【文档说明】2022-2023学年四川省成都等各市高一下数学期末试题分类汇编：三角函数、平面向量压轴题 Word版含解析.docx，共(51)页，3.615 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-9a931f13bc6b6ed408ba79305b28abae.html

以下为本文档部分文字说明：

2022-2023学年四川省成都等各市高一下数学期末试题分类汇编：三角函数、平面向量压轴题一、单选题1．已知函数()44cos2sincossinfxxxxx=−−，则()fx的最小正周期为（）A．2B．

C．2D．4【答案】B【分析】利用平方关系、降幂及辅助角公式可得()2cos(2)4fxx=+，根据三角函数性质求最小正周期.【详解】由题设，44()(cossin)2sincoscos2sin22cos(

2)4fxxxxxxxx=−−=−=+，所以最小正周期为22T==.故选：B2．记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，5π6ABC=，D是AC边上一点，且满足BDBC⊥，1BD=．则ac的最小值为（）A．43B．83C．4D．

8【答案】B【分析】由ABCABDDBCSSS=+△△△可得23acac=+，再由基本不等式即可求出答案.【详解】因为ABCABDDBCSSS=+△△△，所以15π11πsin11?sin26223acac=+，所以1322acac=+，所以23223acacac=+，当且仅当23ac=

时取等，所以()283acac，即83ac，故ac的最小值为83.故选：B.3．已知点O是ABC的内心，4,3ABAC==，CBCACO=+，则+=（）A．43B．53C．2D．73【答案】D【分析】连接AO并延长交BC于点D，连接CO，则由角平分线定理得

到,CBCD的长度关系，再由平面向量基本定理，利用,,AOD三点共线，得到关系式，比较系数可得答案.【详解】连接AO并延长交BC于点D，连接CO，因为O是ABC的内心，所以AD为BAC的平分线，所以根据角平分线定理可得43BDABCDAC==，所以73CBCD=,因为,,AOD三点共线，所

以设(1)CDtCAtCO=+−，则777(1)333ttCBCDCACO−==+，因为CBCACO=+，所以77(1)7333tt−+=+=，故选：D4．如图，在ABC中，π3BAC=，2ADDB=，P为CD上一点，

且满足()R12APmACABm+=，若3AC=，4AB=，则APCD的值为（）.A．3−B．1312−C．1312D．112−【答案】C【分析】由P、C、D三点共线及2ADDB=，可求m的值，再用AB、AC作基底表示CD，进而求APCD即可.【详解】∵()R1

2APmACABm+=，2ADDB=，即23ADAB=且2133CDCBCA=+，∴()R34APmACADm+=，又C、P、D共线，有314m+=，即14m=，即1142APACAB=+，而CBCAAB=+，∴212

2()3333CDCAABCACAABABAC=++=+=−∴APCD=2211211116913()()24233343412ACABABACABABACAC+−=−−=−−=.故选：C5．如图，设,OxOy是平面内相交成60

的两条数轴，21,ee分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量12OPxeye=+，则把有序数对(),xy叫做向量OP在坐标系Oxy中的坐标，记作(),OPxy=uuur．若()()12cos,1,

1,sin,OPOP==π3π,22121,2OPOP=−，则的值为（）A．3π4B．πC．5π4D．4π3【答案】B【分析】利用平面向量数量积的定义可求得12ee的值，由题意得出221121=cossi,nOePOPee

e+=+，利用平面向量数量积的运算性质可求得答案.【详解】由平面向量数量积的定义可得2121211cos60122eeee===，由题意可得()()12cos,1,1,sin,OPOP==π3π,22121,2OPOP=−221121=c

ossi,nOePOPeee+=+所以，()()()221212112122cossincossincos+s+1inOeeeeeeePOPe=++=+()2sins11+coscosin12=++=−，设+cos==sint42sin

+，因为π3π,22，所以π3π7π,444+，π2sin1,42+−，)=2,1t−，由()2sinsin11+coscos12++=

−可得221114012322tttt++=−+−+=，解得3=t−（舍去），=1t−，由0sinsin+cos112cos1csosin=−+==，因为π3π,,22所以π,=故选：B.6．如图，在RtABC△中，90A=，2A

B=，4AC=，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则PBPC的最小值为（）A．0B．165−C．245−D．565−【答案】C【分析】由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解【详解】设AD为斜边BC上的高，则圆A的半径222445,24255416rADB

C====+=+，设E为斜边BC的中点，,PAAE=，则0,π，因为455PA=，5AE=，则()()()21625PBPCPAABPAACPAPAABACPAAE=++=++=+16451625cos8cos555

=+=+，故当π=时，PBPC的最小值为1624855−=−.故选：C.7．已知对任意平面向量(,)ABxy=，把(,)ABxy=绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量(cossin,sincos)APxyxy=−+，叫做把点B绕点A沿逆时

针方向旋转角得到点P．已知平面内点(1,2)A，把点B绕点A沿顺时针方向旋转π3后得到点312,322P−−，则点B的坐标为（）A．352,322−−+B．513,32+−+C．32,2232−−

D．()13,223+−【答案】D【分析】根据题意，设(),Bxy，由条件可得AP的坐标，然后列出方程，即可得到结果.【详解】设(),Bxy，则()1,2ABxy=−−，将点B绕点A沿顺时针方

向旋转π3，即将点B绕点A沿逆时针方向旋转5π3，可得()()()()5π5π5π5π1cos2sin,1sin2cos3333APxyxy=−−−−+−，化简可得，1313133,1222222APxyxy=+

−−−++−，又因为333,322AP=−−−，所以13133322223133132222xyxy+−−=−−++−=−−，解得13223xy=+=−，所以()13,223B+−.

故选：D8．在等腰直角三角形ABC中，90A=，AEAB=，AFAC=，M为EF的中点，满足12AMAB=，则22+的值为（）A．23B．1C．12D．13【答案】B【分析】根据给定条件，利用,ABAC表示AM，再利用

数量积的运算律计算作答.【详解】依题意，在ABC中，90A=，||||ACAB=，0ABAC=，由AEAB=，AFAC=，M为EF的中点，得11()()22AMAEAFABAC=+=+，因此222222221(2)44AMABACABACAB+=++=

，而12AMAB=，即2214AMAB=，所以221+=.故选：B二、多选题9．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，M，N分别是AB，AD边上的动点，下列命题中正确的有（）A．若AMN的周长为2，则∠MCN的正切值等于1B．若AMN的面积为18，则∠

MCN正切值的最小值为34C．若AMN的周长为2，则CMCN的最小值为222−D．若AMN的面积为18，则CMCN的最大值为2【答案】ABC【分析】AMN的周长为2时，求得∠MCN的正切值判断选项

A；求得CMCN的最小值判断选项C；AMN的面积为18时，求得∠MCN的正切值的最小值判断选项B；求得CMCN的最大值判断选项D.【详解】当AMN的周长为2时，延长ND至P，使PDBM=，连接PC.则()CDPCBMSAS△≌△，则=PCMC

，PCDMCB=，又2MNANAMDNBMDNPDPN=−−=+=+=,则()CMNCPNSSS△≌△，则PCNMCN=,又由PCDMCB=，可得90PCMDCB==，则45PCNMCN==，则tantan451MCN==选项

A判断正确；以A为原点，分别以,ABAD所在直线为,xy轴建立坐标系，则00(,0),(0,),(1,1)MxNyC，00,0,1xy，则00(1,1),(1,1)CMxCNy=−−=−−,()002CMCNxy=−+当AMN的周长为2时，220

0002xyxy+++=，由22220000000222xyxyxy++−−=，可得22000022xyxy++（当且仅当0022xy==−时等号成立）则()220000002222xyxyxy+=++++则00422xy+−（当且仅当0022xy==

−时等号成立），则()002222CMCNxy=−+−（当且仅当0022xy==−时等号成立），故AMN的周长为2，则CMCN的最小值为222−.选项C判断正确；当AMN的面积为18时，001128xy=，即0014xy=，则000021xyxy+=（当且仅当0012xy==时等

号成立），则()0021CMCNxy=−+（当且仅当0012xy==时等号成立）.故AMN的面积为18时，则CMCN的最大值为1.选项D判断错误；由00tan1,tan1DCNyBCMx=−=−，可得()()()000011tan111yxDCNBCMyx−+−+=−−−(

)00000072411144xyxyxy−+==−++−+−由0012xy+，可得00317444xy+−，0074401134xy−++−，则()40tan3DCNBCM+，又()1tantanM

CNDCNBCM=+，则3tan4MCN故AMN的面积为18时，∠MCN正切值的最小值为34.选项B判断正确.故选：ABC10．下列各式中，值为34的是（）A．22sin30cos60sin

30cos60++B．22sin20cos803sin20cos80++C．22sin23cos53sin23cos53++D．22cos10cos50sin40sin80+−【答案

】ACD【分析】根据两角和的正、余弦公式及诱导公式、同角三角函数关系化简即可求解.【详解】对于A，2211113sin30cos60sin30cos6044224++=++=；对于B，()()2222sin20cos803sin20cos80sin20cos60203sin20c

os6020++++++=()2222131311sin20cos20sin203sin20cos20sin20sin20cos20222244+−+−==+=；对于C，()()22

22sin23cos53sin23cos53sin23cos3023sin23cos3023++=++++()2222313133sin23cos23sin23sin23cos23sin23sin23cos23222244+−+−==+=

；对于D，()()222222cos10cos50sin40sin80cos10sin40sin40cos10cos10sin3010sin3010cos10+−=+−=++−+()2222131333cos10cos10sin10co

s10sin10cos10sin10cos10222244++−+==+=.故选：ACD.11．如图，在ABC中，,ADDBE=是线段BC上的点，且满足2BEEC=，线段CD

与线段AE交于点F，则下列结论正确的是（）A．1233AEABAC=+B．32DFCF=C．1142AFABAC=+D．43AFAE=【答案】ACD【分析】根据题意，由平面向量线性运算可得选项A正确；由AF与AE共线，可得233AFAEA

BAC==+，由CFD、、三点共线，得)(1)2(1AtFtADtACABtAC=+−+−=，由平面向量基本定理解出t、的值，可判断选项C、D;由CFD、、三点共线，得CFkDF=，通过转化求出k得值，即可判断选项B错误.【详解

】由题意，()22123333AEABBEABBCABACABABAC=+=+=+−=+，故选项A正确；由AF与AE共线，可得1223333AFAEABACABAC++===，由CFD、、三点共线，得)(1)2(1AtFtADtACABtAC=+−

+−=，由平面向量基本定理，可得32213tt==−，解得3412t==，所以，1142AFABAC=+，34AFAE=，43AFAE=，即故选项C、D正确；由CFD、、三点共线，得CFkDF=，即)(AFACkAFAD−−=，化简为(1)AFACkADk−=−，

由选项C可得，2()11421)(kABABkCACA−−+=，再由平面向量基本定理得，142112kkk−=−−=，得1k=−，所以，CFDF=−，即DFCF=，故选项B错误.故选：ACD.12．

东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．某数学兴趣小组通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形ABC拼成的一个大等边三角形

ABC，对于图2，下列结论正确的是（）A．这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形B．若BBBC=，则BA与CA夹角的余弦值为714C．若2BBBC=，则ABC的面积是ABC面积的19倍D．若2BB=，4BC=，则BCC内切圆的半径为4339−【答案】BCD【分析】

选项A，若三个全等的钝角三角形是等腰三角形，分析可得,,ABC三点重合，进而即可判断；选项B，连接BA，设BABCa==，结合平面向量的线性运算可得311428CABCBACA=−++，进而利用平面向量的数量积公式即可求解；选项C，设BCm=，则3BCm

=，2CCm=，在BCC中，由余弦定理可得2219BCm=，进而结合三角形的面积公式分别表示出ABC的面积和ABC面积，进而求解；选项D，结合题设可得6BC=，2CC=，在BCC中，由余弦定理可得213BC=，设BC

C内切圆的半径为r，由()12π1sin232BCCSBCCCrBCCCBC==++，进而求解即可.【详解】选项A，若三个全等的钝角三角形是等腰三角形，则AACABCCCABBB=====，从而,,ABC三点

重合，不合题意，故A错误；选项B，连接BA，因为BBBC=，则B为BC中点，则,AC分别为,ABCA中点，因为ABC为等边三角形，设BABCa==，而()()1111122222CACBBABCBABBBCBABCBCBABCCC=+=−++=−++=−++

+,111311222428BCBABCCABCBACA=−+++=−++，整理得4677CABABC=−，所以2224646461177777727BABABA

BCBABCaaaaCBAA−=−=−==，222222461648361648136277749494949492497CABABCBABABCBCaaaa=−=−+=−+=，所以BA与CA夹角的余弦值为

217142777CACaBABAaAa==，故B正确；选项C，若2BBBC=，设BCm=，则3BCm=，2CCm=，在BCC中，由余弦定理得22222π94232cos193BCmmmmm=+−=，所以22131932

24ABCSBCm==，而234ABCSm=!，所以19ABCABCSS=!!，故C正确；选项D，因为2BB=，4BC=，所以6BC=，2CC=，在BCC中，由余弦定理得22π36426

2cos523BC=+−=，即213BC=，设BCC内切圆的半径为r，由()12π1sin232BCCSBCCCrBCCCBC==++，即()1316262213222r=++，解得4339r=−，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题

B选项，关键在于结合平面向量的线性运算可得311428CABCBACA=−++，进而利用平面向量的数量积公式即可求解，将未知向量往已知方向进行转化.13．已知()fx是定义在R上的函数，同时满足以下条件：①()1fax+为奇函数，2xfa+为偶函数（Ra，且0a）；②()

()()()()()1223344556616ffffff+++++=；③()fx在()2,3上单调递减．下列叙述正确的是（）A．函数()()gxfxx=+有5个零点B．函数()()()2hxfxfx=+的最大值为20C．()()()||sinsincoscosf

xfx成立D．若()()()()sin,0,11||cos,0,PyyfxxQyyfxx====﹐﹐则PQ【答案】BCD【分析】根据①得出()fx关于点()1,0对称，关于直线2x=对称，得出()fx的周期为4，根据()10f=得出()()

()3510fff===，()()62ff=，()()()402fff==−.结合③画出函数()fx的草图．结合函数()fx的图象及正余弦函数的性质逐一判断各选项.【详解】因为①()1fax+为奇函数，所以()()11faxfax=−−++，且()10f=.即()()101faxf

ax+++=−，所以函数()fax关于点()1,0对称，即()fx关于点()1,0对称.因为2xfa+为偶函数，所以22xxffaa−+=+，所以xfa关于直线2x=

对称，即()fx关于直线2x=对称.由()fx关于点()1,0对称，且()fx关于直线2x=对称，则函数()fx的周期为4.由()10f=，()fx关于点()1,0对称，所以()()()3510fff===，又()fx关于直线2x=对称，()()62ff=，()()

()402fff==−.又②()()()()()()1223344556616ffffff+++++=，所以()()()22426216fff−+=，即()24f=，即()44f=−，③()fx在()2,3上单调递减．画出函数()fx的草图．对于A，函数()()gxfxx=+的零点个

数即为()yfx=与yx=−的交点个数，如图，易知有4个交点，即函数()()gxfxx=+有4个零点,故A错误；对于B，因为()4,4fx−，所以当()4fx=时，函数()()()2hxfxfx=+的最大值为20，故B正确.对于C，易知函数||sinsin=yx与()c

oscosyx=是偶函数，()|sinsinπsinsn|i+=xx，()()()()coscosπcoscoscoscosxxx+=−=，所以函数||sinsin=yx与()coscosyx=的周期πT=；又()||||sinsinπsinsin=−xx，()()()()

coscosπcoscoscoscos−=−=xxx，所以函数||sinsin=yx与()coscosyx=的对称轴为π=2x；当π0,2x时，||in,s01x，得||sinsin0,sin1x，

cos0,1x，()coscoscos1,1x，πππcos1,222−−x，又因为πsincos22+xx，所以πsincos2xx−，因为sinyt=在π0,2上单调递增，所以()π0sinsinsin

cos12−xx，即()()0sinsincoscos1xx，根据周期性，对称性可知()||10sinsincoscosxx.又()fx在0,1上单调递增，()()()||sinsincoscosfxfx

，故C正确；对于D，若0,1x，()4,0fx−，因为sinyx=在π4,2−−单调递减，在π,02−单调递增，又12πsin−=−，()sin4sin40−=−，所以()()sin1,sin4fx−−

，1,sin4P=−−，因为cosyx=在4,π−−单调递减，在π,0−单调递增，所以()()cos1,1fx−，所以1,1Q=−，则PQ成立，故D正确.故选：BCD.【点睛】函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的方法点睛：(1)函数的零点:零点存在性定理.通过代

入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内.(2)方程的根:方程的等价变形.当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数(3)两函数的交点:数形结合.前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化

为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现.通过图像可清楚的数出交点的个数(即零点，根的个数)或者确定参数的取值范围.14．直角ABC中，斜边2AB=，P为ABC所在平面内一点，22

1sincos2APABAC=+（其中R），则（）A．ABACuuuruuur的取值范围是(0,4)B．点P经过ABC的外心C．点P所在轨迹的长度为2D．()PCPAPB+的取值范围是1,02−

【答案】ABD【分析】由向量数量积的几何意义有2ABACAC=uuuruuuruuur，结合已知即可判断A；若O为AB中点，根据已知有,,OPC共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得()2||

||PCPAPBPCPO+=−，结合基本不等式求范围判断D.【详解】由2ABACAC=uuuruuuruuur，又斜边2AB=，则||(0,2)ACuuur，则(0,4)ABACuuuruuur，A正确；若O为AB中点，则12AOAB=uuuru

uur，故22sincosAPAOAC=+，又22sincos1+=，所以,,OPC共线，故P在线段OC上，轨迹长为1，又O是ABC的外心，B正确，C错误；由上2PAPBPO+=，则()22||||PCPAPBPCPOPCPO+==−，又|

|||||1PCPOOC+==，则2||||1||||()24PCPOPCPO+=，当且仅当1||||2PCPO==等号成立，所以1()2||||[,0]2PCPAPBPCPO+=−−，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：若O为AB中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积

的几何意义和运算律判断P轨迹，求ABACuuuruuur、()PCPAPB+.三、解答题15．已知abc，，分别为ABC三个内角ABC，，的对边，222coscos1cosACB+=+且1b=，(1)求B；(2)若12ABAC，求11ac+的取值范围；(3)若O为ABC的外接圆，若PMP

N、分别切O于点MN、，求PMPN的最小值.【答案】(1)2B=；(2)()22,+；(3)2324−.【分析】（1）由题目条件可证得222sinsinsinACB+=,可得ABC为直角三角形，可求出2B=.（2

）由数量积的定义可求得2102c，设sin,cos,0,4ca==，则11sincossincosac++=，令()sincos2sin,1,24tt=+

=+，则()21122,1,211ttacttt+==−−，判断出21ytt=−的单调性，即可得出答案.（3）用PO分别表示出PMPN，结合均值不等式即可求出答案.【详解】（1）因为222coscos1cosACB+=+，则2221sin1sin11sinACB−+−=+−，所以22

2sinsinsinACB+=，则222acb+=，所以ABC为直角三角形，所以2B=.（2）221cos2ABACABACAABc===，所以2102c，而221ac+=，所以设sin,cos,0,4ca==，所以1111sincos

sincossincosac++=+=，令()sincos2sin,1,24tt=+=+，又因为()22sincos12sincos,t=+=+所以21sincos2t−=，所以()2112,1,21ttact+=−，令()222

,1,211tytttt==−−，因为1tt−在()1,2t上单调递增，所以21ytt=−在()1,2t上单调递减，所以222122y=−.所以11ac+的取值范围为()22,+（3）ABC的外接圆的半径为r，12r

OAOC===，设(),Pmn，则2222214PNPMPOONPO==−=−，其中214PO，所以()2cos,2cos1PMPNPMPNPMPNPMPNNPO==−，而2222214co

sPOPNNPOPOPO−==，222114214POPMPNPOPO−=−−2213238424POPO+−−=，当且仅当342PO−=取等.所以PMPN的最小值为2324−.【点睛

】关键点点睛：本题考查向量相关的取值范围问题，考查面较广，涉及了基本不等式、函数值域、正弦定理、三角函数等，需要对知识掌握熟练且灵活运用.考查学生的运算能力和逻辑推理能力，属于难题.16．在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2coscosc

osbAaCcA=+，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足()()0OAOBABOBOCBC+=+=．(1)若2a=，求AO的值；(2)在（1）条件下，求32OAOBOC++的最小值；(3)若AOxAByAC=+，求xy+的取值范围．【答案】(1)1

(2)35−(3)1,222−【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到2cos1A=，求得π4A=，再由向量的线性运算法则，求得OAOBOC==，得到O为ABC的外心，结合正弦定理，即可求得AO的长．（2）由（1）求得2BOC=，|

|22BCR==uuur且1R=，根据向量的运算法则，化简得到()2|32|1465cos2OAOBOCC++=++uuruuuruuur，结合三角函数的性质，即可求解；（3）取AB的中点D，连接OD，求得212AOABAB

==，212AOACAC=，由向量数量积的定义得到2||||2ABACABAC=uuuruuuruuuruuur，结合题意，得到2||2||||xAByACAB+=uuuruuuruuur和2||2||||xAByACAC+=uuuruuur

uuur，联立方程组，求得2||||22||||ACABxyABAC+=−+uuuruuuruuuruuur，化简得到2112tanABACB=+uuur，即可求解.【详解】（1）解：因为2cosco

scosbAaCcA=+，由正弦定理得2sincossincossincossin()BAACCAAC=+=+,因为πACB+=−，可得sin()sinACB+=，所以2sincossinBAB=，又因为(0,π)B，可得sin0B，所以2cos1A=，即2cos2A=

，因为(0,π)A，所以π4A=，又由()()0OAOBABOBOCBC+=+=，可得()()()()0OAOBOBOAOBOCOCOB+=−++=，解得2222,OAOBOBOC==，即OAOBOC==，所以O为ABC的

外心，由正弦定理有2222πsin2sin42aOAA====，所以1AO=．（2）解：因为π4A=，所以22BOCA==，所以||2BC=，||||OBOCR==uuuruuur，所以||22BCR==uuur，外接圆的半

径1R=，2222|32|941264OAOBOCOAOBOCOAOBOAOCOBOC++=+++++uuruuuruuuruuruuuruuuruuruuuruuruuuruuuruuur94112cos26cos24cos2C

BA=+++++31412cos26cos22CC=++−1412cos26sin2CC=+−()1465cos2C=++其中1tan2=，且为锐角，故π04，由22sin1tancos2s

incos1π04==+=，可得525sincos55==，，因为π023ππ042CBC=−，解得ππ42c，即ππ,42C则ππ2,2C，则π2π2C+++，且ππ3π

224+，因为余弦函数cosyx=在π,π2+上单调递减，在()π,π+上单调递增，又因为π5cossin25+=−=−，()25cosπcos5+=−=−，所以，()51cos25C−+−，所以()()23514651465co

s28C−=−++，所以min|32|35OAOBOC++=−uuruuuruuur．（3）解：如图所示：取AB的中点D，连接OD，则ODAB⊥，所以()212AOABADDOABADABDOABAB=+=+=，同理可得212AOACAC=，由平面向量数量积的定

义可得2||||cos||||2ABACABACAABAC==uuuruuuruuuruuuruuuruuur，因为AOxAByAC=+，所以，2AOABxAByABAC=+，即2212||||||||22ABxAByABAC=+uuuruuuruuuruuu

r，所以2||2||||xAByACAB+=uuuruuuruuur，①2AOACxABACyAC=+，即2212||||||||22ACxABACyAC=+uuuruuuruuuruuur，所以2

||2||||xAByACAC+=uuuruuuruuur，②．联立①②可得2||12||ACxAB=−uuuruuur，2||12||AByAC=−uuuruuur，所以2||||22||||ACAB

xyABAC+=−+uuuruuuruuuruuur，又因为()()2sincossinsin2121sinsinsin2tanBBABABCBBBBAC++====+uuuruuur，因为,42B，可得||2,22||ABACuu

uruuur，所以1,222xy+−.【点睛】17．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2b=，cos=cbA．(1)求角B；(2)求11ac+的最小值；(3)O为ABC的外接圆

，P为O外一点，过P点作O的切线，切点分别为E，F，求PEPF的最小值．【答案】(1)π2(2)2(3)2232−【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到sincos0AB=，进而得到cos0B=，即可求解；（2）由正弦定理得到2sin,2sinaAcC==，化简11

2cossin2sincosAAacAA++=，设cossintAA=+，得到11121actt+=−，进而求得最小值；（3）由,PEPHHEPFPHHE=+=−，化简得到2211(232PEPFxx=+−），结合

基本不等式，即可求解.【详解】（1）解：因为cos=cbA，由正弦定理得sinsincosCBA=，又因为sinsin()sincoscossinCABABAB=+=+，所以sincoscossinsincosABABBA+=，所以sincos0AB=，因为

(0,π)A，所以cos0B=，又因为(0,π)B，所以π2B=.（2）解：由正弦定理得2sinsinsinacbACB===，所以2sin,2sinaAcC==，因为π2B=，所以π2CA=−，所以1111211()π2sin2sin2sinsin()2a

cAACA+=+=+−2112cossin()2sincos2sincosAAAAAA+=+=，设πcossin2sin()4tAAA=+=+，因为π(0,)2A，所以(1,2]t，21sincos(1)2A

At=−，所以21112211tacttt+===−−，因为()1fttt=−在(1,2]t上单调递增，所以2t=时，min111()22122ac+==−.（3）解：因为π2B=且2b=，O为ABC的外接圆，可得圆的半径为22r=，如图所示，设POx=，连接EF与PO交于点

H，由点P为O外一点，过P点作O的切线，切点分别为E，F，所以OEPE⊥，所以90OEP=，因为EFOP⊥，所以90EHP=，又因为OPEEPH=，所以OPEEPH∽，则EHPEOEPO=，所以22221()222222x

xPEOEEHPOxx−−===，又由212PEPFx==−，所以22212122xPExPHPOxx−−===，因为,PEPHHEPFPHHFPHHE=+=+=−，可得()()22222212212()()

22xxPEPFPHHEPHHEPHHExx−−=+−=−=−42222222311111223(23(223)2222xxxxxxx−+−==+−−=），当且仅当2212xx=，当222x=时，等号成立，所以PEPF的最小值为2232−．18．已知

O为坐标原点，对于函数()sincosfxaxbx=+，称向量(),OMab=为函数()fx的联合向量，同时称函数()fx为向量OM的联合函数．(1)设函数()2π3πsincos32gxxx=+++

，试求函数()gx的联合向量的坐标；(2)记向量()1,3ON=的联合函数为()fx，当()65fx=且ππ,36x−时，求sinx的值；(3)设向量()2,2OP=−，R的联

合函数为()ux，()1,1OQ=的联合函数为()vx，记函数()()()2hxuxvx=+，求()hx在0,π上的最大值．【答案】(1)13,22(2)34310−(3)()2max12,12,1222,2hx−−=+−【分析】（1）化简()

gx的解析式，从而求得伴随向量OM；（2）先求得()fx，由()65fx=求得πsin3x+，进而求得πcos3x+，从而求得sinx；（3）先求得()hx，然后根据三角函数的值域与二次函数最值分类讨论求解即可.【详解】（1）因为()2π3π2π2πsinco

ssincoscossinsin3233gxxxxxx=+++=++13sincos22xx=+，所以函数()gx的联合向量的坐标为13,22OM=.（2）依题意()πsin3cos2sin3fxxxx=+=+，

由()65fx=，得π62sin35x+=，即π3sin35x+=，又因为ππππ,,0,3632xx−+，所以2ππ94cos()1sin()133255xx+=−

+=−=，所以ππ1π3π343sinsinsincos33232310xxxx−=+−=+−+=.（3）由题知π()2sin2cos22sin4uxxxx=−=−，ππππ()sincos2

sin2sin2cos4424vxxxxxx=+=+=−+=−，所以()()()22ππ22sin2cos44hxuxvxxx=+=−+−2ππ2sin22s

in244xx=−−+−+因为0,πx，ππ3π,444x−−，所以，π2sin,142x−−，令π2sin,142tx=−−，所以，问题转化为函数222222

,,12yttt=−++−上的最大值问题.因为函数222222,,12yttt=−++−的对称轴为22t=，所以，当2222t=−，即1−时，222222,,12yttt=−++−的最大值在22t=−处取得，此时2max222

()22()21222y=−−+−+=−；当212t=，即2时，222222,,12yttt=−++−的最大值在1t=处取得，此时max21222221y=−++=；当22122−，即12−时，222222,,12

yttt=−++−的最大值在22t=处取得，此时2max2222()222()222y=−++=+；综上，()hx在0,π上的最大值为()2max12,12,1222,2hx−−=+−.【点

睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法.19．已知函数()()()4413sincossincos12fxxxxxx=+−−R，函数()yfx=的图象向左平移

π6个单位，再向上平移1个单位得到()ygx=的图象，()()coscos3hxxxmmm=−−+R.(1)若()0f=，求；(2)若对任意2π,6π2x−，存在1π0,2x使得()()12gxhx=成立，求实数m的取值范围.【答案】

(1)ππ,Z3kk=+(2)1384m【分析】（1）利用三角恒等变换化简()fx的解析式，从而由()0f=解得；（2）利用三角函数的图象变换规律求出函数()gx的解析式，根据题意，将所给条件转化为()hx和()gx的值域的包含关系，根

据分段函数的特征及二次函数的性质分类讨论，列出不等式组，求得实数m的取值范围．【详解】（1）()()4413sincossincos12fxxxxx=+−−()()222231sin2sincossincos122xxxx

x=+−+−31sin2cos2122xx=−−πsin216x=−−，若()0f=，则πsin216−=，∴ππ22π,Z62kk−=+，∴ππ,Z3kk=+.（2）()πππsin211sin2666

gxxx=+−−+=+，当π0,2x时，ππ7π2,666x+，()1,12gx−，若对任意2π,6π2x−，存在1π0,2x

使得()()12gxhx=成立，则函数(),,6ππ2hxx−的值域是1,12−的子集.()πcosco,πs3,26hxxxmmx=−−+−，令cos,0,1txt=

，记()3ptttmm=−−+，当0m时，3302mmt，()()22393324ptttmmttmmtmmm=−−+=−−+=−−++，()pt在0,1t时单调递减，则()()()10pptp，即()41mptm−，由题意得1412

1mm−−，解得118m，又0m，矛盾，所以无解；当103m时，30312mm，(3),03()3(3),31ttmmtmptttmmttmmmt−+=−−+=−−+，222239,0324()39,3124tmmmtmptmtmmmt−

+−=−−++，()pt在30,2mt时单调递减，在3,32mtm时单调递增，在()3,1tm时单调递减，()()()2390,,3,14124mp

mpmmpmmpm==−==−，由题意得2191421412mmmm−−−−，解得122289m+，又103m，所以1183m；当1233m时，30132mm

，3tm，()()2239324ptttmmtmmm=−+=−+−，()pt在30,2mt时单调递减，在3,12mt时单调递增，()()()2390,,3,11224mpmpmmpmmpm==−==−，由题意21121914

2mmmm−−−，解得22209m+，又1233m，所以1233m；当23m时，3132mm，3tm，()()2239324ptttmmtmmm=−+=−+−，()pt在0,1t

时单调递减，则()()()10pptp，即()12mptm−，由题意得11221mm−−，解得34m，又23m，所以2334m，综上可得，1384m.【点睛】方法点睛：一般地，已知函数(),[,]yfxxab=

，(),[,]ygxxcd=，（1）若12[,],[,]xabxcd，总有()()12fxgx成立，则()maxmin()fxgx；（2）若12[,],[,]xabxcd，使得()()12fxgx成立，则()maxmax()fxgx

；（3）若12[,],[,]xabxcd，使得()()12fxgx成立，则()minmax()fxgx；（4）若12[,],[,]xabxcd，使得()()12fxgx=成立，则()fx的值域是()gx值域的子集．20．高新体育中心体育馆（图1）是成都大运会乒乓球项目比

赛场馆，该体育馆屋顶近似为正六边形ABCDEF，屋底近似为正六边形111111ABCDEF．(1)如图2，已知该体育馆屋顶上有,,AMN三点用电缆围成了三角形形状，测得75MAN=，45,50AMNAM==米，求该电缆的长度；(2)如图3，若在建造该

体育馆时在馆底111,,BDE处的垂直方向上分别有1,2,3号塔吊，若1号塔吊（点2B处）驾驶员观察2号塔吊（点2D处）驾驶员的仰角为30,2号塔吊驾驶员观察3号塔吊（点2E处）驾驶员的仰角为45，且1号塔吊高a米，2号塔吊比1号塔吊高33a米，则3号塔吊高多少米?（塔吊高度以

驾驶员所在高度为准）．【答案】(1)50252256++米.(2)2313a+米.【分析】（1）根据正弦定理求出三角形边长，可得三角形周长；（2）在直角梯形1122BDDB中，过2B作212BMDD^，垂足为M，求出112BDBMa==

米，在直角梯形1122EDDE中，过2D作212DNEE^，垂足为N，求出233ENa=米，再由1222BBDMEN++可得结果.【详解】（1）因为75MAN=，45AMN=，所以60ANM=，()sinsin75sin4530MAN==+

sin45cos30cos45sin30=+oooo23216222224+=+=.由正弦定理得sinsinMNAMMANANM=行，得sinsinAMMANMNANM=ÐÐ6250432+=2525263=+米，sinsinANAMAMNANM=行，sinsinAMAM

NANANM=ÐÐ250232=5063=米，所以该电缆的长度为2550502526633AMMNAN++=+++50252256=++米.（2）在直角梯形1122BDDB中，过2B作212BMDD^，垂足为M，则12BBa=米，2230DBM=Ð，23

3DMa=米，所以2233tan3033aDMBMa===米，所以112BDBMa==米，所以正六边形111111ABCDEF的边长为132332aa=米，在直角梯形1122EDDE中，过2D作212DNEE^，垂足为N，则233DNa=米，2245EDN=Ð，所以

233ENa=米，所以3号塔吊高为33231333aaaa++=+米.21．在ABC中，a，b，c，分别是角A，B，C的对边，请在①sinsinsinACbcBac−−=+；②sinsin2BCcaC+=

两个条件中任选一个，解决以下问题：(1)求角A的大小；(2)如图，若ABC为锐角三角形，且其面积为32，且12AMAC=，2ANNB=，线段BM与线段CN相交于点P，点G为ABC重心，求线段GP的取值范围.【答案】(1)π3A=(2)113,612

【分析】（1）若选①，先由正弦定理的边角互化，然后结合余弦定理即可得到结果；若选②，先由正弦定理的边角互化，再结合二倍角公式，即可得到结果.（2）用AB、AC作为平面内的一组基底表示出AG，再根据平面向量共线定理及推论表示出AP，即可表示GP，利用面积公式求出2bc=，再

由三角形为锐角三角形求出b的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得．【详解】（1）若选①，因为sinsinsinACbcBac−−=+，由正弦定理可得，acbcbac−−=+，化简可得222abcbc=+−，又因为2222cosabcbcA=+−，则1cos2A=，

()0,πA，故π3A=.若选②，因为sinsin2BCcaC+=，由正弦定理可得，sinsinsinsin2ACAC−=，且sin0C，则cos2sincos222AAA=，且cos02A，所以1sin22A=，其中π0,2

2A，所以π26A=，则π3A=.（2）由题意可得23ANAB=，12AMAC=，所以()222111333233AGABBGABBMABAMABABACABABAC=+=+=+−=+−=+，因为C、N、P三点共线，故设()()2113APANACABA

C=+−=+−，同理M、B、P三点共线，故设()()1112APABAMABAC=+−=+−，则()231112=−=−，解得3412==，所以1124AABAPC=+，则()11

111112243361212GPAPAGABACABACABACABAC=−=+−+=−=−，因为13sin22ABCSbcA==，所以2bc=，又因为ABC为锐角三角形，当C为锐角，则0ACBC

，即()22102AACACACACABBbbc−==−−uuuruuuruuuruuuruuuruuur，即22bcb=，所以1b；当B为锐角，则0ABCB，即()22102AABABABACABCcb

c−==−−uuuruuuruuuruuuruuuruuur，则2cb，即22bb，所以02b；综上可得12b，又因为1212GPABAC=−，则()222222222216144|2444|4||424GPABACABABA

CACABABACACcbcbbb=−=−+=−+=−+=−+，因为12b，则214b，且()164fxxx=−+在(1,4)上单调递减，()()113,44ff==，所以()()4,13fx，即()2221614

4||44,13GPbb=−+uuur，所以113,612GP．22．如图，设ABC中角,,ABC所对的边分别为,,,abcAD为BC边上的中线，已知1c=且1212sincossinsinsin

,cos47cABaAbBbCBAD=−+=.(1)求中线AD的长度；(2)设点EF､分别为边,ABAC上的动点，线段EF交AD于G，且AEF△的面积为ABC面积的一半，求AGEF的最大值.【答案】(1)212(2)112【分析】（1）先由正弦定理与余弦定理进行边

角互化，求出4b=，再由()12ADABAC=+结合数量积的运算性质即可求解；（2）设,AExAFy==，再根据AEF△的面积为ABC面积的一半，得到2xy=，然后利用,,EGF共线和基本定理，利用数量积运算求解.【详解】（1）12sincossinsinsin4cABaAbBbC=−+，由正弦

定理：2212cos4caBabbc=−+，由余弦定理：2222221124,1,4244cabcaabbccbcbccbac+−=−+====.因为D为中点，所以()12ADABAC=+，设,ABAC的夹角为，2222111

78cos22cos,222ADABACABACcbbc+=++=++=又()()2211cos14cos2222ccbABADABABACABABAC++=+=+==，2114coscos7178cosABADBADABAD+===+，即228cos8co

s110+−=，解得1cos2=或11cos14=−，又14cos0+，∴1cos2=,∴212AD=；（2）设,AExAFy==，则,4yxABAFACAE==，∵AEF△的面积为ABC面积的一半，∴142AEAFxyA

BAC==，∴2xy=.设AGAD=，则22AGADABAC==+，又,,EGF共线，∴可设()1AGAEAF=+−，则()()114yAGAEAFxABAC−=+−=+，∴()2142x

y=−=，解得：4yxy=+.∴2244AGABACxyxy=+++，又4yEFEAAFACxAB=+=−，∴22444yAGEFABACACxABxyxy=+−++222964444yyyxACxABxACABxyxy−

=−+−=++.又2xy=，化简得22296186213442422yxxAGEFxyxx−−===−+++，又4y，则112x，则12x=时，AGEF的最大值为112.23．已知向量()2sin,2cosaxx=，()sin,2cossinbxxx=−

，设函数()322fxab=−.(1)求π4f的值；(2)当ππ,48x−时，()()sin423gxxmfx=+−有零点，求实数m的取值范围【答案】(1)22−(2)[22,)+【分析】（1）利用向量数量积坐标公式结合二倍

角公式和辅助角公式即可得到()fx的解析式，代入π4x=即可；（2）化简()2sin2cos2(cos2sin2)3gxxxmxx=+−−，利用整体换元法结合对勾函数性质即可得到答案.【详解】（1）由题意知：223232()2sin22cos2sincos22fxabxxxx=−=+−−2222

π2cos2sincoscos2sin2cos22224xxxxxx=−−=−=+π242f=−.（2）由（1）知22()cos2sin222fxxx=−，()sin42()32sin2cos2(cos2sin2)3gxxm

fxxxmxx=+−=+−−有零点，令πcos2sin22cos24txxx=−=+，πππππ,,2,48442xx−+−，则(πcos20,14x+，则(0,2]t，22sin

2cos21xxt=−，所以22()132httmttmt=−+−=−+−在(0,2]t上有零点，即220tmt−+−=在(0,2]t上有解，即2mtt=+在(0,2]t有解，显然222tt+，当且仅当2t=时等号成立，故m的取值范围

为[22,)+.24．已知函数()2ππ3sin2cos1,(0)6212xfxx=−+−−的相邻两对称轴间的距离为π2．(1)求()fx的解析式；(2)将函数()fx的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函

数()ygx=的图象，当ππ,126x−时，求函数()gx的最值．(3)对于第（2）问中的函数()gx，记()()Rygxmm=−在π4π,63x上的5个零点从小到大依次为12345,,,,xxx

xx，求12345222mxxxxx+++++的取值范围．【答案】(1)()2sin2fxx=(2)最小值为2−，最大值为3.(3)20π20π[,3)33+【分析】（1）根据题意，化简函数由函数()2s

infxx=，结合πT=，求得2=，即可求得函数()fx的解析式；（2）根据三角函数的图象变换，得到()π2sin(4)3ygxx==−，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（3）根据题意求得ππ4,5π33x−，令

3π4tx=−，作出函数2sinyt=在π,5π3上的图象，结合图象得到[0,3)m，进而求得12233411π17π23π,,121212xxxxxx+=+=+=，4529π12xx+=，即可求解.【详解】（1

）解：由函数()2ππ3sin2cos16212xfxx=−+−−ππππ3sincos2sin2sin6666xxxx=−+−=−+=，因为函数()fx的相邻两对称轴间的距离为π2，可得πT=，所以2π2T==，所以函

数()fx的解析式为()2sin2fxx=.（2）解：将函数()fx的图象向右平移π6个单位长度，可得π2sin(2)3yx=−再把横坐标缩小为原来的12，得到函数()π2sin(4)3ygxx==−的图象，当ππ,126x−时，可得,3π4332π

πx−−，当ππ432x−=−时，即π24x=−时，函数()gx取得最小值，最小值为2−；当ππ433x−=时，即π6x=时，函数()gx取得最大值，最大值为3，所以函数()gx的最小值为2−，最大值为3.（3）解：因为π4π,63x，可得ππ4,5π33x−

，令3π4tx=−，作出函数2sinyt=在π,5π3上的图象，如图所示，因为方程()(R)gxmm=，在π4,6π3上有五个实数根，可函数2sinyt=在π,5π3上有五个实数根，由图象

可得[0,3)m，且122334453π5π7π9π23π,25π,27π,29π2222tttttttt+==+==+==+==所以122334ππππππ(4)4)(4)4(3π,(5π,)(4)4)333333(7πxxxxxx+−−−+−==+

=−−，45ππ(4)43(39π)xx+−=−，所以1223344511π17π23π29π,,,12121212xxxxxxxx+=+=+=+=，所以1234512233445222()()()(

)mxxxxmxxxxxxxxx++++=+++++++++11π17π23π29π20π20π20π[,3)12121212333mm=++++=++.25．在①cos3sin0aCaCbc+−−=，②222cos1coscossinsinABCBC+=++，③()πsin

cos6bACAa+=−，这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且______．(1)求A；(2)若2a=，BDDC=，求AD的最大值．【答案】(1)π3A=(2)3

【分析】（1）选择条件①，边化角，利用诱导公式、和角公式与辅助角公式求解；选择条件②，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即可；选择条件③，边化角，利用余弦函数的差角公式化简求解即可.（2）根据余弦定

理以及平面向量数量积的运算法则化简可得2442ADbc−=，再利用基本不等式求解即可.【详解】（1）选择条件①∵cos3sin0aCaCbc+−−=，∴sincos3sinsinsinsin0ACACBC+−−=∴()sincos3sinsinsinsin0ACACACC+−+−=∴3sins

incossinsin0ACACC−−=，∴3sincos10AA--=，∴π1sin62A−=，∵0πA，∴π3A=选择条件②∵222cos1coscossinsinABCBC+=++，∴222sinsinsinsinsi

nBCABC+−=∴222bcabc+−=，∴2cosbcAbc=，∴1cos2A=，∵0πA，∴π3A=选择条件③：易知ABC++=.可得πsincos6bBAa=−，根据正弦定理，可得sinπsincossin6BBAA=−

可得π31sincoscossin622AAAA=−=+整理可得tan3A=∵0πA，∴π3A=（2）∵222cosabcbcA=+−，∴224bcbc=+−，又由题有1122ADABAC=+，∴2ADAB

AC=+uuuruuuruuur∴22242ADABACABAC=++，即2224ADbcbc=++由2222244bcbcADbcbc=+−=++，得22222ADbc+=+，2442ADbc−=又∵

222bcbc+，当且仅当“bc=”时，“=”成立∴222244ADAD+−，∴23AD，∴3AD，即AD的最大值为326．已知函数()()23π1πsincos0262212xfxx=++−+的相邻两对称轴

间的距离为π．(1)求的值；(2)证明：()()()3334fxfxfx=−；(3)令()π43gxfx=−，记方程()gxm=，30,2m在π3π,64x上的根从小

到大依次为12,,,nxxx，若1231222nntxxxxx−=+++++，试求t的值．【答案】(1)1=(2)证明见解析(3)11π12t=【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简()fx，由()fx最小正周期可求得的值；（2）利用两角和差正弦公式

和二倍角公式化简证明即可；（3）将问题转化为()gx与ym=交点的横坐标的求解，采用数形结合的方式，结合正弦型函数的对称性可求得结果.【详解】（1）()π1cos3π13π1π6sinsincos26222626xfxxxx++=++−=+

−+ππsinsin66xx=+−=；()fx的相邻两对称轴间的距离为π，()fx\的最小正周期2πT=，即2π2π=，解得：1=.（2）由（1）得：()sinfxx=，则()3sin3fxx=，

()()22sin3sin2sincos2cossin2sin12sin2sincosxxxxxxxxxxx=+=+=−+()3233sin2sin2sin1sinsin2sin2sin2sinxxxxxxxx=−+−=−+−3

3sin4sinxx=−，()()()3334fxfxfx=−.（3）由（1）得：()πsin43xxg−=，当π3π,64x时，ππ8π4,333x−，()gxm=，30,

2m的根等价于()gx与ym=交点的横坐标，作出()gx图象如下图所示，由图象可知：方程()gxm=，30,2m在π3π,64x上的根从小到大依次为12,xx，由对称性

得：1211π12xx+=，1211π12txx=+=.【点睛】关键点点睛：本题求解方程根之和的关键是将问题转化为两函数交点横坐标之和的求解问题，采用数形结合的方式，结合正弦型函数的对称性来进行求解.27．设平面向量a、b的夹角为，sinabab=．已知()

sin,1ax=，()cos,1bx=，()3π04fxabx=．(1)求()fx的解析式；(2)若()()cos2fxgxx=−﹐证明：不等式()()()()2e22lnfxfxfxgx+++在π3π,24上恒成立．【答案】(1)()πcossin,04π3πsi

ncos,44xxxfxxxx−=−(2)证明见解析【分析】（1）根据数量积的坐标表示得到cos，再根据所给定义及同角三角函数的基本关系得到()fx的解析式；（2）首先求出()fx、()gx的解析式，在利用换元法求出()()()2efxfx

fx++的最小值，()22lngx+的最大值，即可得证.【详解】（1）因为()sin,1ax=，()cos,1bx=，3π04x，所以2sin1ax=+，2cos1bx=+，sincos1abxx=+，所以221sinccos

1cos1sosinababxxxx+==++，则2222sincos1scos1ninssi11co1xxxx+=−=−++()()()()222222sincocos1sin1cos1sin1s1xxxxxx−+

=++++()()2222cos1sincoi1ssnxxxx++−=22cos1sin1sincosxxxx−=++，所以()isinscosnxxfxabab===−，因为3π04x，当π04x时cossinxx

，当π3π44x时sincosxx，所以()πcossin,04π3πsincos,44xxxfxxxx−=−；（2）当π3π,24x时()sincosfxxx=−，又()()()(

)cos2sincossincosfxgxxxxxx=−=+−，所以()sincosgxxx=+，令()πsincos2sin4tfxxxx=−=−=，因为π3π,24x，所以πππ,442x−，所以π2s

in,142x−，则)1,2t，所以()()()22eefxtfxfxtt++=++，令()2ethttt=++，)1,2t，因为exy=在)1,2上单调递增，2yxx=+在)1,2上单调递增，所以()2

ethttt=++在)1,2上单调递增，则()()1e2hth=+，即()()()2ee2fxfxfx+++令()πsincos2sin4kgxxxx==+=+，因为π3π,24x

，所以π3π,π44x+，所以π2sin0,42x+，则(0,1k，则()22ln22lngxk+=+，令()22lnmkk=+，(0,1k，显然()mk在(0

,1上单调递增，所以()()12mkm=，即()22ln2gx+，显然2e2+，所以()()()()2e22lnfxfxfxgx+++，即不等式()()()()2e22lnfxfxfxgx+++在π3π,24上恒成立

.【点睛】关键点睛：根据解答的关键是由数量积的定义及坐标运算表示出cos，即可得到sin，再由所给定义得到()fx的解析式，利用换元法求出函数的最值.28．ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，已知sinsin2aAACb=+，且1a=.(1)若ABC的外接圆半径为2

，求ABC的面积；(2)若1b=，在ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使ADEV沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A正好落在边BC上，求此情况下AD的最小值.【答案】(1)33158+(2)233−【分析】（1）由正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可求解π3B=

，由余弦定理可得边的长度，进而由面积公式即可求解.（2）根据余弦定理可得212xxmx−+=−，结合基本不等式即可求解最值.【详解】（1）因为sinsin2aAACb=+，即sinsin2ACabA+=，所以由正弦定理边角互化得sinsinsinsin2A

CABA+=，因为()0,π,sin0,πAAACB+=−，所以πsinsin22BB−=，即cossin2BB=，所以cos2sincos222BBB=，因为()0,πB，所以0,,cos0π222BB，所以1sin22B=，所以π26B=，即π3B=.又由

正弦定理得π2sin4sin233bRB===，再由余弦定理得2222cosbacacB=+−，即222π(23)121cos3cc=+−，整理得2110cc−−=，解得1352c+=或1352c−=（舍去），由面积公式

得11135π3315sin1sin22238ABCSacB++===；（2）因为顶点A正好落在边BC上，设为点P，又1ab==，π3B=，所以ABC为等边三角形，即1ACBCAB===，如图，设ADm=，则1,BDmPDm=−=

，所以在BPD△中，由余弦定理得()()22222211cos2212BPmmBPBDPDBBPBDBPm+−−+−===−，整理得()()22211BPmmBPm+−−=−，设,01BPxx=，所以()()2223231323222xxxxmxxxx−−

−+−+===−+−−−−，由于01x，故122x−，所以3232332mxx=−+−−−，当且仅当3232xx−==−，即23x=−时等号成立，所以AD的最小值为233−.四、填空题29．已知,ab是平面内一组基底，21ab+=，3

ab−=rr，则ab+与2ab+所成角的最大值为．【答案】3/60【分析】利用换元结合数量积的运算以及夹角公式运算求解.【详解】因为,ab是平面内一组基底，即,ab不共线，设2,mabnab=+

=+urrrrrr，显然m、n不共线，且均不为零向量，设,mn的夹角为()0,π，则23abmn−=−rrurr，1m=，又因为233abmn−=−=rrurr，则2241293mmnn−+=ururrr，即241293mnn

−+=urrr，整理得29112nmn+=rurr，所以2911111112cos92912122nmnnnmnnnn+===+=rurrrrurrrrr，又因为()0,π，则π03，所以ab+与2ab+所成角的最大值为π3.故答案为：π3.30．

已知函数()()πsin04fxx=−在区间π,π4上有且仅有一个零点，则的取值范围为．【答案】159,1,444【分析】根据题意可得2ππ3ππ44T=−=，从而可求得的一个大范围，根据π,π4x，可得ππππ,π

4444x−−−，再由ππ44−的范围分类讨论，结合正弦函数的性质即可得解.【详解】因为函数()()πsin04fxx=−在区间π,π4上有且仅有一个零点，所以2ππ3ππ44T=

−=，所以83，由π,π4x，可得ππππ,π4444x−−−，由803，得πππ5π44412−−，当πππ0444−−，即01时，则π0ππ4−，解得1544，所以114，

当ππ5π04412−，即813时，则πππ2π4−，解得5944，综上所述：的取值范围为159,1,444.故答案为：159,1,444.【点睛

】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：（1）将函数解析式变形为()()sin+0yAxB=+或()()cos+0yAxB=+的形式；（2）将x+看成一个整体；（3）借助正弦函数sinyx=或余弦函数cosyx=的图象和性质（如定义域、值域、

最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.31．已知边长为2的菱形ABCD中，30,DABE=是边AD所在直线上的一点，则EBEC的取值范围为．【答案】)0,+【分析】取BC的中点Q，连接EQ，利用平面向量的运算可得221(4)4EBECEQC

B=−，结合菱形的几何性质可得答案.【详解】取BC的中点Q，连接EQ，则2EBECEQ+=，所以2222211[()()](4)144EBECEBECEBECEQCBEQ=+−−=−=−，当且仅当EQBC⊥时，EQ有最小值，则21EQ−有最小值，此时菱形的面积1112sin3022

221222EQBCABADEQEQ===，21EQ−最小值为110−=，因为E是边AD所在直线上的一点，所以EQ无最大值，21EQ−无最大值，EBEC的取值范围为)0,+，故答案为：)

0,+32．在ABC中，若12ABACABAC=−，BDDC=，BAC的内角平分线交边BC于点E，若6AD=，22AE=，则ABC外接圆的直径为．【答案】85【分析】根据12ABACABAC=−可得2π3BAC=，从而得π

3BAECAE==，利用三角形面积公式可得()22bcbc=+，再利用6AD=，结合数量积的运算可得221440bcbc+−−=，从而可得bc，利用余弦定理得a，最后应用正弦定理即可得ABC外接圆的直径.【详解】又1cos2ABACA

BACBACABACABAC==−，所以1cos2BAC=−，因为()0,πBAC，所以2π3BAC=，则π3BAECAE==又ABEAECABCSSS=+，所以111sinsinsin222ABACB

ACABAEBAEABAECAE=+，则1313132222222222bcbc=+，整理得：()22bcbc=+①，又1122ADABAC=+，所以22211111112222442ADABACABACABACABAC=+=+=++，则221

116444cbbc=+−，整理得221440bcbc+−−=②，联立①②可得：()22411520bcbc−−=，解得48bc=或24bc=−（舍）在ABC中，由余弦定理可得222222cos2144240abcbcBACbcbcb

c=+−=++=+=，所以415a=，设ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得415285sin32aRBAC===所以ABC外接圆的直径为85.故答案为：85.33．奋进新时代，扬帆新航程.在南海海

域的某次海上阅兵上，一大批国产先进舰船和军用飞机接受了党和人民的检阅.歼-15舰载飞机从辽宁舰航空母舰上起飞，以3002千米/小时的速度在同一水平高度向正东方向飞行，在阅兵舰“长沙号”导弹驱逐舰上第一次观察到歼-15舰载飞机在北偏西3方向，1分钟后第二次观察到歼-15舰载飞机在北偏东512方

向，仰角为6，则歼-15飞机飞行高度为千米（结果保留根号）.【答案】533/533【分析】作出图形，用点,AB表示歼-15舰载飞机，用点C表示阅兵舰，然后由正弦定理求得CF，再在直角三角形中求得FB．【详解】如图，C是阅兵舰，,AB是歼-15舰载飞机

被观察的起始位置，,EF是飞机在地面上的射影，由已知130025260AB==千米，52EFAB==，CD是正北方向，因此3DCE=，512DCF=，6FCB=，533124ECF=+=，236CED

=−=，由正弦定理sinsinEFCFECFCEF=，即523sinsin46CF=，解得5CF=，在直角三角形BFC中，53tan5tan63BFCFBCF===．故答案为：533．34．在ABC中，G为ABC的重心，

93ABCS=，1cos2BAC=，则GBGC的最大值为.【答案】6−【分析】利用基底法得2133GBABAC=−，2133GCACAB=−，再利用三角形面积公式得36ABAC=，再根据向量数量积的运算律结合基本不等式即

可得到最值.【详解】延长AG交BC于点D，因为G是ABC的重心，则D为BC的中点，21()33AGADABAC==+，2133GBABAGABAC=−=−，()21213333GCGBBCABACACABAC

AB=+=−+−=−，由1cos2BAC=，()0,BAC，由三角形面积公式得139322ABAC=，解得36ABAC=，则()222121152233339GBGCABACACABABACABAC=−−=−−11(54)5cos499

3ABACABACABACABAC−=−166ABAC=−=−，当且仅当||6ABAC==等号成立，此时ABC为等边三角形.故答案为：6−.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用,ABAC作为基底表示出,GBGC，再结合三角形面积公式和基本不等式即可得到

最值.35．已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，写出“使满足2b=，π3A=的ABC唯一”的a的一个取值为．【答案】3（答案不唯一，满足3a=或2a即可）【分析】根据题意，利用正弦定理求解.【详解】∵π32,bA==，πsin2sin

33bA==，∴当sinabA=或ab，即3a=或2a时，ABC唯一；故答案为：3（答案不唯一，满足3a=或2a即可）36．RtABC△中，90A=，3AB=，4AC=，M为ABC的外接圆上一动点，则ABAM的最大值为．【答案】12【分析】设ABC的外心为O，根据平

面向量的线性运算将ABAM转化为ABAOABOM+，再结合数量积的定义，代入计算即可．【详解】设ABC的外心为O，由题意得5BC=，则点O为BC的中点，且52OM=，又AMAOOM=+，则()ABAMABAOOMABAOABO

M=+=+，由539cossin3252ABAOABAOBAOABAOC====，又cos,ABOMABOMABOM=，则当,0ABOM=，即ABOM时，ABOM取得最大值，且()max515322ABOM==，所

以()()maxmax9151222ABAMABAOABOM=+=+=，所以ABAM的最大值为12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查平面向量的应用，属于中档题．37．在ABC中，G满足0GAGBGC++=，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若(0)AMmA

Bm=，(0)ANnACn=，则3m+n的最小值为.【答案】4233+【分析】根据题意可知G为三角形的重心，利用三点共线可得11313mn+=，再由均值不等式即可求最值.【详解】取BC中点D，连接GD，如图，由0GAGBGC++=可得20GAGD→→+=，即2GAGD→

→=−，所以,.AGD三点共线且2AGGD=，即G为ABC的重心，所以2211113323AGADABACAMANmn→→→→→→==+=+，因为,,MGN三点共线，所以11313mn+=，又1143(3)=+3

333nmmnmnmnmn+=+++，0,0mn，所以442332333nmmnmn+++=，当且仅当3nmmn=，即3313,93mn++==时，等号成立，故答案为：4233+38．在锐角ABC中，三内角

A，B，C的对边分别为a，b，c，且tantan2tantanBCBC+=，则tantantanABC++的最小值为．【答案】8【分析】根据两角和的正切公式得到tantantantantantantantantantant

antan1BCABCABCBCBC+++==−，最后再换元，利用基本不等式求最小值.【详解】()tantan0tantanan1tantBBCACBC−+=+=−，()tantantantantan1BCAB

C+=−,tantantantantantantantantantantantan1BCABCABCBCBC+++==−，令tantan10BCm−=，由()tantan2tantan21BCBCm+==+，则()()()2212122tantantan1424228mmABCmmm

mmmm++++=+==+++=，当且仅当22mm=时，即1m=时，取等号，此时tantan2BC=，所以tantantanABC++的最小值是8.故答案为：8.【点睛】关键点睛：本题关键在于利用两角和的正切公式将tantantanABC++转

化为tantantantantantan1BCBCBC+−，换元，进而利用基本不等式求解即可.39．如图，半径为2的圆O内有一条长度等于半径的弦AB，若圆O内部（不含圆上）有一动点P，则2PAAPPB+的取值范围为.【答案】

()2,6−【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法及点的坐标范围求解即可.【详解】以O为原点建立平面直角坐标系，如图：由题意三角形OAB是边长为2的正三角形，则(0,0),(1,3),(1,3)OAB−−−，设(,)

Pxy，则224xy+，所以(1,3),(2,0)PAxyBA=−−−−=−，所以2()(1)(2)(3)022PAAPPBPAPAPBPABAxyx+=−==−−−+−−=+，因为22x−，所以2226x−+，所以2P

AAPPB+的取值范围为()2,6−.故答案为：()2,6−【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用坐标法研究数量积的范围问题，尤其是圆中的数量积的范围问题，利用坐标运算把数量积范围问题转化为函数（不等式）范围问题解决即可.40．在ABC中，和313ACBCAB===，且CExC

A=，CFyCB=（其中,(0,1)xy），且41xy+=，若M，N分别为线段,EFAB的中点，则线段MN的最小值为．【答案】77【解析】先由平面向量基本定理，根据题中条件，得到1[(1)(1)]2MNxCAyCB=−+−，由向量模的计算

公式，以及题中条件，即可得出结果．【详解】解：因为313ACBCAB===，所以120C=．因为11()()22MNCNCMCACBCECF=−=+−+111()()[(1)(1)]222CACBxCAyCBx

CAyCB=+−+=−+−，所以222221||(1)||(1)||2(1)(1)4MNxCAyCBxyCACB=−+−+−−2211(1)(1)2(1)(1)42xyxy=−+−+−−−()222111(4)(1)2(4)(1)2161424

yyyyyy=+−+−−=−+．因为,(0,1)xy，且41xy+=，所以104y．所以，当17y=时，2||MN取得最小值17，即MN的最小值为77．故答案为：77．

【点睛】本题主要考查向量的应用，熟记向量模的计算公式，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型．五、双空题41．已知ABC的内角,,ABC的对边分别为a，b，c，且满足2a=，sinsin2sinsinbBcCAbC+−=，则A=；ABC的中线AD的最大值为.

【答案】3/603【分析】空1：根据题意结合正、余弦定理运算求解；空2：根据基本不等式可得4bc，结合向量的运算求解.【详解】空1：因为sinsin2sinsinbBcCAbC+−=，由正弦定理可得222bcabc+−=，由余弦定理可得2221cos222b

cabcAbcbc+−===，且()0,πA，所以π3A=；空2：因为222bcabc+−=，可得224bcbc+=+，由2242bcbcbc+=+，当且仅当2bc==时，等号成立，所以4bc，又因为AD为ABC的中线，则()12ADABAC=+，可得()()()22222211122co

s444ADABACABABACACcbcAb=+=++=++uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur()()2211242342cbbc=+−=+，所以3ADuuur，即中线AD的最大值为3.故答案为：π3；3.