【文档说明】高中新教材人教A版数学课后习题 选择性必修第三册 第七章 7-3-2　离散型随机变量的方差含解析【高考】.doc，共(10)页，683.000 KB，由小赞的店铺上传

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17.3.2离散型随机变量的方差A组1.已知随机变量ξ的分布列为ξ1234P则D(ξ)的值为()A.B.C.D.解析:E(ξ)=1×+2×+3×+4×,D(ξ)=.答案:C2.随机变量X的分布列如表所示.X12

3P0.5xy若E(X)=,则D(X)等于()A.B.C.D.解析:由所以D(X)=.答案:D23.甲、乙两台自动机床各生产同种产品1000件,ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数,η表示乙车床生产1000件产品中的次品

数,经过一段时间的考察,ξ,η的分布列分别为甲机床生产次品数的分布列ξ0123P0.700.20.1乙机床生产次品数的分布列η0123P0.60.20.10.1据此可判定()A.甲比乙质量好B.乙比甲质量好C.甲与乙质量相同D.无法判定解析:由随机变量ξ与η的分布列,可得甲机床生产的次品数均

值为E(ξ)=0.7,乙机床生产的次品数均值为E(η)=0.7,进而得D(ξ)=(0-0.7)2×0.7+(1-0.7)2×0+(2-0.7)2×0.2+(3-0.7)2×0.1=1.21,D(η)=(0-0.7)

2×0.6+(1-0.7)2×0.2+(2-0.7)2×0.1+(3-0.7)2×0.1=1.01.由于E(ξ)=E(η),D(ξ)>D(η),故乙比甲质量好.答案:B4.编号为1,2,3的3名同学随意坐入编号为1,2,3的3个座位,每名同学坐一个座位,设与座位编号相同的

学生人数是X,则X的方差为()A.B.C.D.1解析:X的可能取值为0,1,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=3)=,则E(X)=0×+1×+3×=1,D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(3-1)2×=1.答案:D5.抛掷一枚硬币,规定正面朝上得

1分,反面朝上得-1分,则得分X的均值与方差分别为()A.E(X)=0,D(X)=1B.E(X)=,D(X)=3C.E(X)=0,D(X)=D.E(X)=,D(X)=1解析:由题意知,随机变量X的分布列为X1-1P0.50.5所以E(X)=1×0.5+(-

1)×0.5=0,D(X)=(1-0)2×0.5+(-1-0)2×0.5=1.答案:A6.(多选题)已知甲盒中有大小、质地相同的2个红球,1个黄球,乙盒中有1个红球,2个黄球.从甲、乙两个盒中各取1球放入原来为空的丙盒

中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球,设红球的个数为Xi(i=1,2,3)(从甲、乙、丙三个盒子取出分别对应i=1,2,3),则()A.X1,X2,X3的所有可能取值均为0,1B.X1,X2,X3服从两点分布C

.E(X1)<E(X3)<E(X2)D.D(X1)>D(X2)>D(X3)解析:依题意得,X1的可能取值为0,1,且P(X1=0)=,P(X1=1)=×1+,所以随机变量X1的分布列为X101PX1服从两点分布,

所以E(X1)=,D(X1)=.同理,X2的可能取值为0,1,且P(X2=0)=×1=,P(X2=1)=,所以随机变量X2的分布列为X201P4X2服从两点分布,所以E(X2)=,D(X2)=.X3的可能取值为0,1,且P(X3=0)=××1=

,P(X3=1)=××1=,所以随机变量X3的分布列为X301PX3服从两点分布,所以E(X3)=,D(X3)=.所以E(X1)>E(X3)>E(X2),D(X1)=D(X2)<D(X3).故AB正确.答案:AB7.已知随机变量X的分布列为X-101P若η=2X+2,则

D(η)的值为.解析:E(X)=-1×+0×+1×=-,可得D(X)=,从而D(η)=D(2X+2)=4D(X)=.答案:8.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别

为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.解:(1)根据题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.5因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.

2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ,η的分布列分别为ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)中ξ,η的分布列可得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.

1+7×0.1=9.2(环),E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7(环),D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,D(η)=

(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.因为E(ξ)>E(η),所以甲平均射中的环数比乙高;又因为D(ξ)<D(η),所以甲射中的环数比乙集中,比较稳定.所以甲的射击技术比乙的好.9.在一轮投篮练习中,每名选手最

多可投篮4次,现规定一旦命中即停止该轮练习,否则一直试投到4次为止.已知一选手的投篮命中率为0.7,求一轮练习中该选手的实际投篮次数ξ的分布列,并求ξ的数学期望与方差.(结果精确到0.001)解:ξ的可能取值

为1,2,3,4.ξ=1表示第一次即投中,则P(ξ=1)=0.7;ξ=2表示第一次未投中,第二次投中,则P(ξ=2)=(1-0.7)×0.7=0.21;ξ=3表示第一、二次未投中,第三次投中,则P(ξ=3)=(1-0.7)2×0.7=0.063;ξ=4表示前三次未投中,则P(ξ=4)=(1-0.

7)3=0.027.因此ξ的分布列为ξ1234P0.70.210.0630.027E(ξ)=1×0.7+2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.417.D(ξ)=(1-1.417)2×0.7+(2-1.417)2×0.21+(3-1.417)2×0.063+(4

-1.417)2×0.027≈0.531.B组1.已知随机变量ξ的分布列如表所示,则随机变量ξ的方差D(ξ)的最大值为()6ξ012Py0.4xA.0.72B.0.6C.0.24D.0.48解析:由题意知x≥0,y

=0.6-x≥0,故0≤x≤0.6.因为E(ξ)=0.4+2x,E(ξ2)=0.4+4x,所以D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=0.4+4x-(0.4+2x)2=-4x2+2.4x+0.24,当x=0.3时,D(ξ)max=0.6.答案:B2.随机变量ξ的分布列如下表:ξnn+1n

+2Pabc其中a,b,c成等差数列,则D(ξ)()A.与n有关,有最大值B.与n有关,有最小值C.与n无关,有最大值D.与n无关,有最小值解析:由题意得,a+c=2b,a+b+c=1,解得b=.E(ξ)=na+(n+1)b+(n+2)c=n(a+b+c)+b+2c=n+b+2c,E(ξ2)=

n2a+(n+1)2b+(n+2)2c,则D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=n2a+(n+1)2b+(n+2)2c-(n+b+2c)2=-4c2+c+,所以D(ξ)与n无关,且当c=时,D(ξ)有最大

值.答案:C3.已知ξ是离散型随机变量,P(ξ=x1)=,P(ξ=x2)=,且x1<x2,又已知E(ξ)=,D(ξ)=,则x1+x2的值为()7A.B.C.3D.解析:由E(ξ)=,D(ξ)=,得解得因为x1<x2,所以所以x1+x2=3.答案

:C4.(多选题)已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试.设该同学通过考试的高校个数为随机变量X,则()A.

X的可能取值为0,1B.X服从两点分布C.E(X)=D.D(X)=解析:由已知得X的可能取值为0,1,且服从两点分布.P(X=0)=,P(X=1)=,则E(X)=,D(X)=.故选ABCD.答案:ABCD85.设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X,则=.解析:由题意得X

的分布列为X123456P所以E(X)=(1+2+3+4+5+6)×,D(X)=E(X2)-(E(X))2=1×+4×+9×+16×+25×+36×.所以.答案:6.袋中有20个大小、质地相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一

球,X表示所取球的记号.(1)求X的分布列、数学期望和方差;(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,求a,b的值.解:(1)X的分布列为X01234PE(X)=0×+1×+2×+3×+4×.D(X)=.(2)由D(Y)=a2D(X

),即a2×=11,得a=±2.∵E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b,9∴当a=2时,由1=2×+b,得b=-2;当a=-2时,由1=-2×+b,得b=4.∴7.根据以往经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:降水量X

X<5050≤X<100100≤X<250X≥250工期延误天数Y02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于50mm,100mm,250mm的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:(1)工期延误天数Y的

均值与方差;(2)在降水量至少是50mm的条件下,工期延误不超过6天的概率.解:(1)由已知可得P(X<50)=0.3,P(50≤X<100)=P(X<100)-P(X<50)=0.7-0.3=0.4,P(100≤X<250)=P(X<250)-P

(X<100)=0.9-0.7=0.2,P(X≥250)=1-P(X<250)=1-0.9=0.1,所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+

(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.(2)由概率的加法公式,得P(X≥50)=1-P(X<50)=0.7,P(50≤X<250)=P(X<250)-P(X<50)=0.9-0.3=0.6.由条件概率

公式,得P(Y≤6|X≥50)=P(X<250|X≥50)=.故在降水量X至少是50mm的条件下,工期延误不超过6天的概率是.8.投资A,B两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析,X1和X2的分布列分别为投资A项目的利润率分布列10X15%10%P0.80.2投资B项目的利润率

分布列X22%8%12%P0.20.50.3(1)若在A,B两个项目上各投资100万元,Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x

)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出当x为何值时,f(x)取得最小值.解:(1)由题意知,Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)=5×0.8+10×0.2=

6,D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4;E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.(2)f(x)=D+D=D(Y1)+D(Y

2)=[x2+3(100-x)2]=(4x2-600x+3×1002).所以,当x=75时,f(x)取得最小值3.