)－1>0得x>3，根据偶函数对称性可知，当x<0时，f(x)>0得x<－3

.综上可得，不等式f(x)>0的解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．故选D.解对数不等式的类型及方法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论．(2)形如logax>b的

不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．9.设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x>1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)答案D解析当x≤1时，由2

1－x≤2得1－x≤1，∴0≤x≤1；当x>1时，由1－log2x≤2得x≥12，∴x>1.综上，x的取值范围为[0，＋∞)．故选D.10．若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是________.答案

12，1解析由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，同时2a>1，所以a>12.综上，a∈12，1.13角度与对数有关的复合函数问题例5(1)已知函

数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.答案1，83解析当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上

是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8－2a)>1，解得1<a<83.当0<a<1时，f(x)在[1,2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，得f(

x)min＝loga(8－a)>1，得8－2a<0，a>4.故a不存在．综上可知，实数a的取值范围是1，83.(2)(2021·海南省高三第一次联考)已知函数f(x)＝3＋log2x，x∈[1,16]，若函数g(x)＝[f(x)]2＋2

f(x2)．①求函数g(x)的定义域；②求函数g(x)的最值．解①函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)满足1≤x≤16，1≤x2≤16，解得1≤x≤4，即函数g(x)的定义域为[1,4]．②因为x∈[1,4]，所以lo

g2x∈[0,2]．g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)＝(3＋log2x)2＋6＋2log2x2＝(log2x)2＋10log2x＋15＝(log2x＋5)2－10，当log2x＝0时，g(x)min＝15，当log2x＝2时，g(x

)max＝39，即函数g(x)的最大值为39，最小值为15.利用对数函数的性质，求解与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义14域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外

，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．11.(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，2]C．[2，＋∞)D．[5，＋∞)答案D解析由

x2－4x－5>0，解得x>5或x<－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)单调递增，在(－∞，－1)单调递减，所以函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞

)单调递增，所以a≥5.故选D.12．(2021·广元模拟)已知函数f(x)＝lnx4－x，则()A．y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称B．y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称C．f(x)在(0,4)上单调递

减D．f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增答案A解析x4－x>0，则函数定义域为(0,4)，f(1)＝ln13，f(3)＝ln3，即f(3)＝－f(1)，有关于点(2,0)对称的可能，进而推测f(x＋2)为奇

函数，关于原点对称，f(x＋2)＝lnx＋22－x的定义域为(－2,2)，是奇函数且单调递增，∴f(x)为f(x＋2)向右平移两个单位得到的，则函数在(0,4)单调递增，关于点(2,0)对称．故选A.13．(多选)(2021·泉州二模)已知函数f(x)

＝x＋1x，g(x)＝2x，x<0，log2x，x>0，则()A．f(g(2))＝2B．g(f(1))＝115C．当x<0时，f(g(x))的最小值为2D．当x>0时，g(f(x))的最小值为1答案ABD解析∵g(2)＝log22＝1，∴f(g(2))＝f(1)＝2，∴A正确；∵f(1)＝2

，∴g(f(1))＝g(2)＝log22＝1，∴B正确；当x<0时，g(x)＝2x∈(0,1)，设t＝2x∈(0,1)，则f(t)＝t＋1t在(0,1)上单调递减，∴f(t)>f(1)＝2，∴C错误；当x>0时，f(x)＝x＋

1x≥21＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号，设m＝x＋1x，m∈[2，＋∞)，则g(m)＝log2m≥log22＝1，∴D正确．故选ABD.一、单项选择题1．(2021·诸暨模拟)已知x，y为正实数，则()A．lg(x2y)＝(lgx)2＋lgyB．lg(xy)＝lgx＋12l

gyC．elnx＋lny＝x＋yD．elnx－lny＝xy答案B解析x，y为正实数，lg(x2y)＝lgx2＋lgy＝2lgx＋lgy，故A错误；lg(xy)＝lgx＋lgy＝lgx＋12lgy，故B正确；elnx

＋lny＝elnx·elny＝xy，故C，D错误．故选B.2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()A．log2xB．12xC．log12xD．2x－216答案A解析由题意知f

(x)＝logax(x>0)．∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.3．(2021·江西重点中学协作体第二次联考)若15a＝3，则a－log51515＝()A．－1B．1C．15D．3答案B解析∵

15a＝3，∴－a＝log53，∴a－log51515＝a－－12(log53＋1)12log55＝a＋(－a)＋1＝1.故选B.4．(2021·宝鸡模拟)很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的

学问”“64片金片在三根金针上移动的寓言”)都涉及264这个数，请你估算这个数264大致所在的范围是(参考数据：lg2＝0.30，lg3＝0.48)()A．(1012,1013)B．(1019,1020)C．(1020,1021)D．(1030,

1031)答案B解析设264＝N，两边同时取常用对数得lg264＝lgN，∴64lg2＝lgN，∴lgN≈64×0.30＝19.2，∴N＝1019.2.故选B.5．若loga23<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值

范围是()A.0，23B．23，＋∞C.23，1∪(1，＋∞)D．0，23∪(1，＋∞)答案D解析因为loga23<1，所以loga23<logaa.若a>1，则上式显然成立；若0<a<1，则应满足0＜a＜23

.所以实数a的取值范围是0，23∪(1，＋∞)．故选D.176．(2021·海南模拟)函数f(x)＝log2x4·log4(4x2)的最小值为()A．－94B．－2C．－32D．0答案A解析由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)．所以f(x)

＝(－2＋log2x)(1＋log2x)＝(log2x)2－log2x－2＝log2x－122－94≥－94.当x＝2时，函数取得最小值．故选A.7．(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()A．是偶函数，且在12，＋∞单调

递增B．是奇函数，且在－12，12单调递减C．是偶函数，且在－∞，－12单调递增D．是奇函数，且在－∞，－12单调递减答案D解析f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为x|x≠±1

2，关于坐标原点对称，又f(－x)＝ln|1－2x|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为定义域上的奇函数，可排除A，C；当x∈－12，12时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，∵y＝ln(2x＋1)在－

12，12上单调递增，y＝ln(1－2x)在－12，12上单调递减，∴f(x)在－12，12上单调递增，排除B；当x∈－∞，－12时，f(x)＝ln(－2x－1)－

ln(1－2x)＝ln2x＋12x－1＝ln1＋22x－1，∵μ＝1＋22x－1在－∞，－12上单调递减，f(μ)＝lnμ在定义域内单调递增，∴根据复合函数单调性可知f(x)在

－∞，－12上单调递减，D正确．故选D.188．(2021·饶阳县校级模拟)已知x>0，y>0，a≥1，若a·18y＋log2x＝log8y3＋2－x，则()A．ln|1＋x－3y|<0B．ln|1＋x－3y|≤0C．ln(1＋3y－x)>

0D．ln(1＋3y－x)≥0答案C解析由题意可知，a·123y＋log2x＝log2y＋12x，∴log2x－12x＝log2y－a·123y<log2(3y)－a·

123y≤log2(3y)－123y，令f(x)＝log2x－12x，则f(x)<f(3y)，易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，由f(x)<f(3y)，得x<3y，∴3y－x>0，∴1＋3y－x>1，∴ln(1＋3y－x)>ln1＝0.故选C.二、多项选择题9．若

函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|，其中a>0且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是()答案AD解析由题意知f(x)＝ax－2是指数函数，g(x)＝loga|x|是对数函数，且是一个偶函数．当0<a<1时，f(x)

＝ax－2单调递减，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A符合题意；当a>1时，f(x)＝ax－2单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D符合题意．故选AD.10．(2021·潍坊模拟)已知π为圆周率

，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是()A．πe<3eB．3e－2π<3πe－2C．logπe<log3eD．πlog3e>3logπe19答案CD解析∵π为圆周率，e为自然对数的底数，∴π>3>e>2，∴π3e>1，πe>3e，故A错误；∵0<3π<1,0<e

－2<1，∴3πe－2>3π，∴3e－2π>3πe－2，故B错误；∵π>3，∴logπe<log3e，故C正确；由π>3，log3e>logπe，得πlog3e>3logπe，故D正确．故选CD.11．(2021·广东普宁市模拟)已知函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上

单调递增，则()A．0<a<1B．a>1C．f(a＋2021)>f(2022)D．f(a＋2021)<f(2022)答案AC解析f(x)＝loga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．设z＝|x－1|，可得函数z在区间(－∞，1)上单调递减；在区间(1，＋∞)上单调递增．当a>1

时，可得函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增；当0<a<1时，可得函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)

上单调递减．由题意可得0<a<1，故A正确，B错误；由于0<a<1，可得1<a＋2021<2022，又f(x)在(1，＋∞)递减，则f(a＋2021)>f(2022)，故C正确，D错误．故选AC.12．(2021·江苏南京一模)已知函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，则下列说法正确的是()A

．函数f(x)是偶函数B．函数f(x)是奇函数C．函数f(x)在(－∞，0]上为增函数D．函数f(x)的值域为[1，＋∞)答案AD解析根据题意，函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，其定义域为R，有f(－x)＝20log21

＋14x＋x＝log2(1＋4x)－x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，则A正确，B错误；对于C，f(－1)＝log252>1＝f(0)，f(x)在(－∞，0]上不是增函数，C错误；对于D，f(x)＝log2(1＋4x)－x＝log212x＋2x，设t＝12x＋

2x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，则t的最小值为2，故f(x)≥log22＝1，即函数的值域为[1，＋∞)，D正确．故选AD.三、填空题13．计算：lg5(lg8＋lg1000)＋(lg23)2＋lg16＋lg0.06＝___

_____.答案1解析原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2＋lg16×0.06＝3lg5·lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2＝3lg2＋3lg5－2＝1.14．已知函数f(x)＝log2x，x>0，2x，x≤0，且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实

根，则实数a的取值范围为________.答案(0,1]解析作出函数y＝f(x)的图象(如图)，欲使y＝f(x)和直线y＝a有两个交点，则0<a≤1.15．(2021·河北模拟调研)已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2,0]上的值域

是[－1,0]，则实数a＝________；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________.答案13[－1，＋∞)解析函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]．当21a>1时，

f(x)＝loga(－x＋1)在[－2,0]上单调递减，∴f(－2)＝loga3＝0，f(0)＝loga1＝－1，无解；当0<a<1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2,0]上单调递增，∴f(－2)＝loga3＝－1，f(0)＝loga1＝

0，解得a＝13，∵g(x)＝13x＋m－3的图象不经过第一象限，∴g(0)＝13m－3≤0，解得m≥－1，即实数m的取值范围是[－1，＋∞)．16．如图，已知过原点O的直线与函数y＝log8x的图象

交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点，若BC∥x轴，则四边形ABDC的面积为________.答案433log23解析设点A，B的横坐标分别为x1，x2，由题设知，x1

＞1，x2＞1.则点A，B的纵坐标分别为log8x1，log8x2.因为A，B在过点O的直线上，所以log8x1x1＝log8x2x2，点C，D的坐标分别为(x1，log2x1)，(x2，log2x2)．由BC平行于x轴，知log2x1＝log8x2，即log2x

1＝13log2x2，∴x2＝x31.代入x2log8x1＝x1log8x2得x31log8x1＝3x1log8x1.由x1＞1知log8x1≠0，∴x31＝3x1.考虑x1＞1，解得x1＝3.于是点A的坐标为(3，log83)，即A

3，16log23，∴B33，12log23，C3，12log23，D33，32log23.∴梯形ABDC的面积为S＝12(AC＋BD)·BC＝12×1

3log23＋log23×23＝433log23.四、解答题17．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)．(1)求函数f(x)的解析式；22(2)若－1＜f(1)＜1，求实数a的取值范围．解(1)当x＜0时，－x＞0，

由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴当x＜0时，f(x)＝loga(－x＋1)，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝loga(x＋1)，x≥0，loga(－x＋1)，x＜0.(2)∵－1＜f(1)＜1，∴－1＜l

oga2＜1，∴loga1a＜loga2＜logaa.①当a＞1时，原不等式等价于1a＜2，a＞2，解得a＞2；②当0＜a＜1时，原不等式等价于1a＞2，a＜2，解得0＜a＜12.综上

，实数a的取值范围为0，12∪(2，＋∞)．18．已知函数f(x)＝log212x＋a.(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；(3)若函数f(x)在区间[0,

1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．解(1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0.23当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数．所以a＝0.(2)若函数f(x)的定义域是一

切实数，则12x＋a＞0恒成立．即a＞－12x恒成立，由于－12x∈(－∞，0)，故a≥0，则a的取值范围是[0，＋∞)．(3)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(

0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log212＋a.由题设得log2(1＋a)－log212＋a≥2，则log2(1＋a)≥log2(4a＋2)，所以1＋a≥4a＋2，4a＋2＞0，解得－12＜a≤－13.故实数a的取值范围是－12，－13.

19．已知对数函数f(x)＝(a2＋a－5)logax.(1)若函数g(x)＝f(x＋2)＋f(5－x)，讨论函数g(x)的单调性；(2)对于(1)中的函数g(x)，若x∈[－1,3]，不等式g(x)－m－log2

3≤0的解集非空，求实数m的取值范围．解(1)因为f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，所以a2＋a－5＝1，解得a＝2或a＝－3，又因为a>0且a≠1，故a＝2，所以f(x)＝log2x.因为

函数g(x)＝f(x＋2)＋f(5－x)＝log2(x＋2)＋log2(5－x)，所以有x＋2>0且5－x>0，解得－2<x<5，则函数g(x)的定义域为(－2,5)，g(x)＝log2(x＋2)＋log2(5－x)＝log2(－x2＋3x＋10)，因为函数y＝－x2＋3x＋

10在－2，32上单调递增，在32，5上单调递减，又函数y＝log2x在定义域上单调递增，24由复合函数的单调性可得，g(x)在－2，32上单调递增，在32，5上单调递减．(2)因为

x∈[－1,3]，不等式g(x)－m－log23≤0的解集非空，所以m＋log23≥g(x)min，x∈[－1,3]．由(1)可得，g(x)在－1，32上单调递增，在32，3上单调递减，因为g(－1)＝log26＝1＋log23，g(3)＝log210，所以g(x)m

in＝1＋log23，故m＋log23≥1＋log23，所以m≥1，故实数m的取值范围为[1，＋∞)．