【文档说明】四川省遂宁市遂宁中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(18)页，717.010 KB，由小赞的店铺上传

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遂宁中学2021～2022学年度下期半期考试高一数学考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上.2．选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案.主观题用0.5毫米黑

色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内.3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡上交.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题(共12小题，每题5分)1.cos18cos42cos72sin42−=（）A.32−B.32C.1

2−D.12【答案】D【解析】【分析】使用诱导公式及逆用余弦的差角公式进行求解.【详解】1cos18cos42cos72sin42cos18cos42sin18sin42cos4218cos602−=−=+==．故选：D．2.下列说法正确的是（）A.若ab∥，bc∥，则ac∥

B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.两个单位向量的长度相等D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等【答案】C【解析】【分析】A.由0b=判断；B.由平面向量的定义判断；C.由单位向量的定义判断

；D.由共线向量判断.【详解】A.当0b=时，满足ab∥，bc∥，而,ac不一定平行，故错误；B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；C.由单位向量的定义

知，两个单位向量的长度相等，故正确；D.若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误；故选：C3.函数()21sin2fxx=−是（）A.周期为的偶函数B.周期为的奇函数C.周期为2的偶函数D.周期为2的奇函数【答案

】A【解析】【分析】利用降幂公式化简函数解析式，再根据余弦函数的图像与性质即可逐项分析求解.【详解】()1cos211cos2222xfxx−=−=−，故f(x)的最小正周期为π，为偶函数.故选：A.4.已知向量(2,5)a=

，(1,2)b=，则||ab−=（）A.22B.3C.10D.23【答案】C【解析】【分析】首先求出ab−的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得；【详解】解：因为(2,5)a=，(1,2)b=，所以()(2,5)(1,2)1,3ab−=−=，所以22||1310ab−

=+=；故选：C5.在ABC中，若coscosaBbA=，则ABC的形状为（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式即可求解.【详解】因为coscosaBbA=，由正弦定理

可得sincossincosABBA=，即sincossincosAABB=所以sin2sin2AB=，可得22AB=或22AB+=，所以AB=或2AB+=，所以ABC的形状为等腰或直角三角形，故选：D.6.已知向量(

3,1)a=，(1,3)b=，且()()abab+⊥−，则的值为（）A.2−B.1−C.1D.2【答案】C【解析】【分析】求出,abab+−的坐标后可求的值.【详解】()()4,4,3,13abab+=−=−−，由()()abab+⊥−可得()()

434130−+−=，解得1=，故选：C7.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2coscosacCbB−=，则cosB=（）A.32B.22C.12D.12−【答案】C【解析】【分析】由正弦定理和题设条件，化简得到2sincossin()ABBC=+，结合s

in()sinBCA+=，即可求得.【详解】在ABC中，因为2coscosacCbB−=，由正弦定理，可得2sinsincossincosACCBB−=，即2sincossincossincosABC

BBC−=，可得2sincossincossincossin()ABCBBCBC=+=+，因为BCA+=−，可得sin()sinBCA+=，即2sincossinABA=，因为(0,)A，可得sin0A，所以1cos2B=.故选：C.8.已知AB

C中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知1b=，4C=，ABC的面积2S=，则ABC的外接圆的直径为（）A.45B.5C.52D.62【答案】C【解析】【分析】根据1b=，4C=，ABC的面积2S=，求得边a，再利用余弦定

理求得边c即可.【详解】解：因为1b=，4C=，ABC面积2S=，所以1sin224Sab==，解得42a=，由余弦定理得2222cos254cabab=+−=，解得5c=，所以ABC的外接圆的直径为252sincRC==，故选：C9.已知函数()fx满足，

对任意()12,0,1xx有()()12120fxfxxx−−，若ABC为锐角三角形，则一定成立的是（）A.()()coscosfAfBB.(sin)(cos)fAfBC.(sin)(cos)fAfBD.(sin)

(sin)fAfB【答案】C【解析】【分析】由题设条件可以判断函数在()01，上单调递增，利用单调性不难得出结果【详解】不妨设2101xx，则120xx−又()()12120fxfxxx−−所以()()12fxfx所以

()fx在()0,1上单调递增的因为ABC为锐角三角形所以90AB+>所以90AB>-所以()sinsin90AB>-即sincosAB因为()fx在()0,1上单调递增所以()()sincosfAfB故选：

C10.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式.设△ABC的三个内角,,ABC所对的边分别为,,abc，面积为S，“三斜求积”公式表示为222222142acbSac+−=

−.在△ABC中，若222sin4sin,()4aCAacb=−=−，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A.2B.23C.3D.22【答案】C【解析】【分析】由正弦定理边角关系可得4ac=，再结合已知可得2224acb+−=，代入“三斜求积”公式即

可求面积.【详解】由正弦定理可得：24aca=，则4ac=，又22224aaccb−+=−，即222244acbac+−=−=，所以1(164)34S=−=.故选：C11.已知函数()22sin3cos24fxxx=+−.若关于x的方程()2fxm−=在,42x

上有解，则实数m的取值范围是（）A.1,222B.2,222C.0,1D.2,22【答案】C【解析】【分析】先对函数化简变形，然后由()2fxm−=在,42x上有解，可知minmax()2()fx

mfx+，所以只要求出()fx在,42x上即可【详解】()22sin3cos24fxxx=+−1cos23cos22=−+−xxsin23cos21xx=−+2sin213x=−+，由,42x

，得22,363x−，所以1sin2123x−，所以22sin2133x−+，即2()3fx，由()2fxm−=在,42x上有解，可知minmax()2()fxm

fx+，所以223m+，得01m，氢实数m的取值范围是0,1，故选：C12.骑行是目前很流行的一种绿色健身和环保出行方式，骑行属于全身性有氧活动､能有效地锻炼大脑､心脏等人体器官机能，它带给人们的不

仅是简单的身体上的运动锻炼，更是心灵上的释放.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为3，ABE△，BEC△，ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，ACBP的最小值为（）A.43B.12

C.123D.24【答案】B【解析】【分析】根据题意，如图建立平面直角坐标系，故()3cos,3sinP，()6,23B−，()8,0A−，()2,23C−，进而利用坐标法结合三角函数性质求解即可.【详解】解：如图，以D点

为坐标原点，AD所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，因为圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为3，ABE△，BEC△，ECD均是边长为4的等边三角形所以点()3cos,3sinP，()6,23B−，()8,0A−，()2,23C−

所以()()6,23,3cos6,3sin23ACBP==+−，所以63cos6sin2412sin243ACBP=++=++，所以当sin13+=−，ACBP的最小

值为12.故选：B第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分）13.已知向量()2,3a=r，(),6bm=−，若ab∥，则m=________．【答案】-4【解析】【分析】直接由向量共线的坐标运算求得结果.【详解】由ab∥，得()32612m=−=−

，解得4m=−.故答案为：-4.14.在等腰ABC中，2AB=，120BAC=，则向量AB在BC上的投影是_______________.【答案】3【解析】【分析】根据投影的概念求解.详解】解：由题意得：在等腰ABC中，120BAC

=30ABC=向量AB在BC上的投影3cos232ABABC==故答案为：315.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsinbBaC=，9ac=，且60B=，则ac+=___________.【答案】6【解析】【

分析】由题意和正弦定理得到29bac==，结合余弦定理化简得到222()3acacacac+−=+−，即可求解.【详解】因为sinsinbBaC=，由正弦定理2sinsinsinabcRABC===，可得2bac=，又因为9ac=，所

以29b=，解得3b=，由余弦定理知2222cosbacacB=+−，所以2222222cos60()3()279acacacacacacac+−=+−=+−=+−=，即2()36ac+=，解得6ac+=.【故答案为：6.16.已知函数()()211(sin)

sin20,22fxxxR=+−，若()fx在区间(),2内没有零点，则的取值范围是_____．【答案】115(0,][,]16816【解析】【分析】化简函数解析式，由f(x)=0，可得

sin(2)04x−=，解得()2,28kx=+，结合102≤即可得出结论.【详解】()2111cos211(sin)sin2sin222222xfxxxx−=+−=+−2sin(2)2

4x=−．由()0fx=，可得24kx−=，解得82kx=+，kZ．因为()fx在区间(),2内没有零点，所以()2,28kx=+，且2T，即()2,28kx=+且

102≤，因为0，分别取0k=，1,2,3，11599115(,)(,)(,)(,)(,)168168168168165=+，115(0,][,]16816∴取值范围是115(0,][,]16816，故答案为：115(0,][,

]16816．【点睛】关键点点睛：由三角函数化简求出函数零点()82,2k+，kZ，分别取0,1,2,k=，可得不属于的集合，结合102≤，可判断所在区间即可，属于难题.三、解答题的17已知2sincos=.（1）若为锐角，求cos()3+的值

.（2）求tan(2)4+值.【答案】（1）251510−（2）7−【解析】【分析】(1)根据题意和22sincos1+=求得525sincos55==、，结合两角和的余弦公式计算即可；(2)根据题意和sintancos=可得1tan2=

，利用二倍角的正切公式求出tan2，结合两角和的正切公式计算即可.【小问1详解】由cos2sin=，为锐角，22sincos1+=，得525sincos55==，，∴cos3+coscossinsi

n33=−251535252=−251510−=；【小问2详解】由2sincos=得1tan2=，则22122tan42tan21tan3112===−−，.的∴41tan213tan(2)7441tan213

+++===−−−．18.已知非零向量a、b，满足||1a=，()()1·2abab−+=，且12ab=．（1）求向量a、b的夹角；（2）求||ab−．【答案】（1）4（2）22【解析】【分析】（1）对()()1·2abab

−+=化简结合||1a=可得2||2b=r，然后利用12ab=结合数量积的定义可求得答案，（2）先求出2||ab−，然后平方可得结果【小问1详解】∵()()1·2abab−+=，∴2212ab−=，即221||||2ab−=，又||1a=，∴2||2b=r，设向

量a、b的夹角为，∵12ab=，∴1cos2ab=，∴2cos2=，∵[0,]，∴4=，即向量a、b的夹角为4；【小问2详解】∵222111||212222abaabb−=−+=−+=∴2||2ab−=．19.在ABC中，若24cos4cos()10ABC+++=.（

1）求角A的大小（2）若3a=，3bc+=，且bc，分别求b、c的值.【答案】(1)3(2)b2c1==，【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得可得（2cosA﹣1）2＝0，解得cosA的值，结合范围A∈（0，π），

可求A的值；（2）由题意可得：b＝3﹣c，进而利用余弦定理可求c2﹣3c+2＝0，解方程可求c的值，进而可求b的值．【详解】（1）∵24cos4cos()10ABC+++=∴4cos2A﹣4cosA+1＝0，

可得：（2cosA﹣1）2＝0，∴解得：cosA12=，∵A∈（0，π），∴A3=．（2）由题意可得：b+c＝3，可得：b＝3﹣c，又由a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得：（3）2＝（3﹣c）2+c2﹣2()132cc−，可得：c2﹣

3c+2＝0，解得：21bc==，或12bc==．又bc∴2c1b==，.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题．20.()()23sincoscos

0fxxxx=+的相邻两对称中心距离为4．（1）求()fx的解析式和递增区间；（2）对任意0,8x不等式()2fxm−恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）()1sin462=++fxx，单调递增区间为(),62122kkkZ−++

.（2）1,32−【解析】【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简得到()1sin262fxx=++，由对称中心间距离可得最小正周期，进而求得，得到()fx解析式；令2426kx

−++22k+，即可解得单调递增区间；（2）根据x的范围可求得46x+的范围，结合正弦函数性质可求得()fx的值域，利用恒成立的思想可构造不等式组求得结果.【小问1详解】由题意得：()31cos21sin2sin22262xfxxx+=+=++，()fx

相邻两对称中心距离为4，()fx最小正周期2224T==，解得：2=；()1sin462fxx=++；令()242262kxkkZ−+++，解得：()62

122kkxkZ−++，()fx的单调递增区间为(),62122kkkZ−++.【小问2详解】当0,8x时，24,663x+，()31,2fx；由()2fxm−得：()2

2mfxm−+，32212mm+−，解得：132m−，m的取值范围为1,32−.21.已知向量3sin,12xm=，2cos,sin22xxn=，设函数()fxmn=．（1

）求函数()fx的单调递增区间；（2）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______，求()fB的取值范围．从下面两个条件中任选一个，补充在上面的问题中作答．①3tantan0cos

cABaB++=；②()2coscos0cbAaB++=；注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．【答案】（1）π2π2π,2π,33kkk−++Z（2）条件选择见解析，()01，【解析】【分析】（1）结合向量坐标乘法及三角恒等变换，将()fx化简成

()sinAx+的形式即可求得单调递增区间（2）结合正弦定理、三角恒等变换及三角形角的范围，可解出A的值，即可求出B的范围，即可求出()fB的取值范围【小问1详解】因为3sin,12xm=，2cos,si

n22xxn=，所以()231cos3sincossinsin22222xxxxfxmnx−==+=+1sin62x=−+，由πππ2π2π,262kxkk−+−+Z，得π2π2π2π,33kxk

k−++Z，即函数()fx的单调递增区间π2π2π,2π,33kkk−++Z.【小问2详解】若选①3tantan0coscABaB++=，由正弦定理可得3sinsinsin0sincoscoscosCABABA

B++=，即3sinsincossincos0sincoscoscosCABBAABAB++=，即()sin3sin3sinsin0sincoscoscossincoscoscosABCCCABABABAB++=+=，由于sin0C，所以3cos

sin0AA+=，解得tan3A=−，由于0πA，得2π3A=，所以π03B，所以πππ666B−−，得π10sin162B−+，即()fB的取值范围是()01，.若选②()2coscos0cbA

aB++=，由正弦定理可得2sincossincossincos0CABAAB++=，即()2sincossin2sincossin0CAABCAC++=+=，由于sin0C，所以1cos2A=−，由于0πA，得2π

3A=，所以π03B，所以πππ666B−−，得π10sin162B−+，即()fB的取值范围是()01，.22.如图，在梯形ABCD中，//ABCD，2AB=，5CD=，23ABC=．(

1)若27AC=，求梯形ABCD的面积；(2)若ACBD⊥，求tanABD．【答案】(1)73；(2)23tan3ABD=．【解析】【分析】(1)ABC中，利用含ABC的余弦定理表达式建立BC的方程，求出BC而得A

BC面积，再利用面积关系求ADC的面积得解；(2)由题设中角的信息用ABD表示出ABC与BDC中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得tanABD的方程，解之即得.【详解】(1)设BCx=，

在ABC中，由余弦定理2222cosACABBCABBCABC=+−得：22228222cos3xx=+−，即22240xx+−=，而x>0，解得4x=，所以4BC=，则ABC的面积113s

in2423222ABCSABBCABC===△，梯形ABCD中，//ABCD，ABC与ADC等高，且52ABCD=，所以ADC的面积5532ABCADCSS==△△，则梯形ABCD的面积73ABCADCSSS=+=△△；(2)在梯形ABCD中，设ABD=，而ACBD⊥，则

BDC=，2BAC=−，23DBCa=−，6BCA=−，在ABC中，由正弦定理sinsinABBCBCABAC=得：2sin()sin()62BC=−−，在BDC中，由正弦定理sinsinCDBCDBCBDC=

得：52sinsin()3BC=−，两式相除得：2312sin()2(cossin)sinsin322cos315sin()sin()5(sincos)6222−+==−−−，整理得2253sin7sincos23cos0−−=，即253

tan7tan230−−=解得23tan3=或3tan5=−，因为(,)62，则23tan3=，即23tan3ABD=．【点睛】(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一

元二次方程求解；(2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.