【文档说明】四川省遂宁中学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学（理）试题 含解析.docx，共(21)页，1.608 MB，由小赞的店铺上传

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遂宁中学高2024级3月月考数学（理科）第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（共60分，每题5分）1.“2=”是“sin1=”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充分必要条件【答案】

A【解析】【分析】将“2=”与“sin1=”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.【详解】当2=时，πsinsin12==；当sin1=时，可能为5π2.故“2=”可以推出“sin1=”、“si

n1=”不能推出“2=”，所以“2=”是“sin1=”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.2.双曲线2213yx−=的渐近线方程为（）A.3yx=B.3yx=C.13yx=D.33yx=

【答案】A【解析】【分析】令2203yx−=即可求渐近线方程.【详解】令2203yx−=得3yx=即双曲线2213yx−=的渐近线方程为3yx=故选：A.3.若抛物线22ypx=的焦点与双曲线22122xy−=的右焦点重合，则p的值为（）A.4

B.2C.-2D.-4【答案】A【解析】【分析】分别求得抛物线和双曲线的右焦点坐标，列出方程，即可求解.【详解】因为抛物线22ypx=的焦点,02p与双曲线22122xy−=的右焦点()2,0重合，所以22p=，解

得4p=故选：A.4.已知椭圆()222210xyabab+=的左、右焦点为1F，2F，上顶点为A，若12AFF△为直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A.14B.34C.12D.22【答案】D【解析】【分析】由椭圆

的对称性以及题中条件可得bc=，再根据222abc=+即可求出离心率.【详解】椭圆22221(0)xyabab+=的上顶点为A，左、右两焦点分别为1F，2F，若12AFF△为直角三角形，由椭圆的对称性知：bc=，又222abc=+，可得：2ac=，.22e=.故选：D

.5.已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点7,42A，则|PA|＋|PM|的最小值是()A.72B.4C.92D.5【答案】C【解析】【分析】判断点A在抛物线的外部，1

2PAPMPAPF++−＝，当P，A，F三点共线时，|PA|＋|PF|有最小值，计算得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F，则12PFPM+＝，∴12PMPF−＝.∴12PAPMPAPF++−＝.将72x=代入抛物线方程y2＝2x，得7y=，∵74，∴点A在抛

物线的外部，∴当P，A，F三点共线时，|PA|＋|PF|有最小值．∵102F，，∴2271||(40)522AF=−+−=，∴|PA|＋|PM|有最小值19522−=.故答案选C【点睛】本题考查了抛物线的最值问题，转化为求|PA|＋|PF|最小值是解题的关键.6.加斯

帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙），则椭圆22:1169xyC+=的蒙日圆的半径为（）A.3B.4C.

5D.6【答案】C【解析】【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径．【详解】解：由蒙日圆的定义，可知椭圆22:1169xyC+=的两条切线4x=、3y=的交点()4,3在圆上，所以蒙日圆的半径22435R=+=.故选：C．7.设O为坐标原点，直线xa

=与双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的两条渐近线分别交于,DE两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】【分析】因为2222:1(0,0)xyCabab−=，可得双曲

线的渐近线方程是byxa=，与直线xa=联立方程求得D，E两点坐标，即可求得||ED，根据ODE的面积为8，可得ab值，根据2222cab=+，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】2222:1(0,0)xyCabab−=双

曲线的渐近线方程是byxa=直线xa=与双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立xabyxa==，解得xayb==故(,)

Dab联立xabyxa==−，解得xayb==−故(,)Eab−||2EDb=ODE面积为：1282ODESabab===△双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=其焦距为2222222168

cabab=+==当且仅当22ab==取等号C的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题

.8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||Cxyxy+=+就是“心形”曲线．给出以下列两个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；则正确的判断是（）A.①正确②错误

B.①错误②正确C.①②都错误D.①②都正确【答案】D【解析】【分析】根据题意，先判断曲线C关于y轴对称，由基本不等式的性质对方程变形，得到222xy+，可判定①正确；当0x时，222xy+，得到曲线C右侧部分的点到原点的距离都不超过2，再根据曲线C的对称性

，可判定②正确；【详解】根据题意，曲线22:1Cxyxy+=+，用(,)xy−替换曲线方程中的(,)xy，方程不变，所以曲线C关于y轴对称，对于①中，当0x时，221xyxy+=+，即为2222:112xyCxyxy++=++，可得222xy+，所以曲线经过点(0,1),(0,1

),(1,0),(1,1)−，再根据对称性可知，曲线还经过点(1,0),(1,1)−−，故曲线恰好经过6个整点，所以①正确；对于②中，由①可知，当0x时，222xy+，即曲线C右侧部分的点到原点的距离都不超过2，再根据曲线C的对称性可知，曲线C上任意一点到原点的距离

都不超过2，所以②正确；故选:D.9.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=右焦点与抛物线22(0)ypxp=的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若2||CDAB=．则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.

2D.3【答案】A【解析】【分析】设公共焦点为(),0c，进而可得准线为xc=−，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212ac=，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)xya

bab−=与抛物线22(0)ypxp=的公共焦点为(),0c，则抛物线22(0)ypxp=的准线为xc=−，的令xc=−，则22221cyab−=，解得2bya=，所以22bABa=,又因为双曲线渐近线方程为byxa=，所以2bcCDa

=，所以2222bcbaa=，即2cb=，所以222212acbc=−=，所以双曲线的离心率2cea==.故选：A.10.已知M是抛物线2:4Cxy=上一点，F为抛物线的焦点，点()0,2N−，若MFNF=，则MFN△的

面积为（）A.22B.23C.32D.33【答案】C【解析】分析】利用已知条件求出点00()Mxy，坐标，代入面积公式求解即可．【详解】已知点(01)F，，设点00()Mxy，，0||1MFy=+，又||||3MFNF==，故02y=，故0||2

2x=，01||||322MFNSFNx==△，故选：C11.如图，抛物线2:2(0)Expyp=的焦点为F，准线与y轴交于点D，O为坐标原点，P是抛物线上一点，且60PFO=，则||||PFDF=（）A.273B.72

C.73D.23【答案】D【解析】的【【分析】过P点作PHy⊥交y轴于点H，过P点作PB垂直准线于点B，在三角形PFH中，设PFx=，则,2xFHHDFPx===，代入||||||||||PFPFDFHFPF=+即可得出答案.【详解】过P点作PHy⊥交y轴于

点H，过P点作PB垂直准线于点B，由抛物线的定义知：PBPFHD==，在三角形PFH中，设PFx=，60PFO=，,2xFHHDFPx===，所以2332PFPFxDFHFHDx===+.故选：D.12.设B

是椭圆2222:1(0)xyCabab+=上顶点，若C上的任意一点P都满足||2PBb，则C的离心率的取值范围是（）A.2,12B.1,12C.20,2D.10,2【答案】

C【解析】【分析】设()00,Pxy，由()0,Bb，根据两点间的距离公式表示出PB，分类讨论求出PB的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,Pxy，由()0,Bb，因为2200221xyab+=，222abc=+，所以(

)()2223422222220000022221ycbbPBxybaybyabbbcc=+−=−+−=−++++，的因为0byb−，当32bbc−−，即22bc时，22max4PBb=，即max2P

Bb=，符合题意，由22bc可得222ac，即202e；当32bbc−−，即22bc时，42222maxbPBabc=++，即422224babbc++，化简得，()2220cb−，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题

关键是如何求出PB的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（共20分，每题5分）13.抛物线232yx=的焦点到准线的距离是______．【答案】164【解析】【分析】化方程为标准方程，求焦点到

准线的距离即可.【详解】抛物线232yx=化为标准方程为2132xy=，则其焦点到准线的距离为164p=，即焦点到准线的距离是164．故答案为：164.14.若双曲线2221(0)xymm−=的渐近线与圆22430xyy+

−+=相切，则m=_________．【答案】33【解析】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210xymm−=的渐近线为yxm=，即0xmy=，不

妨取0xmy+=，圆22430xyy+−+=，即()2221xy+−=，所以圆心为()0,2，半径1r=，依题意圆心()0,2到渐近线0xmy+=的距离2211mdm==+，解得33m=或33m=−（舍去）．故答案为：33．15.已知F

是椭圆2216428xy+=的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是()3,4，则PMPF+的最大值是______．【答案】21【解析】【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义转化，结合三角形两边之差小于第三边及两点间的距离公式求解．【详解】由椭圆2216428x

y+=得6(0F−,），则椭圆右焦点为60F（,），点M在椭圆内部，如图所示，则()216PMPFPMaPFPMPF+=+−=+−221616(36)(40)16521.MF+=+−+−=+=故答案为：21．16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，C的上顶点为A，两个

焦点为1F，2F，离心率为12．过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，||6DE=，则ADEV的周长是________________．【答案】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043xyxyccc+=+−=，即，根据离心率得到直线2AF的

斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程：3xyc=−，代入椭圆方程22234120xyc+−=，整理化简得到：22136390ycyc−−=，利用弦长公式求得138c=，得1324ac==，根据对称性将ADEV的周长转化为2

FDE△的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a=.【详解】∵椭圆的离心率为12cea==，∴2ac=，∴22223bacc=−=，∴椭圆的方程为222222213412043xyxyccc+=+−=，

即，不妨设左焦点为1F，右焦点为2F，如图所示，∵222AFaOFcac===，，，∴23AFO=，∴12AFF△为正三角形，∵过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，DE为线段2AF的垂直平分线，∴直线DE的斜率为33，斜率倒数为3，直线DE的方程：3xyc=−，代入

椭圆方程22234120xyc+−=，整理化简得到：22136390ycyc−−=，判别式()2222634139616ccc=+=，∴()212Δ13226461313cDEyy=+−===

，∴138c=，得1324ac==，∵DE为线段2AF的垂直平分线，根据对称性，22ADDFAEEF==，，∴ADEV的周长等于2FDE△的周长，利用椭圆的定义得到2FDE△周长为222211121222413DFEFDEDFEFDFEFDFDFEFEFaaa++=+++=+

++=+==.故答案为：13.三、解答题（共70分）17.已知命题p：2,10xRaxax++，命题:213qa−．(1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围；(2)若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．【答案】(1))0,4(2)

())1,02,4−【解析】【分析】（1）根据命题为真命题，分类讨论a是否为0；再根据开口及判别式即可求得a的取值范围．（2）根据复合命题的真假关系，得出p,q一个为真命题，一个为假命题，然后进行求解可得范围.【详解】根据复合命题真假，讨论p真q假，p假q真两种情况下a的取值范围．（

1）命题p是真命题时，21>0axax++在R范围内恒成立，∴①当0a=时，有10恒成立；②当0a时，有2040aaa=−，解得：04a；∴a的取值范围为：)0,4.（2）∵pq是真命题，pq是假命题，∴p，q中一个为真命题，一个为假命题，由q为真时得由2

13a−，解得1a2−，故有：①p真q假时，有041aa−或042aa，解得：24a；②p假q真时，有012aa−或412aa−，解得：10a−；∴a的取值范

围为：())1,02,4−.【点睛】本题考查了命题真假及复合命题真假的简单应用，求参数的取值范围，属于基础题．18.记nS为数列na的前n项和，已知11,nnSaa=是公差为13的等差数列．（1）求na的通项公式；（2）证明：121112naaa

+++．【答案】（1）()12nnna+=（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133nnSnna+=+−=，得到()23nnnaS+=，利用和与项的关系得到当2n时，()()112133nnnnnnanaaS

S−−++=−=−,进而得：111nnanan−+=−，利用累乘法求得()12nnna+=，检验对于1n=也成立，得到na的通项公式()12nnna+=；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到1211112

11naaan+++=−+，进而证得.【小问1详解】∵11a=，∴111Sa==,∴111Sa=,又∵nnSa是公差为13的等差数列，∴()121133nnSnna+=+−=,

∴()23nnnaS+=,∴当2n时，()1113nnnaS−−+=，∴()()112133nnnnnnanaaSS−−++=−=−,整理得：()()111nnnana−−=+,即111nnanan−+=−,

∴31211221nnnnnaaaaaaaaaa−−−=()1341112212nnnnnn++==−−，显然对于1n=也成立，∴na的通项公式()12nnna+=；【小问2详解】()12112,11nannnn==−++∴12111na

aa+++1111112121222311nnn=−+−+−=−++19.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左，右焦点分别为1F，2F，点P在椭圆C上，12=PF，123

FPF=，且椭圆C的离心率为12．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点()3,0M的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求2ABF面积的最大值．【答案】（1）22143xy+=；（2）233.【解析】【分析】（1）由椭圆的定义求得222PFa=−，在12PFF△中，由余弦

定理化简得2233caa=−+，再由离心率12e=，得到2ac=，联立方程组，求得,,abc的值，即可求得椭圆的方程；（2）联立方程组，利用根与系数的关系，根据弦长公式和点到直线的距离公式，结合面积公式，利用基本不等式，即可求解.【详解】（1）P在椭圆C上，1

2=PF，222PFa=−．在12PFF中，由余弦定理得22212121242coscPFPFPFPFFPF=+−，即2244(22)4(22)cos3caa=+−−−化简，得2233caa=−+．①又椭圆C的离心率12cea==，2a

c=．②由①②，解得1c=，2a=．2223bac=−=．椭圆C的方程为22143xy+=．（2）由题意，直线l的斜率存在且不为0．设直线l的方程为3xmy=+．由223143xmyxy=++=，消去x，得()223418150mymy+++=．由21442400

m=−，得253m设()11,Axy，()22,Bxy．则1221834myym−+=+，1221534yym=+()222121212||114ABmyymyyyy=+−=++−2224191534mmm+−=+设点2F到直线l的距

离为d，又2(1,0)F，则221dm=+．22214915234ABFmSABdm−==+令2915(0)mtt−=，则22159tm+=．2212122327273ABFtSttt==++当且仅当33t=时等号成立.此时21

4533m=．2ABF面积的最大值233．20.已知四棱锥PABCD−的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且22PAADAB===，设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，H为EG的中点，如图．（1）求证：//FH平面PBD；（2

）求直线FH与平面PBC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1515【解析】【分析】（1）利用中位线得到的线线平行，证明线面平行，再证面面平行，由面面平行得证线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.【

小问1详解】证明：∵E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，∴//EFPB，//FGBD，∵EF平面PBD，PB平面PBD，∴//EF平面PBD，同理可证//FG平面PBD，∵EFFGF=，EF、FG平面EFG，∴平面//EFG平面PBD

，∵FH平面EFG，∴//FH平面PBD．【小问2详解】∵PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0B、()1,2,0C、()002P,,、(

)1,1,0F、1,1,12E、1,2,02G、131,,222H，()0,2,0BC=uuur，()1,0,2BP=−，111,,222FH=−，设平面PBC的法向量为(),,nxyz=，则2020nBCynBPxz===−

+=，取2x=，可得()2,0,1n=，∴1152cos,15352FHnFHnFHn−===−，所以，直线FH与平面PBC所成角的正弦值为1515．21.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4

，求l的方程；（2）若3APPB=，求|AB|．【答案】（1）12870xy−−=；（2）4133.【解析】【分析】（1）设直线l：32yxm=+，()11,Axy，()22,Bxy；根据抛物线焦半径

公式可得1252xx+=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m的方程，解方程求得结果；（2）设直线l：23xyt=+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3APPB=可得123yy=−，结合韦达定理可求得12yy；根据弦长公式可求得结果.【

详解】（1）设直线l方程为：32yxm=+，()11,Axy，()22,Bxy由抛物线焦半径公式可知：12342AFBFxx+=++=1252xx+=联立2323yxmyx=+=得：()229121240xmxm+−+=则()2212121440mm

=−−12m121212592mxx−+=−=，解得：78m=−直线l的方程为：3728yx=−，即：12870xy−−=（2）设(),0Pt，则可设直线l方程为：23xyt=+联立2233xyty

x=+=得：2230yyt−−=则4120t=+13t−122yy+=，123yyt=−3APPB=123yy=−21y=−，13y=123yy=−则()2121241341314412933ABy

yyy=++−=+=【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.22.椭圆C：()222210xyabab+=的左，右焦应分别是1F，

2F，离心率为32，过1F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线1l：2220xy+−=与椭圆C切于点22,2T，直线2l平行于OT，与椭圆C交于不同的两点A、B，且与直线1l交

于点M.证明：存在常数，使得2MTMAMB=，并求的值；（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接1PF，2PF，设12FPF后的角平分线PM交C的长轴于点(),0Mm，求m的取值范围.【答案】（1）2214xy+=（2）证明见解析，1=（3）33,22m−

【解析】【分析】（1）根据题意直接计算得到答案.（2）设2l方程12yxm=+，联立方程，利用韦达定理得到122xxm+=−，21222xxm=−计算2Mxm=−，代入化简得到答案.（3）设()00,Pxy其中204x，将向量坐标代入并化简得034=mx

，计算得到答案.【详解】（1）由22223221ceabaabc====+得21ab==所以椭圆C的方程为2214xy+=（2）22,2T∴12OTk=又2lOT∴设2l方程为12yxm=+由222212220244yxm

xmxmxy=+++−=+=设()()1122,,,AxyBxy，则()221221244220222mmxxmxxm=−−+=−=−由1222220Myxmxmxy=+=−+−=∴()()()2222121

122211222mMTMAMBmxmx+−−−=+−−−−()()()22221212122mmmmmxxxx===−−−++∴2MTMAMB=即存在1=满足条件（3）由题意可知：1212PFPMP

FPMPFPMPFPM=，1212PFPMPFPMPFPF=设()00,Pxy其中204x，将向量坐标代入并化简得：()23000416312mxxx−=−，因为204x，所以034=mx而()02,2x−，所以33,22m−【点睛】本题考查了椭圆方程，韦达定理的

应用，向量的运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.