【文档说明】江苏省盐城市响水中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题【精准解析】.doc，共(18)页，1.106 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省响水中学2019~2020学年度春学期高一年级期中考试数学试题考生注意：1.本试题分第I卷和第II卷，共4页.2.满分150分，考试时间为120分钟.第I卷选择题（共60分）一、选择题（每题5分，计70分）1.cos15cos75sin1

5sin75+的值为（）A.1B.0C.-0.5D.0.5【答案】D【解析】【分析】根据两角差的余弦公式，直接计算，即可求出结果.【详解】()1cos15cos75sin15sin75cos1575cos(60)2

+=−=−=.故选：D.【点睛】本题主要考查逆用两角差的余弦公式求三角函数值，属于基础题型.2.已知tan3=−，则tan2的值为（）A.3−B.3C.33−D.33【答案】B【解析】【分析】根据二倍角公式求解即可.【

详解】22tan23tan231tan13−===−−.故选：B【点睛】本题主要考查了正切的二倍角公式，属于基础题.3.圆()()22244xy++−=与圆22(2)(1)9xy−+−=的位置关系为（）A.内切B.相交C.外切D.相离【答案】C【解析】【分析】根据两圆的方程得

出圆心坐标和半径，求出圆心距，比较圆心距与半径之和的关系，即可得出结果.【详解】因为圆()()22244xy++−=的圆心为()12,4O−，半径为12r=；圆22(2)(1)9xy−+−=的圆心为()22,1O，半径为23r=；则()()22121222415OOrr=−−+−==+.所

以两圆外切.故选：C.【点睛】本题主要考查判断两圆位置关系，属于基础题型.4.在ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知26a=，22c=，3A=，则C的大小为（）A.π4或3π4B.6或56C.6

D.π4【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理sinsinacAC=求得1sin2C=，再根据ac知AC可得答案.【详解】由正弦定理sinsinacAC=得2622sinsin3C=，得1sin2C=，因为2622ac==，所以3CA=，所以6C

=.故选：C.【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，根据ac得到AC，这样避免增解，属于基础题.5.已知直线20axya+−+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a=)A.1B.1−C.2−或1D.2或1【答案】D【解析】【分析】

根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a0−+=，即a2=时，直线axy2a0+−+=化为2xy0+=，此时直线在两坐标轴上的截距都

为0，满足题意；当2a0−+，即a2时，直线axy2a0+−+=化为122xyaaa+=−−，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2aa−=−，解得a1=；综上所述，实数a2=或a1=．故选D．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，

其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.已知直线1:(1)(1)20laxay−++−=和2:(1)210laxy+++=互相垂直，则a的值为（）A.-1B.0C.1D.2【答案】

A【解析】分析：对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．详解：1a=−时，方程分别化为：10210xy+=+=，，此时两条直线相互垂直，因此1a=−满足题意．1a−时，由于两条直线相互垂直，可得：11()112aaa−+−−=−+，解得1a=−

，舍去．综上可得：1a=−.故选A．点睛：本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7.已知ABC的顶点()0,0A，()0,2B，()2,2C−，则其外接圆的方程为（）A.22(1)(1)2xy++−=B.22(1)(1)2xy−++=

C.22(1)(1)2xy−+−=D.22(1)(1)2xy+++=【答案】A【解析】【分析】先设圆的方程为222()()xaybr−+−=，根据题意，列出方程组求解，即可求出结果.【详解】设ABC的外接圆的方程为222(

)()xaybr−+−=，因为ABC的顶点()0,0A，()0,2B，()2,2C−，所以222222222(2)(2)(2)abrabrabr+=+−=−−+−=，解得112abr=−==，因此22(1)(1)2xy++−=即为所求圆的方程.故选：A.【点睛】本

题主要考查求圆的标准方程，利用待定系数法求解即可，属于基础题型.8.已知,为锐角，()5tan2,cos5=+=−，则tan=（）A.2B.211C.43D.12【答案】C【解析】【分析】利用平方关系与商的关系求出tan()2+=−，再利用两角差的正切公式可得结果.【详

解】因为,为锐角，所以(0,)+.因为5cos()5+=−，所以225sin1co)5)s((+=−+=，因此tan()2+=−.因为tan2=，所以tan()tan224tantan[()]1tan()tan143+−−−=+−===

++−.故选：C.【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，考查了两角差的正切公式，解题的关键是熟练掌握三角函数恒等变换公式.属于中档题.9.已知()0,，3sin65+=，则sin26−=（）A

.2425B.2425−C.725−D.725【答案】D【解析】【分析】利用三角函数诱导公式和二倍角公式将sin26−转化为212sin6+−，代入数据即可求解.【详解】212sin33sin2sin+2cos+

2cos26266==−−=−=++因为3sin65+=，所以237sin2126525−=−=.故选：D【点睛】本题

主要考查三角函数诱导公式和二倍角公式，属于基础题.10.在圆M：224410xyxy+−−−=中，过点N(1，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A.67B.127C.24D.6【答案】A【解析】【分析】先求得圆的圆心和半径，易知最长弦为直径，最短弦为过

点()1,1与AC（直径）垂直的弦，再求得BD的长，可得面积.【详解】由224410xyxy+−−−=可得：22(2)(2)9xy−+−=，故圆心为(2,2)，半径为3r=，由N()1,1为圆内点可知，过N(1，1)最长弦为直径，即AC=6而最短弦为

过()1,1与AC垂直的弦，圆心(2,2)到()1,1的距离：22(12)(12)2d=−+−=所以BD=22227rd−=所以四边形ABCD的面积：1672SACBD==故选：A【点睛】本题考查了直线与圆，圆的方程，圆的几何性质，面积的求法，属于中档题.11.在ABC中，角A、

B、C的对边分别为a，b，c，且tanC3cos3coscaBbA=+，若7,2ca==，则b的值为（）A.3B.1C.2D.2【答案】A【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得sint

an3sinCCC=，结合sin0C，可求得tan3C=，结合范围()0,C，可求C，从而根据余弦定理可求b的值．【详解】∵tan3cos3coscCaBbA=+，∴由正弦定理可得：()()sintan3sincossincos3sin3sinCCABBAABC=+=+=，∵s

in0C，∴可得tan3C=，∵()0,C，∴3C=，∵7c=，2a=，∴由余弦定理2222coscababC=+−，可得2174222bb=+−，可得2230bb−−=，∴解得3b=，1b=−（负值舍去）．故选：A．【点

睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，两角和的正弦公式，其中着重考查了正弦定理的边角互化、余弦定理的解三角形，属于中档题.12.若方程21422xkxk+−=−+有两个相异的实根，则实数k的取值范围是（）A.31,44−B.31,44−C.11,24

−D.11,24−【答案】B【解析】【分析】方程()240xyy−=表示半圆、直线21ykxk=−+过定点()2,1B，数形结合知当直线在直线BD、BC之间(包含直线BD)时与半圆有两个交点，求出两直线的斜

率即可求得k的范围.【详解】方程21422xkxk+−=−+有两个相异的实根等价于方程2421xkxk−=−+有两个不同的实根，240yx=−即()2204yxy+=表示以()0,0为圆心、2为半径的半圆，直线()2121kxkxyk−+=−+=过定点()2,1B，如图所示，当直线在直线BD

、BC之间(包含直线BD)时与半圆有两个交点，因为直线BC与半圆相切，则2214231BCBCBCkkk−+==−+，又()11224BCk==−−，所以31,44k−.故选：B【点睛】本题考查函数图象的交点与方程的根、直线与圆的位置关系、直线

的定点，将方程的根转化为函数图象的交点是解题的关键，属于中档题.第II卷非选择题（共90分）二、填空题13.1sincos3+=，则sin2=___________．【答案】89−【解析】试题分析：由1sincos3+=两边平方，得112sincos1s

in29+=+=，所以8sin29=−．考点：倍角公式．14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=______．【答案】132：：【解析】【分析】通过三角形

的角的比，求出三个角的大小，利用正弦定理求出a、b、c的比即可.【详解】∵A+B+C=π，A：B：C=1：2：3，∴A=30°，B=60°，C=90°，由正弦定理可知：a：b：c=sinA：sinB：sin

C=132：：．故答案为：132：：．【点睛】本题考查正弦定理的应用，三角形的内角和，基本知识的考查．15.函数()sin2cos236fxxx=+++的最小值是____________.【答案】2【解析】【分析】利用两角和的正弦、余弦公式化简函数解析式为正弦型

函数，根据正弦函数的范围即可求得函数()fx的最小值.【详解】()3113sin2cos2sin23sin2cos232222fxxxxxx=+−+=++sin233x=++，sin21,13x+−，()

min2fx=.故答案为：2【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，属于基础题.16.已知点A(0，2)，O(0，0)，若圆()()22:21Cxaya−+−+=上存在点M，使3MAMO=，则圆心

C的横坐标a的取值范围为________________.【答案】[0,3]【解析】【分析】设(),Mxy，利用3MAMO=，可得M的轨迹方程以()0,1为圆心，2为半径的圆，利用圆C上存在点M，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a的取值范围.【

详解】解：设(),Mxy，因为A(0，2)，O(0，0)，所以(,2)MAxy=−−，(,)MOxy=−−.因为3MAMO=，所以()()()()23xxyy−−+−−=，化简得：22(1)4xy+−=，所以M点的轨迹是以()0,1为圆心，2为半径的圆.因为M在()()22:21Cxaya

−+−+=上，所以两圆必须相交或相切.所以()()2210213aa−+−−，解得03a.所以圆心C的横坐标a的取值范围为：[0,3].故答案为：[0,3].【点睛】本题主要考查求轨迹方程，考查圆与圆的位置

关系，确定M的轨迹方程是解题的关键，属于中档题.三、解答题（17、18题每题10分，19、20、21题每题12分，22题14分计80分）17.根据所给条件求直线的方程：（1）直线经过点(-2，0)，倾斜角的正弦值为10

10；（2）与直线230xy−+=平行且被圆()()226212xy−+−=所截得的弦长为6.【答案】（1）320xy−+=或320xy++=（2）210xy−−=或270xy−−=【解析】【分析】（1

）由正弦值求得正切，即为所求直的斜率k，利用点斜式即可得出；（2）根据平行关系可设直线方程20xym−+=，再根据垂径定理列等量关系，求参数m.【详解】解：（1）由题可知该直线的斜率存在，设直线的倾斜角为，则1010sin=，∴2310cos1sin,10=−=∴si

n1tan,cos3==∴直线方程为320xy−+=或320xy++=.（2）设直线方程为20xym−+=∵弦长为6∴弦心距1293d=−=，∴62313mdm−+===−或7m=−∴直线方程为210

xy−−=或270xy−−=【点睛】本题考查直线的点斜式方程，考查两直线平行的性质，直线与圆的位置关系，属于基础题18.已知()4311sin,cos714=+=−，且,0,2.(1)求()cos2+

的值；(2)求的值.【答案】（1）7198−（2）3=【解析】【分析】(1)根据角度关系有cos(2)coscos()sinsin()+=+−+，再分别求解其中的三角函数值求解即可.(2)根据()sinsin=+−展开求解

得3sin2=，再根据0,2求解即可.【详解】解：(1)∵43,0,,sin27=，∴21cos1sin7=−=，∵()()110,,cos14++=

−，∴()()253sin1sin14+=−+=∴71cos(2)coscos()sinsin()98+=+−+=−(2)()()()3sinsinsincoscossin2

=+−=+−+=又∵0,2∴3=【点睛】本题主要考查了三角恒等变换求解三角函数值与角度的问题，需要根据题意确定合适的和差角公式，并根据同角三角函数值的关系以及角度范围求解所求角的正余弦.属于中档题.19.在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，

且3245,2Aac==.（1）求sinC的值；（2）若3a=，求ABC的面积.【答案】（1）1sin3C=（2）2212+【解析】【分析】（1）由正弦定理即可算出；（2）先算出cosC，然后算出sinB，然后利用1sin2SacB=算出答案即可.【详解】（1）由

正弦定理可得：sinsinaAcC=，∴sin32sin2AC=，∴2212sin332C==（2）∵3,a=∴2ca=，∴222cos1sin,3CC=−=∴()42sinsinsincoscossin,6BACACAC+=+=+=∴1142221sin322262SacB++

===【点睛】本题考查的是利用正弦定理解三角形和求三角形的面积，考查了学生的计算能力，属于基础题.20.已知直线12:340,:8140lxylaxya+=+++=且12ll//.圆C与直线2l相切于

点A，且点A的纵坐标为85−，圆心C在直线1l上.（1）求直线12,ll之间的距离；（2）求圆C的标准方程；（3）若直线l经过点()2,2且与圆C交于,PQ两点，当△CPQ的面积最大时，求直线l的方程.【答案】（1）2（2）224xy+=（3）2x=或2342yx=+【解析】【分析

】（1）由两直线平等求得a，然后由平行线间距离公式得距离．（2）求出A点坐标，可得过A与2l垂直的直线方程，由此可得圆心坐标，得圆半径，从而得圆方程；（3）利用1sin2sin2CPQSCPCQPCQPC

Q==知2PCQ=时，面积最大.从而圆心到直线的距离为2，从而求得直线方程．【详解】解：（1）∵两条线平行，∴3846aa==，直线2l方程为68200xy++=，即34100xy++=，∴1

02916d==+（2）∵2:34100,lxy++=由834()1005x+−+=得65x=−，∴68,55A−−，设过A与l2垂直的直线方程为430xym−+=，684()3()055m−−−+=，0m=，∴过A与l2

垂直的直线方程为430xy−=，∴4300,3400xyxxyy−==+==，∴圆心为(0，0)，半径为102916r==+，∴圆C的标准方程为224xy+=（3）∵1sin2sin2CPQSCPCQPCQPCQ==，∴当sin1PCQ=，即2PCQ=时，面积最

大.此时，圆心到直线的距离为2，显然直线2x=满足题意，当直线l斜率存在时，设方程为2(2)ykx−=−，即220kxyk−−+=，由22221kk−=+，解得24k=，直线方程为22(2)4yx−=−，即2342yx=+.∴直线l的方程为2x=或2342yx=+．【点睛】

本题考查两直线平行的充要条件，考查直线与圆位置关系，考查直线与圆相交问题中三角形面积最值．求平行线间距离时，两直线方程中,xy的系数分别相同，在求直线方程时要分类讨论，分直线的斜率存在和不存在两种情形，求直线与圆相交的弦长时常常用几何方法求解．21.如图所示，某小区内有一扇形绿化带O

PQ，其半径为2m，圆心角为3.现欲在扇形弧上选择一点C将该绿化带分割成两块区域，拟在△OPC区域内种植郁金香，在△OCQ区域内种植薰衣草.若种植郁金香的费用为3千元/2m，种植薰衣草的费用为2千元/2m，记COP=，总费用为W千元.（1）找出W与的函数关系；（2）试探求费用

W的最大值.【答案】（1）6sin4sin,0,33W=+−（2）费用的最大值为27千元【解析】【分析】（1）求出三角形面积后可得费用W；（2）由两角差正弦公式展开化简函数式，然后利用辅助角公式求得最大值．【

详解】解：（1）22132sin22sin6sin4sin,0,21323323OCPOCQWSS=++−=+−=（2）∵326sin4sin6sin4(sincoscossin)333OCPOCQWSS

=+=+−=+−4sin23cos=+2327sincos77=+，设2cos7=，3sin7=，为锐角，33tan23=，(,)62，∴()27si

n,3W=+++，∵62，∴当2+=时，费用的最大值为27千元.【点睛】本题考查三角函数的实际应用，考查两角和与差的正弦公式，考查辅助角公式，解题关键是列出函数关系式，本题属于中档题．22.已知圆C：()()2

2234xy−+−=.（1）求经过点()2,5且与圆C相切的直线方程；（2）设直线:lyxn=+与圆C相交于A，B两点，若2CACB=，求实数n的值；（3）若点M在以(),2Naa−为圆心，以1为半径的圆上，距离为4的两点P，Q在圆C上，求MPMQ的最小值.【答案】

（1）5y=；（2）61n=+或61n=−+；（3）3322−【解析】【分析】（1）点()2,5就在圆上，且与圆心横坐标一样，则可直接写出切线方程；（2）由数量积的运算可得cosACB，则60ACB=，进

而可得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离可得实数n的值；（3）利用向量的几何运算可得()22414MPMQMCNC=−−−，求出NC的最小值，即可得MPMQ最小值.【详解】解：（1）因为()()2222534−+−

=，则点()2,5就在圆C上，故点()2,5就是切点，又圆心为()2,3则切线斜率为0，所以经过点()2,5且与圆C相切的直线方程5y=；（2）∵cos4cos2CACBCACBACBACB===1cos2ACB=，又0180ACB，

∴60ACB=，则圆心到直线的距离为2sin603=，∴233612ndn−+===+或61n=−+；（3）∵()()()2MPMQMCCPMCCQMCCPCQMCCPCQ=++=+++()22414MCNC=−−−，∴当NC最小时，MPMQ最小，∵()22279(2

)23222NCaaa=−+−−=−+，∴当72a=时，NC取得最小值为322，此时MPMQ最小为2314332222−−=−.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查圆和

向量相结合的最值问题，是中档题.