高中新教材人教A版数学课后习题 必修第二册 第六章 6-4-3 第4课时  余弦定理、正弦定理应用举例含解析【高考】

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【文档说明】高中新教材人教A版数学课后习题 必修第二册 第六章 6-4-3 第4课时  余弦定理、正弦定理应用举例含解析【高考】.doc,共(6)页,947.500 KB,由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

1第4课时余弦定理、正弦定理应用举例课后训练巩固提升一、A组1.已知轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船A的航行速度是25nmile/h,轮船B的航行速度是15nmile/h

,下午2时两船之间的距离是()A.35nmileB.35nmileC.35nmileD.70nmile解析:由题可知∠C=120°,AC=50,BC=30,由余弦定理,得AB2=302+502-2×50×30=4900,得AB=70.答案:D2.如图,设A,B两点在河的两岸,

要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为m,∠BAC=α,∠ACB=β,则A,B两点间的距离为()ABCD解析:在△ABC中,AC=m,∠BAC=α,∠BCA=β.则∠ABC=π-α-β.即sin∠ABC=

sin(π-α-β)=sin(α+β).由正弦定理,得,得AB=答案:C3.某人在点C测得某塔底B在南偏西80°方向,塔顶A的仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10m到D,测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为()A.15mB.5mC.10mD.12m解析:如图,设塔高为hm,则

AB=h,BC=h,BD=h,∠BCD=120°,CD=10,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos120°,解得h=10.答案:C4.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,

则河流的宽度BC等于()2A.30(+1)mB.120(-1)mC.180(-1)mD.240(-1)m解析:由题可知,BC=60tan60°-60tan(90°-75°)=60()=60()=120(-1)(m).答案:B5.如图,为测得河

对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使点C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高度为()A.10mB.10mC.10mD.10m解析

:依题意,在△BCD中,CD=10m,∠BCD=105°,∠BDC=45°,则∠DBC=180°-45°-105°=30°,由正弦定理,得,得BC==10(m).在Rt△ABC中,∠BCA=60°,即AB=BCtan∠BCA=10=10(m).故塔AB

的高度为10m.答案:D6.某观测站C与两灯塔A,B的距离分别为300m和500m,测得灯塔A在观测站C北偏东30°方向,灯塔B在观测站C南偏东30°方向,则两灯塔A,B之间的距离为.解析:如图所示,在△ABC中,AC=300m,BC=500m,∠ACB=120°.由余弦定理,得AB

===700(m).答案:700m7.如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底C处测得点A的俯角β=45°.已知塔高为60m,则山高为.解析:在△ABC中,BC=60m,∠BAC=15°,∠ABC=30°.由正弦定理

,得AC==30()(m),即CD=ACsin45°=30(+1)(m).3答案:30(+1)m8.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一座建筑物CD的顶端C对于山坡的坡度为15°,向山顶前进100m到达B处,测得点C对于山坡的坡度为45°,假设建筑物CD的高为50m,设

山坡对于地平面的坡度为θ,则cosθ=.解析:在△ABC中,AB=100,∠CAB=15°,∠ACB=45°-15°=30°.由正弦定理,得,故BC=200sin15°.在△DBC中,CD=50,∠CBD=45°,∠CDB=90°+θ.由正弦定理,得,故cosθ=-1.答案

:-19.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向,距离为12nmile;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°方向,距离为8nmile;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°,求:(1)A处与D处之间的距离;(2)灯塔C与D处之间的距离.解:由题

意画出示意图.(1)在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,B=45°,AB=12nmile.由正弦定理,得AD==24(nmile).(2)在△ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°=2

42+(8)2-2×24×8=192,故CD=8(nmile).二、B组1.有一长为10m的斜坡,倾斜角为75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长()A.5mB.10mC.10mD.10m解析:如图,设将坡底加长到B'时

,倾斜角为30°,在△ABB'中,∠B'=30°,∠BAB'=75°-30°=45°,AB=10m.在△ABB'中,由正弦定理,得BB'==10(m).4故坡底延长10m时,斜坡的倾斜角将变为30°.答案:C2.如图,某炮兵阵地位于点A,两个观察所分别位于C,D两点.已知△ACD为

等边三角形,且DC=km,当目标出现在点B时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标的距离约是()A.1.1kmB.2.2kmC.2.9kmD.3.5km解析:∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.在△BCD中,由正弦定理

,得BD=在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°.由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105°=3++2=5+2则AB=2.9(km).故炮兵阵地与目标的距离约是2.9km.答案:C3.(多选题)如图,在海岸上有两个观测点C

,D,C在D的正西方向,距离为2km,在某天10:00观察到某航船在A处,此时测得∠ADC=30°,5分钟后该船行驶至B处,此时测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,则()A.当天10:00时,该船位于观测点C的北偏西15°方向B.当天10

:00时,该船距离观测点CkmC.当船行驶至B处时,该船距观测点CkmD.该船在由A行驶至B的这5min内行驶了km解析:A项中,∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°,因为C在D的正西方向,所以A在C的北偏西15°方向,故A正确.B项中,在△ACD中,∠ACD=105°,

∠ADC=30°,则∠CAD=45°.由正弦定理,得AC=,故B正确.C项中,在△BCD中,∠BCD=45°,∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°,即∠CBD=45°,则BD=CD=2,于是BC=2,故C不正确.D项中,在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·

BCcos∠ACB=2+8-22=6,即AB=km,故D正确.答案:ABD4.如图,在山脚测得山顶仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1000m至点S,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为m.5解析:∵∠SAB=45°

-30°=15°,且∠SBD=15°,∴∠ABS=30°,AS=1000.由正弦定理,可知,即BS=2000sin15°,则BD=BSsin75°=2000sin15°cos15°=1000sin30°=500(m),且DC=1000sin30°=500(m).从而BC=DC+BD=1000

(m).答案:10005.如图,位于A处的海上观测站获悉,在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险,并在原地等待营救,在A处南偏西30°且相距20nmile的C处有一艘救援船,该船接到观测站通告后立即前往B处援助,则sin∠ACB=.解析:在△ABC中,AB=

40,AC=20,∠BAC=120°.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,得BC=20由正弦定理,得sin∠ACB=答案:6.如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东

75°的方向航行20()nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东15°的方向航行40nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,那么此船应沿怎样的方向航行,需要航行的距离是多少?解:在△ABC中

,AB=20(),BC=40,∠ABC=180°-75°+15°=120°.由余弦定理可得AC===40由正弦定理,得,得sin∠BAC=6即∠BAC=45°,75°-∠BAC=30°.故此船应沿北偏东30°方向航行,需要航行40nmile.7.如

图,某观测站C在城A的南偏西20°的方向,从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路,在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20km后到达D处,测得C,D两处的距离为21km,这时此车距离A城多少千米?解:在△

BCD中,BC=31,BD=20,CD=21,由余弦定理,得cos∠BDC==-,即cos∠ADC=,sin∠ADC=在△ACD中,由条件知CD=21,A=60°,则sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)=由正弦定理,得,解得AD==15.故这时此车距离A城15km.

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