【文档说明】2022-2023学年四川省成都等各市高一下数学期末试题分类汇编:三角函数、平面向量压轴题 Word版含解析.docx,共(51)页,3.615 MB,由管理员店铺上传
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2022-2023学年四川省成都等各市高一下数学期末试题分类汇编:三角函数、平面向量压轴题一、单选题1.已知函数()44cos2sincossinfxxxxx=−−,则()fx的最小正周期为()A.2B.C.2D.4【答案】B【分析】利用平方关系、降幂及辅助角公式可得()2cos(
2)4fxx=+,根据三角函数性质求最小正周期.【详解】由题设,44()(cossin)2sincoscos2sin22cos(2)4fxxxxxxxx=−−=−=+,所以最小正周期为22T==.故选:B2.记ABC的内角A,B,C的对边分
别为a,b,c,5π6ABC=,D是AC边上一点,且满足BDBC⊥,1BD=.则ac的最小值为()A.43B.83C.4D.8【答案】B【分析】由ABCABDDBCSSS=+△△△可得23acac=+,再由基本不等式即可求出答案.【详解】因为ABCABDDBCSSS=+△△△,所以
15π11πsin11?sin26223acac=+,所以1322acac=+,所以23223acacac=+,当且仅当23ac=时取等,所以()283acac,即83ac,故ac的最小值为83.故选:B.3.已知点O是ABC的内心,4,3
ABAC==,CBCACO=+,则+=()A.43B.53C.2D.73【答案】D【分析】连接AO并延长交BC于点D,连接CO,则由角平分线定理得到,CBCD的长度关系,再由平面向量基本定理,利用,,AOD三点共线,得到关系式,比较系数可得答案.【详解】连接AO并延长交B
C于点D,连接CO,因为O是ABC的内心,所以AD为BAC的平分线,所以根据角平分线定理可得43BDABCDAC==,所以73CBCD=,因为,,AOD三点共线,所以设(1)CDtCAtCO=+−,则777(1)333tt
CBCDCACO−==+,因为CBCACO=+,所以77(1)7333tt−+=+=,故选:D4.如图,在ABC中,π3BAC=,2ADDB=,P为CD上一点,且满足()R12APmACABm+=,若3AC=,4AB=,则APCD的值为().A.3−
B.1312−C.1312D.112−【答案】C【分析】由P、C、D三点共线及2ADDB=,可求m的值,再用AB、AC作基底表示CD,进而求APCD即可.【详解】∵()R12APmACABm+=,2ADDB=,即23ADAB=且2133CDCBCA=+,∴()R34APmACADm+=,又
C、P、D共线,有314m+=,即14m=,即1142APACAB=+,而CBCAAB=+,∴2122()3333CDCAABCACAABABAC=++=+=−∴APCD=2211211116913()()24233343412ACABABACAB
ABACAC+−=−−=−−=.故选:C5.如图,设,OxOy是平面内相交成60的两条数轴,21,ee分别是与x轴,y轴正方向同向的单位向量,若向量12OPxeye=+,则把有序数对(),xy叫做向量OP在坐标系Ox
y中的坐标,记作(),OPxy=uuur.若()()12cos,1,1,sin,OPOP==π3π,22121,2OPOP=−,则的值为()A.3π4B.πC.5π4D.4π3【答案】B【分析】利用平面向量数量积的定义可求得12ee
的值,由题意得出221121=cossi,nOePOPeee+=+,利用平面向量数量积的运算性质可求得答案.【详解】由平面向量数量积的定义可得2121211cos60122eeee===,由题意可得()()12cos,1,1,sin,O
POP==π3π,22121,2OPOP=−221121=cossi,nOePOPeee+=+所以,()()()221212112122cossincossincos+s+1inOeeeeeeePOPe
=++=+()2sins11+coscosin12=++=−,设+cos==sint42sin+,因为π3π,22,所以π3π7π,444+,π2sin1,42+−,)=2,1t−,由()2
sinsin11+coscos12++=−可得221114012322tttt++=−+−+=,解得3=t−(舍去),=1t−,由0sinsin+cos112cos1csosin=−+==,因为π3π,,22所以π,=故选:B.6.如图,
在RtABC△中,90A=,2AB=,4AC=,点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上,则PBPC的最小值为()A.0B.165−C.245−D.565−【答案】C【分析】由几何关系分解向量,根据数量积的定义与运算法则求解【详解】设AD为斜边BC上的高,则圆A的半径2
22445,24255416rADBC====+=+,设E为斜边BC的中点,,PAAE=,则0,π,因为455PA=,5AE=,则()()()21625PBPCPAABPAACPAPAABACPAAE=+
+=++=+16451625cos8cos555=+=+,故当π=时,PBPC的最小值为1624855−=−.故选:C.7.已知对任意平面向量(,)ABxy=,把(,)ABxy=绕其起点沿
逆时针方向旋转角得到向量(cossin,sincos)APxyxy=−+,叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点(1,2)A,把点B绕点A沿顺时针方向旋转π3后得到点312,322P−−,则点B的坐标为()A.352,322
−−+B.513,32+−+C.32,2232−−D.()13,223+−【答案】D【分析】根据题意,设(),Bxy,由条件可得AP的坐标,然后列出方程,即可得到结果.【详解】设(),Bxy,则()1,2ABxy=−−,将
点B绕点A沿顺时针方向旋转π3,即将点B绕点A沿逆时针方向旋转5π3,可得()()()()5π5π5π5π1cos2sin,1sin2cos3333APxyxy=−−−−+−,化简可得,1313133,
1222222APxyxy=+−−−++−,又因为333,322AP=−−−,所以13133322223133132222xyxy+−−=−−++−=−−
,解得13223xy=+=−,所以()13,223B+−.故选:D8.在等腰直角三角形ABC中,90A=,AEAB=,AFAC=,M为EF的中点,满足12AMAB=,则22+的值为()A.23B.1C.12D.13【答案
】B【分析】根据给定条件,利用,ABAC表示AM,再利用数量积的运算律计算作答.【详解】依题意,在ABC中,90A=,||||ACAB=,0ABAC=,由AEAB=,AFAC=,M为EF的中点,得11()()22AMAEAFABAC=+=+,因此222222221(2)44A
MABACABACAB+=++=,而12AMAB=,即2214AMAB=,所以221+=.故选:B二、多选题9.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,M,N分别是AB,AD边上的动点,下列命题中正确的有()A.若AMN的周长为2
,则∠MCN的正切值等于1B.若AMN的面积为18,则∠MCN正切值的最小值为34C.若AMN的周长为2,则CMCN的最小值为222−D.若AMN的面积为18,则CMCN的最大值为2【答案】ABC【分析】AMN的周长为2时,求得∠MCN的正切值判断选项A;求得CMCN的最小值判断选项C
;AMN的面积为18时,求得∠MCN的正切值的最小值判断选项B;求得CMCN的最大值判断选项D.【详解】当AMN的周长为2时,延长ND至P,使PDBM=,连接PC.则()CDPCBMSAS△≌△,则=PCMC
,PCDMCB=,又2MNANAMDNBMDNPDPN=−−=+=+=,则()CMNCPNSSS△≌△,则PCNMCN=,又由PCDMCB=,可得90PCMDCB==,则45PCNMCN=
=,则tantan451MCN==选项A判断正确;以A为原点,分别以,ABAD所在直线为,xy轴建立坐标系,则00(,0),(0,),(1,1)MxNyC,00,0,1xy,则00(1,1),(1,1)CMxCNy=−−=−−,()002CMCNxy=−+当AMN的周长为2时,220
0002xyxy+++=,由22220000000222xyxyxy++−−=,可得22000022xyxy++(当且仅当0022xy==−时等号成立)则()220000002222xyxyxy+=+++
+则00422xy+−(当且仅当0022xy==−时等号成立),则()002222CMCNxy=−+−(当且仅当0022xy==−时等号成立),故AMN的周长为2,则CMCN的最小值为222−.选项C判断正确
;当AMN的面积为18时,001128xy=,即0014xy=,则000021xyxy+=(当且仅当0012xy==时等号成立),则()0021CMCNxy=−+(当且仅当0012xy==时等号成立).故AMN的面积为18时,则C
MCN的最大值为1.选项D判断错误;由00tan1,tan1DCNyBCMx=−=−,可得()()()000011tan111yxDCNBCMyx−+−+=−−−()00000072411144xy
xyxy−+==−++−+−由0012xy+,可得00317444xy+−,0074401134xy−++−,则()40tan3DCNBCM+,又()1tantanMCNDCNBCM=+,则3tan4MCN故AMN的面积为18时,∠MCN正切值的最小值为34
.选项B判断正确.故选:ABC10.下列各式中,值为34的是()A.22sin30cos60sin30cos60++B.22sin20cos803sin20cos80++C.22sin23cos53sin23cos53++D.22cos10cos50sin40s
in80+−【答案】ACD【分析】根据两角和的正、余弦公式及诱导公式、同角三角函数关系化简即可求解.【详解】对于A,2211113sin30cos60sin30cos6044224++=++=;对于B,()()2222sin20co
s803sin20cos80sin20cos60203sin20cos6020++++++=()2222131311sin20cos20sin203sin20cos20sin20sin20cos20222244+−+−==+=;
对于C,()()2222sin23cos53sin23cos53sin23cos3023sin23cos3023++=++++()2222313133sin23cos23sin23sin23cos23sin23sin23cos23222244+−+
−==+=;对于D,()()222222cos10cos50sin40sin80cos10sin40sin40cos10cos10sin3010sin3010cos10+−=+−=++−+()2222131333cos10cos10si
n10cos10sin10cos10sin10cos10222244++−+==+=.故选:ACD.11.如图,在ABC中,,ADDBE=是线段BC上的点,且满足2BEEC=,线段CD与线段AE交于点
F,则下列结论正确的是()A.1233AEABAC=+B.32DFCF=C.1142AFABAC=+D.43AFAE=【答案】ACD【分析】根据题意,由平面向量线性运算可得选项A正确;由AF与AE共线,可得233AFAEABAC
==+,由CFD、、三点共线,得)(1)2(1AtFtADtACABtAC=+−+−=,由平面向量基本定理解出t、的值,可判断选项C、D;由CFD、、三点共线,得CFkDF=,通过转化求出k得值,即可判断选
项B错误.【详解】由题意,()22123333AEABBEABBCABACABABAC=+=+=+−=+,故选项A正确;由AF与AE共线,可得1223333AFAEABACABAC++===,由CFD、、三点共线,得)(1)2(1AtFtADtAC
ABtAC=+−+−=,由平面向量基本定理,可得32213tt==−,解得3412t==,所以,1142AFABAC=+,34AFAE=,43AFAE=,即故选项C、D正确;由CFD、、三点共线,得CFkDF=,即)(AFA
CkAFAD−−=,化简为(1)AFACkADk−=−,由选项C可得,2()11421)(kABABkCACA−−+=,再由平面向量基本定理得,142112kkk−=−−=,得1k=−,所以,CFDF=−,即D
FCF=,故选项B错误.故选:ACD.12.东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,如图1,它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.某数学兴趣小组通
过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形ABC拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是()A.这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形B.若BBBC=,则BA与CA夹角的余弦值为714C.若2BBBC=,则ABC的面积是ABC
面积的19倍D.若2BB=,4BC=,则BCC内切圆的半径为4339−【答案】BCD【分析】选项A,若三个全等的钝角三角形是等腰三角形,分析可得,,ABC三点重合,进而即可判断;选项B,连接BA,设BABCa==,结合平面向量的线性运算可得311428CABCBAC
A=−++,进而利用平面向量的数量积公式即可求解;选项C,设BCm=,则3BCm=,2CCm=,在BCC中,由余弦定理可得2219BCm=,进而结合三角形的面积公式分别表示出ABC的面积和ABC面积,
进而求解;选项D,结合题设可得6BC=,2CC=,在BCC中,由余弦定理可得213BC=,设BCC内切圆的半径为r,由()12π1sin232BCCSBCCCrBCCCBC==++,进而求解即可.【详解】选项A,若三个全等的钝角三角形是等腰三角形,则AACABC
CCABBB=====,从而,,ABC三点重合,不合题意,故A错误;选项B,连接BA,因为BBBC=,则B为BC中点,则,AC分别为,ABCA中点,因为ABC为等边三角形,设BABCa==,而()()1111122222CACBBABCBABBBCB
ABCBCBABCCC=+=−++=−++=−+++,111311222428BCBABCCABCBACA=−+++=−++,整理得4677CABABC
=−,所以2224646461177777727BABABABCBABCaaaaCBAA−=−=−==,222222461648361648136277749494949492497CABABCBABABCBCaaaa
=−=−+=−+=,所以BA与CA夹角的余弦值为217142777CACaBABAaAa==,故B正确;选项C,若2BBBC=,设BCm=,则3BCm=,2CCm=,在BCC中,由余弦定
理得22222π94232cos193BCmmmmm=+−=,所以2213193224ABCSBCm==,而234ABCSm=!,所以19ABCABCSS=!!,故C正确;选项D,因为2BB=,4BC=,所以6BC=,2CC=,在BCC中,由余
弦定理得22π364262cos523BC=+−=,即213BC=,设BCC内切圆的半径为r,由()12π1sin232BCCSBCCCrBCCCBC==++,即()1316262213222r=++,解得4339r=−,故D正
确.故选:BCD.【点睛】关键点睛:本题B选项,关键在于结合平面向量的线性运算可得311428CABCBACA=−++,进而利用平面向量的数量积公式即可求解,将未知向量往已知方向进行转化.13.已知()fx是定义在R上的函数
,同时满足以下条件:①()1fax+为奇函数,2xfa+为偶函数(Ra,且0a);②()()()()()()1223344556616ffffff+++++=;③()fx在()2,3上单调递减.下列叙述正确的是()A.函数()(
)gxfxx=+有5个零点B.函数()()()2hxfxfx=+的最大值为20C.()()()||sinsincoscosfxfx成立D.若()()()()sin,0,11||cos,0,PyyfxxQ
yyfxx====﹐﹐则PQ【答案】BCD【分析】根据①得出()fx关于点()1,0对称,关于直线2x=对称,得出()fx的周期为4,根据()10f=得出()()()3510fff===,()()62ff=,()()()402fff==−.结合③画出函数()fx的草
图.结合函数()fx的图象及正余弦函数的性质逐一判断各选项.【详解】因为①()1fax+为奇函数,所以()()11faxfax=−−++,且()10f=.即()()101faxfax+++=−,所以函数()fax关于点()1,0对称,即()fx关于点()1,0对称.因为2xfa+
为偶函数,所以22xxffaa−+=+,所以xfa关于直线2x=对称,即()fx关于直线2x=对称.由()fx关于点()1,0对称,且()fx关于直线2x=对称,则函数()fx的周期为4.由()10f=,()fx关于点()1,0对称,所
以()()()3510fff===,又()fx关于直线2x=对称,()()62ff=,()()()402fff==−.又②()()()()()()1223344556616ffffff+++++=,所以()()()22426216fff−+=,即()24f=,即()44f=−,
③()fx在()2,3上单调递减.画出函数()fx的草图.对于A,函数()()gxfxx=+的零点个数即为()yfx=与yx=−的交点个数,如图,易知有4个交点,即函数()()gxfxx=+有4个零点,故A错误;对于B,因为()4,4fx−,所以当()4fx=时,函数()(
)()2hxfxfx=+的最大值为20,故B正确.对于C,易知函数||sinsin=yx与()coscosyx=是偶函数,()|sinsinπsinsn|i+=xx,()()()()coscosπcoscoscoscosxxx+=−=,所以
函数||sinsin=yx与()coscosyx=的周期πT=;又()||||sinsinπsinsin=−xx,()()()()coscosπcoscoscoscos−=−=xxx,所以函数||sinsin=yx与()coscosyx=的对称轴为π=2x;当π0,2x时
,||in,s01x,得||sinsin0,sin1x,cos0,1x,()coscoscos1,1x,πππcos1,222−−x,又因为πsincos22+xx,所以πsinc
os2xx−,因为sinyt=在π0,2上单调递增,所以()π0sinsinsincos12−xx,即()()0sinsincoscos1xx,根据周期性,对称性可知()||10sinsincoscosxx.又()fx在0,1上单调递增,(
)()()||sinsincoscosfxfx,故C正确;对于D,若0,1x,()4,0fx−,因为sinyx=在π4,2−−单调递减,在π,02−单调递增,又12πsin−=−
,()sin4sin40−=−,所以()()sin1,sin4fx−−,1,sin4P=−−,因为cosyx=在4,π−−单调递减,在π,0−单调递增,所以()()cos1,1fx−,所以1,1Q=−,则PQ成立,故D正确.故选:BCD.
【点睛】函数的零点,方程的根,两函数的交点在零点问题中的方法点睛:(1)函数的零点:零点存在性定理.通过代入特殊值精确计算,将零点圈定在一个较小的范围内.(2)方程的根:方程的等价变形.当所给函数不易于分析性质和图像时,可将函数转化为方程,从而利用等式的性质可对
方程进行变形,构造出便于分析的函数(3)两函数的交点:数形结合.前两个主要是代数运算与变形,而将方程转化为函数交点,是将抽象的代数运算转变为图形特征,是数形结合的体现.通过图像可清楚的数出交点的个数(即零点,根的个数)或者确定参数的取值范围.14.直角ABC中,斜边2AB
=,P为ABC所在平面内一点,221sincos2APABAC=+(其中R),则()A.ABACuuuruuur的取值范围是(0,4)B.点P经过ABC的外心C.点P所在轨迹的长度为2D.()PCPAPB+的取值范围是1,02−【答案】ABD【分
析】由向量数量积的几何意义有2ABACAC=uuuruuuruuur,结合已知即可判断A;若O为AB中点,根据已知有,,OPC共线,即可判断B、C;利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得()2|||
|PCPAPBPCPO+=−,结合基本不等式求范围判断D.【详解】由2ABACAC=uuuruuuruuur,又斜边2AB=,则||(0,2)ACuuur,则(0,4)ABACuuuruuur,A正确;若O为AB中点,则12AOAB=uuuru
uur,故22sincosAPAOAC=+,又22sincos1+=,所以,,OPC共线,故P在线段OC上,轨迹长为1,又O是ABC的外心,B正确,C错误;由上2PAPBPO+=,则()22||||PCPAPBPCPOPC
PO+==−,又||||||1PCPOOC+==,则2||||1||||()24PCPOPCPO+=,当且仅当1||||2PCPO==等号成立,所以1()2||||[,0]2PCPAPBPCPO+=−−,D正确.故选:ABD【点
睛】关键点点睛:若O为AB中点,应用数形结合法,及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断P轨迹,求ABACuuuruuur、()PCPAPB+.三、解答题15.已知abc,,分别为ABC三个内角
ABC,,的对边,222coscos1cosACB+=+且1b=,(1)求B;(2)若12ABAC,求11ac+的取值范围;(3)若O为ABC的外接圆,若PMPN、分别切O于点MN、,求PMPN的最小值.【答案】(1)2B=;(2)(
)22,+;(3)2324−.【分析】(1)由题目条件可证得222sinsinsinACB+=,可得ABC为直角三角形,可求出2B=.(2)由数量积的定义可求得2102c,设sin,cos,0,4ca==
,则11sincossincosac++=,令()sincos2sin,1,24tt=+=+,则()21122,1,211ttacttt+==−−,判断出21ytt=−的单调性,即可得出答案.(3)用PO分别表示出PMPN,结合均值不等式即可求
出答案.【详解】(1)因为222coscos1cosACB+=+,则2221sin1sin11sinACB−+−=+−,所以222sinsinsinACB+=,则222acb+=,所以ABC为直角三角形,所以2B=.(2)221cos2ABACABACAABc===,
所以2102c,而221ac+=,所以设sin,cos,0,4ca==,所以1111sincossincossincosac++=+=,令()sincos2sin,1,24tt=+=+
,又因为()22sincos12sincos,t=+=+所以21sincos2t−=,所以()2112,1,21ttact+=−,令()222,1,211tytttt==−−,因为1tt−在()1,2t上单调递增,所以21ytt=−在()1,2t上单调
递减,所以222122y=−.所以11ac+的取值范围为()22,+(3)ABC的外接圆的半径为r,12rOAOC===,设(),Pmn,则2222214PNPMPOONPO==−=−,其中214PO,所以()2cos,2cos1PMPNPM
PNPMPNPMPNNPO==−,而2222214cosPOPNNPOPOPO−==,222114214POPMPNPOPO−=−−2213238424POPO+−−=,当且仅当3
42PO−=取等.所以PMPN的最小值为2324−.【点睛】关键点点睛:本题考查向量相关的取值范围问题,考查面较广,涉及了基本不等式、函数值域、正弦定理、三角函数等,需要对知识掌握熟练且灵活运用.考查学生的运算能力和逻辑推理能力,属于难题.16.在锐角△ABC中,记△ABC的内角A,B,C的对边
分别为a,b,c,2coscoscosbAaCcA=+,点O为△ABC的所在平面内一点,且满足()()0OAOBABOBOCBC+=+=.(1)若2a=,求AO的值;(2)在(1)条件下,求32OAOBOC++的最小值;(3)若AOx
AByAC=+,求xy+的取值范围.【答案】(1)1(2)35−(3)1,222−【分析】(1)根据题意,利用正弦定理化简得到2cos1A=,求得π4A=,再由向量的线性运算法则,求得OAOBO
C==,得到O为ABC的外心,结合正弦定理,即可求得AO的长.(2)由(1)求得2BOC=,||22BCR==uuur且1R=,根据向量的运算法则,化简得到()2|32|1465cos2OAOBO
CC++=++uuruuuruuur,结合三角函数的性质,即可求解;(3)取AB的中点D,连接OD,求得212AOABAB==,212AOACAC=,由向量数量积的定义得到2||||2ABACABAC=uuuruuuruuuruuur,结合题意,得到2||2||||xAByACAB+
=uuuruuuruuur和2||2||||xAByACAC+=uuuruuuruuur,联立方程组,求得2||||22||||ACABxyABAC+=−+uuuruuuruuuruuur,化简得到2112tanABACB=+
uuur,即可求解.【详解】(1)解:因为2coscoscosbAaCcA=+,由正弦定理得2sincossincossincossin()BAACCAAC=+=+,因为πACB+=−,可得sin()sinACB+=,所以2sincossinBAB=,又因为(0,π)B,可得
sin0B,所以2cos1A=,即2cos2A=,因为(0,π)A,所以π4A=,又由()()0OAOBABOBOCBC+=+=,可得()()()()0OAOBOBOAOBOCOCOB+=−++=,解得2222,OAOBOBOC==,即OAOBOC==,
所以O为ABC的外心,由正弦定理有2222πsin2sin42aOAA====,所以1AO=.(2)解:因为π4A=,所以22BOCA==,所以||2BC=,||||OBOCR==uuuruuur,所以||22BCR==uuur,外接圆的半径1R=,2222|32|941
264OAOBOCOAOBOCOAOBOAOCOBOC++=+++++uuruuuruuuruuruuuruuuruuruuuruuruuuruuuruuur94112cos26cos24cos2CBA=+++++31412cos26cos22CC=++−141
2cos26sin2CC=+−()1465cos2C=++其中1tan2=,且为锐角,故π04,由22sin1tancos2sincos1π04==+=,可得525sincos55==,,因为π023ππ04
2CBC=−,解得ππ42c,即ππ,42C则ππ2,2C,则π2π2C+++,且ππ3π224+,因为余弦函数cosyx=在π,π2+上单调递减,在()π,π+上单调递增,又因为π5cos
sin25+=−=−,()25cosπcos5+=−=−,所以,()51cos25C−+−,所以()()23514651465cos28C−=−++,所以min|32|35OAOBOC++=−uuruuuruuur.(3)解:如图所示:取AB的中点D,连接
OD,则ODAB⊥,所以()212AOABADDOABADABDOABAB=+=+=,同理可得212AOACAC=,由平面向量数量积的定义可得2||||cos||||2ABACABACAABAC==uuuruuuruuuruuu
ruuuruuur,因为AOxAByAC=+,所以,2AOABxAByABAC=+,即2212||||||||22ABxAByABAC=+uuuruuuruuuruuur,所以2||2||||xAByACAB+=uuuruuuruuur,
①2AOACxABACyAC=+,即2212||||||||22ACxABACyAC=+uuuruuuruuuruuur,所以2||2||||xAByACAC+=uuuruuuruuur,②.联立①②可得2||12||ACxAB=−u
uuruuur,2||12||AByAC=−uuuruuur,所以2||||22||||ACABxyABAC+=−+uuuruuuruuuruuur,又因为()()2sincossinsin2121sinsinsin2tanBBA
BABCBBBBAC++====+uuuruuur,因为,42B,可得||2,22||ABACuuuruuur,所以1,222xy+−.【点睛】17.在ABC
中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2b=,cos=cbA.(1)求角B;(2)求11ac+的最小值;(3)O为ABC的外接圆,P为O外一点,过P点作O的切线,切点分别为E,F,求PEPF的最小值.【答案】(1)π2(2)2(3)2232−【分析】(1)根据题意,利用
正弦定理化简得到sincos0AB=,进而得到cos0B=,即可求解;(2)由正弦定理得到2sin,2sinaAcC==,化简112cossin2sincosAAacAA++=,设cossintAA=+,得到111
21actt+=−,进而求得最小值;(3)由,PEPHHEPFPHHE=+=−,化简得到2211(232PEPFxx=+−),结合基本不等式,即可求解.【详解】(1)解:因为cos=cbA,由正弦定理得sinsincosCBA=,又因为sinsin()sinc
oscossinCABABAB=+=+,所以sincoscossinsincosABABBA+=,所以sincos0AB=,因为(0,π)A,所以cos0B=,又因为(0,π)B,所以π2B=.(2)解:由正弦定理得2sinsinsinacbACB===,所以2sin,2sinaA
cC==,因为π2B=,所以π2CA=−,所以1111211()π2sin2sin2sinsin()2acAACA+=+=+−2112cossin()2sincos2sincosAAAAAA+=+=,设πcossin2sin()4t
AAA=+=+,因为π(0,)2A,所以(1,2]t,21sincos(1)2AAt=−,所以21112211tacttt+===−−,因为()1fttt=−在(1,2]t上单调递增,所以2t=时,min111()22122ac+==−.(3)解:因为π2B=且
2b=,O为ABC的外接圆,可得圆的半径为22r=,如图所示,设POx=,连接EF与PO交于点H,由点P为O外一点,过P点作O的切线,切点分别为E,F,所以OEPE⊥,所以90OEP=,因为EFOP⊥,所以90EHP=,又因为OPEEPH=,所以OPEEPH∽,则EHPEOEPO=,所
以22221()222222xxPEOEEHPOxx−−===,又由212PEPFx==−,所以22212122xPExPHPOxx−−===,因为,PEPHHEPFPHHFPHHE=+=+=−,可得()()22222212212()
()22xxPEPFPHHEPHHEPHHExx−−=+−=−=−42222222311111223(23(223)2222xxxxxxx−+−==+−−=),当且仅当2212xx=,当222x=时,等号成立,所以PEPF的最小值为2232−.18.已知O为坐标原点,对于函数(
)sincosfxaxbx=+,称向量(),OMab=为函数()fx的联合向量,同时称函数()fx为向量OM的联合函数.(1)设函数()2π3πsincos32gxxx=+++,试求函数()gx的联合向量的坐标;(2)记向量()1,3ON=的联合函数为()fx,当()
65fx=且ππ,36x−时,求sinx的值;(3)设向量()2,2OP=−,R的联合函数为()ux,()1,1OQ=的联合函数为()vx,记函数()()()2hxuxvx=+,求()hx在0,π上的最大值.【答案】(1)13,22(2)3431
0−(3)()2max12,12,1222,2hx−−=+−【分析】(1)化简()gx的解析式,从而求得伴随向量OM;(2)先求得()fx,由()65fx=求得πsin3x+,进而求得πcos3x+,
从而求得sinx;(3)先求得()hx,然后根据三角函数的值域与二次函数最值分类讨论求解即可.【详解】(1)因为()2π3π2π2πsincossincoscossinsin3233gxxxxxx=+++=++13sincos22xx=+,所以函数
()gx的联合向量的坐标为13,22OM=.(2)依题意()πsin3cos2sin3fxxxx=+=+,由()65fx=,得π62sin35x+=,即π3sin35x+=,又因
为ππππ,,0,3632xx−+,所以2ππ94cos()1sin()133255xx+=−+=−=,所以ππ1π3π343sinsinsincos33232310xxxx−
=+−=+−+=.(3)由题知π()2sin2cos22sin4uxxxx=−=−,ππππ()sincos2sin2sin2cos4424vxxxxxx
=+=+=−+=−,所以()()()22ππ22sin2cos44hxuxvxxx=+=−+−2ππ2sin22sin244xx=−−+−+因为0,πx,ππ3π,444x−
−,所以,π2sin,142x−−,令π2sin,142tx=−−,所以,问题转化为函数222222,,12yttt=−++−上的最大值问题.因为函数222222,,12yttt=−++−的对称轴为2
2t=,所以,当2222t=−,即1−时,222222,,12yttt=−++−的最大值在22t=−处取得,此时2max222()22()21222y=−−+−+=−;当212t=,即2时,222222,,12yttt=−++−
的最大值在1t=处取得,此时max21222221y=−++=;当22122−,即12−时,222222,,12yttt=−++−的最大值在22t=处取得,此时2max2222()222()222y=−++=+;
综上,()hx在0,π上的最大值为()2max12,12,1222,2hx−−=+−.【点睛】方法点睛:求解新定义函数有关的问题,关键点在于理解新的定义,解题过程中,要将“新”问题,转化为所学的知识来进行求解,体现了化归与转化的数学思想方法.19.已知函数()
()()4413sincossincos12fxxxxxx=+−−R,函数()yfx=的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位得到()ygx=的图象,()()coscos3hxxxmmm=−−+R.(1)若()0f=,求;(2)若对任意2π
,6π2x−,存在1π0,2x使得()()12gxhx=成立,求实数m的取值范围.【答案】(1)ππ,Z3kk=+(2)1384m【分析】(1)利用三角恒等变换化简()fx的解析式,从而由()0f=
解得;(2)利用三角函数的图象变换规律求出函数()gx的解析式,根据题意,将所给条件转化为()hx和()gx的值域的包含关系,根据分段函数的特征及二次函数的性质分类讨论,列出不等式组,求得实数m的取值范围.【详解】(1)()()4413sincossincos12fxxxxx
=+−−()()222231sin2sincossincos122xxxxx=+−+−31sin2cos2122xx=−−πsin216x=−−,若()0f=,则πsin216−=,∴ππ22
π,Z62kk−=+,∴ππ,Z3kk=+.(2)()πππsin211sin2666gxxx=+−−+=+,当π0,2x时,ππ7π2,666x+,()1,12gx−,若对任意2π
,6π2x−,存在1π0,2x使得()()12gxhx=成立,则函数(),,6ππ2hxx−的值域是1,12−的子集.()πcosco,πs3,26hxxxmmx=−−+−,令
cos,0,1txt=,记()3ptttmm=−−+,当0m时,3302mmt,()()22393324ptttmmttmmtmmm=−−+=−−+=−−++,()pt在0,1t时单调递减,则()()()10pptp,即()41mptm−,由题意得14121m
m−−,解得118m,又0m,矛盾,所以无解;当103m时,30312mm,(3),03()3(3),31ttmmtmptttmmttmmmt−+=−−+=−−+,2
22239,0324()39,3124tmmmtmptmtmmmt−+−=−−++,()pt在30,2mt时单调递减,在3,32mtm
时单调递增,在()3,1tm时单调递减,()()()2390,,3,14124mpmpmmpmmpm==−==−,由题意得2191421412mmmm−−−−,解得122289m+,又103m,所以1183
m;当1233m时,30132mm,3tm,()()2239324ptttmmtmmm=−+=−+−,()pt在30,2mt时单调递减,在3,12mt时单调递增,()()()2390,,3,11224mpmpmm
pmmpm==−==−,由题意211219142mmmm−−−,解得22209m+,又1233m,所以1233m;当23m时,3132mm,3tm,()()2239324ptttmm
tmmm=−+=−+−,()pt在0,1t时单调递减,则()()()10pptp,即()12mptm−,由题意得11221mm−−,解得34m,又23m,所以2334m,综上可得,1384m.【点睛】方法点睛:一般地,已知函数(),[,]y
fxxab=,(),[,]ygxxcd=,(1)若12[,],[,]xabxcd,总有()()12fxgx成立,则()maxmin()fxgx;(2)若12[,],[,]xabxcd,使得()()12fxgx成立,则()maxmax()fxgx
;(3)若12[,],[,]xabxcd,使得()()12fxgx成立,则()minmax()fxgx;(4)若12[,],[,]xabxcd,使得()()12fxgx=成立,则()fx的值域是()gx值域的子集.20.高新体育中心体育馆(图1)是成都大运会乒乓球项目
比赛场馆,该体育馆屋顶近似为正六边形ABCDEF,屋底近似为正六边形111111ABCDEF.(1)如图2,已知该体育馆屋顶上有,,AMN三点用电缆围成了三角形形状,测得75MAN=,45,50AMNAM==米,求该电缆的长度
;(2)如图3,若在建造该体育馆时在馆底111,,BDE处的垂直方向上分别有1,2,3号塔吊,若1号塔吊(点2B处)驾驶员观察2号塔吊(点2D处)驾驶员的仰角为30,2号塔吊驾驶员观察3号塔吊(点2E处)驾驶员的仰角为45,且1号塔吊高a米,2号塔吊比1号塔吊高3
3a米,则3号塔吊高多少米?(塔吊高度以驾驶员所在高度为准).【答案】(1)50252256++米.(2)2313a+米.【分析】(1)根据正弦定理求出三角形边长,可得三角形周长;(2)在直角梯形1122BDDB中,过2B作
212BMDD^,垂足为M,求出112BDBMa==米,在直角梯形1122EDDE中,过2D作212DNEE^,垂足为N,求出233ENa=米,再由1222BBDMEN++可得结果.【详解】(1)因为75MAN=,45AMN=,
所以60ANM=,()sinsin75sin4530MAN==+sin45cos30cos45sin30=+oooo23216222224+=+=.由正弦定理得sinsinMNAMMANANM=行,得sinsinAMMANMNANM=Ð
Ð6250432+=2525263=+米,sinsinANAMAMNANM=行,sinsinAMAMNANANM=ÐÐ250232=5063=米,所以该电缆的长度为2550502526633AMMNAN++=++
+50252256=++米.(2)在直角梯形1122BDDB中,过2B作212BMDD^,垂足为M,则12BBa=米,2230DBM=Ð,233DMa=米,所以2233tan3033aDMBMa===米,所
以112BDBMa==米,所以正六边形111111ABCDEF的边长为132332aa=米,在直角梯形1122EDDE中,过2D作212DNEE^,垂足为N,则233DNa=米,2245EDN=Ð,所以233ENa=米,所以3号塔吊高为33231333aaaa++=+
米.21.在ABC中,a,b,c,分别是角A,B,C的对边,请在①sinsinsinACbcBac−−=+;②sinsin2BCcaC+=两个条件中任选一个,解决以下问题:(1)求角A的大小;(2)如图,若ABC为锐角三角形,且其面积为32,且1
2AMAC=,2ANNB=,线段BM与线段CN相交于点P,点G为ABC重心,求线段GP的取值范围.【答案】(1)π3A=(2)113,612【分析】(1)若选①,先由正弦定理的边角互化,然后结合余弦定理即可得到结果;若选②,先由正弦定理的边角互化,
再结合二倍角公式,即可得到结果.(2)用AB、AC作为平面内的一组基底表示出AG,再根据平面向量共线定理及推论表示出AP,即可表示GP,利用面积公式求出2bc=,再由三角形为锐角三角形求出b的取值范围,最后根据数
量积的运算律及对勾函数的性质计算可得.【详解】(1)若选①,因为sinsinsinACbcBac−−=+,由正弦定理可得,acbcbac−−=+,化简可得222abcbc=+−,又因为2222cosabcbcA=+−,则1cos2A=,()
0,πA,故π3A=.若选②,因为sinsin2BCcaC+=,由正弦定理可得,sinsinsinsin2ACAC−=,且sin0C,则cos2sincos222AAA=,且cos02A,所以1sin22A=,其中π0,22A,
所以π26A=,则π3A=.(2)由题意可得23ANAB=,12AMAC=,所以()222111333233AGABBGABBMABAMABABACABABAC=+=+=+−=+−=+,因为C、N、P三点共线,故设()()2113APANACABAC=
+−=+−,同理M、B、P三点共线,故设()()1112APABAMABAC=+−=+−,则()231112=−=−,解得3412==,所以1124AABAPC=+,则()11111112243361212GPAPAGAB
ACABACABACABAC=−=+−+=−=−,因为13sin22ABCSbcA==,所以2bc=,又因为ABC为锐角三角形,当C为锐角,则0ACBC,即()22102AACACACACABBbbc−==−−uuuruuuruuuruuuruuuruuur,即22
bcb=,所以1b;当B为锐角,则0ABCB,即()22102AABABABACABCcbc−==−−uuuruuuruuuruuuruuuruuur,则2cb,即22bb,所以02b;综上可得12b,又因为1212GPABAC=−,则()22222222221614
4|2444|4||424GPABACABABACACABABACACcbcbbb=−=−+=−+=−+=−+,因为12b,则214b,且()164fxxx=−+在(1,4)上单调递减,()()113,44ff==,所以()()4,13fx,即()222
16144||44,13GPbb=−+uuur,所以113,612GP.22.如图,设ABC中角,,ABC所对的边分别为,,,abcAD为BC边上的中线,已知1c=且1212sincossinsinsin,cos47cABaA
bBbCBAD=−+=.(1)求中线AD的长度;(2)设点EF、分别为边,ABAC上的动点,线段EF交AD于G,且AEF△的面积为ABC面积的一半,求AGEF的最大值.【答案】(1)212(2)112【分析】(1
)先由正弦定理与余弦定理进行边角互化,求出4b=,再由()12ADABAC=+结合数量积的运算性质即可求解;(2)设,AExAFy==,再根据AEF△的面积为ABC面积的一半,得到2xy=,然后利用,,EGF共线和基本定理,利用数
量积运算求解.【详解】(1)12sincossinsinsin4cABaAbBbC=−+,由正弦定理:2212cos4caBabbc=−+,由余弦定理:2222221124,1,4244cabcaabbccbcbccbac+−=−+==
==.因为D为中点,所以()12ADABAC=+,设,ABAC的夹角为,222211178cos22cos,222ADABACABACcbbc+=++=++=又()()2211cos14cos2222ccbABADABABACABABAC++=+=+
==,2114coscos7178cosABADBADABAD+===+,即228cos8cos110+−=,解得1cos2=或11cos14=−,又14cos0+,∴1cos2=,∴212AD=;(2)设,AExAFy==,则,4yxABAFACAE==,∵AEF△的面
积为ABC面积的一半,∴142AEAFxyABAC==,∴2xy=.设AGAD=,则22AGADABAC==+,又,,EGF共线,∴可设()1AGAEAF=+−,则()()114yAGAEAFxABAC−=+−=+,∴()214
2xy=−=,解得:4yxy=+.∴2244AGABACxyxy=+++,又4yEFEAAFACxAB=+=−,∴22444yAGEFABACACxABxyxy=+−++222964
444yyyxACxABxACABxyxy−=−+−=++.又2xy=,化简得22296186213442422yxxAGEFxyxx−−===−+++,又4y,则112x,则12x=时,AGEF的最大值为112.23.已知
向量()2sin,2cosaxx=,()sin,2cossinbxxx=−,设函数()322fxab=−.(1)求π4f的值;(2)当ππ,48x−时,()()sin423gxxmfx=+−有零点,求实数m的取值
范围【答案】(1)22−(2)[22,)+【分析】(1)利用向量数量积坐标公式结合二倍角公式和辅助角公式即可得到()fx的解析式,代入π4x=即可;(2)化简()2sin2cos2(cos2sin2)3gxxxmxx=+−−,利用整体换元法
结合对勾函数性质即可得到答案.【详解】(1)由题意知:223232()2sin22cos2sincos22fxabxxxx=−=+−−2222π2cos2sincoscos2sin2cos22224xxxxxx=−−=−=+π242
f=−.(2)由(1)知22()cos2sin222fxxx=−,()sin42()32sin2cos2(cos2sin2)3gxxmfxxxmxx=+−=+−−有零点,令πcos2sin22cos24txxx=−=+,ππππ
π,,2,48442xx−+−,则(πcos20,14x+,则(0,2]t,22sin2cos21xxt=−,所以22()132httmttmt=−+−=−+−在(0,2]t上有
零点,即220tmt−+−=在(0,2]t上有解,即2mtt=+在(0,2]t有解,显然222tt+,当且仅当2t=时等号成立,故m的取值范围为[22,)+.24.已知函数()2ππ3sin2co
s1,(0)6212xfxx=−+−−的相邻两对称轴间的距离为π2.(1)求()fx的解析式;(2)将函数()fx的图象向右平移π6个单位长度,再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变),得到函数()ygx=的图象,当ππ,126x−时
,求函数()gx的最值.(3)对于第(2)问中的函数()gx,记()()Rygxmm=−在π4π,63x上的5个零点从小到大依次为12345,,,,xxxxx,求12345222mxxxxx+++++的取值范围.【答案】(1)()2sin2fxx=(2)最小值为2−,最大
值为3.(3)20π20π[,3)33+【分析】(1)根据题意,化简函数由函数()2sinfxx=,结合πT=,求得2=,即可求得函数()fx的解析式;(2)根据三角函数的图象变换,得到()π2sin(4)3ygxx==−,结合三角函数的图象与性质,即可求解;(3)根据题意
求得ππ4,5π33x−,令3π4tx=−,作出函数2sinyt=在π,5π3上的图象,结合图象得到[0,3)m,进而求得12233411π17π23π,,121212xxxxxx+=+=+=,4529π12xx+
=,即可求解.【详解】(1)解:由函数()2ππ3sin2cos16212xfxx=−+−−ππππ3sincos2sin2sin6666xxxx=−+−=−+=,因为函数()fx的相邻两对称轴间的距离为π2,可得πT=,所
以2π2T==,所以函数()fx的解析式为()2sin2fxx=.(2)解:将函数()fx的图象向右平移π6个单位长度,可得π2sin(2)3yx=−再把横坐标缩小为原来的12,得到函数()π2sin(4)3ygxx==−的图象,当ππ,126x−时,可得,3π4332
ππx−−,当ππ432x−=−时,即π24x=−时,函数()gx取得最小值,最小值为2−;当ππ433x−=时,即π6x=时,函数()gx取得最大值,最大值为3,所以函数()gx的最小值为2−,最大值为3.(3)解:因为π4π,63x,可得ππ4,5π33x−
,令3π4tx=−,作出函数2sinyt=在π,5π3上的图象,如图所示,因为方程()(R)gxmm=,在π4,6π3上有五个实数根,可函数2sinyt=在π,5π3上有五个实数根,由图象可得[0,
3)m,且122334453π5π7π9π23π,25π,27π,29π2222tttttttt+==+==+==+==所以122334ππππππ(4)4)(4)4(3π,(5π,)(4)4)333333(7πxxxxxx+−−−+−==+=−−,45ππ(
4)43(39π)xx+−=−,所以1223344511π17π23π29π,,,12121212xxxxxxxx+=+=+=+=,所以1234512233445222()()()()mxxxxmxxxxxxxxx++++
=+++++++++11π17π23π29π20π20π20π[,3)12121212333mm=++++=++.25.在①cos3sin0aCaCbc+−−=,②222cos1coscossinsinABCBC+=++,③()πsinco
s6bACAa+=−,这三个条件中选一个,补充在下面问题中,并解答.已知ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且______.(1)求A;(2)若2a=,BDDC=,求AD的最大值.【答案】(1)π3A=(
2)3【分析】(1)选择条件①,边化角,利用诱导公式、和角公式与辅助角公式求解;选择条件②,利用正弦定理角化边,再利用余弦定理求解即可;选择条件③,边化角,利用余弦函数的差角公式化简求解即可.(2)根据余弦定理以及平面向量数量积的运算法则化简可得2442ADbc−=,再利用
基本不等式求解即可.【详解】(1)选择条件①∵cos3sin0aCaCbc+−−=,∴sincos3sinsinsinsin0ACACBC+−−=∴()sincos3sinsinsinsin0ACACACC+−+−=∴3s
insincossinsin0ACACC−−=,∴3sincos10AA--=,∴π1sin62A−=,∵0πA,∴π3A=选择条件②∵222cos1coscossinsinABCBC+=++,∴222sinsinsinsinsinBCABC+−=∴222b
cabc+−=,∴2cosbcAbc=,∴1cos2A=,∵0πA,∴π3A=选择条件③:易知ABC++=.可得πsincos6bBAa=−,根据正弦定理,可得sinπsincossin6BBAA=−可得π31sincoscossin62
2AAAA=−=+整理可得tan3A=∵0πA,∴π3A=(2)∵222cosabcbcA=+−,∴224bcbc=+−,又由题有1122ADABAC=+,∴2ADABAC=+uuuru
uuruuur∴22242ADABACABAC=++,即2224ADbcbc=++由2222244bcbcADbcbc=+−=++,得22222ADbc+=+,2442ADbc−=又∵222bcbc+,当且仅当“bc=”时,
“=”成立∴222244ADAD+−,∴23AD,∴3AD,即AD的最大值为326.已知函数()()23π1πsincos0262212xfxx=++−+的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求的值;
(2)证明:()()()3334fxfxfx=−;(3)令()π43gxfx=−,记方程()gxm=,30,2m在π3π,64x上的根从小到大依次为12,,,nxxx,若1231222n
ntxxxxx−=+++++,试求t的值.【答案】(1)1=(2)证明见解析(3)11π12t=【分析】(1)利用二倍角和辅助角公式化简()fx,由()fx最小正周期可求得的值;(2)利用两角和差正弦
公式和二倍角公式化简证明即可;(3)将问题转化为()gx与ym=交点的横坐标的求解,采用数形结合的方式,结合正弦型函数的对称性可求得结果.【详解】(1)()π1cos3π13π1π6sinsincos26222626xfxxxx++
=++−=+−+ππsinsin66xx=+−=;()fx的相邻两对称轴间的距离为π,()fx\的最小正周期2πT=,即2π2π=,解得:1=.(2)由(1)得:()sinfxx=,则()3sin3
fxx=,()()22sin3sin2sincos2cossin2sin12sin2sincosxxxxxxxxxxx=+=+=−+()3233sin2sin2sin1sinsin2sin2sin2sinxxxxxxxx=−+−=−+−33sin4sinxx=−,()()()3334fxfx
fx=−.(3)由(1)得:()πsin43xxg−=,当π3π,64x时,ππ8π4,333x−,()gxm=,30,2m的根等价于()gx与y
m=交点的横坐标,作出()gx图象如下图所示,由图象可知:方程()gxm=,30,2m在π3π,64x上的根从小到大依次为12,xx,由对称性得:1211π12xx+=,1211π12txx=+=.【点睛】关键点点睛:本题求解方程根之和的关键是将问题转化为两函数交
点横坐标之和的求解问题,采用数形结合的方式,结合正弦型函数的对称性来进行求解.27.设平面向量a、b的夹角为,sinabab=.已知()sin,1ax=,()cos,1bx=,()3π04fxabx=
.(1)求()fx的解析式;(2)若()()cos2fxgxx=−﹐证明:不等式()()()()2e22lnfxfxfxgx+++在π3π,24上恒成立.【答案】(1)()πcossin,04π3πsincos,44xxxfxxxx−=−
(2)证明见解析【分析】(1)根据数量积的坐标表示得到cos,再根据所给定义及同角三角函数的基本关系得到()fx的解析式;(2)首先求出()fx、()gx的解析式,在利用换元法求出()()()2efxfxfx++的最小值,()22lngx+
的最大值,即可得证.【详解】(1)因为()sin,1ax=,()cos,1bx=,3π04x,所以2sin1ax=+,2cos1bx=+,sincos1abxx=+,所以221sinccos1c
os1sosinababxxxx+==++,则2222sincos1scos1ninssi11co1xxxx+=−=−++()()()()222222sincocos1sin1cos1sin1s1xxxxxx−+=+++
+()()2222cos1sincoi1ssnxxxx++−=22cos1sin1sincosxxxx−=++,所以()isinscosnxxfxabab===−,因为3π04x,当π04x时cossinxx
,当π3π44x时sincosxx,所以()πcossin,04π3πsincos,44xxxfxxxx−=−;(2)当π3π,24x时()sincosfxxx=−,又()()()()cos2sincossinc
osfxgxxxxxx=−=+−,所以()sincosgxxx=+,令()πsincos2sin4tfxxxx=−=−=,因为π3π,24x,所以πππ,442x−,所以π2sin,
142x−,则)1,2t,所以()()()22eefxtfxfxtt++=++,令()2ethttt=++,)1,2t,因为exy=在)1,2上单调递增,2yxx=+在)1,2上单调递增,所以()2
ethttt=++在)1,2上单调递增,则()()1e2hth=+,即()()()2ee2fxfxfx+++令()πsincos2sin4kgxxxx==+=+,因为π3π,24x,所以π3π,π44x+,所以π2sin0,42x+
,则(0,1k,则()22ln22lngxk+=+,令()22lnmkk=+,(0,1k,显然()mk在(0,1上单调递增,所以()()12mkm=,即()22ln2gx+,显然2e2+,所以()
()()()2e22lnfxfxfxgx+++,即不等式()()()()2e22lnfxfxfxgx+++在π3π,24上恒成立.【点睛】关键点睛:根据解答的关键是由数量积的定义及坐标运算表示出cos,即可得到sin,再由所给定义得到()fx的解析式
,利用换元法求出函数的最值.28.ABC中,a,b,c是角A,B,C所对的边,已知sinsin2aAACb=+,且1a=.(1)若ABC的外接圆半径为2,求ABC的面积;(2)若1b=,在ABC的边AB,AC上分别取D,E两点,使ADEV沿线段DE折叠到平面BCE后,顶点A正好落在边BC上
,求此情况下AD的最小值.【答案】(1)33158+(2)233−【分析】(1)由正弦定理边角互化,结合三角恒等变换,即可求解π3B=,由余弦定理可得边的长度,进而由面积公式即可求解.(2)根据余弦定理可得21
2xxmx−+=−,结合基本不等式即可求解最值.【详解】(1)因为sinsin2aAACb=+,即sinsin2ACabA+=,所以由正弦定理边角互化得sinsinsinsin2ACABA+=,因为()0,π,sin0,πAAACB+=−,所以πsi
nsin22BB−=,即cossin2BB=,所以cos2sincos222BBB=,因为()0,πB,所以0,,cos0π222BB,所以1sin22B=,所以π26B=,即π3B=
.又由正弦定理得π2sin4sin233bRB===,再由余弦定理得2222cosbacacB=+−,即222π(23)121cos3cc=+−,整理得2110cc−−=,解得1352c+=或1
352c−=(舍去),由面积公式得11135π3315sin1sin22238ABCSacB++===;(2)因为顶点A正好落在边BC上,设为点P,又1ab==,π3B=,所以ABC为等边三角形,即1ACBCAB===,如图,设ADm=,则1,BDmPDm=−=
,所以在BPD△中,由余弦定理得()()22222211cos2212BPmmBPBDPDBBPBDBPm+−−+−===−,整理得()()22211BPmmBPm+−−=−,设,01BPxx=,所
以()()2223231323222xxxxmxxxx−−−+−+===−+−−−−,由于01x,故122x−,所以3232332mxx=−+−−−,当且仅当3232xx−==−,即23x=−时等号成立,所以AD的最小值为2
33−.四、填空题29.已知,ab是平面内一组基底,21ab+=,3ab−=rr,则ab+与2ab+所成角的最大值为.【答案】3/60【分析】利用换元结合数量积的运算以及夹角公式运算求解.【详解】因为,ab是平面内一组基底,即,ab不共线,设2,mab
nab=+=+urrrrrr,显然m、n不共线,且均不为零向量,设,mn的夹角为()0,π,则23abmn−=−rrurr,1m=,又因为233abmn−=−=rrurr,则2241293mmnn−+=ururrr,即241293mn
n−+=urrr,整理得29112nmn+=rurr,所以2911111112cos92912122nmnnnmnnnn+===+=rurrrrurrrrr,又因为()0,π,则π03,所以ab+与2ab+所成角的
最大值为π3.故答案为:π3.30.已知函数()()πsin04fxx=−在区间π,π4上有且仅有一个零点,则的取值范围为.【答案】159,1,444【分析】根
据题意可得2ππ3ππ44T=−=,从而可求得的一个大范围,根据π,π4x,可得ππππ,π4444x−−−,再由ππ44−的范围分类讨论,结合正弦函数的性质即可得解.【详解】因为函数()()πsin04fxx=−在区间π,π4
上有且仅有一个零点,所以2ππ3ππ44T=−=,所以83,由π,π4x,可得ππππ,π4444x−−−,由803,得πππ5π44412−−,当πππ0444−−,即01时,则π0ππ4−,解得1544,
所以114,当ππ5π04412−,即813时,则πππ2π4−,解得5944,综上所述:的取值范围为159,1,444.故答案为:159,1,444.【点睛】思路点睛:三角函数图象与性质问题的求解思路:(1)将函
数解析式变形为()()sin+0yAxB=+或()()cos+0yAxB=+的形式;(2)将x+看成一个整体;(3)借助正弦函数sinyx=或余弦函数cosyx=的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等
)解决相关问题.31.已知边长为2的菱形ABCD中,30,DABE=是边AD所在直线上的一点,则EBEC的取值范围为.【答案】)0,+【分析】取BC的中点Q,连接EQ,利用平面向量的运算可得221(4)4EBECEQCB=−,结合菱形的几何性质可得答案.【详
解】取BC的中点Q,连接EQ,则2EBECEQ+=,所以2222211[()()](4)144EBECEBECEBECEQCBEQ=+−−=−=−,当且仅当EQBC⊥时,EQ有最小值,则21EQ−有最小值,此时菱形的面积1112sin30
22221222EQBCABADEQEQ===,21EQ−最小值为110−=,因为E是边AD所在直线上的一点,所以EQ无最大值,21EQ−无最大值,EBEC的取值范围为)0,+,故答案为:
)0,+32.在ABC中,若12ABACABAC=−,BDDC=,BAC的内角平分线交边BC于点E,若6AD=,22AE=,则ABC外接圆的直径为.【答案】85【分析】根据12ABACABAC=−可
得2π3BAC=,从而得π3BAECAE==,利用三角形面积公式可得()22bcbc=+,再利用6AD=,结合数量积的运算可得221440bcbc+−−=,从而可得bc,利用余弦定理得a,最后应用正弦定理即可得ABC外
接圆的直径.【详解】又1cos2ABACABACBACABACABAC==−,所以1cos2BAC=−,因为()0,πBAC,所以2π3BAC=,则π3BAECAE==又ABEAECABCSSS=+,所以111sinsinsin22
2ABACBACABAEBAEABAECAE=+,则1313132222222222bcbc=+,整理得:()22bcbc=+①,又1122ADABAC=+,所以22211111112222442ADABACABACABACA
BAC=+=+=++,则221116444cbbc=+−,整理得221440bcbc+−−=②,联立①②可得:()22411520bcbc−−=,解得48bc=或24bc=−(舍)在ABC中,由余弦定理可得222222cos214424
0abcbcBACbcbcbc=+−=++=+=,所以415a=,设ABC外接圆的半径为R,由正弦定理可得415285sin32aRBAC===所以ABC外接圆的直径为85.故答案为:85.33.奋进新时代,扬帆新航程.在南海海域的某次海上阅兵上,一大批国产先进舰船
和军用飞机接受了党和人民的检阅.歼-15舰载飞机从辽宁舰航空母舰上起飞,以3002千米/小时的速度在同一水平高度向正东方向飞行,在阅兵舰“长沙号”导弹驱逐舰上第一次观察到歼-15舰载飞机在北偏西3方向,1分钟后第二次观察到歼-15舰载飞机在北偏东512方向,仰角为6,
则歼-15飞机飞行高度为千米(结果保留根号).【答案】533/533【分析】作出图形,用点,AB表示歼-15舰载飞机,用点C表示阅兵舰,然后由正弦定理求得CF,再在直角三角形中求得FB.【详解】如图,C是阅兵舰,,AB是歼-15舰载飞机被观察的起始位置,,EF是飞机在
地面上的射影,由已知130025260AB==千米,52EFAB==,CD是正北方向,因此3DCE=,512DCF=,6FCB=,533124ECF=+=,236CED=−=,由正弦定理sinsinEFCFE
CFCEF=,即523sinsin46CF=,解得5CF=,在直角三角形BFC中,53tan5tan63BFCFBCF===.故答案为:533.34.在ABC中,G为ABC的重心,93ABCS=,1cos2BAC=,则GBGC的最大值为.【答案】6−【分析
】利用基底法得2133GBABAC=−,2133GCACAB=−,再利用三角形面积公式得36ABAC=,再根据向量数量积的运算律结合基本不等式即可得到最值.【详解】延长AG交BC于点D,因为G是ABC的重心,则D为BC的中点,21()33AGADABAC==+,2133
GBABAGABAC=−=−,()21213333GCGBBCABACACABACAB=+=−+−=−,由1cos2BAC=,()0,BAC,由三角形面积公式得139322ABAC=,解得36ABAC=,则()222121152233339GBGCAB
ACACABABACABAC=−−=−−11(54)5cos4993ABACABACABACABAC−=−166ABAC=−=−,当且仅当||6ABAC==等号成立,此时
ABC为等边三角形.故答案为:6−.【点睛】关键点睛:本题的关键是利用,ABAC作为基底表示出,GBGC,再结合三角形面积公式和基本不等式即可得到最值.35.已知a,b,c分别是ABC的内角A,B,C的对边,写出“使满足2b=,π3A=的ABC唯一”的a的一个取值为.【答案】3(答案不唯一,满
足3a=或2a即可)【分析】根据题意,利用正弦定理求解.【详解】∵π32,bA==,πsin2sin33bA==,∴当sinabA=或ab,即3a=或2a时,ABC唯一;故答案为:3(答案不唯一,满足3a=或2a即可)36.RtABC△中,
90A=,3AB=,4AC=,M为ABC的外接圆上一动点,则ABAM的最大值为.【答案】12【分析】设ABC的外心为O,根据平面向量的线性运算将ABAM转化为ABAOABOM+,再结合数量积的定义,代入计算即可.【详解】设ABC的外心为O,由题意得5BC=,则点
O为BC的中点,且52OM=,又AMAOOM=+,则()ABAMABAOOMABAOABOM=+=+,由539cossin3252ABAOABAOBAOABAOC====,又cos,ABOMABOMABOM=,则当,0ABOM=,即ABOM时,ABOM取得最大值
,且()max515322ABOM==,所以()()maxmax9151222ABAMABAOABOM=+=+=,所以ABAM的最大值为12.故答案为:12.【点睛】本题主要考查平面向量的应用,属于中档题.37.在ABC中,G满足0GAGBGC++=,过
G的直线与AB,AC分别交于M,N两点.若(0)AMmABm=,(0)ANnACn=,则3m+n的最小值为.【答案】4233+【分析】根据题意可知G为三角形的重心,利用三点共线可得11313mn+=,再由均值不等式即可求最值.【详解】取BC中点D,连接GD,
如图,由0GAGBGC++=可得20GAGD→→+=,即2GAGD→→=−,所以,.AGD三点共线且2AGGD=,即G为ABC的重心,所以2211113323AGADABACAMANmn→→→→→→==+=+
,因为,,MGN三点共线,所以11313mn+=,又1143(3)=+3333nmmnmnmnmn+=+++,0,0mn,所以442332333nmmnmn+++=,当且仅当3nmmn=,即3313,93mn++==时,等号成立,故答案为:4233+38.在锐角ABC中
,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tantan2tantanBCBC+=,则tantantanABC++的最小值为.【答案】8【分析】根据两角和的正切公式得到tantantantantantantantantantantantan1BCABCABC
BCBC+++==−,最后再换元,利用基本不等式求最小值.【详解】()tantan0tantanan1tantBBCACBC−+=+=−,()tantantantantan1BCABC+=−,tantantantantant
antantantantantantan1BCABCABCBCBC+++==−,令tantan10BCm−=,由()tantan2tantan21BCBCm+==+,则()()()2212122tantantan1424228mmABCmmmmmmm++++=+==+++
=,当且仅当22mm=时,即1m=时,取等号,此时tantan2BC=,所以tantantanABC++的最小值是8.故答案为:8.【点睛】关键点睛:本题关键在于利用两角和的正切公式将tantantanABC++转化
为tantantantantantan1BCBCBC+−,换元,进而利用基本不等式求解即可.39.如图,半径为2的圆O内有一条长度等于半径的弦AB,若圆O内部(不含圆上)有一动点P,则2PAAPPB+的取值范围为.【答案】()2,6−【分析】建立平面直角坐标系,利
用坐标法及点的坐标范围求解即可.【详解】以O为原点建立平面直角坐标系,如图:由题意三角形OAB是边长为2的正三角形,则(0,0),(1,3),(1,3)OAB−−−,设(,)Pxy,则224xy+,所以(1,3),(2,0)PAxyBA=−−−−=−,所以2
()(1)(2)(3)022PAAPPBPAPAPBPABAxyx+=−==−−−+−−=+,因为22x−,所以2226x−+,所以2PAAPPB+的取值范围为()2,6−.故答案为:()2,6−【点睛】关键
点点睛:解答本题的关键是利用坐标法研究数量积的范围问题,尤其是圆中的数量积的范围问题,利用坐标运算把数量积范围问题转化为函数(不等式)范围问题解决即可.40.在ABC中,和313ACBCAB===,且CExCA=,CFyCB=(其中,(0,1)xy),且
41xy+=,若M,N分别为线段,EFAB的中点,则线段MN的最小值为.【答案】77【解析】先由平面向量基本定理,根据题中条件,得到1[(1)(1)]2MNxCAyCB=−+−,由向量模的计算公式,以及题中条件,即可得出结果.【详解】解:因为313ACBCAB===,所以1
20C=.因为11()()22MNCNCMCACBCECF=−=+−+111()()[(1)(1)]222CACBxCAyCBxCAyCB=+−+=−+−,所以222221||(1)||(1)||2(1)(1)4MNxCAyCBxyCACB=−+−+−−
2211(1)(1)2(1)(1)42xyxy=−+−+−−−()222111(4)(1)2(4)(1)2161424yyyyyy=+−+−−=−+.因为,(0,1)xy,
且41xy+=,所以104y.所以,当17y=时,2||MN取得最小值17,即MN的最小值为77.故答案为:77.【点睛】本题主要考查向量的应用,熟记向量模的计算公式,以及平面向量基本定理即可,属于常考题型.五、双空题41.已知
ABC的内角,,ABC的对边分别为a,b,c,且满足2a=,sinsin2sinsinbBcCAbC+−=,则A=;ABC的中线AD的最大值为.【答案】3/603【分析】空1:根据题意结合正、余弦定理运算求解;空2:根据基本不等式可得4bc,结合向量的运算求解.【详解】空1:因为si
nsin2sinsinbBcCAbC+−=,由正弦定理可得222bcabc+−=,由余弦定理可得2221cos222bcabcAbcbc+−===,且()0,πA,所以π3A=;空2:因为222bcabc+−=,可得224b
cbc+=+,由2242bcbcbc+=+,当且仅当2bc==时,等号成立,所以4bc,又因为AD为ABC的中线,则()12ADABAC=+,可得()()()22222211122cos444AD
ABACABABACACcbcAb=+=++=++uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur()()2211242342cbbc=+−=+,所以3ADuuur,即中线AD的最大值
为3.故答案为:π3;3.