【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第3章 第5讲　指数与指数函数 含解析【高考】.doc，共(21)页，403.500 KB，由小赞的店铺上传

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1第5讲指数与指数函数1．根式的概念根式的概念符号表示备注如果01xn＝a，那么x叫做a的n次方根—n>1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次方根是一个02正数，负数的n次方根是一个03负数na零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有04两个，它们互为05

相反数±na(a＞0)负数没有偶次方根2．分数指数幂(1)a＝06nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(2)a－＝07＝081nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．有理数指数幂的运算性质(1)aras＝09ar＋s

(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝10ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝11arbr(a>0，b>0，r∈Q)．4．指数函数的概念函数12y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．2说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，

a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数．5．指数函数的图象和性质底数a>10<a<1图象性质函数的定义域为R，值域为13(0，＋∞)函数图象过定点14(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，恒有y>1；当x<0时，

恒有0<y<1当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>115增函数16减函数1．(na)n＝a(n∈N*且n>1)．2.nan＝a，n为奇数且n>1，|a|＝a，a≥0，－a，a＜0，n为偶数且n>1.3．底数对函数y＝ax(a>0，且a≠1)的函数值的影响如图(a1

>a2>a3>a4)，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．当a>0，且a≠1时，函数y＝ax与函数y＝1ax的图象关于y轴对称．31．化简[(－2)6]12－(－1)0的

结果为()A．－9B．7C．－10D．9答案B解析[(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝7.2．化简416x8y4(x<0，y<0)得()A．2x2yB．2xyC．4x2yD．－2x2y答案D解析因为x<0，y<0，所以41

6x8y4＝424·(x2)4y4＝|2x2y|＝－2x2y.3．(2021·安徽蒙城月考)已知0<a<1，b<－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案A解析y＝ax＋b的图象如图

．由图象可知，y＝ax＋b的图象必定不经过第一象限．4．(2021·湖北八校联考)函数f(x)＝ax－2021＋2021(a＞0且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为________.答案(2021,2022)解析令x－2021＝0，

得x＝2021，又f(2021)＝2022，故点A的坐标为(2021,2022)．45．设a＝0.993.3，b＝0.994.5，c＝1.10.99，则a，b，c的大小关系为________.答案b<a<

c解析因为函数y＝0.99x在R上单调递减，所以0.993.3>0.994.5，即a>b，又因为0.993.3<0.990＝1,1.10.99>1.10＝1，所以0.993.3<1.10.99，即a<

c.综上可知，b<a<c.6．已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a的值为________.答案12或32解析当0＜a＜1时，a－a2＝a2，∴a＝12或a＝0(舍去)；当a＞1时，a2－a＝a2，∴a＝32或a＝0(舍去)．综上所述，

a＝12或32.考向一指数幂的运算例1求值与化简：(1)823×100－12×14－3×1681－34；(2)；(3)；(4)已知a>0，a12＋a－12＝3，求a2＋a－2＋1a＋a－1＋1的值．解(1)原式＝(23)23×(102)－12×(2

－2)－3×234－34＝22×10－1×26×23－3＝4325.(2)原式＝＝＝.5(3)原式＝(a92a－32)13÷(a－73a133)12＝(a3)13÷(a2)12＝a÷a＝1.(4)将a12＋

a－12＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47，所以a2＋a－2＋1a＋a－1＋1＝47＋17＋1＝6.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算

．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算

性质来解答．(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．1.36a9463a94＝________.答案a4解析原式＝[(a96)13]4[(a93)16]4＝a2·a2＝a4.2．已知3a＋2b＝1，则9a·3b3a＝____

____.答案3解析因为3a＋2b＝1，所以32a＋b＝12，所以原式＝.63．化简：(a>0，b>0)．解原式＝＝·.4．计算：0.027－13－17－2＋27912－(2－1)0.解原式＝(0.33)－13－

72＋25912－1＝103－49＋53－1＝－45.考向二指数函数的图象及其应用例2(1)(多选)(2021·济南调研)已知实数a，b满足等式2020a＝2021b，则下列关系式有可能成立的是()A．0<

b<aB．a<b<0C．0<a<bD．a＝b答案ABD解析在同一坐标系下画出y＝2020x与y＝2021x的图象，结合图象可知A，B，D可能成立．故选ABD.(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________

.答案0，12解析①当0<a<1时，y＝|ax－1|的图象如图1.因为y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，所以0<2a<1，所以0<a<12.7②当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图2，而此时直线y＝2a不可能与y＝|ax－1|的图象有两个交点．综上，a的取值范围是0<

a<12.(1)研究指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象要抓住三个特殊点：(1，a)，(0,1)，－1，1a.(2)与指数函数有关的函数图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)根据函数图象的变换规律得到的结论①函数y＝ax＋b(a>0

，且a≠1)的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到．②函数y＝ax＋b的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到．③函数y

＝a|x|的图象关于y轴对称，当x≥0时，其图象与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[0，＋∞)的图象相同；当x<0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称．5.函数y＝ax－a－1(a＞0，且a≠1)的图象可能是()答案D解析函数y＝ax－1a是

由函数y＝ax的图象向下平移1a个单位长度得到的，A显然错误；当a＞1时，0＜1a＜1，平移距离小于1，所以B错误；当0＜a＜1时，81a＞1，平移距离大于1，所以C错误．故选D.6．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.答案[－1,1]解析曲

线|y|＝2x＋1与直线y＝b如图所示，由图象可得，如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．多角度探究突破考向三指数函数的性质及其应用角度比较指数幂的大小例3(1)(2021·沈阳三模)已知x∈(1,2)，，b＝(2

x)2，，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>cB．b>c>aC．b>a>cD．c>a>b答案B解析当x∈(1,2)时，x2<2x，所以，即a<c；又(2x)2＝22x，x∈(1,2)，2x>2x，所以，即b>c，所以a，b，c的大小关系为b>c>a.故选B.(2)(2

021·广西南宁模拟)若3a＋(ln2)b≥3b＋(ln2)a(a，b∈R)，则()A．3a＋b≥1B．3a－b≥2C．3a－b≥1D．3|a＋b|≥2答案C解析因为3a＋(ln2)b≥3b＋(ln2)a，则3a－(ln2)a≥3b－(ln2)b，令f(x)＝3x

－(ln2)x，因为y＝3x在R上为单调递增函数，y＝(ln2)x在R上为单调递减函数，故函数f(x)在R上为单调递增函数，又f(a)≥f(b)，所以a≥b，即a－b≥0，所以3a－b≥30＝1.故选C.比较指数式大小的方法9比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．

(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1,0等中间量进行

比较．7.(2021·淮南一模)设a＝4737，b＝3747，c＝4747，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>bB．a>b>cC．b>c>aD．b>a>c答案A解析∵函数y＝x47是(0，＋∞)上的增函数，37<47，

∴b<c.∵函数y＝47x是R上的减函数，37<47，∴4737>4747，即a>c，则a，b，c的大小关系为a>c>b.故选A.8．若0<a<b<1，x＝ab，y＝ba，z＝bb，则x，y

，z的大小关系为()A．x<z<yB．y<x<zC．y<z<xD．z<y<x答案A解析因为0<a<b<1，所以f(x)＝bx单调递减，故y＝ba>z＝bb；又幂函数g(x)＝xb单调递增，故x＝ab<z＝bb，则x，y，z的大小关系为x<z<y.角度解简单的指数方程或不等式例4

(1)若x满足不等式，则函数y＝2x的值域是()A.18，2B．18，2C.－∞，18D．[2，＋∞)答案B10解析将化为x2＋1≤－2(x－2)，即x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3,1]，所以2－3≤2x≤21，所

以函数y＝2x的值域是18，2.(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝4x，x≥0，2a－x，x<0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________.答案12解析①当a<1时，由f(1－a)＝f(a－1)得41－a＝2a

－(a－1)，即22－2a＝2，所以2－2a＝1，解得a＝12；②当a>1时，由f(1－a)＝f(a－1)得4a－1＝2a－(1－a)，即22a－2＝22a－1，所以2a－2＝2a－1，无解．综上可知，a＝12.1．解指数方程的依据af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)⇔f(x)＝g

(x)．2．解指数不等式的思路方法对于形如ax>ab(a>0，且a≠1)的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0<a<1两种情况讨论；而对于形如ax>b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解．9.已知函数f(x)＝a

＋14x＋1的图象过点1，－310，若－16≤f(x)≤0，则实数x的取值范围是________.答案0，12解析∵函数f(x)＝a＋14x＋1的图象过点1，－310，∴a＋15＝－310，即a＝－12.∴f(x)＝－12＋14x＋1

.∵－16≤f(x)≤0，∴－16≤14x＋1－12≤0，∴13≤14x＋1≤12，∴2≤4x＋1≤3，即1≤4x≤2，∴0≤x≤12.1110．方程4x＋|1－2x|＝11的解为________.答案x＝log23解析当x≥0时，原方程化为4x＋2x－12＝0，即(2x)2＋2x－12＝0，∴

(2x－3)(2x＋4)＝0，∴2x＝3，即x＝log23.当x<0时，原方程化为4x－2x－10＝0，令t＝2x，则t2－t－10＝0(0<t<1)．由求根公式得t＝1±412均不符合题意，故x<0时，方程无解．综上，原方程的解为x＝log2

3.角度与指数函数有关的复合函数问题例5已知函数(a∈R)．(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．解(1)当a＝－1时，，令g(x)＝－x2－4x＋3，由

于g(x)在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝13t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区

间是(－∞，－2]．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝13g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有a>0，3a－4a＝－1，解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.(3)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝13

g(x)，由指数函数的性质知，12要使f(x)＝13g(x)的值域为(0，＋∞)．应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝0(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0.与指数函数有关的复合函数的单调区间的求

解步骤(1)求复合函数的定义域；(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；(3)分层逐一求解函数的单调区间；(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．11.(2021·蚌埠质检)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是()A．(

－∞，2]B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]答案B解析由f(1)＝19，得a2＝19，所以a＝13或a＝－13(舍去)，即f(x)＝13|2x－4|，由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调

递增，y＝13x在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.12．(2022·山东省肥城一中月考)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－

14x＋12x＋1，则此函数的值域为________.答案－54，－1∪1，54∪{0}解析当x>0时，f(x)＝－14x＋12x＋1＝－12x2＋12x＋1，令12x＝t

(0<t<1)，所以g(t)＝－t2＋t＋1(0<t<1)，所以g(t)∈1，54.由于函数f(x)是奇函数，所以当x<0时，13f(x)∈－54，－1.当x＝0时，f(0)＝0.综上所述，此函数的值域为－54，－1∪1，54∪{0}．一、

单项选择题1．化简2c3a481a5b216c4(a>0，c<0)的结果为()A．±4ab2B．－4ab2C．－ab2D．ab2答案B解析原式＝＝＝－4ab2.故选B.2．(2021·潍坊模拟)已知a＝0.860.75，b＝0.860.85，c＝

1.30.86，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>cB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b答案D解析∵函数y＝0.86x在R上是减函数，∴0<0.860.85<0.860.75<1，又1.30.86>1，∴c>a>b.3．(a2－a＋2)

－x－1<(a2－a＋2)2x＋5的解集为()A．(－∞，－4)B．(－4，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－2，＋∞)答案D解析∵a2－a＋2>1，∴－x－1<2x＋5，∴x>－2.故选D.144．(2021·青岛模拟)已知函数f(x)＝1－2－x，x≥0，2x－1，x<0，则函数f(x)

是()A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C．奇函数，且单调递增D．奇函数，且单调递减答案C解析易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝

2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增．故选C.5．已知0<a<b<1，则()A．(1－a)1b>(1－a)bB．(1－a)b

>(1－a)b2C．(1＋a)a>(1＋b)bD．(1－a)a>(1－b)b答案D解析∵y＝(1－a)x是减函数，∴(1－a)a>(1－a)b，又y＝xb在(0，＋∞)上是增函数，1－a>1－b，∴(1－a

)b>(1－b)b，∴(1－a)a>(1－b)b.故选D.6．若关于x的方程14|x|＋a－2＝0有解，则a的取值范围是()A．0≤a<1B．1≤a<2C．a≥1D．a>2答案B解析14|x|＋a－2＝0有解等价于2－a＝14|x|有解

．因为函数y＝14|x|的值域为(0,1]，所以0<2－a≤1，解得1≤a<2.7．已知函数f(x)＝x－4＋9x＋1，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则15函数g(x)＝a|x＋b|的图象为()答案A解析∵x∈(0,4)，∴x＋1＞1，∴

f(x)＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5≥29x＋1·(x＋1)－5＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，∴a＝2，b＝1，此时g(x)＝2|x＋1|＝2x＋1，x≥－1，12x＋1，x＜－1，此函数可以看成函数y＝

2x，x≥0，12x，x＜0的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图象及选项可知A正确．故选A.8．(2021·西安模拟)设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝f(x)，f(x)≤K，K，f(x)>K.给出函数f(x)＝2

x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则()A．K的最大值为0B．K的最小值为0C．K的最大值为1D．K的最小值为1答案D解析根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f

(x)的最大值小于或等于K.令2x＝t，则t∈(0,2]，f(t)＝－t216＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，∴K≥1.故选D.二、多项选择题9．(2021·广东湛江高三模拟)已知函数f(x)＝则下

列判断中正确的是()A．f(x)的值域为(0，＋∞)B．f(x)的图象与直线y＝2有两个交点C．f(x)是单调函数D．f(x)是非奇非偶函数答案BD解析函数f(x)的图象如图所示．由图可知，f(x)的值域为[0，＋∞)，A错误；C显然错误

；f(x)的图象与直线y＝2有两个交点，B正确；f(x)的图象既不关于原点对称也不关于y轴对称，故D正确．故选BD.10．(2021·湖南岳阳模拟)若4x－4y<5－x－5－y，则()A．x<yB．y－3>x－3C．lg(y－x)>0D．13y<3－x答案

AD解析不等式4x－4y<5－x－5－y，即4x－5－x<4y－5－y，令f(x)＝4x－5－x＝4x－15x，由指数函数的单调性可得，f(x)是R上的增函数，不等式即f(x)<f(y)，∴x<y.故

选AD.11．(2021·淄博模拟)关于函数f(x)＝14x＋2的性质，下列说法中正确的是()A．函数f(x)的定义域为R17B．函数f(x)的值域为(0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一个实根D．函数f(x)的图象是中心

对称图形答案ACD解析函数f(x)＝14x＋2的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)＝14x＋2在定义域内单调递减，所以函数的值域为0，12，所以方程f(x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f(x＋1)＋f

(－x)＝14x＋1＋2＋14－x＋2＝14·4x＋2＋4x2·4x＋1＝12，所以f(x)关于点12，14对称，所以D正确．故选ACD.12．(2022·武汉质量评估)若实数a，b满足2a＋

3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是()A．0<a<b<1B．b<a<0C．1<a<bD．a＝b答案ABD解析设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均为增函数，且f(0)＝g(0)，f(

1)＝g(1)．x∈(－∞，0)时，f(x)<g(x)；x∈(0,1)时，f(x)>g(x)；x∈(1，＋∞)时，f(x)<g(x)．由函数f(x)与g(x)的图象可知，若f(a)＝2a＋3a＝3b＋2b＝g(b)，则

b<a<0或0<a<b<1或a>b>1或a＝b.故选ABD.三、填空题13．(2021·湖南长沙一模)使得“”成立的一个充分条件是________.答案0<x<14(答案不唯一)解析由于，故等价于x>2x2，解得0<x<12，使得18“”成立的一个充分条件只需为集合

x|0<x<12的子集即可，故答案可以为x|0<x<14.14．下列说法中正确的是________(填序号)．①任取x>0，均有3x>2x；②当a>0，且a≠1时，有a3>a2；③y＝(3)－x是增

函数；④y＝2|x|的最小值为1；⑤在同一平面直角坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称．答案①④⑤解析任取x>0，均有3x>2x，①正确；当a>1时，a3>a2，当0<a<1时，a3<a2，

②错误；y＝(3)－x是减函数，③错误；y＝2|x|的最小值为1，④正确；在同一平面直角坐标系中，y＝2x与y＝2－x＝12x的图象关于y轴对称，⑤正确．15．(2021·安徽皖江名校模拟)已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围

为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________.答案(1，＋∞)f(－4)>f(1)解析因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图

象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(1)．16．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________.答案(－∞，－18]解析设t＝

3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3.因为x∈[－2，2]，所以t∈19，9.又函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2,2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在区间19，9上单调递减，故有－m2≥9，解得m≤－1

8.所以m的取值范围为(－∞，－18]．19四、解答题17.函数y＝F(x)的图象如图所示，该图象由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xb“拼接”而成．(1)求F(x)的解析式；(2)比较ab与ba的大小；(3)若(m＋4)

－b<(3－2m)－b，求m的取值范围．解(1)依题意，得解得a＝116，b＝12，所以(2)因为ab＝11612＝122，ba＝12116，指数函数y＝12x在R上单调递减，所以

122<12116，即ab<ba.(3)由(m＋4)－12<(3－2m)－12，得m＋4>0，3－2m>0，m＋4>3－2m，解得－13<m<32，所以m的取值范围是－13，32.2018．已知函数f(x)＝1ax－1＋1

2x3(a>0，且a≠1)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．解(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，对于定义域内

任意x，有f(－x)＝1a－x－1＋12(－x)3＝ax1－ax＋12(－x)3＝－1－1ax－1＋12(－x)3＝1ax－1＋12x3＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x>0时的情况．

当x>0时，要使f(x)>0，则1ax－1＋12x3>0，即1ax－1＋12>0，即ax＋12(ax－1)>0，则ax>1.又x>0，∴a>1.∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)>0在定义域上恒成立．19．(2022·海南省高三第一

次联考)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋2ax.(1)当a＝－1时，求函数y＝f(g(x))(－2≤x≤3)的值域；(2)设函数h(x)＝f(x)，x≥b，g(x)，x＜b，若ab＞0，且h(x)的最小值为22，求实数a21的取值范围．解(1)当a＝－1时，

f(g(x))＝(－2≤x≤3)，令μ＝x2－2x，y＝2μ，∵x∈[－2,3]，∴μ∈[－1,8]，而y＝2μ是增函数，∴12≤y≤256，∴函数的值域是12，256.(2)当a＞0时，则b＞0，g(x)在(－∞，－a)上单调递减，在(－a，b)上

单调递增，所以g(x)的最小值为g(－a)＝－a2＜0，f(x)在[b，＋∞)上单调递增，最小值为2b＞20＝1，而h(x)的最小值为22，所以这种情况不可能．当a＜0时，则b＜0，g(x)在(－∞，b)上单调递减且没有最小值，

f(x)在[b，＋∞)上单调递增，最小值为2b，所以h(x)的最小值为2b＝22，解得b＝－12(满足题意)，所以g(b)＝g－12＝14－a≥f－12＝22，解得a≤1－224.所以实数a的取值范围是－∞，1－224.