【文档说明】河北省邯郸市大名县第一中学2022-2023学年高三下学期2月月考试题 数学答案和解析.docx，共(18)页，1009.539 KB，由小赞的店铺上传

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参考答案：1．B2．B3．B4．D5．B6．B【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到na，由此可得1nnaa+，利用裂项相消法可求得nT，由33101kT可构造不等式求得k的范围，进而得到最小值.【详解】1113nnaa+=+，111a=，数列1na是以1为首项，3为公差

的等差数列，()113132nnna=+−=−，则132nan=−，()()11111323133231nnaannnn+==−−+−+，11111111111344771035323231nTnnnn=−+−+−++−+−−−−+11133131=

−=++nnn，由33101kT得：3331101kk+，解得：332k，又kN，min17k=.故选：B.7．C【分析】根据勾股定理和面面垂直的性质定理得到球心位于BC中点，再求出半

径，利用球的体积公式得到答案.【详解】四面体ABCD的顶点都在的球O的球面上,且2,22ABADCDBD====，BDCD⊥，222ABADBD+=，()222222223BCBDCD=+=+=,平面ABD⊥平面BCD,平面ABD

平面BCDBD=，CD平面BCD，CD\^平面ABD，又AD平面ABD，CDAD⊥，22222222ACADCD=+=+=，()222312BC==,()222222212ABAC+=+=,222ABACBC+=,

ACAB⊥,取BC中点O,则1123322OAOBOCODBC======,球O的体积34(3)433V==.故选：C.8．B【分析】由题，结合角平分线性质与椭圆的性质，()1212122MFPFSMFMFhh=+=，h为P到2MF的距离，又OE是12FMF

△的中位线，故12212sinhFFMFF=，结合余弦定理，设2MFt=，即可表示出12MFPFS，即可讨论最值【详解】由图，224,3ab==，221cab=−=，故122FF=，124MFMF+=，又MP平分12FMF，则P到1MF、2MF的

距离相等，设为h，则()1212122MFPFSMFMFhh=+=设2MFt=，则14MFt=−，()22221243cos24ttMFFtt+−−==−，由OE是12FMF△的中位线，易得2122132sin212hFFMFFt==−

−，即1223212MFPFSt=−−，由椭圆性质易知，存在点M为椭圆C上异于顶点的动点，使32t=，此时12MFPFS最大，且为2故选：B9．CD10．CD11．AC【分析】四个选项分别利用正态曲线的性质，二项分布方差的有关性质，非线性回归方

程线性化的方法，考虑对立事件即可求概率，即可判断正误.【详解】随机变量()21,N，正态曲线关于1x=对称，则()()35PP−=,()51(5)10.750.25PP=−=−=,即()30.25P−=，故A正确；随机变

量19,3XB，则()()11191233DXnpp=−=−=，故()()2148DXDX+==，故B错误；∵ekxyc=，∴两边取对数得()lnlnelnkxycckx==+，令l

nzy=，可得lnzckx=+，∵0.51zx=+，∴ln1c=，0.5k=，∴ec=，故C正确；从10名男生，5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的对立事件为选取的4人中没有一名女生，其概率为541041CC,则其中至少有一名女生的概率为4154131

0514415CCC1CC−，故D不正确；故选:AC．12．BD【分析】设点(),Pxy，根据题意可求出C的方程可判断A，根据三角形内角平分线的性质可判断B，求出点K的轨迹方程与C的方程联立可判断C，设,DE.的坐标结合C的方程可判断D.

【详解】设点(),Pxy，则由12PAPB=可得()()22222124xyxy++=−+，化简可得()22416xy++=，故A错误；当A，B，P三点不共线时，因为12PAPB=，2,4OAOB==，所以12OAOB=，

所以PAOAPBOB=，射线PO是APB的平分线，故B正确；设存在()00,Kxy，则()2200416xy++=，即2200080xxy++=，因为2KOKA=，所以()2222000022xyxy+=++，所以()22

22000042xyxy+=++，所以220001616033xxy+++=，又因为2200080xxy++=，所以02x=，又因为02x=不满足()22:416Cxy++=，所以不存在K满足条件，故C错误；假设x轴上存在异于,AB的两定点

,DE，使得12PDPE=，可设(,0),(,0)DmEn，可得2222()2()xnyxmy−+=−+，由P的轨迹方程为2280xyx++=，可得228224,40mnmn−=−−=，解得6,12m

n=−=−或2,4mn=−=（舍去），即存在(6,0),(12,0)DE−−，故D正确.故选：BD.【点睛】本题考查阿波罗尼斯圆的定义及应用，属于新定义问题；证明角平分线除了可以通过线段的长度比来证明，还可以通过点到

线段两边的距离相等来证明；和圆有关的线段长度问题，可以利用坐标法来解决问题.13．15214．(6,43−【分析】先以OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，得到(2,0)A，(1,3)B，()2cos,2sinC，)0,2，根据向量数量积的坐标表示，得到()0,,23

，进而可得出结果.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则(2,0)A，(1,3)B，()2cos,2sinC，)0,2，又0BABCuuruuur所以3sincos1−，即1sin62−

，所以()0,,23，又()0,23BOBA+=−，所以()(6,43OCBOBA+−.故答案为：(6,43−.【点睛】本题主要考查求平面向量数量积的取值范围，可

用建系的方法处理，属于常考题型.15.【答案】2【解析】由题意可知()22sin18sincos2CababCC+=，()224cosababC+=，由余弦定理：222cos2abcCab+−=，可得

2222abc+=，又由正弦定理可得222222sinsin2sinabABcC++=。答案：216．322+【分析】根据()fx的单调性，易得112221elnsinxxxx==，12ln12elnexxxx=，即12lnxx=，从而得到112121esinxxxx

==，同理得到34212cosxx=，再利用基本不等式求解.【详解】解：当01x时，()exfxx=，则()()10exfxx=+，所以()fx在()0,1上递增，且()()0,efx；当1x时，()l

nfxxx=，则()1ln0fxx=+，所以()fx在()1,+上递增，若要使()()0,efx，则()1,ex，所以()24,1,exx，()24ln,ln0,1xx因为函数()e,01ln,1xxxfxxxx=的图像与直

线1l：21siny=交于点()11,Axy，()22,Bxy，所以112221elnsinxxxx==，12ln12elnexxxx=，所以12lnxx=，即12exx=，所以112121esinxxx

x==，同理34212cosxx=，所以1234222211112sin2cossincosxxxx+=+=+，()2222222211sin13cos322sincos2sincos2sincos2=++=+++，当且仅当22221sinc

os2sincos=，即2tan2=，等号成立，所以1234xxxx+的最小值为322+.故答案为：322+【点睛】思路点睛：首先确定函数每段的单调性，从而得到交点横坐标的关系，建立模型，再利用基本不等式求解.17．(1)3A=(2)43【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角

函数的两角和的正弦公式，可求得答案;（2）由余弦定理结合基本不等式可求得16bc，再利用三角形面积公式求得答案.【详解】（1）根据正弦定理及2coscoscosbAcAaC=+，得2sincossincossincossin()sinBACAACACB=+=+=.∵sin0B，∴1c

os2A=.∵0πA，∴π3A=.（2）由（1）知π3A=，又4a=，由余弦定理得22π162cos3bcbc=+−，即2216bcbc+−=，∵222bcbc+，∴216bcbc−，即16bc，

当且仅当4bc==时取等号.∴1133sin16432224ABCSbcAbc===△.∴ABCS的最大值为43.18．(1)证明见解析(2)11【分析】（1）根据递推公式变换可知数列1na−是以111a−=为首项，公比为12的等比数列；（2）根据2log(1)

1nnban=−=−，然后利用等差数列求和公式求解.【详解】（1）解：由题意得：根据121nnaa+=+，得：111(1)2nnaa+−=−可知数列1na−是以111a−=为首项，公比为12的等比数列.111()2nnanN−=+

.（2）2log(1)1nnban=−=−2123[123(1)]2nnnbbbbn−+++=−++++−=290nn−−.解得9n−或10n，又nN使不等式成立的最小正整数n为11.19．(1)证明见解析(2)3510【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明EF

与平面ABP的法向量垂直即可；(2)利用空间向量求线面角即可.【详解】（1）由题意知，BC，BA，BP两两互相垂直，以B为原点，BC，BA，BP所在直线分别为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz−，则()0,0,0B，()3,0,0C，()2,3,0E

，()2,0,1F，所以()3,0,0BC=，()0,3,1EF=−．PB⊥底面ABCD，BC底面ABCD，PBBC⊥又BCBA⊥，PBBAB=，且,PBBA平面ABP,BC⊥平面ABP，所以()3

,0,0BC=是平面ABP的一个法向量．因为()()3,0,00,3,10BCEF=−=，所以BCEF⊥．又EF平面ABP，所以EFP平面ABP．（2）因为()0,3,0A，()3,0,0C，()3,3,0D，()0,0,3P，

()2,0,1F，所以()3,0,0AD=，()2,3,1AF=−，()3,0,3PC=−，设平面ADF的法向量为(),,nxyz=，则由30230nADxnAFxyz===−+=，解得03xzy==

，令1y=，得平面ADF的一个法向量为()0,1,3n=．设直线PC与平面ADF所成的角为，则()()3,0,30,1,335sincos<,103210PCnPCPCnn−====．故：直线PC与平面ADF所成角的正弦值为3510．20．(1)列联表见解析，有95%的把握认为

性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系(2)分布列见解析，()220=EX【分析】（1）根据统计图表分析可得列联表，计算2K，对照临界值表可得结论；（2）根据分层抽样计算出抽取的“重度沉迷”“中度沉迷”与“轻度沉迷”的抖音用户人数，求出X的所有可能取

值及其概率，可得分布列和数学期望.【详解】（1）由图表可知，非“重度沉迷”的抖音用户男性有：202545+=（人），“重度沉迷”的抖音用户男性有：6人；非“重度沉迷”的抖音用户女性有：201535+=（人），“重度沉迷”的抖音用户女性

有：14人填写列联表如下：非“重度沉迷”“重度沉迷”合计人数（男）45651人数（女）351449合计8020100根据列联表中的数据计算可得22100(4514356)4.4123.84180204951K−=，因此有95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系

.（2）由表可知：“重度沉迷”的抖音用户有61420+=（人），“中度沉迷”的抖音用户有251540+=（人），“轻度沉迷”的抖音用户有202040+=（人）.抽取的“重度沉迷”“中度沉迷”与“轻度沉迷”的抖音用户分别有2020410

0=（人），40208100=（人），40208100=（人），X的所有可能取值为100，150，200，250，300，则24220C3(100)C95PX===；1148220CC16(150)C95PX===

；211848220CCC6(200)C19PX+===；1188220CC32(250)C95PX===；28220C14(300)C95PX===.所以X的分布列为：X100150200250300P395169561932951495故购书券总和X的

数学期望为31663214()1001502002503002209595199595EX=++++=.22．(1)22143xy−=(2)证明见解析，定点4,13−【分析】（1）根据题意列出方程组，求得a,b，可得答案;（2）分类讨论直线AB的斜率是否存在的情况，

斜率存在，设出直线方程并联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表示出1232kk=，结合根与系数的关系化简，可得参数之间的关系式，结合直线方程，求得答案.（1）由题意点(4,3)P在双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=上，离心率72e=可得；2222169172ababa−=

+=，解出，2,3ab==，所以，双曲线C的方程是22143xy−=（2）①当直线AB的斜率不存在时，则可设()()00,,,AnyBny−，代入22143xy−=，得220334yn=−，则2201222003123393444(4)(4)2nyykknnynn−−

−−−====−−−−，即2948480nn−+=，解得43n=或4n=，当4n=时，03y=，,AB其中一个与点()4,3P重合，不合题意；当43n=时，直线AB的方程为43x=，它与双曲线C不相交，故直线AB的斜率存在；②当直线AB的斜率存在时，设直线

AB的方程ykxm=+代入22143xy−=，整理得，()2223484120kxkmxm−−−−=，设()()1122,,,AxyBxy，则21212228412,3434kmmxxxxkk++==−−−，由()()222

22Δ(8)4344120,34kmkmmk=−−−−−+，所以()()()221212121212121212123(3)33334444416kxxkmxxmyykxmkxmkkxxxxxxxx+−++−−−+−+−===−−−−−++32=

所以，()()()221212232612212300kxxkmkxxmm−+−+++−−=，即()()2222241282326122123003434mkmkkmkmmkk−−−+−++−−=−−,整理得()2231661

690mkmk+−+−=，即()()343430mkmk+++−=，所以3430mk++=或430mk+−=，若3430mk++=，则433km+=−，直线AB化为413ykx=−−，过定点4,13−；若430mk+−=，则43mk=−+，直线AB化为()43yk

x=−+，它过点()4,3P，舍去综上，直线AB恒过定点4,13−另解：设直线AB的方程为()()431mxny−+−=①，双曲线C的方程22143xy−=可化为()()22344]433]12xy−+−−+=，即()()22

3(4)4(3)24430xyxy−−−+−−−=②，由①②可得()()()()223(4)4(3)2443430xyxymxny−−−+−−−−+−=，整理可得()()()()()22243(4)244(3)24430m

xnynmxy+−−+−+−−−=，两边同时除以2(4)x−，整理得()()()23324424243044yynnmmxx−−+−−−+=−−③，()()22Δ24()42442430nmnm=−+++，则12,kk是

方程③的两个不同的根，所以()1224332442mkkn−+==+，即81230mn++=④，由①④可得()()3483312xy−−=−−=，解得431xy==−，故直线AB恒过定点4,13−.【点睛】本题考查了

双曲线方程的求法，以及直线和双曲线相交时直线过定点的问题，综合性较强，计算量大，解答时要明确解题思路，注意分类讨论，解答的关键是利用联立方程得到根与系数的关系，并利用该关系式化简得到参数之间的关系，从而解决直线过定点问题.

22．(1)1a=(2)证明见解析【分析】()1因为()()()1fxxlnxaxaR=−−，所以110.lnxax−−设()11gxlnxax=−−，对a进行分类讨论，利用导数研究()gx的单调性、最小值，可得实数a的值;()2研究()fx的单

调性得1201.xx要证122xx+，即证212xx−，即证()()212fxfx−，即证()()112fxfx−，设()()()2(01)Fxfxfxx=−−，利用导数研究单调性，即可

得证．【详解】（1）()1因为()()()ln1Rfxxxaxa=−−，所以110.lnxax−−设()11gxlnxax=−−，则()221axagxxxx−=−=．当0a时，()0gx，所以()gx单调递增，所以()(

)10gxg=，不满足题意．当01a时，()gx在区间()a+，上单调递增，所以()()10gag=，不满足题意．当1a时，()gx在区间()0a，上单调递减，所以()()10gag=，不满足题意．当1a=时，()gx在区间()0a，上

单调递减，在区间()a+，上单调递增，所以()()10mingxg==，所以()0gx，所以()0.fx综上可知：1a=．（2）因为()()11fxxlnxxxlnxx=−−=−+，所以()fxlnx=，所以()fx在区间()01，上单调递减，在区间()1+，上单调递增，所

以1201xx．要证122xx+，即证212xx−．因为21x，121x−，所以即证()()212fxfx−，因为()()21fxfx=，所以即证()()112.fxfx−设()()()2(01)Fxfxfxx=−−，则()()()()()'''222

10Fxfxfxlnxlnxlnxxln=+−=+−=−=，所以()Fx在区间()01，上单调递减，所以()()10FxF=．综上可知，原命题得证．【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的解题步骤：若0x为极值点，证明：1202xxx+要证

1202xxx+，即证1022xxx−（此处根据函数图像分析），也就是证明()()1022fxfxx−或者()()1022fxfxx−，又因为()()12fxfx=，，也就是证明：()()2022fxfxx

−或者()()2022fxfxx−，即证明()()20220fxfxx−−或者()()02220xfxfx−−，设()()()22022gxfxfxx=−−，求()2gx的单调性及最值即可.23．(1)增区间为()0,e，减区间为()e,+(2)证明见解析【分析】（1）求得()1ln2

xfx−=，分别解不等式()0fx¢>、()0fx可得出函数()fx的增区间和减区间；（2）分析可知()10,ex，()22e,ex，选①，证明出()2xfx，()0,ex，令2xy=与()1yfx=的交点为M，点M的横坐标m，则()12m

fx=，可得出()12222xxfxx++，构造函数()()2gxfxx=+，()2e,ex，可得出()()22eegxg=，即可得出212exx+；选②，求出()yfx=在2ex=处的切线为()21e2yx=

−−，证明出()()212xefx−−，()2e,ex，令()21e2yx=−−与()2yfx=的交点为N，点N的横坐标n，可得出()22e2nfx=−，构造函数()()2e2hxxfx=+−，()0,ex，可得出()2ehx，即可证得结论成立；选①②，证明出则()2xfx，()0

,ex，()()21e2xfx−−，()2e,ex，令2xy=与()1yfx=的交点为M，点M的横坐标m，则()12mfx=，令()21e2yx=−−与()2yfx=的交点为N，点N的横坐标n，则()()221e2nfx−−=，可得()22e2nfx=−，数形结合可证得结论成立.(1)解：函

数()ln2xfxxx=−的定义域为()0,+，()1ln1ln122xxfx+−=−=.由()0fx¢>可得0ex，由()0fx可得ex.所以，函数()fx的增区间为()0,e，减区间为()e,+.(2)证明：由（1）可知，()()maxee02fxf==，由()

()2ln02xfxx=−可得20ex，因为函数()fx的增区间为()0,e，减区间为()e,+，由12xx可知()10,ex，()22e,ex，若选①，当()0,ex时，ln1x，则()()1ln022xxfxx−=−，则()2xf

x，()0,ex，令2xy=与()1yfx=的交点为M，点M的横坐标m，则()12mfx=，由()10,ex可得()()122122222xxmxfxxfxx++=+=+，()22e,ex，令()()2gxfxx=+，()2e,ex，即()3lng

xxxx=−，()2e,ex，当()2e,ex时，()2ln0gxx=−，()gx在()2e,e上单调递增，所以()()22eegxg=，212exx+；选②，()21e2f=−，()2e0f=，所以，()yfx=在2ex=处

的切线为()21e2yx=−−.令()()()2213lnee22xxxpxfxx−−=+−=，其中()2e,ex，()2ln02xpx−=，所以，函数()px在()2e,e上单调递增，则()()2e0pxp=，

所以，()()21e2xfx−−，()2e,ex，令()21e2yx=−−与()2yfx=的交点为N，点N的横坐标n，则()()221e2nfx−−=，可得()22e2nfx=−，所以，()()221211211e2e2xxxnxfxxfx++=+−

=+−，()10,ex，()()2e2hxxfx=+−，()0,ex，即()2lnehxxxx=−+，()0,ex，由()0,ex知ln1x，()22lneehxxxx=−+，所以212exx+；若选①②，当()0,e

x时，ln1x，则()()1ln022xxfxx−=−，则()2xfx，()0,ex，()21e2f=−，()2e0f=，所以，()yfx=在2ex=处的切线为()21e2yx=−−.令()()()2213lnee22xxxpxfxx−−=+−=，其中(

)2e,ex，()2ln02xpx−=，所以，函数()px在()2e,e上单调递增，则()()2e0pxp=，所以，()()21e2xfx−−，()2e,ex，令2xy=与()1yfx=的交点为M，点M的横坐标m，则()12mfx=，令()21e2yx=−−与()2yfx

=的交点为N，点N的横坐标n，则()()221e2nfx−−=，可得()22e2nfx=−，则()()212122e2xxmnfxfx++=+−，由()()12fxfx=可得212exx+.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函

数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx）转化为证明()()0fxgx−（或()()0fxgx−），进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同

解变形，根据相似结构构造辅助函数.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com