【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第3章 第3讲　函数的奇偶性与周期性 含解析【高考】.doc，共(28)页，345.500 KB，由小赞的店铺上传

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1第3讲函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇函数偶函数定义设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有01－x∈I且02f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数且03f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数图象特点关于04原点

对称关于05y轴对称2．函数的周期性(1)周期函数设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有06x＋T∈D，且07f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存

在一个08最小的正数，那么这个09最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．函数奇偶性的六个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那

么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．2(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在

关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量的值互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量的值也互为相反数．(6)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．周期性的三个常用结论对f(x)定义

域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)．(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a≠0)．(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a≠0)．3．对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数

y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点

(b,0)中心对称．1．(2021·海淀区校级模拟)下列函数中值域为R且为偶函数的是()A．f(x)＝x2＋1B．f(x)＝log2|x|C．f(x)＝x3－xD．f(x)＝cosx答案B解析f(x)＝x2＋1，值域为[1，

＋∞)，不符合题意；f(x)＝log2|x|为偶函数，值域为R，符合题意；f(x)＝x3－x为奇函数，不符合题意；f(x)＝cosx的值域为[－31,1]，不符合题意．故选B.2．(2021·临沂二模)已知奇函数f(x)＝x3－1，x<0，g(x)，x>0，则f(－1)＋g(2)

＝()A．－11B．－7C．7D．11答案C解析根据题意，函数f(x)＝x3－1，x<0，g(x)，x>0.则f(－1)＝(－1)3－1＝－2，f(－2)＝(－2)3－1＝－9，又由f(x)为奇函数，则f(－2)＝－f(2)＝－g(2)

＝－9，则g(2)＝9，则f(－1)＋g(2)＝－2＋9＝7.3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B．13C.12D．－12答案B解析显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝13，∴a＋b＝13.4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时

，f(x)＝2x2－x，则当x>0时，f(x)＝()A．2x2－xB．2x2＋xC．－2x2－xD．－2x2＋x答案C解析当x>0时，－x<0，f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x>0时

，f(x)＝－f(－x)＝－2x2－x.故选C.5.设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________.4答案[－5，－2

)∪(2,5]解析由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.又f(x)是偶函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当－5≤x＜－2时，f(x)＜0.综上，不等式f(x)＜

0的解集为[－5，－2)∪(2,5]．6．(2021·山东威海月考)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2023)＝________.答案－1解析因为f(x＋4)＝f(x)，所以

函数f(x)的周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.考向一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x3－1x；(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；(3)f(x)＝－

x2＋2x＋1，x＞0，x2＋2x－1，x＜0；(4)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；(5)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(6)f(x)＝1－x2|x＋2|－2.解(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原

点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f(－x)＝(－x)3－1－x＝－x3－1x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．5(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(－1)＝f

(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)解法一：(定义法)当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞

0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．解法二：(图象法)作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．(4)因为f(x)的定义域为[－1,4]不关于原点对称，所以该函数既不是奇函

数，也不是偶函数．(5)f(x)的定义域为R，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)．所以该函数为奇函数．(6)由1－x2≥0得－1≤x≤1，所以x＋2>0，所以f(x)＝1－x2x，定义域为[－1,0)∪(0,1]

．所以f(－x)＝1－x2－x＝－f(x)，所以该函数是奇函数．判断函数奇偶性的方法(1)定义法6(2)图象法(3)性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：f(x)g(x)f(x)＋g(x)偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定奇函数偶函数

不能确定奇函数奇函数奇函数f(x)－g(x)f(x)g(x)f(g(x))偶函数偶函数偶函数不能确定奇函数偶函数不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．1.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝1－

x1＋x，则下列函数中为奇函数的是()A．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋17答案B解析解法一：因为f(x)＝1－x1＋x＝－1＋2x＋1，其图象关于点(－1，－1)中心

对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0,0)中心对称，所以f(x－1)＋1为奇函数．故选B.解法二：因为f(x)＝1－x1＋x，所以f(x－1)＝1－(x－1)1＋(x－

1)＝2－xx，f(x＋1)＝1－(x＋1)1＋(x＋1)＝－xx＋2.对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝2－xx－1＝2－2xx，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；对于B，G(x)＝f

(x－1)＋1＝2－xx＋1＝2x，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；对于C，f(x＋1)－1＝－xx＋2－1＝－2x＋2x＋2，定义域不关于原点对称；对于D，f(x＋1)＋1＝－xx＋2＋1＝2x＋2

，定义域不关于原点对称．故选B.2．(2021·菏泽二模)写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数为________.①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x)为偶函数．答案f(x)＝3|x|(答案不唯一)解析根据题意

，若满足①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)，常见函数为指数函数y＝ax，结合②的要求，可以考虑在y＝ax中，将x加绝对值即可，故f(x)＝3|x|符合题意．考向二函数奇偶性的应用例2

(1)(2021·海南三模)已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝ex，则f(1)g(1)＝()A.e2＋1eB．e2－1eC．1－e21＋e2D．1＋e21－e28答案C解析根据题意，f

(x)－g(x)＝ex，则f(1)－g(1)＝e，①f(－1)－g(－1)＝－f(1)－g(1)＝e－1＝1e，变形可得f(1)＋g(1)＝－1e，②联立①②可得，f(1)＝e－1e2，g(1)＝－e＋1e2，则有f(1)g(1)＝e－1e2－e＋1e

2＝1－e21＋e2.故选C.(2)(2021·广东肇庆市二模)已知函数f(x)＝sinx(x＋1)(x－a)为奇函数，则a＝()A．－1B．12C．－12D．1答案D解析函数的定义域为{x|x≠－1且x≠a}，因为f(x)＝sinx(x＋1)(x－a

)为奇函数，所以定义域关于原点对称，则a＝1，所以f(x)＝sinx(x＋1)(x－1)＝sinxx2－1，因为f(－x)＝sin(－x)(－x)2－1＝－sinxx2－1＝－f(x)，满足f(x)为奇函数．故选D.(3)已知函数f(x)是奇函数且定义域为R，当

x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________.答案f(x)＝x＋1，x>0，0，x＝0，x－1，x<0解析当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－x＋1，又f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝x－1，∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)＝

x＋1，x>0，0，x＝0，x－1，x<0.9(4)设函数f(x)＝(x＋1)2＋sinxx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.答案2解析显然函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝(x＋1)2＋sinxx2＋1＝1＋2x＋sinxx2＋1，设g(x

)＝2x＋sinxx2＋1，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)

max＋g(x)min＝2.已知函数奇偶性可以解决的几个问题(1)求函数值：利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(

x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程(组)，进而得到参数的值．(4)画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．3.(2021·河北唐山模拟)已知函

数f(x)＝x2－ax，x≤0，ax2＋x，x>0为奇函数，则a＝()A．－1B．1C．0D．±1答案A解析∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则有f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1，即2a＝－2，得a＝－1(符合题意)．故选A.4．(2019·全国Ⅱ卷)设f

(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝()A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋110答案D解析当x<0时，－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝

－e－x＋1.故选D.5．已知函数f(x)＝ex－e－x＋x3＋3，若f(a)＝5，则f(－a)＝()A．2B．1C．－2D．－5答案B解析设g(x)＝f(x)－3＝ex－e－x＋x3，则g(－x)＝e－x－ex－x3＝－

(ex－e－x＋x3)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．因为g(a)＝f(a)－3＝2，所以g(－a)＝f(－a)－3＝－2，则f(－a)＝1.考向三函数的周期性例3(1)(2021·安徽省江南十校一模)设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝

x2＋2x＋m，－1<x<0，x，0≤x≤1，其中m∈R.若f116＝f32，则m的值是________.答案1解析∵f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1,1]时，f(x)＝x2＋2x＋m，－1<x<0，x，0≤x≤1，∴f32＝f

－12＝－122＋2×－12＋m＝－34＋m，f116＝116＝14，∴14＝－34＋m⇒m＝1.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝－fx＋32，且f(1)＝2，则f(2021)

＝________.答案－2解析因为f(x)＝－fx＋32，所以f(x＋3)＝fx＋32＋32＝－fx＋32＝f(x)．所以f(x)是以3为周期的周期函数，则f(2021)＝f(673×3＋2

)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.11函数周期性的判断与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可得到函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题

．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．6.(2021·泰安四模)已知函数f(x)＝log3(x＋1)－2，x≥0，f(x＋3)，x＜0

，则f(－2023)＝________.答案－1解析因为函数f(x)＝log3(x＋1)－2，x≥0，f(x＋3)，x＜0，当x＜0时，f(x)＝f(x＋3)，且－2023＝－3×674－1，故f(－2023)＝f

(－1)＝f(2)＝log3(2＋1)－2＝－1.7．已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x都有f(x＋2)＝13f(x)且f(2)＝2，则f(2024)＝________.答案132解析因为f(x＋2)＝13f

(x)，所以f(2)＝13f(0)，又f(2)＝2，所以f(0)＝132，因为f(x＋4)＝13f(x＋2)＝1313f(x)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(2024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝132.考向四函数图象

的对称性例4(1)(2021·济南模拟)已知f(x)是定义域为R的奇函数，若f(x＋5)为偶函数，f(1)＝1，则f(2019)＋f(2020)＝()A．－2B．－1C．0D．1答案B解析因为f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x＋5)为偶函数，所以f

(x)的图12象关于原点对称，且关于直线x＝5对称，即f(10－x)＝f(x)＝－f(－x)，所以f(10＋x)＝－f(x)，所以f(20＋x)＝f(x)，即函数的周期T＝20，因为f(1)＝1，所以f(2019)＋f(2020)＝

f(－1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)＝－1＋0＝－1.故选B.(2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是()A．f(x)的图象关于直线x＝2对称B．f(x)的图象关于(2,0)对称C．

f(x)的最小正周期为4D．y＝f(x＋4)为偶函数答案ACD解析∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝

f(x)，∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．故选ACD.1．由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f(x＋a)为偶函数(奇函数)，则y＝f(x)的图象关于

直线x＝a对称(关于点(a,0)对称)．2．函数图象自身对称的两个结论(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x

＝a对称．(2)若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，即f(x)＋f(2a－x)＝2b，则f(x)的图象关于点(a，b)对称．提醒：函数图象自身对称性满足的等式与函数周期性容易混淆，区别是前者和为常数如由f(x＋1)＝f(2－x)得f(x)的图象关于直线x＝

32对称，后者差为常数(如由f(x＋1)＝f(x－2)得f(x)的周期为3)．8.已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝x＋1x与y13＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y

2)，…，(xm，ym)，则∑mi＝1(xi＋yi)＝()A．0B．mC．2mD．4m答案B解析由f(－x)＝2－f(x)得f(－x)＋f(x)＝2，即函数f(x)的图象关于点(0,1)对称，又y＝x＋1x＝1＋1x的图象也关于点(0,1)对称，∴x1＋x2＋…＋xm＝0，y1

＋y2＋…＋ym＝m，∴∑mi＝1(xi＋yi)＝m.多角度探究突破考向五函数性质的综合应用角度奇偶性与单调性例5(1)(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－

1,1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞)D．[－1,0]∪[1,3]答案D解析因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也单调递

减，且f(－2)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－2)∪(0,2)时，f(x)>0；当x∈(－2,0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，所以由xf(x－1)≥0可得x<0，－2≤x－1≤0或x－1≥2或x>0，0≤x－1≤2或x－1≤－2或x＝0

，解得－1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．故选D.(2)(2021·湛江校级模拟)已知函数y＝f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，且f(x)＝3x－9，0≤x≤4，

g(x)，－4≤x<0，则不等式(1－2x)g(log2x)<0的解集用区间表示为________.14答案14，12解析函数y＝f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，且f(x)＝3x－9，0≤x≤4，g(x)，－4≤x<0，则g

(x)＝3－x－9，故g(x)的零点为－2.由不等式(1－2x)g(log2x)<0，可得1－2x<0，g(log2x)>0①或1－2x>0，g(log2x)<0，②由①可得x>12，

－4≤log2x<－2，∴x∈∅；由②可得x<12，－2<log2x<0，∴14<x<12.综上，原不等式的解集为14，12.(1)利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等

式的等价转化．(2)注意偶函数的性质f(x)＝f(|x|)的应用．9.(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝x3－1x3，则f(x)()A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减C．是偶函数，且在(

0，＋∞)单调递增D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减答案A解析因为函数f(x)＝x3－1x3的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，而f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．因为函数y＝x

3在(0，＋∞)上单调递增，在(－15∞，0)上单调递增，而y＝1x3＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减，所以函数f(x)＝x3－1x3在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递增．故选A.10．(2021·成都模拟)已知函数f(

x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减．若a＝f(log0.20.3)，b＝f(log30.1)，c＝f(20.7)，则a，b，c的大小关系为________.(用符号“<”连接)答案b<c<a解析根据题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数

，则b＝f(log30.1)＝f(－log310)＝f(log310)，又log310>log39＝2,0＝log0.21<log0.20.3<log0.20.2＝1,1＝20<20.7<21＝2，所以log0.20.3<20.7<log310，因为f(x)在[0，＋∞)上单调递

减，所以f(log310)<f(20.7)<f(log0.20.3)，所以b<c<a.角度奇偶性与周期性例6(1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则()A

．f－12＝0B．f(－1)＝0C．f(2)＝0D．f(4)＝0答案B解析因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所

以f(1－x)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为f(2

x＋1)为奇函数，所以f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其他三个选项未知．故选B.(2)(2021·深圳模拟)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2,0]时，f(x)的解析式

为()A．f(x)＝2＋|x＋1|B．f(x)＝3－|x＋1|C．f(x)＝2－xD．f(x)＝x＋416答案B解析①当x∈[－2，－1]时，则x＋4∈[2,3]，因为当x∈[2,3]时，f(x)＝x，所以f(x＋4)＝x＋4.又因为f(x)是周期为2的周期函数，所以f(x)＝f(x＋

4)＝x＋4.所以当x∈[－2，－1]时，f(x)＝x＋4.②当x∈[－1,0]时，则2－x∈[2,3]，因为当x∈[2,3]时，f(x)＝x，所以f(2－x)＝2－x.又因为f(x)是周期为2的周期函数，所以f(－x)＝f(2－x)＝2－x.因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(

x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x.所以由①②可得当x∈[－2,0]时，f(x)＝3－|x＋1|.故选B.利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化为已知函数解析式的区间上的函数值，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质．11.已知定义在

R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(8

0)<f(11)答案D解析因为f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函数的周期T＝8，又f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x)在[0,2]上是增函数，且f(x)≥0，所以f(x)在[－2,0]上也是增函数，且f(x)≤0，又x∈[2,4]

时，f(x)＝－f(x－4)≥0，且f(x)为减函数．同理f(x)在[4,6]上为减函数且f(x)≤0，从而可得y＝f(x)的大致图象如图所示．因为f(－25)＝f(－1)<0，f(11)＝f(3)>0，f(80)＝f(0)＝0.所以f

(－25)<f(80)<f(11)．故选D.12．已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－1)＝2，则f(2025)＝________.答案217解析由函

数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．又由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为8的偶函数．∴f(2025)＝f(1＋253×8)＝f(1

)＝f(－1)＝2.与函数有关的新定义问题(多选)(2021·青岛市高三上学期期末)德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805～1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”y＝f(x)＝1，x∈Q，0，x∈∁RQ，其中R为实数集，Q为

有理数集．关于函数f(x)有如下四个命题，其中正确的为()A．函数f(x)是偶函数B．∀x1，x2∈∁RQ，f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)恒成立C．任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意的x∈R恒成立D．不存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(

x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等腰直角三角形答案ACD解析对于A，若x∈Q，则－x∈Q，满足f(x)＝f(－x)；若x∈∁RQ，则－x∈∁RQ，满足f(x)＝f(－x)，故函数f(x)为偶函数，A正确．对于B，取x1＝π∈∁RQ，x2＝－π∈∁RQ，则f(x1＋x2)＝f(

0)＝1，f(x1)＋f(x2)＝0，故B错误．对于C，若x∈Q，则x＋T∈Q，满足f(x)＝f(x＋T)；若x∈∁RQ，则x＋T∈∁RQ，满足f(x)＝f(x＋T)，故C正确．对于D，△ABC要为等腰直角三角形，只可能有如下四种情况：①

如图1，直角顶点A在直线y＝1上，斜边在x轴上，此时点B，点C的横坐标为无理数，由等腰直角三角形的性质可知|x1－x2|＝1，那么点A的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；②如图2，直角顶点A在直线y＝1上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横坐标也应为无理数，

这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；③如图3，直角顶点A在x轴上，斜边在直线y＝1上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为018矛盾，故不成立；④如

图4，直角顶点A在x轴上，斜边不在直线y＝1上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横坐标也应为无理数，这与点B的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等腰直角三角形，故D正确．故选ACD

.答题启示解决与函数有关的新定义问题的策略(1)联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等)为背景定义的，可以通过阅读材料，联想和类比、拆分或构造，将新函

数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解．(2)紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答．(3)巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学

知识与方程思想来解决问题．(4)构造函数：有些新定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的．对点训练(多选)(2021·滨海县校级一模)已知函数f(x)，若∀x1，x2∈(1，＋∞)(x1≠x2)，不等式f(x1)－f(x2)x21－x22<1成立，则称f(x)在(1

，＋∞)上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有()A．f(x)＝－2x＋1B．f(x)＝x2＋2x＋119C．f(x)＝x2－log2xD．f(x)＝x2－x＋2x答案ACD解析根据题意，设g(x)＝f(x)－x2，若f(x)在(1，＋∞)上为

“平方差减函数”，则∀x1，x2∈(1，＋∞)(x1≠x2)，不等式f(x1)－f(x2)x21－x22<1成立，则有f(x1)－f(x2)x21－x22－1＝f(x1)－x21－[f(x2)－x22]x21－x22＝1x1＋x2·

g(x1)－g(x2)x1－x2<0，则有g(x1)－g(x2)x1－x2<0，则函数g(x)＝f(x)－x2在[1，＋∞)为减函数，反之，若函数g(x)＝f(x)－x2在[1，＋∞)为减函数，则有g(x1)－g(x2)

x1－x2＝(x1＋x2)·f(x1)－x21－[f(x2)－x22]x21－x22<0，即f(x)在(1，＋∞)上为“平方差减函数”，对于A，f(x)＝－2x－1，g(x)＝f(x)－x2＝－x2－2x－1，为开口向下，对称轴为x＝－1的二次函

数，g(x)在[1，＋∞)为减函数，则f(x)在(1，＋∞)上为“平方差减函数”；对于B，f(x)＝x2＋2x＋1，g(x)＝f(x)－x2＝2x＋1，g(x)在[1，＋∞)为增函数，则f(x)在(1，＋∞)上不是“平方差减函数”；对于C，

f(x)＝x2－log2x，g(x)＝f(x)－x2＝－log2x，g(x)在[1，＋∞)为减函数，则f(x)在(1，＋∞)上为“平方差减函数”；对于D，f(x)＝x2－x＋2x，g(x)＝f(x)－x2＝－x＋2x，g(x)在[1，＋∞)为减函数，则f(

x)在(1，＋∞)上为“平方差减函数”．故选ACD.一、单项选择题1．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是()A．y＝x＋f(x)B．y＝xf(x)C．y＝x2＋f(x)D．y＝

x2f(x)答案B解析设g(x)＝xf(x)．因为f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，所以g(－x)＝g(x)，所以B正确．202．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋5)＝f(x－3)，如果当x∈[0,4)时，f(

x)＝log2(x＋2)，则f(766)＝()A．3B．－3C．2D．－2答案C解析由f(x＋5)＝f(x－3)，得f(x＋8)＝f(x)，所以f(x)是周期为8的周期函数，当x∈[0,4)时，f(x)＝log2(x＋2)，所以f(766)＝f(96×8－2)＝

f(－2)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝log24＝2.3．(2021·青岛模拟)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝()A．21B．－21C．26D．－26答案B解析设g(x)＝x5

＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13.又因为g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.4．已知函

数f(x)＝x(x－a)＋b，若函数y＝f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝0，则b的值为()A．－2B．－1C．1D．2答案C解析解法一：由f(x＋1)＝(x＋1)(x＋1－a)＋b＝x2＋(2－a)x＋1－a＋b为偶函数，

得a＝2.又f(1)＝－1＋b＝0，所以b＝1.故选C.解法二：由y＝f(x＋1)为偶函数，知y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，而y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，因而y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故f(x)＝x(x－a)＋b图象的对称轴方程为

x＝a2＝1，得a＝2.又f(1)＝0，故b＝1.故选C.215．(2021·大连双基测试)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0,1]上是增函数，则有()A．f14<f－14<f32

B．f－14<f14<f32C．f14<f32<f－14D．f－14<f32<f14答案B解析由题设知f(x)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以

函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又函数f(x)是奇函数，所以其图象关于坐标原点对称，由于函数f(x)在[0,1]上是增函数，故f(x)在[－1,0]上也是增函数．综上，函数f(x)在[－1,1]上是增函数，在[1,3]上是减

函数．又f32＝f2－32＝f12，所以f－14<f14<f12＝f32.6．(2021·烟台高三月考)已知f(x)是定义在R上的函数，若y＝f(x＋1)为偶函数，且f(2＋x)＝－f(2－x)，则f

(x)是()A．周期为2的奇函数B．周期为4的奇函数C．周期为2的偶函数D．周期为4的偶函数答案B解析因为y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，即f(x＋2)＝f(－x)，又f(2＋x)＝－f(2－x)，所以f(4＋x)＝－f(－x)，所以f(4

＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，即周期为4；由f(2＋x)＝－f(2－x)，f(2＋x－4)＝f(2＋x)，得f(x－2)＝－f(2－x)，即有f(x)＝－f(－x)，所以为奇函数．7．(2021·茂名二模)设偶函数f(x)满足f(x)＝12x＋2(x≥0)，则使不等

式f(x－1)<94成立的x的取值范围是()22A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B．(－1,3)C．(0,2)D．(－∞，0)∪(2，＋∞)答案A解析由题意易知，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝94，由f(x－1)<94，得f(x－1)<f(2)，又因

为f(x)为偶函数，所以x－1>2或x－1<－2，所以x>3或x<－1.故选A.8．(2021·青岛二模)已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，有下列四个命题：甲：f(x)是奇函数；乙：f(x)的图象关于直线x＝1对称；丙：f(x)在区间[－1,1]上单调递减；丁：函数

f(x)的周期为2.如果只有一个假命题，则该命题是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案D解析由函数f(x)的特征可知，函数在区间[－1,1]上单调递减，其中该区间的宽度为2，所以函数f(x)在区间[－1,1]上单调递减与

函数f(x)的周期为2互相矛盾．即：丙和丁中有一个为假命题．若甲、乙成立，故f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，故f(x＋2)＝f[1－(1＋x)]＝f(－x)＝－f(x)，故f(x＋4)＝f(x)，所以函数的周期为4.即丁为假命题，

由于只有一个假命题，故选D.二、多项选择题9．若二次函数f(x)＝ax2＋2a在区间[－a，a2]上是偶函数，且g(x)＝f(x－1)，则()A．g32＜g(0)B．g(0)＜g(3)23C．g(－1)＜g(1)D．g(4)＜g(2

)答案AB解析由题意得a≠0，－a＝－a2，解得a＝1，所以f(x)＝x2＋2，所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以g(0)＝g(2)．因为函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，

在区间(－∞，1)上单调递减，所以g32<g(0)，g(0)<g(3)，g(－1)>g(1)，g(4)>g(2)．故选AB.10.(2021·福州模拟)已知定义在区间[－7,7]上的一个偶函数，它在[0,7]上的图

象如图，则下列说法正确的有()A．这个函数有两个单调递增区间B．这个函数有三个单调递减区间C．这个函数在其定义域内有最大值7D．这个函数在其定义域内有最小值－7答案BC解析根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出其

在[－7,7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7.故选BC.11．(2021·广东省部分重点中学联考)下列函数中是偶函

数，且值域为[0，＋∞)的有()A．f(x)＝ln(|x|＋1)24B．f(x)＝x－1xC．f(x)＝ex＋e－xD．f(x)＝x4－2x2＋1答案AD解析对于A，f(x)＝ln(|x|＋1)，其定义域为R，有f(－x)＝ln(|－x|＋1)＝ln(|x|＋1)＝f(x)，f(x)

是偶函数，又由|x|≥0，则|x|＋1≥1，则有ln(|x|＋1)≥0，故函数的值域为[0，＋∞)，符合题意；对于B，f(x)＝x－1x，其定义域为{x|x≠0)，f(－x)＝－x＋1x＝－f(x)，是奇函数，不符合题意；对于C，f(x)＝ex＋e－x

，其定义域为R，有f(－x)＝ex＋e－x＝f(x)，是偶函数，f(x)＝ex＋e－x≥2，其值域为[2，＋∞)，不符合题意；对于D，f(x)＝x4－2x2＋1，其定义域为R，f(－x)＝x4－2x2＋1＝f(x)，是偶函数，又f(x)

＝(x2－1)2≥0，函数的值域为[0，＋∞)，符合题意．故选AD.12．(2021·潍坊一模)已知函数f(x)，∀x∈R，满足f(x)＝－f(6－x)，f(x＋1)＝f(－x＋1)，若f(a)＝－f(2020)，a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上为单调函

数，则下列结论正确的是()A．f(3)＝0B．a＝8C．f(x)是周期为4的周期函数D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称答案AB解析∵f(x)＝－f(6－x)，∴y＝f(x)的图象关于点(3,0)对称．∵f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(x)＝f(2－x)，∴f(x)

的图象关于直线x＝1对称，D错误；又f(x)＝－f(6－x)，∴－f(6－x)＝f(2－x)，∴f(x)＝－f(x＋4)，∴f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，∴f(x)是周期为8的周期函数，C错误

；∵f(a)＝－f(2020)＝－f(252×8＋4)＝－f(4)＝f(0)，a∈[5,9]，∴a＝8，B正确；∵f(3)＝－f(6－3)＝－f(3)，∴f(3)＝0，A正确．故选AB.三、填空题2513．已知函数f(x)＝a－2ex＋

1(a∈R)是奇函数，则a＝________.答案1解析解法一：由f(x)是奇函数知，f(－x)＝－f(x)，所以a－2e－x＋1＝－a＋2ex＋1，得2a＝2ex＋1＋2e－x＋1，所以a＝1ex＋1＋exex＋1＝1.解法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(

0)＝a－1＝0，即a＝1，经验证a＝1满足条件．14．(2021·淮安模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2021)＝________.答案1解析∵f(x

)是定义在R上的周期为3的奇函数，∴f(10)＝f(1)＝－f(－1)，∵f(－1)＝2f(10)＋3，∴f(－1)＝－2f(－1)＋3，∴f(－1)＝1，∴f(2021)＝f(－1)＝1.15．(2021·广东

六校联考)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.答案－1解析令H(x)＝f(x)＋x2，则H(－1)＋H(1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，∴f(－1)＝－3，∴

g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.16．(2021·铁岭模拟)设f(x)的定义域为R，已知f(x)在[1，＋∞)上单调递减，f(x＋1)是奇函数，则使得不等式f(log2(x－3))＋f(log2x)>0成立的x的取值范围为________.答案(3,4)解析因为f(x＋1)是奇函数，所以f(x)

关于点(1,0)对称，因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减，根据函数的对称性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递减，若f(x1)＋f(x2)>0，则x1＋x2<2，因为f(log2(x－3))＋f(log2x)>0，则log2(x－3)＋log2x<2，解得3<x<4.四

、解答题2617．(2021·北京模拟)已知函数f(x)＝－x2＋2x，x>0，0，x＝0，x2＋mx，x<0是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)

的图象(如图所示)知a－2>－1，a－2≤1，所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．18．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的

图象与x轴所围成图形的面积．解(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数且f

(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．27又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x

轴所围成图形的面积为S，则S＝4S△OAB＝4×12×2×1＝4.19．(2021·湖北鄂州三校联考)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)

．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解(1)因为对于任意x1，x2∈D有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f

(1)，所以f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数．证明如下：f(x)的定义域关于原点对称，令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝12f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)

，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，28所以0<|x－1|<16，解得－1

5<x<17且x≠1，所以x的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．