【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第3章 第4讲　幂函数与二次函数 含解析.doc，共(23)页，563.316 KB，由envi的店铺上传

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1第4讲幂函数与二次函数1．幂函数(1)定义：函数01y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在

(0，＋∞)上单调递增．③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a

>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)续表解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)2值域024ac－b24a，＋∞03－∞，4ac－b24a单调性在x∈－∞

，－b2a上单调递减；在x∈04－b2a，＋∞上单调递增在x∈05－∞，－b2a上单调递增；在x∈－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝－b2a对称1．幂函数图象的特征(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴(简记为

“指大图低”)．(2)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．一元二次不等式

恒成立的条件(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”．(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”．4．二次函数的对称轴二次函数y＝f(x)对定义域内的所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函

数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．5．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况(1)若－b2a∈[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝f－b2a.(2)若

－b2a∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．另外，当二次函数图象开口向上时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数图象开口向下时，自变量的取值离对称轴越远，3则对应的函数

值越小．1．(2021·日照三模)已知幂函数f(x)＝xa的图象经过点(2,4)，则f(－3)＝()A．－9B．9C．3D．－3答案B解析因为幂函数f(x)＝xa的图象经过点(2,4)，所以2a＝4，a＝2，所以f(x)＝x2，所以f(

－3)＝(－3)2＝9.故选B.2．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A.0，120B．－∞，－120C.120，＋∞D．－120，0答案C解析由题意知a>0，Δ<0，即a>0，1

－20a<0，解得a>120.3．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域是________.答案[－1,3]解析∵g(x)＝(x－1)2－1，∴g(x)min＝g(1)＝－1，g(x)max＝g(3)＝3.∴所求值域为[－1,3]．4．已知α∈－2，－1，－12，12，1

，2，3.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________.答案－1解析∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.5．设二次函数f(x)＝x2－x＋a

(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)________0(填“>”“<”或“＝”)．答案>4解析f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝12，且f(1)>0，f(0)>0，而f(m)<0，∴m∈(0,1)，∴m－1<0，∴f(m－

1)>0.6．若(a＋1)12＜(3－2a)12，则实数a的取值范围是________.答案－1，23解析易知函数y＝x12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以a＋1≥0，3－2a≥0，a＋1＜3－2a，解得－1≤a＜23.考向一幂函数

的图象与性质例1(1)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或2答案B解析由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．

故选B.(2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d>c>b>aB．a>b>c>d5C．d>c>a>bD．a>b>

d>c答案B解析由幂函数的图象可知在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d.故选B.(3)(2021·安阳三模)已知幂函数f(x)＝xa满足2f(2)＝f(16)，若a＝f(log42)，b＝f(ln2)，c＝f

(5－12)，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>bB．a>b>cC．b>a>cD．b>c>a答案C解析幂函数f(x)＝xa中，2f(2)＝f(16)，所以2×2a＝16a，即2a＋1＝24a，所以a＋1＝

4a，解得a＝13，所以f(x)＝x13，所以f(x)是定义域为R的单调增函数，又a＝f(log42)，b＝f(ln2)，c＝f(5－12)，且log42＝12，ln2>lne＝12，5－12＝15<12，所以5－12<log42<ln2，即f(5－12)<f(log42)<f(ln2

)，所以b>a>c.故选C.幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图

象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，当α＜0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．1.幂函数(m∈Z)的图象如

图所示，则m的值为()6A．－1B．0C．1D．2答案C解析从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限单调递减，故m2－2m－3<0，即－1<m<3；又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．故

选C.2．已知a＝243，b＝323，c＝2513，则()A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b答案A解析因为a＝243＝423，b＝323，c＝2513＝523，又y＝x23在(0，＋∞)上是增函数

，所以c＞a＞b.考向二求二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解解法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝

8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为直线x＝2＋(－1)2＝12.7∴m＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n＝

8.∴f(x)＝ax－122＋8.∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三：(利用两根式)由已知f(x)＋1＝0的两根为

x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值f(x)max＝8，即4a(－2a－1)－a24a＝8，解得a＝－4或a＝0(舍去)．∴所求二次函数的解析式为f(x)＝

－4x2＋4x＋7.确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：3.已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，且g(x)＝f(x)＋2x为偶函数，再从条件①、条件②、

条件③中选择一个作为已知，求f(x)的解析式．条件①：函数f(x)在区间[－2,2]上的最大值为5；条件②：函数f(x)≤0的解集为{1}；条件③：方程f(x)＝0有两根x1，x2，且x21＋x22＝10.解函数f(x)＝x2＋bx＋c，则g(x)＝f(x)＋2x＝x2＋(b＋2)x＋

c，因为g(x)为偶函数，所以g(－x)＝g(x)，8即x2－(b＋2)x＋c＝x2＋(b＋2)x＋c，可得b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋c，图象开口向上，对称轴为直线x＝1.若选条件①，因为函数f(x)在区间[－2,2]上的最大值为5，所以f(－2)＝4＋4＋c＝5，解得c＝－3.所以

f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.若选条件②，由函数f(x)≤0的解集为{1}，可得f(1)＝0，即1－2＋c＝0，解得c＝1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x＋1.若选条件③，方程f(x)＝0有两根x1，x2，且x21＋x22＝10.由根与系数的关系可得x

1＋x2＝2，x1x2＝c，又(x1＋x2)2＝x21＋x22＋2x1x2，所以4＝10＋2c，解得c＝－3.所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.多角度探究突破考向三二次函数的图象与性质角度二次函数图象的识别例3(多选)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋

c的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A．b＝－2aB．a＋b＋c＜0C．a－b＋c＞0D．abc＜0答案AD9解析由图象可知a＜0，对称轴x＝－b2a＝1，则b＝－2a，则b＞0，又f(0)＝c＞0，∴abc＜0，由于f(－1)＜0，则a－b＋c＜

0，由于f(1)＞0，则a＋b＋c＞0.故选AD.识别二次函数图象应学会“三看”4.一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()答案C解析若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a＜0，一次

函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－b2a＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B.故选C.角度二次函数的单调

性例4(1)已知函数f(x)＝－2x2＋bx，若对任意的实数t都有f(4＋t)＝f(4－t)，则f(－2)，f(4)，f(5)的大小关系为()A．f(5)>f(－2)>f(4)B．f(4)>f(5)>f(－2)C．f(4)>f(－2)>f(5)

D．f(－2)>f(4)>f(5)答案B10解析因为对任意的实数t都有f(4＋t)＝f(4－t)，所以函数f(x)＝－2x2＋bx的图象关于直线x＝4对称，所以f(－2)＝f(10)，又函数f(x)＝－2x2＋bx的图象开口向下

，所以函数f(x)在[4，＋∞)上是减函数，因为4<5<10，所以f(4)>f(5)>f(10)，即f(4)>f(5)>f(－2)．(2)(2021·宜宾模拟)若函数f(x)＝12x2＋a|x|在区间[3,4]和[－2，－1]上均为增函数，

则实数a的取值范围是()A．[4,6]B．[－6，－4]C．[2,3]D．[－3，－2]答案D解析f(x)＝12x2＋a|x|，∵f(－x)＝12×(－x)2＋a|－x|＝12x2＋a|x|＝f(x)，∴f(x)为实数集上的偶函数，∵f(x)在区间[3,4]和[－2，－

1]上均为增函数，∴f(x)在[3,4]上单调递增，在[1,2]上单调递减，∴函数f(x)＝12x2＋a|x|，x>0的对称轴x＝－a∈[2,3]，得a∈[－3，－2]．故选D.(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若

开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．5.(多选)(2022·济南一中调研)定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－k

x在[－1,1]上具有相同的单调性，则k的取值可以是()A．1B．32C．2D．3答案CD解析易知f(x)＝－x3＋m在R上是减函数．依题设，函数g(x)＝x2－kx＋m在[－1,1]上单调递减．所以函数g(x)的对称轴x＝k2≥1，则k≥2.故

k的取值可以11是2,3.角度二次函数的最值问题例5(2021·沈阳模拟)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．解(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝

－2.(2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向上，且对称轴为直线x＝1a.①当1a≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0,1]内，∴f(x)在0，1a上单调递减，在1a，1上单调递增．∴f(x)min＝f1a＝1a－2a＝－1a

.②当1a>1，即0<a<1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f(x)在[0,1]上单调递减．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.(3)当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向下，且对称轴为直线

x＝1a<0，在y轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上单调递减．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.综上所述，f(x)min＝a－2，a<1，－1a，a≥1.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：

①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想

即可完成．6.若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为－254，－4，12则m的取值范围是()A．[0,4]B．32，4C.32，＋∞D．32，3答案D解析二次函数图象的对称轴为直线x＝32，且

f32＝－254，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如图所示)，可得m∈32，3.角度与二次函数有关的恒成立问题例6已知两函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x2＋4x＋4，其中k为实数．(1)对任意x∈[－3,3]，都有f(x)

≤g(x)，求k的取值范围；(2)存在x∈[－3,3]，使f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；(3)对任意x1，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围．解(1)设h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k

，问题转化为x∈[－3，3]时，h(x)≤0恒成立，故h(x)max≤0.由二次函数的性质可知h(x)max＝h(3)＝86－k，有86－k≤0，得k≥86，即k的取值范围为[86，＋∞)．(2)由题意，存在x∈[－3,3]，使f(x)≤g(x)成立，即

h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k≤0在x∈[－3,3]上有解，故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min＝h(－1)＝－10－k，有－10－k≤0，得k≥－10，即k的取

值范围为[－10，＋∞)．(3)对任意x1，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)，所以f(x)max≤g(x)min，x∈[－3,3]．由二次函数的性质可得f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－1)＝2.故有120－k≤2，得k≥118，即k的取值范围为[118，

＋∞)．13由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是构造新函数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f

(x)恒成立⇔a≤f(x)min.7.(2021·合肥质检)已知函数f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1，3)．若对任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是()A．(－∞，2]B．[4，＋∞)C．[2，＋∞)D．(－∞，4

]答案B解析因为f(x)>0的解集为(－1,3)，故－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1,3，所以－c2＝－1×3，b2＝－1＋3，即b＝4，c＝6，令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m，由x∈[－1,0]可得g(x)min＝g(0

)＝m，又g(x)≥4在[－1,0]上恒成立，故m≥4.故选B.8．(2021·河北保定模拟)已知二次函数f(x)的最小值为3，且f(1)＝f(3)＝5.(1)求f(x)的解析式；(2)若y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋2m＋1的上方，求实数m的取值范围．解(1)根据题意

得二次函数f(x)的顶点坐标为(2,3)，设f(x)＝a(x－2)2＋3，然后把点(3,5)代入得a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2＋3＝2x2－8x＋11.(2)y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋2m＋1的上方⇔f(x)－(2x＋2m＋1)>0

恒成立，令g(x)＝2x2－8x＋11－(2x＋2m＋1)＝2x2－10x＋10－2m，若g(x)＝2x2－10x＋10－2m>0恒成立，14则Δ＝(－10)2－4×2×(10－2m)<0，解得m<－54，即实数m的取值范围为

－∞，－54.一、单项选择题1．(2021·榆林一模)下列四个函数：①y＝2x＋3；②y＝1x；③y＝2x；④y＝x12，其中定义域与值域相同的函数的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析函数定义域值域①y＝2x＋3RR②y＝1x(－∞，0)∪(0，＋∞)(－

∞，0)∪(0，＋∞)③y＝2xR(0，＋∞)④y＝x12[0，＋∞)[0，＋∞)由上表可知，定义域与值域相同的函数的个数为3.故选C.2．(2021·上海高三二模)设f(x)＝xαα∈－2，－1，13，12，1，2，则“函数y＝f(x)的图

象经过点(－1,1)”是“y＝f(x)为偶函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15答案C解析若函数y＝f(x)的图象经过点(－1,1)，则(－1)α＝1，α＝2或α＝－2，y＝f(x)为偶函数．若y＝f(x)为偶函数

，①α＝－1,1，13时为奇函数，②α＝12时为非奇非偶函数，③α＝2，－2时为偶函数，∴若y＝f(x)为偶函数时，α＝2，－2，∴“函数y＝f(x)的图象经过点(－1,1)”是“y＝f(x)为偶函数”的充要条件．故选C.3．若幂函数f(x)的图象过点(2，2)，则函

数y＝f(x)＋1－x的最大值为()A．1B．54C．2D．73答案B解析设f(x)＝xα，∵f(x)的图象过点(2，2)，∴f(2)＝2α＝2，则α＝12，∴f(x)＝x，∴y＝x＋1－x＝－x－122＋54，∴所求最大值为54.故选B.4

．(2021·潍坊模拟)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则()A．a>0,4a＋b＝0B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0D．a<0,2a＋

b＝0答案A解析由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－b2a＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0.故选A.5．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝

f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(－∞，0]C．[0,4]D．(－∞，0]∪[4，＋∞)答案C16解析由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2＋x＋2－x2＝2，又函

数f(x)在[0,2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.6.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有

BM＝MN＝NA，那么a－1b＝()A．0B．1C．12D．2答案A解析BM＝MN＝NA，点A(1,0)，B(0,1)，所以M13，23，N23，13，将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝log1323，b＝log2313

，.7．(2021·包河区校级模拟)若0<x1<x2，则下列函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x；⑤f(x)＝1x中，满足条件fx1＋x22≤f(x1)＋f(x2)2(x2>x1>0)的有()A．1个B．2个C．3个D．4个

答案D解析若满足条件fx1＋x22≤f(x1)＋f(x2)2(x2>x1>0)，则函数图象在y轴右侧为17一条单调递增的直线或下凸曲线，根据函数图象易得④f(x)＝x不满足，其余都可以．故选D.8．当x≤1时

，函数y＝x2＋4x＋6的值域为D，且当x∈D时，不等式x2＋kx＋6≥4x恒成立，则实数k的取值范围为()A．[4－26，＋∞)B．(－∞，－1]C．(－∞，4－26]D．－∞，－335答案A解析函数y＝x2＋4x＋6的图象开口向上，对称轴为直线x＝－2，所以当x≤1时，y＝

(x＋2)2＋2≥2，所以D＝[2，＋∞)．当x∈[2，＋∞)时，不等式x2＋kx＋6≥4x恒成立，即k≥－x＋6x＋4.当x∈[2，＋∞)时，x＋6x≥2x·6x＝26，当且仅当x＝6时有最小值，所

以－x＋6x＋4≤4－26，故k∈[4－26，＋∞)．二、多项选择题9．已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象可能是()答案ACD解析①当a＝0，b≠0时，y＝

2ax＋b的图象可能是A；②当a>0时，－b2a≥0⇒b≤0，y＝2ax＋b的图象可能是C；③当a<0时，－b2a≥0⇒b≥0，y＝2ax＋b的图象可能是D.故选ACD.1810．由于被墨水污染，一道数学

题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是()A．在x轴上截得的线段的长度是2B．与y轴交于点(0,3)C．顶点是

(－2，－2)D．过点(3,0)答案ABD解析易知二次函数的解析式为y＝a(x－1)·(x－3)＝a(x2－4x＋3)(a≠0)，与x轴的两交点为(1,0)，(3,0)，故在x轴上截得的线段长为2，A，D正确；将x＝0代入二

次函数的解析式得y＝3a，故B可能正确；顶点的横坐标为2，故C错误．故选ABD.11．若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”．下列函数中，与函数f(x)＝x4是“亲密函数”的是()A．y＝x23B．y＝2|x|－1C．y＝x21＋x2

D．y＝x22答案ABD解析易知函数f(x)＝x4的定义域为R，是偶函数，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，y≥0，四个函数的定义域都为R且都为偶函数，单调性也与函数f(x)＝x4保持一致，但是y＝x21＋x2＝1－11＋x2的值域为[0,1)

，y＝x23＝3x2≥0，y＝2|x|－1≥0，y＝x22≥0.故选ABD.12．已知幂函数f(x)＝m＋95xm，则下列结论正确的有()A．f(－32)＝116B．f(x)的定义域是R19C．f(x)是偶函数D．不等式

f(x－1)≥f(2)的解集是[－1,1)∪(1,3]答案ACD解析幂函数f(x)＝m＋95xm，∴m＋95＝1，∴m＝－45，∴f(x)＝x－45，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，B错误；∵f(－3

2)＝(－32)－45＝116，∴A正确；f(x)＝x－45＝15x4，定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f(－x)＝15(－x)4＝15x4＝f(x)，∴f(x)是偶函数，C正确；∵f(x)＝x－45，∴f

(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，又f(x)是偶函数，∴不等式f(x－1)≥f(2)等价于f(|x－1|)≥f(2)，∴x－1≠0，|x－1|≤2，解得－1≤x<1或1<x≤3，D正确．故选ACD.三、填空题13．(2021·

甘肃兰州一中高考模拟)已知幂函数f(x)的部分对应值如表：x112f(x)122则不等式f(|x|)≤2的解集是________.答案[－4,4]解析设幂函数为f(x)＝xα，则12α＝22，∴α＝12，∴f(x)＝x12.不等式f(|x|)≤

2等价于|x|12≤2，∴|x|≤4，∴－4≤x≤4.∴不等式f(|x|)≤2的解集是[－4,4]．14．已知幂函数f(x)＝x－12，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________.答案(3,5)20解析∵f(x)＝x－12＝1x(x>0)，易知x∈(0，＋∞)时，

f(x)为减函数，又f(a＋1)<f(10－2a)，∴a＋1>0，10－2a>0，a＋1>10－2a，解得a>－1，a<5，a>3，∴3<a<5.15．(2021·海南省高三第一次联考)函数f(x)＝－3x2＋6x

在区间[a，b]上的值域是[－9,3]，则b－a的取值范围是________.答案[2,4]解析f(x)＝－3x2＋6x＝－3·(x－1)2＋3，顶点坐标为(1,3)，因为函数的值域是[－9,3]，令－3x2＋6x＝－9，可得x＝－1或x＝3.又因为函数f(x)＝－3x2＋6x图象的对称

轴为x＝1，且f(1)＝3，所以b－a的取值范围为[2,4]．16．(2021·潍坊质检)已知函数f(x)＝x2＋x，－2≤x≤c，1x，c<x≤3.若c＝0，则f(x)的值域是________；若f(x)的值域是

－14，2，则实数c的取值范围是________.答案－14，＋∞12，1解析当c＝0时，即x∈[－2,0]时，f(x)∈－14，2，当x∈(0,3]时，

f(x)∈13，＋∞，所以f(x)的值域为－14，＋∞.作出y＝x2＋x和y＝1x的图象如图所示，当f(x)＝－14时，x＝－12；当x2＋x＝2时，x＝1或x＝－2；当1x＝2时，x＝12，由21图象可知当f

(x)的值域为－14，2时，需满足12≤c≤1.四、解答题17．已知二次函数f(x)满足f(－2)＝0，且2x≤f(x)≤x2＋42对一切实数x都成立．(1)求f(2)的值；(2)求f(x)的解析式．解(1)∵2x≤f(x)≤x2＋42对一切实数x都成立，∴4≤f(2

)≤4，∴f(2)＝4.(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(－2)＝0，f(2)＝4，∴4a＋2b＋c＝4，4a－2b＋c＝0⇒b＝1，c＝2－4a.∵ax2＋bx＋c≥2x恒成立，即ax2－x＋2－4

a≥0恒成立，∴a>0且Δ＝1－4a(2－4a)≤0⇒(4a－1)2≤0，∴a＝14，c＝2－4a＝1，故f(x)＝x24＋x＋1.经检验，f(x)＝x24＋x＋1.18．现有三个条件：①对任意的x∈R都有f(x＋1)－f(x)＝2x－2；②不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2}；③函数y＝

f(x)的图象过点(3,2)．请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且满足________.(1)求函数f(x)的解析式；22(2)设g(x)＝f(x)－

mx，若函数g(x)在区间[1,2]上的最小值为3，求实数m的值．解(1)条件①：因为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，所以f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx

＋c)＝2ax＋a＋b＝2x－2，即2(a－1)x＋a＋b＋2＝0对任意的x恒成立，所以a－1＝0，a＋b＋2＝0，解得a＝1，b＝－3.条件②：因为不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2

}，所以1＋2＝－ba，1×2＝ca，解得b＝－3a，c＝2a，且a>0.条件③：函数y＝f(x)的图象过点(3,2)，所以9a＋3b＋c＝2.若选择条件①②：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f(

x)＝x2－3x＋2.若选择条件①③：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f(x)＝x2－3x＋2.若选择条件②③：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f(x)＝x2－3x＋2.(2)由(1)知g(x)＝x2－(m＋3)x＋2，其对称轴为直线x＝m＋32，(ⅰ)当m＋32≤1

，即m≤－1时，g(x)min＝g(1)＝3－(m＋3)＝－m＝3，解得m＝－3，(ⅱ)当m＋32≥2，即m≥1时，g(x)min＝g(2)＝6－(2m＋6)＝－2m＝3，解得m＝－32(舍去)，(ⅲ)当1<m＋3

2<2，即－1<m<1时，g(x)min＝gm＋32＝－(m＋3)24＋2＝3，无解．综上所述，实数m的值为－3.23