【文档说明】《（2020-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》三年专题14 概率与统计（选择题、填空题）（理科专用）（教师版）【高考】.docx，共(13)页，356.532 KB，由小赞的店铺上传

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三年专题14概率与统计（选择题、填空题）（理科专用）1．【2022年全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为𝑝1,𝑝2,𝑝3，

且𝑝3>𝑝2>𝑝1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析

】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率𝑝甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率𝑝乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率𝑝丙.并对三者进行比较即可解决【

详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为𝑝甲则𝑝甲=2(1−𝑝2)𝑝1𝑝3+2𝑝2𝑝1(1−𝑝3)=2𝑝1(𝑝2+𝑝3)−4𝑝1𝑝2𝑝3记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为𝑝乙则

𝑝乙=2(1−𝑝1)𝑝2𝑝3+2𝑝1𝑝2(1−𝑝3)=2𝑝2(𝑝1+𝑝3)−4𝑝1𝑝2𝑝3记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为𝑝丙则𝑝丙=2(1−𝑝1)𝑝3𝑝2+2

𝑝1𝑝3(1−𝑝2)=2𝑝3(𝑝1+𝑝2)−4𝑝1𝑝2𝑝3则𝑝甲−𝑝乙=2𝑝1(𝑝2+𝑝3)−4𝑝1𝑝2𝑝3−[2𝑝2(𝑝1+𝑝3)−4𝑝1𝑝2𝑝3]=2(𝑝1−𝑝2)𝑝3<0𝑝乙−𝑝丙=2�

�2(𝑝1+𝑝3)−4𝑝1𝑝2𝑝3−[2𝑝3(𝑝1+𝑝2)−4𝑝1𝑝2𝑝3]=2(𝑝2−𝑝3)𝑝1<0即𝑝甲<𝑝乙，𝑝乙<𝑝丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，𝑝最大.选

项D判断正确；选项BC判断错误；𝑝与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D2．【2022年新高考1卷】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．23【答案】D【解析】【分析】由古

典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C72=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7种，故所求概率𝑃=21−721=23.故选：D.

3．【2021年甲卷理科】已知12,FF是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且121260,3FPFPFPF==，则C的离心率为（）A．72B．132C．7D．13【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF

PF，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PFPF=，由双曲线的定义可得12222PFPFPFa−==，所以2PFa=，13PFa=；因为1260FPF=,由余弦定理可得2224923cos60caaaa=+−，整理可得2247ca=，所以22274ace==，即72e=.

故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,ac间的等量关系是求解的关键.4．【2021年甲卷理科】将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．13B．25C．23D．45【答案】C【解析】【分析】

采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C=种排法，若2个0不相邻，则有2510C=种排法，所以2个0不相邻的概率为10251

03=+.故选：C.5．【2021年乙卷理科】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A．79B．2332C．932D．29【答案】B【解析】【分析】设从区间()()0,1,1

,2中随机取出的数分别为,xy，则实验的所有结果构成区域为(),01,12xyxy=，设事件A表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4Axyxyxy=+，分别求出,A对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所

示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,xy，则实验的所有结果构成区域为(),01,12xyxy=，其面积为111S==．设事件A表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,

4Axyxyxy=+，即图中的阴影部分，其面积为13323124432AS=−=，所以()2332ASPAS==．故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件,A对应的区域面积，即可顺利解出．

6．【2021年新高考1卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之

和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立【答案】B【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6

636366PPPP=====甲，乙，丙，丁，，1()0()()()()()36PPPPPP===甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36PPPPPP==乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B【点睛】判断事件,AB是否独立，先计算对应概

率，再判断()()()PAPBPAB=是否成立7．【2021年新高考2卷】某物理量的测量结果服从正态分布()210,N，下列结论中不正确的是（）A．越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．

该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A，2为数据

的方差，所以越小，数据在10=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物

理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率

与落在()10,10.3的概率不同，故D错误.故选：D.8．【2020年新课标1卷理科】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i

ixyi=得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．yabx=+B．2yabx=+C．exyab=+D．lnyabx=+【答案】D【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】

由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是lnyabx=+.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.9．

【2020年新课标2卷理科】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积

压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名【答

案】B【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+−=，9001850=，故至少需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.10．【2020年新课标3卷理科】

在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,pppp，且411iip==，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A．14230.1,0.4pppp====B．14230.4,0.1pppp====C．14230

.2,0.3pppp====D．14230.3,0.2pppp====【答案】B【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A选项，该组数据的平均数为()()140.1230.42.5Ax=+++=，方差为()()()()2222

212.50.122.50.432.50.442.50.10.65As=−+−+−+−=；对于B选项，该组数据的平均数为()()140.4230.12.5Bx=+++=，方差为()()()()222

2212.50.422.50.132.50.142.50.41.85Bs=−+−+−+−=；对于C选项，该组数据的平均数为()()140.2230.32.5Cx=+++=，方差为()()()()2222212.50.222.50.332.50.34

2.50.21.05Cs=−+−+−+−=；对于D选项，该组数据的平均数为()()140.3230.22.5Dx=+++=，方差为()()()()2222212.50.322.50.232.50.242.50.31.45Ds=

−+−+−+−=.因此，B选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.11．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的

学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%【答案】C【解析】【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中

学学生喜欢足球或游泳”为事件AB+，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB，然后根据积事件的概率公式()PAB=()()()PAPBPAB+−+可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A

，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件AB+，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB，则()0.6PA=，()0.82PB=，()0.96PAB+=，所以()PAB=()()()PAPBPAB+−+0.60.820.960.46=+−=所以该中学既喜欢足球

又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.12．【2021年新高考1卷】有一组样本数据1x，2x，…，nx，由这组数据得到新样本数据1y，2y，…，ny，其中iiyxc=+(1,2,,),inc=为非零常数，则（）

A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A、C利用两组数据的线性关系有()()EyExc=+、()()Dy

Dx=，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.【详解】A：()()()EyExcExc=+=+且0c，故平均数不相同，错误；B：若第一组中位数为ix，则第二组的中位数为iiyxc=+，显然不相同，错误；C：()()()()DyDxDcDx=+

=，故方差相同，正确；D：由极差的定义知：若第一组的极差为maxminxx−，则第二组的极差为maxminmaxminmaxmin()()yyxcxcxx−=+−+=−，故极差相同，正确；故选：CD13．【2021年新高考2卷】下列统计量中，能度量样本12,,,nxxx的离散程

度的是（）A．样本12,,,nxxx的标准差B．样本12,,,nxxx的中位数C．样本12,,,nxxx的极差D．样本12,,,nxxx的平均数【答案】AC【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数

据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.14．【2020年新高

考1卷（山东卷）】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,,n，且1()0(1,2,,),1niiiPXipinp=====，定义X的信息熵21()logniiiHXpp==−.（）A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着1p的增大

而增大C．若1(1,2,,)ipinn==，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,,m，且21()(1,2,,)jmjPYjppjm+−==+=，则H(X)≤H(Y)【答案】AC【解析】【分析】对于A选项，求得()HX，由此判断出A选项；

对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出()HX，利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，计算出()(),HXHY，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项.【详解】对于A选项，若1n=，则11,1ip==，所以()()21log10HX=

−=，所以A选项正确.对于B选项，若2n=，则1,2i=，211pp=−，所以()()()121121Xlog1log1Hpppp=−+−−，当114p=时，()221133loglog4444HX=−+，当13p4

=时，()223311loglog4444HX=−+，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若()11,2,,ipinn==，则()222111logloglogHXnnnnn=−=−=，则()HX随着n的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若2nm

=，随机变量Y的所有可能的取值为1,2,,m，且()21jmjPYjpp+−==+（1,2,,jm=）.()2222111loglogmmiiiiiiHXpppp===−=122221222122121111loglogloglog

mmmmpppppppp−−=++++.()HY=()()()122221212122211111logloglogmmmmmmmmpppppppppppp−+−++++++++++1222212221222122112111

1loglogloglogmmmmmmpppppppppppp−−−=++++++++由于()01,2,,2ipim=，所以2111iimippp+−+，所以222111loglogiimippp+−+，所以222111loglogiii

imippppp+−+，所以()()HXHY，所以D选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.15．【2020年新高考2卷（海南卷）】我国新

冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C．第3天至

第11天复工复产指数均超过80%;D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判

定CD正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复

产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难

点在于指数增量的理解与观测，属中档题.16．【2022年全国甲卷】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】635.【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从正方

体的8个顶点中任取4个，有𝑛=C84=70个结果，这4个点在同一个平面的有𝑚=6+6=12个，故所求概率𝑃=𝑚𝑛=1270=635．故答案为：635．17．【2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布𝑁(2,�

�2)，且𝑃(2<𝑋≤2.5)=0.36，则𝑃(𝑋>2.5)=____________．【答案】0.14750．【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为𝑋∼𝑁(2,𝜎2)，所以𝑃(𝑋<2)=𝑃(𝑋>2)=0.5，因此𝑃(𝑋>2.5)=𝑃(𝑋>2

)−𝑃(2<𝑋≤2.5)=0.5−0.36=0.14．故答案为：0.14．