【文档说明】四川省南充市白塔中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学（理）试题 含解析.docx，共(16)页，783.525 KB，由管理员店铺上传

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白塔中学高2021级高一下（期中）数学试题（理）第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列23，45，6

7，89，的一个通项公式为（）A.11nnan−=+B.121nnan−=+C.2(1)21nnan−=−D.221nnan=+【答案】D【解析】【分析】根据已知项找规律可得选项.【详解】解：根据题意，数列23，45，67，89，，有12122113a==+，22242215a

==+，32362317a==+，42482419a==+，依次类推：221nnan=+.故选：D.2.sin75cos15sin15cos75−值是（）A.0B.12C.32D.12−【答案】C【解析】【分析】由两角差的正弦公式化简后求解【详解】3sin75cos15si

n15cos75sin(7515)2−=−=．故选：C3.若向量(1,3)=−a，(3,8)b=−，则()2ab−=（）A.()4,10−B.()2,5−C.()4,5D.()8,10【答案】A的【解析】【分析】利用向量的坐标运算即

可求解.【详解】∵(1,3)=−a，(3,8)b=−，∴()()22(2,5)4,10ab−=−=−.故选：A.4.已知na为等差数列，且1713πaaa++=，则()212tanaa+的值为（）A.3B.3−C.3D.33−【答案】B【解析】【分析

】根据等差数列的性质求出7a的值，即可求解.【详解】因为na为等差数列，所以171373πaaaa++==，可得7π3a=，所以()21272πtantan2tan33aaa+===−，故选：B.5.已知ABC中，4c=，43b=，30C=，则

角A等于（）A.90B.60或120C.30D.30或90【答案】D【解析】【分析】由正弦定理得到3sin2B=，求出角B，进而求出角A.【详解】由正弦定理sinsinbcBC=得：434sinsin30B=，解得：3sin2B=，因为()0,180B，且bc

，故60B=或120，均符合要求，所以角A的度数为30或90°.故选：D6.已知6a=，3b=，向量a在b方向上投影是4，则ab为（）A.12B.8C.-8D.2【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积几何意义即可求解.【详解】解：设两个向量的夹角为，由题意已知6a=，3b＝

，向量a在b方向上投影是4，则4abb=，所以412abb==；故选：A.7.已知ABC的内角、、ABC的对边分别为abc、、，若ABC的面积为2224cab−−，则C=（）A.6B.4C.2D.34【答案】D【解析】【分析】根据三角形面积公式列出

相应等式，结合余弦定理化简，即可得到答案.【详解】由题意可得：2221sin24cababC−−=，即1sico2ns2abCabC=−，则tan1=−C，由于(0,)C，故34C=,故选：D8.已知,,abc

分别是ABC的内角,,ABC的的对边，若coscAb，则ABC的形状为（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【答案】A【解析】【分析】由已知结合正弦定理可得sinsincosACB利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin()sinc

osABBA+整理可得sincossincossincosABBABA+从而有sincos0AB结合三角形的性质可求【详解】解：A是ABC的一个内角，0A，sin0cosAcAb由正弦定理可得，sinsincosCBAsin()sincossincossinco

ssincossincos0ABBAABBABAAB++又sin0A，cos0B，即B为钝角，故选A．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题．9.若是第二象限角，5tan312+=

−，则sin26+=（）A.120169B.119169C.120169−D.119169−【答案】D【解析】【分析】设π3+=，可得ππ2262+=−，可将本题转化为，已知tan，求πsin22−，进而利用诱导公式、二倍角公式，

求解即可.【详解】解：设π3+=，则ππ2262+=−，则5tan12=−，所以22sin5cos12sincos1=−+=，解得225sin169=，所以ππsin2sin2cos2

62+=−=−()22511912sin12169169=−−=−−=−.故选：D.10.如图，在AOB中，2AOB=，4OA=，2OB=，点C为AB的中点，13OPOC=，则OPBP的值为（）A

19B.19−C.23D.23−【答案】B【解析】【分析】由平面向量的运算法则分解，根据数量积的运算律求解【详解】由题意得111111()332266OPOCOAOBOAOB==+=+，而1566BPBOOPOAOB=+=−，而OAOB⊥，

则0OAOB=,故2211195)()66661516201(36363636OPBPOAOOAOBOABOB=−=−+==−−．故选：B11.在ABC中,,abc分别是,,ABC的对边，1cos()2AB+=−，若3c=且sin

sin26sinsinABAB+=，则ABC的面积为（）A.338B.334C.32D.2【答案】B【解析】【分析】由三角形内角和定理及诱导公式可得1cos2C=，3sin2C=，再利用正弦定理，将已知等式中的角化边，可得2abab+=，然后利用余弦定理，可得ab的值

，最后由三角形的面积公式in12sSabC=即可求解．.【详解】解：在ABC中，由1cos()2AB+=−，即1cos()2C−=−，1cos2C=，(0,)C，23sin1cos2CC=−=，由正

弦定理得323sinsinsin32abcABC====，sin23aA=，sin23bB=，sinsin26sinsinABAB+=，2623232323abab+=，化简得2abab+=，又由余弦定理得2222212cos

()22()32cababCababababab=+−=+−−=+−，()2923abab=−，即22()390abab−−=，解得3ab=或32−（舍），ABC的面积11333sin32224SabC===．故选：B．12.设锐角ABC的内角,,A

BC所对的边分别为,,abc，若,33Aa==，则2b2cbc++的取值范围为（）A.(1，9]B.(3，9]C.(5，9]D.(7，9]【答案】D【解析】【分析】由正弦定理求出22sin,2sin3bBcB==−，再由余弦定理可得2b2cbc++28sins

in33BB=−+，化为54sin26B+−，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.【详解】因为,33Aa==，由正弦定理可得322sinsin3sin32abcABB====−，则有2

2sin,2sin3bBcB==−，由ABC的内角,,ABC为锐角，可得0,220,32BB−，512sin2124sin2462666266BBBB

−−−，由余弦定理可得222222cos3,abcbcAbcbc=+−=+−因此有2223bcbcbc++=+28sinsin33BB=−+243sincos4sin

3BBB=++23sin22cos25BB=−+(54sin27,96B=+−故选：D.【点睛】方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对

角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知平面向量(1,2)a=，(2,)bm=−，

且a//b，则23ab+＝．【答案】(-4,-8)【解析】【详解】由ab∥，然后根据平面向量共线（平行）的坐标表示建立等式即，求出，然后根据平面向量的坐标运算()232(1,2)3(2,4)4,8ab+=+−−=−−．14.已知ABC的内角A，B，

C的对边分别为a，b，c且2cos2bCac=+，若3b=，则ABC的外接圆面积为_________.【答案】3【解析】【分析】由已知利用余弦定理可求cosB的值，结合B的范围可求B的值，利用正弦定理

可求三角形的外接圆的半径即可计算得解ABC的外接圆面积．【详解】解：2cos2bCac=+，2222cos22acabcCbab++−==，可得：222acbac+−=−，2221cos22acbBac+−

==−，由(0,)B，可得：23B=，设ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得：32sin32bRB==，解得3R=，可得ABC的外接圆面积为23SR==．故答案为：3．15.若向量(1,1)a=与,2()b=−的夹角为钝角，则的取值范围是__

_______．【答案】(,2)(2,2)−−−；【解析】【分析】根据题意，由向量数量积的性质可得2021ab=−−，解可得答案．【详解】解：根据题意，若a与b的夹角为钝角，则0ab且a与b的方向不相反，则有2021ab=−−

，解可得2且2−，即的取值范围是()(),22,2−−−；故答案为：()(),22,2−−−．16.在ABC中，176,8,cos32ABBCABC===，点,MN在边AC上运动，且1MN=，点P满足12BPBM=，则PNBP的最小值为__________【答案】131

16##3816【解析】【分析】根据向量的线性运算及数量积的运算性质可知所求为21144BN−的最小值，转化为求三角形边上的高，利用余弦定理及，面积公式求解即可.【详解】取BN的中点R，连结PR，如图,222211

()()(2)44PNBPPNPBPNPBPNPBPRBN→→→→→→→=−=−+−−=−−22222111111()424444BNMNBNMNBN=−=−=−,当BNAC⊥时，2BN最小，由余弦

定理可知222222co1768268932s4AACABBCABBCBC=+−=+−=，即7AC=，又17cos32ABC=，所以2s5i713nABC=，设ABC边AC上的高为h，则11sin22ABBCABCACh=，解得3152h=，()2

2minmin1111131444416PNBPBNh→→=−=−=，即此时最小值为13116.故答案为：13116三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1

7.已知平面向量(2,2),(,1)abx==−.(1)若//ab,求x的值;(2)若(2)aab⊥−,求a与b的夹角的余弦值.【答案】(1)=1x−.(2)55【解析】【分析】(1)利用向量平行的坐标表示，列方程

求解；(2)根据平面向量垂直的坐标表示列方程求出x，再计算a与b所成夹角的余弦值.【详解】(1)平面向量(2,2),(,1)abx==−，若//ab,则2(1)20x−−=，解得=1x−；(2)若(2)aab⊥−,则2(2)20aabaab−=−=，即()22222(22)0x+

−−=,解得3x=，∴(3,1)b=−，∴a与b的夹角的余弦值为2222232(1)55||||223(1)abab+−==++−.【点睛】本题考查了平面向量的共线定理与数量积应用问题，是基础题.18.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已

知sin()sin2BCaABc++=（1）求A；（2）若2a=，ABC的周长为6，求ABC的面积.【答案】（1）3A=（2）3【解析】分析】（1）利用诱导公式及正弦定理将边化角，再利用二倍角公式计算可得；（2）由余弦定理得到224bcbc=+−，即

24()3bcbc=+−，再根据三角形的周长，即可求出bc，最后【根据面积公式计算可得；【小问1详解】解：由ABC++=可得sin()sin()sinABCC+=−=，sinsincos222BCAA+

−==，又sin()sin2BCaABc++=，得sincos2AaCc=，由正弦定理得sinsinsincos2AACC=，因sin0C，所以sincos2AA=，则2sincoscos222AAA=

，因022A，所以cos02A所以1sin22A=，即26A=，则3A=．【小问2详解】解：在ABC中，由余弦定理2222cosabcbcA=+−得：224bcbc=+−变形得：24()3bcbc=+−因为ABC的周长为6，所以4bc+=，代入

上式得：4bc=.故ABC的面积为1sin32bcA=.19.已知1(,sincos)2axx=，2(4sin2,23)bx=−，()fxab=，（1）求函数()fx的最小正周期和对称轴方程；（2）求函数

()fx在区间20,3上的值域.【答案】（1）T=，32kx=+，Zk（2）[1,2]−【解析】【分析】（1）由数量积的坐标运算，三角恒等变换公式化简后，根据三角函数性质求解（2）根据三角函数性质求解【小问1

详解】2()2sin123sincos3sin2cos22sin(2)6fxabxxxxxx==−+=−=−，()fx的最小正周期22T==.由262xk−=+，Zk，解得32kx=+，Zk故函数()fx的对称轴方程为32kx=+，Zk.【小问2详解】当20,3x

时，72,666x−−，当7266x−=时，函数()fx取得最小值为72sin16=−.当226xππ−=时，函数()fx取得最大值为2sin22=.所以函数()fx在区间20,3上的值域为[1,2]−.20.已知函数()

xfxaxb=+（a，b为常数，0a），(2)1f=，且()fxx=有唯一的解.（1）求()fx的表达式；（2）记*1(()2,)nnxfxnnN−=，且11x=，证明数列1nx是等差数列并求出nx.【答案】（1）2()2xfxx=+（2

）证明见解析，21nxn=+【解析】分析】（1）由题意列方程组求解（2）由递推公式化简，构造数列1nx后证明【小问1详解】2(2)112fab==+，即22ab+=①()xfxxxaxb==+，即20axbxx+−=有唯一解，则2(1)0b=−=，所以1b=②【将②代

入①得12a=，故2()1212xxfxxx==++.【小问2详解】当11x=时，()11122nnnnxxfxx−−−==+（2n，且*Nn），由（1）可知0nx，则111211122nnnnxxxx−−−+==+，即11112nnxx−−=，

故1nx是首项为1，公差为12的等差数列，所以1111(1)22nnnx+=+−=，即21nxn=+21.设函数2()cos(2)sin3fxxx=++．（1）求函数()fx的单调递减区间；（2）若π0π2，()142f

−=，()02f+=，求cos的值．【答案】（1）[,]()44kkkZ−++；（2）223【解析】【详解】试题分析：（1）利用两角和的余弦公式以及及二倍角余弦公式将()fx展开合并可得()13sin222fxx=−，利用正弦函数的单调性列出不等式可得函数()fx的单调递减区间；（

2）利用化简结果及1,0422ff+−==，求出3cos3=−，()3sin3+=，结合角的范围解出(),cossin+，使用差角的余弦公式计算即可得结果.试题解析：（1）()2cos2sin3fxxx

=++1cos213cos2cossin2sinsin233222xxxx−=−+=−．当22222kxk−++，即,44xkk−++()kZ时sin

2x递增，()fx递减．所以，函数()fx的单调递减区间为()44k,kkZ−++．（2）由142f−=，02f+=，得3cos3=−，()3sin3+=，∵π0π2

，则3,22+，∴216sin1cos133=−=−=．()()216cos1sin133+=−−+=−−=−．∴coscos()cos()cossin()sin=+−=+++633622()()3333

3=−−+=．【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的恒等变换，属于中档题.sin()yAx=+的函数的单调区间的求法：(1)代换法：①若0,0A,把x+看作是一个整体，由22kx++()

322kkZ+求得函数的减区间，2222kxk−+++求得增区间；②若0,0A,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.

22.在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知sinsinsinABacCab−−=+．（1）求角B的值；（2）若△ABC为锐角三角形，且2c=，求△ABC的面积S的取值范围．【答案】（1）60°；（2）3,232

﹒【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合正弦定理角化边和余弦定理即可求出cosB及B；(2)根据B=60°和三角形是锐角三角形可求A=120°-C且3090C，利用正弦定理用sinA和sinC表示出a边，利用三角函数值域求出a的范围，根据13

sin22ABCSacBa==△即可求三角形面积的范围．【小问1详解】∵sinsinsinABacCab−−=+，∴由正弦定理得abaccab−−=+，即()()()ababcac−+=−，即222abacc−=−，即222acbac+−=，由余弦定理得2221cos22acb

Bac+−==，∵()0,180B，∴60B=；小问2详解】∵B=60°，∴120AC+=，即A=120°-C，又∵2c=，∴由正弦定理得()2sin120sin3cossin31sinsinsintanCcAC

CaCCCC−+====+，∴133sinsin60122tanABCSacBaC===+△，∵△ABC为锐角三角形，∴090090120ACAC=−，解得3090C，从而3tan,3C+

，∴3,232S．【