【文档说明】四川省遂宁中学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学（文）试题 含解析.docx，共(19)页，1005.524 KB，由小赞的店铺上传

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遂宁中学高2024届第四期3月月考文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1.圆心在(2,1)−，半径为3的圆的标准方程为（）A.22(2)(1)3xy−++=B.22(2)(1)9xy−++=C.22(2)(1)3xy++

−=D.22(2)(1)9xy++−=【答案】B【解析】【分析】根据圆的标准方程判断．【详解】圆心在(),ab，半径为r的圆的方程为()()222xaybr−+−=，则圆心在(2,1)−上，半径为3的圆的标准方程为22(2)(1)9xy−++=.故选：B2.双曲线22:126

13xyC−=的渐近线方程为（）A.22yx=B.2yx=C.12yx=D.2yx=【答案】A【解析】【分析】根据双曲线方程求出,ab，进而求出渐近线方程.详解】∵26a=，13b=，∴22byxxa==.故选：A.3.等差数列na，nb的前n项和分别为,n

nST，且2135nnSnTn+=+，则55ab=（）A.38B.23C.1116D.1932【答案】D【解析】【【分析】利用95595599SaaTbb==即可得解.【详解】由题得955955929119939532SaaTb

b+====+.故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.“1x且2y”是“3xy+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】按照充分必要条件的判断方法判断，“1x且2

y”能否推出“3xy+”，以及“3xy+”能否推出“1x且2y”，判断得到正确答案，【详解】当1x且2y时，3xy+成立，反过来，当3xy+时，例：4,0xy==，不能推出1x且2y.所以“1x

且2y”是“3xy+”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型.5.命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是A.若f(x)是偶函数，则f(-x

)是偶函数B.若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数【答案】B【解析】【详解】试题分析：否命题既否定条件，又否定

结论，所以命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是，若()fx不是奇函数，则()fx−不是奇函数，故选B考点：命题的否定6.已知等差数列na中，79,aa是一元二次方程2670xx−−=的两个实根，则3101223aaa++=（）A.6B.9C.18D.27【答案】C

【解析】【分析】由韦达定理可得796aa+=，即可求出8a，设等差数列na的公差为d，计算可得()310121823676aaaada++=+=，即可求出答案.【详解】由79,aa是一元二次方程2670xx−−=的两个实根，可得796aa+=，则79832aaa+==，设等差数列n

a的公差为d，则()()()3101211123223911aaaadadad++=+++++()118642676adada=+=+=6318==.故选：C.【点睛】本题考查等差数列的性质，考查学生的计

算求解能力，属于基础题.7.已知(2,0),(2,0)AB−,若在斜率为k直线l上存在不同的两点,MN，满足：23MAMB−=，23NANB−=且线段MN的中点为(6,1)，则k的值为()A.2−B.12−C.12

D.2【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，利用双曲线的定义判定点,MN在以,AB为焦点的双曲线上，进而得到双曲线的方程，然后利用点差法求得直线的斜率.【详解】∵(2,0),(2,0)AB−，且23

MAMB−=，23NANB−=，∴,MN在以,AB为焦点的双曲线上，24,223ca==，∴2,3ca==，∴2221bca=−=，∴双曲线方程是2213xy−=.的设()()1122,,,MxyNxy，则221122

221313xyxy−=−=，两式相减得()()()()1212121230yyyxxxxy−−+−=+（*），∵线段MN的中点为(6,1)，∴121212,2xxyy+=+=，（*）两边同时除以12xx−，可得12203k−=，

解得2k=，故选：D.8.已知直线10axy+−=与圆C：22(1)()1xya−++=相交于A，B两点，且ABC（C为圆心）为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A.3B.2C.1D.1−【答案】C【解析】【分析】由ABC为等腰直角三角形，可得故圆心(1,)Ca−到

直线10axy+−=的距离为：2sin452or=，同时由点到直线的距离公式，可得21221da==+，可得答案.【详解】解：由题意得：ABC为等腰直角三角形，故圆心(1,)Ca−到直线10axy+−=的距离为：2sin452or=，在利用点到直线的距离公式

，可得圆心(1,)Ca−到直线10axy+−=的距离为：21221da==+，解得：1a=，故选：C.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式的应用等，属于基础题.9.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别为()1

3,0F−，()23,0F，过原点的直线与C交于A，B两点．若223AFB=，22||||26AFBF+=，则C的方程为（）A.2212xy−=B.2212yx−=C.22152yx−=D.22152xy−=【

答案】A【解析】【分析】由于双曲线和直线都关于原点对称，知OAOB=，连结1AF，1BF，则四边形12AFBF为平行四边形，利用余弦定理求出224AFBF=，又由双曲线的定义得222BFAFa−=，代

入整理即可得出结果.【详解】由过原点的直线与C交于A，B两点，则A，B在双曲线的两支，且OAOB=，连结1AF，1BF，则四边形12AFBF为平行四边形，所以12AFBF=，21AFBF=，123FBF=.在12FBF中，由余弦定理得，()222221212222222cos3cBFB

FBFBFAFBFAFBF=+−=+−()222223AFBFAFBF=+−，即()()222223263AFBF=−，化简得，224AFBF=.又由双曲线的定义，122AFAFa−=，即222BFAFa−=.所以()()()22222222426168aAF

BFAFBF=+−=−=，故22a=，从而21b=，故双曲线的方程为2212xy−=.故选：A【点睛】本题考查双曲线方程的求解，是中档题.解题的关键在于根据题意得四边形12AFBF为平行四边形，进而利用焦点三角，双曲线的定义，余弦定理运算求解.10.点P（x0，y0）（x0＞

0，y0＞2）是抛物线x2＝2y上的点，过点P作圆E：x2＋（y-1）2＝1的两条切线分别交x轴于B，C两点，切点分别为M，N，则△PBC面积的最小值为（）A.4B.16C.12D.8【答案】D【解析】【

分析】依题意可得圆E是PBC的内切圆，则()1=++2PBCSrPBPCBC△根据切线长定理可得012BCy=()1++2rPBPCBC，从而得到0022yBCy=−，最后利用基本不等式求出面积最值；【详解】解：因为圆E与x轴相切，所以圆E是PBC的内切圆，所以(

)1=++2PBCSrPBPCBC△，因为PMPNBMBOCOCN===，，，由012BCy=()1++2rPBPCBC得：()()022BCyPMBOCOPMBC=++=+，因为()22200111PMPExy=−=+−−，又因为2002xy=，所以0PMy=，()002B

CyyBC=+，故0022yBCy=−，所以012SBCy==20000424822yyyy=−++−−，当且仅当022y−=，即04y=时，等号成立.故选：D【点睛】本题考查抛物线中三角形面积的计算，考查基本不等式的应用，属于中档题.11.若mR，则“2

m−”是“00,cos20xmx+R”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】充分性可通过举例子确定；不必要性可通过解00,cos20xmx+R确定，对于命题00,cos20xmx+R可通过对m分类讨论求解.

【详解】当0xR时，有01cos1x−.当2m−时，0cosmmxm−，02cos2mmxm+−+，取0cos1x=，有0cos220mxm+=+.充分性成立若00,cos20xmx+R，当0m=

时，0cos220mx+=，不符合题意，舍去；当0m时，由0cos20mx+，得02cosxm−有解，所以21m−−，解得m>2；当0m时，由0cos20mx+，得02cosxm−有解，所以21m−，解得2m−；综上可得，m>2或2m−.必要性不成立故选：A

.12.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右两个焦点分别为12,FF，以线段12FF为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若122MFMFb−=，该双曲线的离心率为e，则

2e=A.2B.3C.3222+D.512+【答案】D【解析】【详解】以线段12AA为直径的圆方程为222xyc+=,双曲线经过第一象限的渐近线方程为byxa=,联立方程222{xycbyxa+==,求得(),Mab

,因为122MFMFb−=,又22212124,2MFMFcMFMFbc+==所以221212()24MFMFMFMFc=−+解得4210ee−−=,由求根公式有2512e+=(负值舍去).故选D.

点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,ac，从而求出e;②构造,ac的齐次式，求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．二、填空题（本题共4小题

，每小题5分，共20分）13.方程2215xykk+=−表示椭圆充要条件是__________．【答案】550,,522答案不唯一【解析】的【分析】两个分母为不相等的正值时，所给方程表示椭圆.【详解】方

程2215xykk+=−表示椭圆,则必有5005kkkk−−解之得502k或552k故答案为：550,,522,（答案不唯一，其他等价情况也对）14.若双曲线2221(0)xymm−=的渐近线与圆22410xyx+−+=相切，则m=____

__．【答案】33【解析】【分析】求出渐近线方程，求出圆心与半径，利用点到直线的距离等于半径求解即可．【详解】解：双曲线2221(0)xymm−=的渐近线：xmy=，圆22410xyx+−+=的圆心(2,0)与半径3，双曲线2221(0)xym

m−=的渐近线与圆22410xyx+−+=相切，2231m=+，解得33m=或33m=−（舍去）．故答案为：33．15.在ABC中，(1,4),(6,3)BC，BAC的平分线所在的直线方程为10xy−+=，则ABC的面积为

___________.【答案】8【解析】【分析】求出B关于直线10xy−+=的对称点B，可得CB的直线方程，联立解出即可得出A的坐标．利用点到直线的距离公式可得B到AB的距离d，可得面积．【详解】(1,4)B

关于直线10xy−+=的对称点(,)Bab；+1+4+1=0224=11abba−−−−=3=2ab，(3,2)B，(6,3)C，CB的直线方程为330xy−+=，联立3+3=0+1=0xy

xy−−，解得=0=1xy，(0,1)A．22||(60)(31)210AC=−+−=；B到AB的距离2|1343|8101(3)d−+==+−；ABC的面积1||82SACd==．故答案为：8．16.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线

2:4Cyx=焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，若20FPFQ+=，则OPQ△的面积为________．【答案】322【解析】【分析】求出抛物线焦点坐标，设出直线l的方程，再与抛物线方程联立并借助韦达定理即可计算作答.【详解】依题意，抛物线2:4Cyx=

的焦点(1,0)F，显然，直线l不垂直于y轴，则设直线l的方程为1xmy=+，将1xmy=+代入24yx=，整理得2440ymy−−=，设()11,Pxy，()22,Qxy，则124yym+=，124yy=−，因20FPFQ+=，则122yy=−

，的因此18ym=，24ym=−，则2324m−=−，即218m=，于是得12yy−=()212124yyyy+−2161632m=+=，OPQ△的面积为1211||13222SOFyy=−==322，所以OPQ△的面积为322.故答案为：322【

点睛】思路点睛：过定点的直线与抛物线相交，结合条件设出直线方程，与抛物线方程联立，借助韦达定理即可计算解决问题.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.半径为3的圆

C过点()1,1A−，圆心C在直线2yx=上且圆心在第一象限．（1）求圆C的方程；（2）过点()4,3作圆C的切线，求切线的方程．【答案】（1）()()22129xy−+−=（2）40x−=或43250xy+−=【解析】【分析】（1）通过圆心在

直线上，且在第一象限设出圆心的坐标，再利用圆上的点到圆心的距离等于半径求出圆心，进而可得圆的方程.（2）先判断出点在圆外，再通过切线斜率存在与不存在两种情况借助圆心到切线的距离等于半径求切线方程.【小问1详解】设圆心为()(),20Caaa，则()()222

1215223rCAaaaa==−++=++=，解得1a=，则圆C的方程为()()22129xy−+−=.故答案为：()()22129xy−+−=.【小问2详解】点()4,3在圆外，①切线斜率不存在时，切线方程为4x=，圆

心到直线的距离为413dr=−==,满足条件.②切线斜率存在时，设切线():34lykx−=−，即430kxyk−−+=,则圆心到切线的距离224331kkdk−−+==+，解得43k=−，则切线的方程为：43250xy+−=.故答案

为：40x−=或43250xy+−=.18.已知数列na的前n项和为nS，111a=−，29a=−，且()11222nnnSSSn+−+=+．（1）求数列na的通项公式；（2）已知11nnnbaa+=，求数

列nb前n项和nT．【答案】（1）213nan=−（2）12122nn−【解析】【分析】（1）根据1nnnaSS−=−以及()11222nnnSSSn+−+=+可得该数列是等差数列，然后根据等差

数列的1a、d写出数列的通项公式即可.（2）有题意可知()()1213211nbnn=−−，然后根据裂项求和即可求得nT.【小问1详解】解：由题意得：由题意知()()112nnnnSSSS+−−−−=，则()122nnaan+−=又212aa−=

，所以na是公差为2的等差数列，则()11213naandn=+−=−；【小问2详解】由题知()()11112132112213211nbnnnn==−−−−−则11111111112119972132112

11211nTnnn=−++−+++−=−−−−−的12122nn=−19.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，2cos2cAab−=.（1）求C；（2）若4ab==，D是AB边上一点，且ACD的面积为3，

求sinBDC.【答案】（1）2π3C=；（2）277．【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化为角可得2sincossin2sinCAAB−=，将sinB用()sinAC+替换，结合两角和与差的公式可得结果；（2）先由正弦定理求出AD，再由

余弦定理求出CD，在ACD中，根据正弦定理求出sinADC，从而根据角度互补可得结果.【小问1详解】根据正弦定理，2cos2cAab−=等价于2sincossin2sinCAAB−=．又因为在ABC中，()()sinsinπsinB

ACAC=−−=+sincoscossinACAC=+．故2sincossin2sincos2cossinCAAACAC−=+，从而sin2sincosAAC−=，因为()0πA，，所以sin0A，得1cos2C

=−，因为()0πC，，所以2π3C=；【小问2详解】由4ab==，可得π6AB==，因为1sin2ACDSACADA=3=，所以3AD=．根据余弦定理，得22222π2cos34234cos76CDADACADACA=+−=+−=，即7CD=．

在ACD中，根据正弦定理有sinsinCDACAADC=，得227sin77ADC==．因为πBDCADC+=，故27sin7BDC=．20.如图，已知四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且90,45,2,2,1DABABCCBA

BPA=====．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若M是PC的中点，求三棱锥CMAD−的体积．【答案】（1）证明见解析（2）112【解析】【分析】（1）利用勾股定理证明BCAC⊥，由PA⊥平面ABCD，可得PABC⊥．从而可证得BC⊥平面:PAC

（2）在直角梯形ABCD中，过C作CEAB⊥于点E，则四边形ADCE为矩形，AEDC=，ADEC=．求得CE，计算ACD的面积，根据M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半，求得棱锥的高，代入体积公式计算．【详解】解：（1）证明：PA⊥平面ABCD，∴PABC⊥在

ABC中，2,2,45ABBCABC===依余弦定理有：2222(2)222cos452AC=+−=，∴2AC=又222224ACBCAB+=+==，∴90ACB=，即ACBC⊥又PAACA=，∴BC⊥平面

PAC（2）在直角梯形ABCD中，过C作CEAB⊥于点E，则四边形ADCE为矩形，AEDC=，ADEC=．在RtCEB中，可得2cos45212BEBC===，2sin45212CEBC===，211AEABBE=−=−=1111122

2ADCSDCCE===．，M是PC的中点，M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半，111111()3232212CMADMACDACDVVSPA−−====．【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了三棱锥的换底性及棱锥的体积公

式，涉及知识较多，对学生的推理论证能力有一定的要求，属于中档题．21.已知抛物线2:Cyx=，直线l与抛物线C交于A，B两点，且OAOB⊥，O是坐标原点．（1）证明：直线AB过定点．（2）求AOB面积的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2

）1.【解析】【分析】（1）设()11,Axy，()22,Bxy，直线AB的方程ykxm=+与抛物线2:Cyx=联立，得出韦达定理，由OAOB⊥得0OAOB=，代入韦达定理即可.（2）先表示三角形的面积1212AOBSxx=−△，韦达定理代

入，求最值即可.【小问1详解】证明：易知直线AB的斜率存在且不过原点，设直线AB的方程为ykxm=+，0m，()11,Axy，()22,Bxy，联立方程组2,,ykxmyx=+=可得20xkxm−−=，则12xxk+=，12xxm=−．

因为OAOB⊥，所以()22121212120OAOBxxyyxxxxmm=+=+=−+=，解得0m=（舍去）或1m=，所以直线AB的方程为1ykx=+，过定点(0,1)；【小问2详解】由（1）知()22121212111144222AOBSxxxx

xxk=−=+−=+△，所以当0k=时，AOB的面积取得最小值，且最小值为1，即AOB面积的最小值为1．22.已知椭圆C：22213xya+=（3a）的左、右焦点为1F、2F，离心率为12，点G与2F关于直线l：1yx=+

对称.（1）求直线1FG被椭圆C所截得的弦长；（2）是否存在直线1l：12yxb=−+与椭圆C交于不同的两点M，N，使得直线GM、GN关于1FG所在直线对称？若存在，求出直线1l的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）3；

（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）首先根据离心率求出椭圆方程，利用点与点关于直线的对称问题得到G点坐标，以此写出直线1FG方程，弦长得求.（2）因为直线GM、GN关于1FG所在直线对称，所以得出0GMGNkk+=，设出()11,Mxy，()22,Nxy，利用直线MN与椭圆方程联

立及韦达定理求得b值再检验.【详解】（1）由题意，2312caaa−==，2a=，所以椭圆方程为22143xy+=.设点(),Gxy与()21,0F关于直线l：10xy−+=对称，所以1102211xyyx+−+=

=−−，所以12xy=−=，故()1,2G−，则直线1FG的方程为=1x−，所以直线1FG与椭圆C的两个交点坐标为31,2−，31,2−−，故弦长为3.（2）由条件知直线GM，GN的斜率存在且不为0，设()11,Mx

y，()22,Nxy，直线MN的方程为12yxb=−+，由椭圆方程22143xy+=与直线l方程联立消去y，整理得2230xbxb−+−=，()222431230bbb=−−=−，22b−①，12xxb+=，2123xxb=−，12122211GMGNy

ykkxx−−+=+++()()()()()()122112212111yxyxxx−++−+=++()()()()2121121212222211xyxyxyxyxx−+−+−+−=++()()212112121211112222222211x

xbxxbxxbxxbxx−+−−+−+−+−−+−=++()()()121212524211xxbxxbxx−+−++−=++()()12112011bxx−−==++，故2b=−，不满足条件①，综上，不存在直线1l：12yxb=−+

满足条件.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，椭圆与直线位置关系中的弦长问题，直线与直线的对称问题转化为斜率问题，属于常规题.