【文档说明】江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考试题 数学 Word版含解析.docx，共(23)页，1.682 MB，由小赞的店铺上传

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数学一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.计算：422i(1i)+−的结果是（）A12i+B.12i−C.1i−D.1i+2已知2sincos3+=，1cossin3+=−，则

sin()+=（）A.1318B.1118−C.1318−D.139−3.已知向量(2,23),(1,3)ab=−=，则b在a方向上的投影向量．．．．为（）A.14aB.14a−C.b−D.b4.若､是两个不重合的平面：①若

内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则∥；②设､相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则⊥；③若外一条直线l与内的一条直线平行，则l∥．以上说法中成立的有（）个A.0B.1C.2D.35.如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球

体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（）A.26B.20C.19D.186.一组数据按从大到小顺序排列为8，7，x，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数

据的平均值、方差和第60百分位数分别是（）A.6，163，5B.5，5，5C.5，163，6D.4，5，6..的7.在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．若π6A=，ABC的面积为3，则

AMAN取最小值．．．时，则2BC=（）A.2B.8312−C.6D.48.《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，EF∥平面AB

CD，2EF=，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（）A.2π3B.4π3C.82π3D.4π二､多选题（本大题共3小题，共18.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是（）A.

2zzz=，zCB.2024i1=−C.若1z=，zC，则2z−的最小值为1D.若43i−+是关于x的方程()20,xpxqpq++=R的根，则8p=10.某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地

了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是（）A.招商引资后，工资净收入较前一年增加B.招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C.招商引资后，转移净收入与财

产净收入的总和超过了该年经济收入的25D.招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍11.已知事件A，B发生的概率分别为()13PA=，()16PB=，则（）A.()23PA=B.()1132PAB+C.若A与B互斥，则()49PAB=D

.一定有BA三､填空题（本大题共3小题，共15.0分）12.为获得某中学高一学生的身高（单位：cm）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为176，标准差为10，女生样本的均值为166，标准差为20.则总样本的方差为______

____2cm.13.设点Q在半径为1的圆P上运动，同时，点P在半径为2的圆O上运动．O为定点，P，Q两点的初始位置如图所示，其中OPPQ⊥，当点P转过角度时，点Q转过角度2，则在运动过程中OPOQ的取

值范围为______．14.如图，已知在矩形ABCD中，2,2ABBC==，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点H，现将ACD沿AC折起，点D的位置记为D¢，此时153ED=，则二面角HEDC−−的余弦值为

__________．四､解答题（本大题共5小题，共77.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试

，得到如下频率分布直方图：（1）估计两组测试的平均成绩，（2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这7人中选出2人做正，副队长，求正、副队长

都来自“田径队”的概率．1611分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方1

0:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.17.龙光塔始建于明朝万历二年，位于无锡市锡山山顶，如图，某学习小组为了在塔外测量龙光塔的高度，在与塔

底B水平的C处测量得塔顶A的仰角为60.受锡山地形所限，他们沿斜坡从C点下行14米到达D点（与A，B，C共面）后，测量得塔顶A的仰角为45.已知C，D两点的海拔高度差为2米.（1）记斜坡CD与水平方向的夹角为锐角，计算的余弦值；

（2）计算龙光塔的高度.18.如图所示，在平行四边形ABCD中，A＝45°，2ABAD=，E为AB中点，将△ADE沿直线DE翻折成△PDE，使平面PDE⊥平面BCD，F为线段PC的中点．.的（1）证明：//BF平面PDE；（2）已知M为线段DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角的正切值．

19.在棱长均为2的正三棱柱111ABCABC-中，E为11BC的中点．过AE的截面与棱1BB，11AC分别交于点F，G．（1）若F为1BB的中点，求三棱柱被截面AGEF分成上下两部分的体积比12VV；（2）若四棱锥1AAGEF−的体积为7312，求

截面AGEF与底面ABC所成二面角的正弦值；（3）设截面AFEG的面积为0S，AEG面积为1S，AEF△面积为2S，当点F在棱1BB上变动时，求2012SSS的取值范围．数学一､单选题（本大题共8小题，共4

0.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.计算：422i(1i)+−的结果是（）A12i+B.12i−C.1i−D.1i+【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则计算可得.【详解】42222ii111i(1i)2ii+=+=+=+−−−.故选：D2.已知2sincos

3+=，1cossin3+=−，则sin()+=（）A.1318B.1118−C.1318−D.139−【答案】C【解析】【分析】对给定式子平方，再进行相加得到13sincoscossin

18+=−，最后利用两角和的正弦公式求解即可.【详解】若2sincos3+=，则2224(sincos)sin2sincoscos9+=++=若1cossin3+=−，则2221(co

ssin)cos2cossinsin9+=++=，将两式子相加可得5132sincos2cossin299+=−=−，化简得13sincoscossin18+=−，.由两角和的正弦公式得8s13sincoscossiin()n1=−=++，故C正

确.故选：C3.已知向量(2,23),(1,3)ab=−=，则b在a方向上的投影向量．．．．为（）A.14aB.14a−C.b−D.b【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得.【详解】由(2,23),(1,3)ab=−=，得22

||(2)(23)4,212334aab=−+==−+=，所以b在a方向上的投影向量为224144||abaaaa==.故选：A4.若､是两个不重合的平面：①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则∥

；②设､相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则⊥；③若外一条直线l与内的一条直线平行，则l∥．以上说法中成立的有（）个A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】①：根据线面平行和面面平行的判定方法即可判断；②：根据线面垂直和面面垂直的判定放假即可判

断；③：根据线面平行判定方法即可判断．【详解】对①，平面内有两条相交直线分别平行于面内两条直线，可得这两条相交直线均平行于面，由平面与平面平行的判定定理可知①正确；对②，设､相交于直线l，若

内有一条直线垂直于l，则这条直线不一定垂直于β，故根据平面与平面垂直的判定定理可知α与β不一定垂直；故②错误；对③，根据直线与平面平行的判定定理可知③正确．故选：C．5.如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和

一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（）A.26B.20C.19D.18【答案】D【解析】【分析】由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面

积，再加上圆的面积即可.【详解】解：由题意得，球的半径2R=，圆柱的底面半径1r=，高3h=，则该几何体的表面积为2222SRRrh=++8421318=++=.故选：D.6.一组数据按从大到小的顺序排

列为8，7，x，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（）A.6，163，5B.5，5，5C.5，163，6D.4，5，6【答案】C【解析】【分析】利用中位数与众

数的定义得到关于x的方程，从而得解.【详解】依题意，将这组数据从小到大重新排列得1，4，4，x，7，8，则中位数42x+=，众数为4，由题意知45424x+=，解得6x=，所以这组数据的平均数为()114467856x=++

+++=，则这组数据的方差是()()()()()()222222211615454565758563s=−+−+−+−+−+−=，因为660%3.6=，所以这组数据的第60百分位数是6；故选：C.7.在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM

的中点．若π6A=，ABC的面积为3，则AMAN取最小值．．．时，则2BC=（）A.2B.8312−C.6D.4【答案】D【解析】【分析】根据题中条件，先得到ABAC，再由向量数量积的运算，结合基本不等式，得到AMAN的最小值，以及取得最小值时AB与AC的值，最后根

据余弦定理，即可求出结果.【详解】在ABC中，由π6A=，ABC的面积为3，得1π3sin26ABAC=?，则43ABAC?，由M是边BC的中点，N是线段BM的中点，得1()2AMABAC=+，111131()()222244ANABAMABABACABAC=+=++=+，则2213

1311()()||||244882AMANABACABACABACABAC=++=++22311π333||||||||cos||||||||||||68826442ABACABACABACABACABAC=+

++==，当且仅当3||||ABAC=，即3||2|2,|ABAC==时取等号，在ABC中，由余弦定理得：2232cos412222322BCABACABACA=+−=+−=，所以24BC=.故选：D【点睛】关键

点点睛：求解本题的关键在于根据平面向量数量积以及平面向量基本定理，确定AMAN取得最小值的条件，根据三角形面积公式，以及余弦定理，求解即可.8.《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，EF∥

平面ABCD，2EF=，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（）A.2π3B.4π3C.82π3D.4π【答案】B【解析】【分析】根据已知条件找出外接球的球心，求出半径，再利用球的体积公式即可求解.【详解】连接AC,BD交于点M,取EF的中点O，则OM

⊥平面ABCD,,取BC的中点G,连接FG,作GHEF⊥,垂足为H，如图所示由题意可知，13,22HFFG==，所以2222HGFGHF=−=,所以22OMHG==,22AM=,所以221OAOMAM=+=,又1OE=,所以1OAOBOCODOEOF====

==，即这个几何体的外接球的球心为O，半径为1，所以这个几何体的外接球的体积为33444ππ1π333VR===.故选：B.二､多选题（本大题共3小题，共18.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是（）A2zzz=，zCB.2024i1=−C.若1z=，zC，

则2z−的最小值为1D.若43i−+是关于x的方程()20,xpxqpq++=R的根，则8p=【答案】ACD【解析】【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设i,(,R)zxyxy=+，根据复数的模的计算公式，可得221xy+=，以及2

45zx−=−+，结合x的范围可判断C；将43i−+代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D.【详解】对于A，zC，设复数i,(,)zabab=+R，则i,(,)zabab=−R，22||zab=+，.故222(i)(i)zzabababz=+−=+=，A正确；对于B，由于2

4i1,i1=−=，故20244506i(i)1==，B错误；对于C，zC，设i,(,R)zxyxy=+，由于1z=，则222211xy,xy+=+=，故22222(2)(2)145zxyxxx−=−+=−+−=−+，由221xy+=，得11x−，则451x−+，故

当1x=时，2z−的最小值为1，C正确；对于D，43i−+是关于x的方程()20,xpxqpq++=R的根，故2)43i43()(),R(0ipqpq+−++=−+，即04(3i724)ppq−+−+=，故7408,324025pqppq−+

==−==，D正确，故选：ACD10.某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是（）A.

招商引资后，工资净收入较前一年增加B.招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C.招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的25D.招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍【答案】AD【解析】【

分析】根据已知条件及扇形图的特点即可求解.【详解】设招商引资前经济收入为M，而招商引资后经济收入为2M，则对于A，招商引资前工资性收入为60%0.6MM=，而招商引资后的工资性收入为237%0.74MM=，所以工资净收入增加了，故A正确；对于B，招商引资前转移净收入为4%0.04M

M=，招商引资后转移净收入为25%0.1MM=，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B错误；对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为20.10.560.6620.85MMMMM+==，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的

25，故C错误；对于D，招商引资前经营净收入为30%0.3MM=，招商引资后转移净收入为230%0.6MM=，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.故选：AD.11.已知事件A，B发生的概率分别为()13PA=，()16PB=，则（）A.()23PA=B.()1132PA

B+C.若A与B互斥，则()49PAB=D.一定有BA【答案】AB【解析】【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断.【详解】对于A，因为()13PA=，所以()

121()133PAPA=−=−=，故A正确；对于B，因为()()()()()12PABPAPBPABPAB+=+−=−，又()()0PABPA且()()0PABPB，则()106PAB，所以()111322PAB−，即()1132PAB+，故B

正确；对于C，因为A与B互斥，所以()0PAB=，则()()()()1106439PAPBPAPABB=+−+−=，故C错误；对于D，记事件A=“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件B=“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”，则满足()13PA=，()16PB=，但BA不

成立，故D错误；故选：AB.三､填空题（本大题共3小题，共15.0分）12.为获得某中学高一学生的身高（单位：cm）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为176，标准差为10，女生样本的均值为166，标准差为20.则总样

本的方差为__________2cm.【答案】275【解析】【分析】结合平均值和方差公式,即可求解.【详解】记男生样本为1225,,,yyyL,均值为y,方差为21s,女生样本为1225,,,zzz,均值为z,方差为22s,容量为50的样本均

值为x,方差为2s，则()25252211111176,1002525iiiiyysyy=====−=，()25252221111166,4002525jjjjzzszz=====−=，∴()5025251111112517625166171505050iijiijxxyz===

==+=+=，则()()252522211150ijijsyxzx===−+−()()25202211150ijijyyyxzzzx===−+−+−+−()()()()()()2525252522221111125()225

()250iijjiijjyyyxyyyxzzzxzzzx=====−+−+−−+−+−+−−()()2525221112510025(176171)2176171252540025(166171)21661712550

ijijyyzz===+−+−−++−+−−()()1251255025176251762542550251662516650=+−++−275=.故答案为：275.13.设点Q在半径为1的圆P上运动，同时

，点P在半径为2的圆O上运动．O为定点，P，Q两点的初始位置如图所示，其中OPPQ⊥，当点P转过角度时，点Q转过角度2，则在运动过程中OPOQ的取值范围为______．【答案】2,6【解析】【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标

运算即可结合三角函数的性质求解.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设ππ(2cos,2sin),(cos(2),sin(2))22PPQ=++，则(2cossin2,2sincos2)OQOPPQ=+=−+，

()()222cos2cossin22sin2sincos24cos4sin2cossin22sincos2OPOQ=−++=+−+()42sin242sin=−−=−，由于R,所以sin1,1−，故42sin2,6−，故OPOQ的取值范

围为2,6，故答案为：2,614.如图，已知在矩形ABCD中，2,2ABBC==，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点H，现将ACD沿AC折起，点D的位置记为D¢，此时153ED=，则二面角HEDC−−的余弦值为__________．【答案】1

47##1147【解析】【分析】过点C在平面CDE内作CFDE⊥，垂足为点F，连接FH，证明二面角HEDC−−的平面角为CFH，根据几何关系即可求解．【详解】在三棱锥DABC−中，23315,,,33336DH

EHEDCH====，∴222,DHEHDEDHEH+=⊥，过点C在平面CDE内作CFDE⊥，垂足为点F，连接FH．∵222,,DHCHDCDHCH+=⊥即在矩形ABCD中，AC⊥DE，∴易得CH⊥

平面,DEH又∵DE平面,DEHCHDE⊥，∵,,,DECFCFCHCCFCH⊥=平面CFH，DE⊥平面CFH，FH平面,CFHDEFH⊥，∴二面角HEDC−−的平面角为CFH，在CD

E中，152,1,3CDCEED===，由余弦定理可得222230cos215CDEDCECDECDED+−==，∴2105sin1cos15CDECDE==−，∴210sin15CFCDCDE==，∵CH⊥平面,DEHFH平面,DEHCHFH⊥，∴222

1515FHCFCH=−=，故14cos7FHCFHCF==，∴二面角HEDC−−的余弦值为147．故答案为：147.四､解答题（本大题共5小题，共77.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”

和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：（1）估计两组测试的平均成绩，（2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这7人中选出2人做正，

副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．【答案】（1）“田径队”平均成绩为73，“足球队”的平均成绩为71（2）27【解析】【分析】（1）根据频率和为1计算得到0.020a=，0.010b=，再根据

平均数公式计算得到答案.（2）确定抽取的比例为12，列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.【小问1详解】的由田径队的频率分布直方图得：()100.0160.0240.0320.0081a++++=，解得0.020a=，同理可得0.010b=．其中“田径队”的平均成绩为：1

0550.016650.024750.032850.020950.0087(3)x=++++=，“足球队”的平均成绩为：550.02650.58750.24850.10950.0671y=++++=.【小问2详解】“田径队”中90分

以上的有100.0081008=（人），“足球队”中90分以上有100.0061006=（人）．所以抽取的比例为71862=+，在“田径队”抽取1842=（人），记作a，b，c，d；在“足球队”抽取1632

=（人）．记作A，B，C．从中任选2人包含的基本事件有：ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bc；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21个，正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有

ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个，故正、副队长都来自“田径队”的概率为62217=．16.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发

球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.【答案】（1）0.5；（2）0.1

【解析】【分析】(1)本题首先可以通过题意推导出()2PX=所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；(2)本题首先可以通过题意推导出()4PX=所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和

即可得出结果．【详解】(1)由题意可知，()2PX=所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”所以()20.50.40.50.60.5PX==??(2)由题意可知，()4PX=包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均

为甲得分”所以()40.50.60.50.4+0.50.40.50.40.1PX==创创创=【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出()2PX=以及()4PX=所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的

能力，是中档题．17.龙光塔始建于明朝万历二年，位于无锡市锡山山顶，如图，某学习小组为了在塔外测量龙光塔的高度，在与塔底B水平的C处测量得塔顶A的仰角为60.受锡山地形所限，他们沿斜坡从C点下行14米到达D点（

与A，B，C共面）后，测量得塔顶A的仰角为45.已知C，D两点的海拔高度差为2米.（1）记斜坡CD与水平方向的夹角为锐角，计算的余弦值；（2）计算龙光塔的高度.【答案】（1）437（2）1139+【解析】【分析】（1）依

题意结合图形，在RtCDF△中求得sin，再利用三角函数的平方关系即可得解；（2）结合图形，分别求得,DFEF，从而得到关于h的方程，解之即可得解.【小问1详解】依题意，过D作DEAB⊥交AB于E，过C作CFDE⊥，交DE于F，如图，则14,2,C

DCFCDF===，所以在RtCDF△中，1sin7CFCD==，又π02，所以243cos1sin7=−=，所以的余弦值为437.【小问2详解】由（1）得，43cos14837DFCD

===，设龙光塔的高度ABh=，则在RtABC△中，60ACB=，则tan603ABhBC==，易知四边形CBEF是矩形，则3hEFBC==，2BECF==，又在RtADE△中，45ADE=，则

AEDE=，所以ABBEEFDF+=+，即2833hh+=+，故1139h=+.所以龙光塔的高度为1139+.18.如图所示，在平行四边形ABCD中，A＝45°，2ABAD=，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△PDE，使平面PDE⊥平面BCD，F为线段PC的中点．（

1）证明：//BF平面PDE；（2）已知M为线段DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角的正切值．【答案】（1）见解析（2）2【解析】【分析】（1）取PD的中点H，证明四边形FHEB为平行四边形，由线面平行判定定理即可得证；（2）由题目条件易得ABDE⊥，在由面面垂直的性质定理证得平面AB⊥

平面PDE，连接GM,GMF即为直线MF与平面PDE所成的角，tanGFGMFGM=,代入即可求出答案.【小问1详解】取PD的中点G,连接EG,GF，∵F，G分别为PC，PD的中点，∴1//2FGCDFGCD=，又∵E为AB的中点，∴1//,2EB

CDBECD=，∴//,FGEBFGEB=，∴FGEB为平行四边形，∴FBGE∥，又∵BF面PDE，GEÌ面PDE，∴BF∥平面PDE.【小问2详解】在平行四边形ABCD中，因为2ABAD=，所以2ADAE=，又因为A＝45°，可得90,AED=即ABDE

⊥，因为平面PDE⊥平面BCD，平面PDE平面BCD=DE，所以平面AB⊥平面PDE，由（1）可知，GFAB∥，所以GF⊥平面PDE，连接GM,GMF即为直线MF与平面PDE所成的角，因为1,2GFB

EPEGMPE===，所以tan2GFGMFGM==，即直线MF与平面PDE所成的角的正切值为2.19.在棱长均为2的正三棱柱111ABCABC-中，E为11BC的中点．过AE的截面与棱1BB，11AC分别交于点F，G．（1）若F为1BB中

点，求三棱柱被截面AGEF分成上下两部分的体积比12VV；（2）若四棱锥1AAGEF−的体积为7312，求截面AGEF与底面ABC所成二面角的正弦值；（3）设截面AFEG的面积为0S，AEG面积为1S，AEF△面积为2S，当点F在棱1BB上变动时，求2012SS

S的取值范围．【答案】（1）121323VV=；（2）45；（3）94,2．【解析】【分析】（1）连接EF，并延长分别交1CC，CB于点M，N，连结AM交11AC于点G，连结AN，GE，利用比例关系确定G为11AC靠近1C的三等分点，然后先求出棱柱的体积，连结1AE，1AF

，由11111AEFBGAAEFAAEVVVV−−−=++和21VVV=−进行求解，即可得到答案；（2）求出点G到平面1AAE的距离，得到点G为11AC靠近1C的四等分点，通过面面垂直的性质定理可得1AGA即为截面AGEF与底面ABC所成的二面角，

在三角形中利用边角关系求解即可；（3）设1GCm=，则[0m，1]，先求出12SS的关系以及取值范围，然后将2012SSS转化为1S，2S表示，求解取值范围即可．【详解】解：（1）连接EF，并延长分别交1CC，

CB延长线于点M，N，连接AM交11AC于点G，连接AN，GE．易得11113GCMCCEACMCCN===．故G为11AC靠近1C的三等分点．11MC=，123GC=．的下面求三棱柱被截面分成两部分的体积比．三棱柱11

1ABCABC-的体积2322234V==．连接1AE，1AF．由1//BB平面1AAE知，1FAAEV−为定值．1113321323FAAEV−==．11111AEFBGAAEFAAEVVVV−−−=++11112313311323323233

18=++=．2123318VVV=−=．故121323VV=．（2）由111AAGEFGAAEFAAEVVV−−−=+及133FAAEV−=得，134GAAEV−=．又1113GAAEAAEVSh−=△，所以34h=．即点G到1AE的

距离为34，G为11AC靠近1C的四等分点．因为平面111//ABC平面ABC，所以截面AGEF与平面ABC所成角即为截面AGEF与平面111ABC所成角，在1GCE△中，112GC=，11CE=，故1EGGC⊥．又因平面11ACCA⊥平面111ABC，且平面1

1ACCA平面11111ABCAC=，所以EG⊥平面11ACCA．则1AGA即为截面AGEF与底面ABC所成的二面角．在1RtAGA△中，132AG=，12AA=，52AG=．故114sin5AAAGAAG==．因此，截面AG

EF与平面ABC所成二面角的正弦值为45．（3）设1GCm=，则0,1m，2MGmGAm=−．设MGE的面积为S，所以12SmSm=−．为又因为21SSS=+，所以1222SmS−=．且1221,122SmS−=．令12StS=则1,12t故()22

120121212212SSSSSSSSSSS+==++．令12StS=则1,12t，所以()12gttt=++在1,12t上单调递减，所以()()min14gtg==，()max1922gtg==，所以(

)94,2gt，所以20121221924,2SSSSSSS=++