【文档说明】四川省内江市威远中学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题 含解析.docx，共(22)页，2.591 MB，由小赞的店铺上传

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威远中学高2021级高二下期半期考试数学（理）满分150分考试时间120分钟注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净

后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1

.命题“)20,2020cos0xxx+，-”的否定为（）A(2000,02020cos0xxx−−，B.)20000,2020cos0xxx+，-C)20000,2020cos0xxx+，-D.(2000,02020cos0xxx

−−，【答案】C【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为)20,2020cos0xxx+，-是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即)20000,2020cos0xxx+，-，故选：C2.双曲线22134xy−=的渐近线方程是（

）A.43yx=B.34yx=?C.233yx=D.32yx=【答案】C【解析】【分析】根据焦点在x轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可...【详解】根据双曲线22221xyab−=的渐近线方程：byxa=，知：22134xy−=的渐近线方程为

233yx=.故选：C.3.抛物线21xya=的准线方程是2y=，则实数a的值（）A.18−B.18C.8D.-8【答案】A【解析】【分析】根据准线方程列出方程，求出实数a的值.【详解】由题意得：124a−=，解得：18a=−.故选：A4.已知向量()()1,1,0,1,0,

2ab=−=，且kab+与2ab−互相垂直，则k=（）A.－114B.15C.35D.114【答案】D【解析】【分析】先求出,2kabab+−坐标，再利用()()20kabab+−=列方程求解即可.【详解】(

)()1,1,0,1,0,2ab=−=，()()1,,2,23,1,4kabkkab+=−+−=−−，又2kabab+⊥−，()()()()21,,23,1,43380kababkkkk+−=−+−−=−

+−=，解得114k=.故选：D.5.若椭圆2216xym+=的焦距为2，则离心率是（）A.77B.77或66C.77或55D.55的【答案】B【解析】【分析】根据椭圆标准方程分情况讨论m与6的关系，然后求解离心率即可.【详解】由题意知：22,1;cc==当6m时，

焦点在x轴上，此时22,6,61,7,7ambmma==−===，17;77cea===当06m时，焦点在y轴上，226,,61,5,abmmm==−==满足题意，此时6,a=16;66cea===故选：B6.若,lm是两条

不同的直线，m垂直于平面，则“lm⊥”是“//l”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】若lm⊥，因为m垂直于平面，则//l或l；若//l，又m垂直于平面，

则lm⊥，所以“lm⊥”是“//l的必要不充分条件，故选B．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．7.若双曲线C1：22x－28y＝1与C2：22xa－22yb＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为45，

则b＝（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】根据1C的方程求得渐近线的斜率，进而得到2C中的a,b的关系，结合已知焦距，可求得b的值.【详解】由1C的方程可知其渐近线斜率为822=,2C的渐近线斜率为ba,由于它们有相同的渐近线，∴2,

2bbaa＝＝，C2的焦距2c45＝，25c=又()222225cabaaa+=+=＝2a=，4b=，故选B.【点睛】根据两双曲线有相同的渐近线，利用渐近线的斜率相等得到,ab的关系是关键，双曲线的,,abc的平方关系为

222abc+=,椭圆的a,b,c的关系为222bca+=,一定要准确掌握.8.已知命题:R,cos1pxx；命题000:R,ee2xxqx−+，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.

()pqC.()pqD.()pq【答案】C【解析】【分析】根据余弦函数性质、基本不等式判断已知命题的真假，再确定对应否命题真假，进而判断各选项中复合命题的真假.【详解】由余弦函数性质知：p为真，又R,e22eeexx

xxx−−+=，当且仅当0x=时等号成立，故q为假，所以p为假，q为真，综上，pq为假，()pq为假，()pq为真，()pq为假.故选：C9.设F为抛物线2:4Cyx=焦点，点A在C上，点

()4,0B，若AFBF=，则AB的中点到y轴的距离是（）A.2B.22C.3D.32【答案】C【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.的【详解】解：由题意得，()1,0F，则3AFB

F==，所以，由抛物线的定义得点A到准线=1x−的距离为3，所以点A的横坐标为132−+=，不妨设点A在x轴上方，代入抛物线方程得，()2,22A，所以AB的中点坐标为()3,2，到y轴的距离是3.故选：C10.已知正方体1111ABCDABCD−，O为底面ABCD的中心，M，N分别为

棱11AD，1CC的中点.则异面直线1BM与ON所成角的余弦值为A.55B.105C.1515D.2515【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出向量1BM和ON的坐标，然后利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】以D为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱

长为2，所以有1(0,0,0),(1,1,0),(2,2,2),(1,0,2),(0,2,1)DOBMN，因此1(1,2,0)BM=−−，(1,1,1)ON=−，设异面直线1BM与ON所成角为，所以12222

221(1)(1)(2)10115cos15(1)(2)0(1)11BMONBMON−−+−+===−+−+−++.故选：C【点睛】本题考查了利用空间向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了数学运算

能力.11.已知双曲线()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，过1F且斜率为ab的直线l与双曲线的右支交于点P，与其中一条渐近线交于点M，且有13PMMF=，则双曲线的渐近线方程为（）A.43yx=B.35yx=C.255yx=D.

63yx=【答案】A【解析】【分析】写出直线l方程，求出它与一条渐近线byxa=−的交点M的坐标，由13PMMF=可求得P点坐标，代入双曲线方程后得,,abc的等式，可求得ba，得渐近线方程．【详解】由题意1(,0)Fc−，直线l方程为()ayxcb=+，渐近线方程为byxa=，若M在渐近线

byxa=−上，由()ayxcbbyxa=+=−解得2axcabyc=−=，即2(,)aabMcc−，设00(,)Pxy，∵13PMMF=，∴2200(,)3(,)aabaabxyccccc−−−=−+−，解得22034caxc−=，04abyc=，∵

00(,)Pxy在双曲线上，∴2200221xyab−=，∴2222222(34)161caaacc−−=，化简得22169ab=，43ba=，∴渐近线方程为43yx=．若M在渐近线byxa=上，由()ayxcbbyxa=+=解

得22222acxbaabcyba=−=−，即22222(,)acabcMbaba−−，设00(,)Pxy，∵13PMMF=，∴220022222222(,)3(,)acabcacabcxycbabab

aba−−=−−−−−−−，解得220223bcacxba+=−，0224abcyba=−，∵00(,)Pxy在双曲线上，∴2200221xyab−=，∴222222222222(3)161()()bcacacababa+−=−−，化简得

224224()(16239)0abaabb−++=，无解．综上，渐近线方程为43yx=．故选：A．【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题关键是列出关于,,abc的等式，然后化简求出ba即可，解题方法是坐标代入法：由直线l方程与渐近线方程列方程组解得M坐标，根据向量共线的坐标表示求

出P点坐标，P点坐标代入双曲线方程可得关于,,abc的等式．12.中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在xOy平面

上，把到两个定点()1,0Fa−，()2,0Fa距离之积等于()20aa的动点轨迹称为双纽线C，P是曲线C上的一个动点．则下列结论正确的个数是（）①曲线C关于原点对称②曲线C上满足12PFPF=的P有且只有一个③动点P到定点1F，2F距离之和的最小值为2a④若直线ykx=

与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(),11,−−+A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】【分析】根据题意求得曲线C的轨迹方程，对于①，利用(,)xy−−替换方程中的(,)xy即可判断；对于②，由12PFPF=推得0x=，代入曲线C方程求解即

可判断；对于③利用基本不等式即可判断；对于④，先判断得直线ykx=与曲线C必有一个公共点，再将ykx=代入曲线C方程得到无非零解方程，从而得以判断.【详解】设(),Pxy，则根据双纽线的定义有212PFPFa=，故22222()()xayxaya++−+=，即曲线C的轨迹方程为()()222222

2xyaxy+=−.①：用(,)xy−−替换方程中的(,)xy，原方程不变，所以曲线C关于原点中心对称，故①正确；②：若曲线C上点P满足12PFPF=，则点P在12FF的垂直平分线，即y轴上，故0x=，代入

曲线C方程得4222yay=−，解得0y=，所以这样的点仅有一个，故②正确；③：因为121222PFPFPFPFa+=，当且仅当12PFPF=时，等号成立，所以()12min2PFPFa+=，故③正确；④

：易知直线ykx=与曲线C一定有公共点()0,0，若直线ykx=与曲线C只有一个交点，将ykx=代入曲线C方程中，方程()()242222121xkaxk+=−无非零解，则210k−，解得1k−或1k，故④正确.故选：

D.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用平面轨迹方程的求法求得曲线C的轨迹方程为()()2222222xyaxy+=−，再根据方程分析判断各说法即可.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二.填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分13.已知直线3x=与

椭圆2212516xy+=交于,AB两点，1F是椭圆的左焦点，则1ABF的周长是___________.【答案】20【解析】【分析】根据题意可知直线3x=经过椭圆2212516xy+=的右焦点2F，结合椭圆的定义即可求解.【详解】椭圆2

212516xy+=,所以22225169cab=−=−=，得3c=，则椭圆的右焦点为2(3,0)F，所以直线3x=经过椭圆2212516xy+=的右焦点2F，由椭圆的定义可知，1ABF的周长为11121244520AFBFABAFAFBFBFa++=+++===.故答案为

：20.14.已知抛物线24xy=的焦点为F，定点(1,4)A，点P是抛物线上一个动点，则PFPA+的最小值为______________.【答案】5【解析】【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线24xy=的准线方程为1y=−，根据抛物线的定义可知，PFP

A+的最小值是A到准线1y=−的距离，即PFPA+的最小值为415+=.故答案为：515.已知过双曲线22221xyab−=（0a，0b）右焦点且倾斜角为45的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是________．【答案】(1,2)【解析】【详解】试题分析：因

为过双曲线22221xyab−=（0a，0b）右焦点且倾斜角为45的直线与双曲线右支有两个交点，所以双曲线的渐进线byxa=的倾斜角小于45，所以1ba，即22222,bacaa−，解得12e．考点：双曲线的标准方程与

几何性质．16.已知函数2()(21)fxaxax=−+，|1|2019()312160xgx+=−，()10,x+，2xR，使得()()12fxgx成立，则实数a的取值范围为______

_______.【答案】32202a−−【解析】【分析】对于()10,x+，2xR，使得()()12fxgx成立，则有()()maxmaxfxgx，利用函数的单调性分别在定义域内求出最值即可.【详解】由1|11201931,121602019()31

2160201931,12160xxxxgxx++−−−−=−=−−，根据复合函数的单调性可得()gx在)1,−+上单调递减，在(),1−−上单调递增，所以()()max1312g

xg=−=−=对于()10,x+，2xR，使得()()12fxgx成立，则有()()maxmaxfxgx即不等式()2fx，对于任意的()0,x+恒成立.当0a=时，()fxx=−，对于任意的()0,x+，()2fx

恒成立，0a=符合题意；当a<0时，2()(21)fxaxax=−+的图像是开口向下的抛物线，且()00f=要使不等式()2fx对于任意的()0,x+恒成立，则若对称轴2102axa+=，即210a+，102a−，即()0fx，显然成立，若对称轴2102axa+=

，即12a−时，()()2max2124afxa−+=，解得32232222a−−−+，故322122a−−−，此时32202a−−，当0a时，函数2()(21)fxaxax=−+的图像

是开口向上的抛物线，对称轴方程为2102axa+=，()fx在()0,+上无最大值，故不符合题意，综上所述，实数a的取值范围为32202a−−.故答案为：32202a−−【点睛】本题主要考查考查了不等式恒成立问题、考查了二次函数在某个区间上的最值，符合函数的单调性，考查了分类讨论的思

想，属于中档题.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.已知命题p：方程2214xymm+=−表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：方程22113xymm−=−−表示焦点在x轴上的双曲线.若命题“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数m的取值

范围.【答案】()2,34,+【解析】【分析】首先求出命题p、q为真时参数的取值范围，依题意p、q一真一假，分类讨论，分别得到不等式组，即可求出参数的取值范围.【详解】若p为真命题，则40mm−，解得24m

.若q为真命题，则1030mm−−，解得3m，因为pq为真命题，pq为假命题，所以p、q一真一假，若p真q假，则243mm，解得23m，若p假q真，则243mmm或，解得4m，综上所述，实数m

的取值范围为：()2,34,+.18.已知一动圆与圆1C：()2239xy++=外切，且与圆2C：()2231xy−+=内切.（1）求动圆圆心P的轨迹方程C；（2）过点()4,1Q能否作一条直线l与C交于A，B两点

，且点Q是线段AB的中点，若存在，求出直线l方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)()221245xyx−=(2)存在，5190xy−−=【解析】【分析】（1）利用圆与圆外切时，圆心距等于半径之和，圆与圆内切时，圆心距等于半径之差的绝

对值，从而得到方程组，再利用双曲线定义得到圆心的轨迹为双曲线的右支；（2）利用设而不求、点差法、中点坐标公式，求得直线AB的斜率.【详解】（1）设动圆圆心(),Pxy，半径为r，根据题意得：1231MCrMCr=+=−，所以1246MCMC−=，则动点M轨迹为双曲线（右支

），所以2a=，3c=，5b=，所以轨迹方程C为()221245xyx−=.（2）设1122(,),(,)AxyBxy，代入双曲线的方程得221122225420,5420,xyxy−=−=两式相减得121212125()()4()()0xxx

xyyyy−+−−+=，因为()4,1Q是线段AB的中点，所以1212421,2xxyy+=+=，所以1212121255542AByyxxkxxyy−+===−+，满足直线与曲线有两个交点，所以AB的方程为5190xy−−=.

【点睛】本题考查双曲线的定义，点差法的应用，注意求出的双曲线方程要进行验证，只是双曲线的右支，考查逻辑推理能力和运算求解能力.19.已知：在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥平面ABCD，点M为PD中点，1PAAD==．（1）求证：平面MAC⊥平面PCD；（2）求直

线PB与平面PCD所成角大小；【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）先证明CD⊥平面PAD，则有AMCD⊥，在证明AM⊥平面PCD，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）以A为原点建立空间直角坐标系

，利用向量法求解即可.【小问1详解】因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD⊥，又,,,ADCDADAPAADAP⊥=平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又AM平面PAD，所以AMCD⊥，因为点M为PD中点，1PAAD

==，所以AMPD⊥，又,,PDCDDPDCD=平面PCD，所以AM⊥平面PCD，因为AM平面MAC，所以平面MAC⊥平面PCD；【小问2详解】以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得()()()0,0,0,1,0,01,0,0,121,02APMB，，，因为

AM⊥平面PCD，所以110,,22AM=即为平面PCD的一条法向量，()1,0,1PB=−，设直线PB与平面PCD所成角为，则1sincos,2AMPBAMPBAMPB===，又π0,2

，所以π6=，即直线PB与平面PCD所成角的大小为π6.20.已知曲线C上的每一个点到(2,0)F的距离减去它到y轴的距离的差都是2.（1）求曲线C的方程；（2）过F作直线交曲线C于A、B两

点，点(2,0)D−，求△ABD面积的最小值.【答案】（1）28,00,0xxyx=（2）16【解析】【分析】（1）设点(),Pxy是曲线C上任意一点，利用已知条件列方程，化简求得曲线C的方程.（2）设出直线l的方程，通过联立方程组以及根与系数关系、弦长公式

、二次函数的性质等知识求得正确答案.【小问1详解】设点(),Pxy是曲线C上任意一点，则22(2)2xyx−+=+.当0x时曲线C的方程为28(0)yxx=，当0x时，曲线方程为0(0)yx=.故曲线方程是28,0.0,0xxyx=【小问2详解】由题意

得，直线l的方程为2xty=+，要与曲线有两个交点，则曲线方程为28(0)yxx=，设()()1122,,,AxyBxy.由228xtyyx=+=，得28160yty−−=.21212Δ64640,8

,16tyytyy=++==−，所以.21211612ABCSDFyyt=−=+，故当0=t时，(min)16ABCS=.所以三角形ABC面积最小值是16.21.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，12ABBCAD==，∠BAD=∠A

BC=90°，E是PD的中点.（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】的【分析】

（1）取PA的中点为F，连接EF，BF，证得CE//BF，进而线面平行得判定定理即可得出结论；（2）法一：取AD的中点O连接PO，CO，证得PCO为直线PC与平面ABCD所成角，解三角形求出3PCO=，作NQAB⊥于Q

，连接MQ证得MQN为二面角MABD−−的平面角，求出MQN的余弦值即可.法二：建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：(0,6,2)m=−，()0,0,1n=，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角MABD−−的余弦值为105．【小问1详解】证明

：取PA的中点F，连结,,EFBFE是PD的中点，//EFAD，11,,90,//,//,,22EFADABBCADBADABCBCADEFBCEFBC======四边形BCEF是平行四边形，//,CE

BFBF平面,PABCE平面PAB，直线CE//平面PAB.【小问2详解】法一：四棱锥PABCD−中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，1,90,2ABBCADBADABCE====是PD的中点.取AD的

中点,OM在底面ABCD上的射影N在OC上，设2AD=，则1,3,60ABBCOPPCO====，直线BM与底面ABCD所成角为45，可得：3,,13BNMNCNMNBC===，可得：22113BNBN+=，66,22BNMN==，作NQAB⊥于Q，连接,

MQABMN⊥，所以MQN就是二面角MABD−−的平面角，22610122MQ=+=，二面角MABD−−的余弦值为：110.5102=法二：由已知得BAAD⊥,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示

的空间直角坐标系Axyz−，则则()000A，，，()100B，，，()110C，，，()013P，，，()103PC=−，，uuur,()100AB=，，uuuv则()()1,13BMxyzPMxyz=−=−−，，，，uuuvuuu

v因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而()001n=，，r是底面ABCD的法向量，所以cos,sin45BMn=，()222z221xyz=−++即()22210xyz−+−=又M在棱PC上,设,PMPC=则uuuvuuuvx,1,33yz===−由①，②

得2=1+2=162xyz=−（舍去）或2=12=162xyz−=所以261,1,22M−，从而261,1,22AM=−设()000,,=mxyz是平面ABM的法向量，则()0

00022260·0·00xyzmAMmABx−++====即所以可取(0,6,2)m=−.于是·10cos,5mnmnmn==因此二面角M-AB-D的余弦值为105.22.以椭圆2222:1(0)xyCabab+=的

中心O为圆心，22ab+为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设椭圆C的左顶点为P，左焦点为F，上顶点为Q，且满足2PQ=，62OPQOFQSS=．（1）求椭圆C及其“准圆”的方程；（2）若椭圆C的“准圆”的一条弦ED（不与坐标轴垂直）与椭圆C交于MN、两点，当0OMON=时，试问弦

ED的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）224xy+=；（2）弦ED的长为定值【解析】【分析】（1）设椭圆C的左焦点(),0Fc−，0c，由62OPQOFQSS=得62ac=，又2PQ=，即224ab+=且222bca+=，所以223,1ab==，由

“准圆”得定义即可求出结果；（2）设直线ED的方程为(,R)ykxbkb=+，且与椭圆C的交点1122(,)(,)MxyNxy、，联列方程组2213ykxbxy=++=代入消元得：()222136330kxkbxb+++−=，由韦达定理和0OMON=，以及点到直线的距离的公式即

可求出结果.【小问1详解】设椭圆C的左焦点(),0Fc−，0c，由62OPQOFQSS=得62ac=，又2PQ=，即224ab+=且222bca+=，所以223,1ab==，则椭圆C的方程为2213xy+=；椭

圆C的“准圆”方程为224xy+=．【小问2详解】设直线ED的方程为(,R)ykxbkb=+，且与椭圆C的交点1122(,),(,)MxyNxy，联列方程组2213ykxbxy=++=代入消元得：()222136330kxkbxb+++−=，由2121222633,131

3kbbxxxxkk−−+==++．可得22121223()()13bkyykxbkxbk−=++=+，由0OMON=得12120xxyy+=，即222222223334330131313bbkbkkkk−−−−+==+++，所以()22314bk=+，此时()()22222364133327

30kbkbk=−+−=+成立，则原点O到弦ED的距离222331421bbdkk====++，得原点O到弦ED的距离为32，则324134ED=−=，故弦ED的长为定值．【点睛】关键点睛：本题的关键是采取设线法，设直线

ED的方程为(,R)ykxbkb=+，1122(,),(,)MxyNxy，联立椭圆方程，得到韦达定理式，根据1122(,)(,)MxyNxy、，得12120xxyy+=，利用1212()()yykxbkxb=++，再代入整理成韦达定理可直接代入得式子，化

简得到()22314bk=+，再利用几何法即可计算弦长为定值.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com