【文档说明】2022-2023学年四川省成都等各市高一下数学期末试题分类汇编：三角函数、平面向量压轴题 Word版含解析.docx，共(51)页，3.615 MB，由管理员店铺上传

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2022-2023学年四川省成都等各市高一下数学期末试题分类汇编：三角函数、平面向量压轴题一、单选题1．已知函数()44cos2sincossinfxxxxx=−−，则()fx的最小正周期为（）A．2B．C

．2D．4【答案】B【分析】利用平方关系、降幂及辅助角公式可得()2cos(2)4fxx=+，根据三角函数性质求最小正周期.【详解】由题设，44()(cossin)2sincoscos2sin22cos(2)4fxxxxxxxx=−−=−=+，所以最小正周

期为22T==.故选：B2．记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，5π6ABC=，D是AC边上一点，且满足BDBC⊥，1BD=．则ac的最小值为（）A．43B．83C．4D．8【答案】B【分析】由ABCABDDBCSSS=+△△△可得23acac=+，再由基本不等式即可求出

答案.【详解】因为ABCABDDBCSSS=+△△△，所以15π11πsin11?sin26223acac=+，所以1322acac=+，所以23223acacac=+，当且仅当23ac=时取等，所以()283acac，即83ac，故ac的

最小值为83.故选：B.3．已知点O是ABC的内心，4,3ABAC==，CBCACO=+，则+=（）A．43B．53C．2D．73【答案】D【分析】连接AO并延长交BC于点D，连接CO，则由角平分线定理得到,CBCD的长度关系，再由平面向量基本定理，利用,,AOD三点共线，得到关系式，

比较系数可得答案.【详解】连接AO并延长交BC于点D，连接CO，因为O是ABC的内心，所以AD为BAC的平分线，所以根据角平分线定理可得43BDABCDAC==，所以73CBCD=,因为,,AOD三点共线，所以设(1)CDtCAtCO=+−，则7

77(1)333ttCBCDCACO−==+，因为CBCACO=+，所以77(1)7333tt−+=+=，故选：D4．如图，在ABC中，π3BAC=，2ADDB=，P为CD上一点，且满足()R12APmACABm+=，若3AC=，4AB

=，则APCD的值为（）.A．3−B．1312−C．1312D．112−【答案】C【分析】由P、C、D三点共线及2ADDB=，可求m的值，再用AB、AC作基底表示CD，进而求APCD即可.【详解】∵()R12APmACABm+=，2ADDB=，即23ADAB=且21

33CDCBCA=+，∴()R34APmACADm+=，又C、P、D共线，有314m+=，即14m=，即1142APACAB=+，而CBCAAB=+，∴2122()3333CDCAABCACAABABAC=+

+=+=−∴APCD=2211211116913()()24233343412ACABABACABABACAC+−=−−=−−=.故选：C5．如图，设,OxOy是平面内相交成60的两条数轴，21,ee分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量12OPxeye=

+，则把有序数对(),xy叫做向量OP在坐标系Oxy中的坐标，记作(),OPxy=uuur．若()()12cos,1,1,sin,OPOP==π3π,22121,2OPOP=−，则的值为（）A．3π4B．πC．5π4D．4π3【答案】B【分析】利用平面向量数量积的定义可求得

12ee的值，由题意得出221121=cossi,nOePOPeee+=+，利用平面向量数量积的运算性质可求得答案.【详解】由平面向量数量积的定义可得2121211cos60122eeee===，由题意可得()(

)12cos,1,1,sin,OPOP==π3π,22121,2OPOP=−221121=cossi,nOePOPeee+=+所以，()()()221212112122cossincossincos+s+1inOeeeeeeePOPe=++=

+()2sins11+coscosin12=++=−，设+cos==sint42sin+，因为π3π,22，所以π3π7π,444+，π2sin1,

42+−，)=2,1t−，由()2sinsin11+coscos12++=−可得221114012322tttt++=−+−+=，解得3=t−（舍

去），=1t−，由0sinsin+cos112cos1csosin=−+==，因为π3π,,22所以π,=故选：B.6．如图，在RtABC△中，90A=，2AB=，4

AC=，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则PBPC的最小值为（）A．0B．165−C．245−D．565−【答案】C【分析】由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解【详解】设AD为斜边BC上的高，则圆A的半

径222445,24255416rADBC====+=+，设E为斜边BC的中点，,PAAE=，则0,π，因为455PA=，5AE=，则()()()21625PBPCPAABPAACPAPAABACPAAE=++=++=+1

6451625cos8cos555=+=+，故当π=时，PBPC的最小值为1624855−=−.故选：C.7．已知对任意平面向量(,)ABxy=，把(,)ABxy=绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量(cossin,sincos)APxyxy

=−+，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点(1,2)A，把点B绕点A沿顺时针方向旋转π3后得到点312,322P−−，则点B的坐标为（）A．352,322−−+B．513,32+−+C．32,2232−−

D．()13,223+−【答案】D【分析】根据题意，设(),Bxy，由条件可得AP的坐标，然后列出方程，即可得到结果.【详解】设(),Bxy，则()1,2ABxy=−−，将点B绕点A沿顺时针方向旋转π

3，即将点B绕点A沿逆时针方向旋转5π3，可得()()()()5π5π5π5π1cos2sin,1sin2cos3333APxyxy=−−−−+−，化简可得，1313133,1222222APxyxy

=+−−−++−，又因为333,322AP=−−−，所以13133322223133132222xyxy+−−=−−++−=−−，解得13223xy=+=−，所以()13,223B+−.故选：D8．在等腰直角

三角形ABC中，90A=，AEAB=，AFAC=，M为EF的中点，满足12AMAB=，则22+的值为（）A．23B．1C．12D．13【答案】B【分析】根据给定条件，利用,ABAC表示AM，再利用数量积的运算律计算作答.

【详解】依题意，在ABC中，90A=，||||ACAB=，0ABAC=，由AEAB=，AFAC=，M为EF的中点，得11()()22AMAEAFABAC=+=+，因此222222221(2)44AMABACA

BACAB+=++=，而12AMAB=，即2214AMAB=，所以221+=.故选：B二、多选题9．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，M，N分别是AB，AD边上的动点，下列命题中正确的有（）A．若AMN的周长为2，则∠MCN的正切值等于1B．若AMN的面积

为18，则∠MCN正切值的最小值为34C．若AMN的周长为2，则CMCN的最小值为222−D．若AMN的面积为18，则CMCN的最大值为2【答案】ABC【分析】AMN的周长为2时，求得∠MCN的正切值判断选项A；求

得CMCN的最小值判断选项C；AMN的面积为18时，求得∠MCN的正切值的最小值判断选项B；求得CMCN的最大值判断选项D.【详解】当AMN的周长为2时，延长ND至P，使PDBM=，连接PC.则()CDPCBMSAS△≌△，则=PCMC，PCDMCB=，又2MNANAMDNBM

DNPDPN=−−=+=+=,则()CMNCPNSSS△≌△，则PCNMCN=,又由PCDMCB=，可得90PCMDCB==，则45PCNMCN==，则tantan451MCN==选项A判断正确；以A为原点，分别以,ABAD所在直线为,xy轴建立坐标系，

则00(,0),(0,),(1,1)MxNyC，00,0,1xy，则00(1,1),(1,1)CMxCNy=−−=−−,()002CMCNxy=−+当AMN的周长为2时，2200002xyxy+++=，由22220000000222xyxyx

y++−−=，可得22000022xyxy++（当且仅当0022xy==−时等号成立）则()220000002222xyxyxy+=++++则00422xy+−（当且仅当0022xy=

=−时等号成立），则()002222CMCNxy=−+−（当且仅当0022xy==−时等号成立），故AMN的周长为2，则CMCN的最小值为222−.选项C判断正确；当AMN的面积为18时，001

128xy=，即0014xy=，则000021xyxy+=（当且仅当0012xy==时等号成立），则()0021CMCNxy=−+（当且仅当0012xy==时等号成立）.故AMN的面积为18时，则CMCN

的最大值为1.选项D判断错误；由00tan1,tan1DCNyBCMx=−=−，可得()()()000011tan111yxDCNBCMyx−+−+=−−−()00000072411144xyxyxy−+==−++−+−由0012xy+，可得00317444

xy+−，0074401134xy−++−，则()40tan3DCNBCM+，又()1tantanMCNDCNBCM=+，则3tan4MCN故AMN的面积为18时，∠MCN正切值的最小值为34.

选项B判断正确.故选：ABC10．下列各式中，值为34的是（）A．22sin30cos60sin30cos60++B．22sin20cos803sin20cos80++C．22sin23cos53sin23cos53++D．22cos10cos50sin40sin80

+−【答案】ACD【分析】根据两角和的正、余弦公式及诱导公式、同角三角函数关系化简即可求解.【详解】对于A，2211113sin30cos60sin30cos6044224++=++=；对于B，()()2222sin20cos803sin20cos

80sin20cos60203sin20cos6020++++++=()2222131311sin20cos20sin203sin20cos20sin20sin20cos20222244+−+−==+=

；对于C，()()2222sin23cos53sin23cos53sin23cos3023sin23cos3023++=++++()2222313133sin23cos23sin23sin23cos23sin23sin

23cos23222244+−+−==+=；对于D，()()222222cos10cos50sin40sin80cos10sin40sin40cos10cos10sin3010sin3010cos10+

−=+−=++−+()2222131333cos10cos10sin10cos10sin10cos10sin10cos10222244++−+==+=.故选：ACD.11．如图，

在ABC中，,ADDBE=是线段BC上的点，且满足2BEEC=，线段CD与线段AE交于点F，则下列结论正确的是（）A．1233AEABAC=+B．32DFCF=C．1142AFABAC=+D．43AFAE=【答案】ACD【分析】根据题意，由平面向量线性运算可得选项A正确；由AF与AE共线，可得23

3AFAEABAC==+，由CFD、、三点共线，得)(1)2(1AtFtADtACABtAC=+−+−=，由平面向量基本定理解出t、的值，可判断选项C、D;由CFD、、三点共线，得CFkDF=，通过转化求出k得值，即

可判断选项B错误.【详解】由题意，()22123333AEABBEABBCABACABABAC=+=+=+−=+，故选项A正确；由AF与AE共线，可得1223333AFAEABACABAC++===

，由CFD、、三点共线，得)(1)2(1AtFtADtACABtAC=+−+−=，由平面向量基本定理，可得32213tt==−，解得3412t==，所以，1142AFABAC=+，34AFAE=，43AFAE=，即故选项C、D正确；由CFD、、三点共线，得CFkD

F=，即)(AFACkAFAD−−=，化简为(1)AFACkADk−=−，由选项C可得，2()11421)(kABABkCACA−−+=，再由平面向量基本定理得，142112kkk−=−−=，得1k=−，所以，CFDF=−，即DFCF=，故选项B错误.故选：ACD.12．东汉末年

的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．某数学兴趣小组通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形ABC拼成的一个大等边三角形AB

C，对于图2，下列结论正确的是（）A．这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形B．若BBBC=，则BA与CA夹角的余弦值为714C．若2BBBC=，则ABC的面积是ABC面积的19倍D．若2BB=，4BC=，则BCC内切

圆的半径为4339−【答案】BCD【分析】选项A，若三个全等的钝角三角形是等腰三角形，分析可得,,ABC三点重合，进而即可判断；选项B，连接BA，设BABCa==，结合平面向量的线性运算可得311428CABCBACA=−++，进而利用平面

向量的数量积公式即可求解；选项C，设BCm=，则3BCm=，2CCm=，在BCC中，由余弦定理可得2219BCm=，进而结合三角形的面积公式分别表示出ABC的面积和ABC面积，进而求解；选项D，结合

题设可得6BC=，2CC=，在BCC中，由余弦定理可得213BC=，设BCC内切圆的半径为r，由()12π1sin232BCCSBCCCrBCCCBC==++，进而求解即可.【详解】选项A，若三个全等的钝角三角形是等腰三角形，

则AACABCCCABBB=====，从而,,ABC三点重合，不合题意，故A错误；选项B，连接BA，因为BBBC=，则B为BC中点，则,AC分别为,ABCA中点，

因为ABC为等边三角形，设BABCa==，而()()1111122222CACBBABCBABBBCBABCBCBABCCC=+=−++=−++=−+++,111311222428BCBABCCA

BCBACA=−+++=−++，整理得4677CABABC=−，所以2224646461177777727BABABABCBABCaaaaCBAA−=−=−=

=，222222461648361648136277749494949492497CABABCBABABCBCaaaa=−=−+=−+=，所以BA与CA夹角的余弦值为217142777CACaBABAaAa==，故B正确；选项C，若2BBBC=，设

BCm=，则3BCm=，2CCm=，在BCC中，由余弦定理得22222π94232cos193BCmmmmm=+−=，所以2213193224ABCSBCm==，而234ABCSm=!，所以19ABCABCSS=!!，故C正确；

选项D，因为2BB=，4BC=，所以6BC=，2CC=，在BCC中，由余弦定理得22π364262cos523BC=+−=，即213BC=，设BCC内切圆的半径为r，由()12π1sin232BCCSBCCCrBCCCBC==++，即()

1316262213222r=++，解得4339r=−，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题B选项，关键在于结合平面向量的线性运算可得311428CABCBACA=−++，进而利用平面向量的数量积公式即可求解，将未知向量往已知方向进行转化.

13．已知()fx是定义在R上的函数，同时满足以下条件：①()1fax+为奇函数，2xfa+为偶函数（Ra，且0a）；②()()()()()()1223344556616ffffff+++++=；③()fx在()2,3上单调递减．下列叙述正确的是（）A．函数()()gxfxx

=+有5个零点B．函数()()()2hxfxfx=+的最大值为20C．()()()||sinsincoscosfxfx成立D．若()()()()sin,0,11||cos,0,PyyfxxQyyfxx====﹐﹐则PQ【答案】BCD【分析】根据①得出(

)fx关于点()1,0对称，关于直线2x=对称，得出()fx的周期为4，根据()10f=得出()()()3510fff===，()()62ff=，()()()402fff==−.结合③画出函数()fx的草

图．结合函数()fx的图象及正余弦函数的性质逐一判断各选项.【详解】因为①()1fax+为奇函数，所以()()11faxfax=−−++，且()10f=.即()()101faxfax+++=−，所以函数(

)fax关于点()1,0对称，即()fx关于点()1,0对称.因为2xfa+为偶函数，所以22xxffaa−+=+，所以xfa关于直线2x=对称，即()fx关于直线2x=对称.由()fx关于点()1,0

对称，且()fx关于直线2x=对称，则函数()fx的周期为4.由()10f=，()fx关于点()1,0对称，所以()()()3510fff===，又()fx关于直线2x=对称，()()62ff=，()()()402fff==−.又②()()()()()()1223344556616

ffffff+++++=，所以()()()22426216fff−+=，即()24f=，即()44f=−，③()fx在()2,3上单调递减．画出函数()fx的草图．对于A，函数()()gxfxx=+的零点个数即为()yfx=与yx=−的交点个数，如图，易知有4个交

点，即函数()()gxfxx=+有4个零点,故A错误；对于B，因为()4,4fx−，所以当()4fx=时，函数()()()2hxfxfx=+的最大值为20，故B正确.对于C，易知函数||sinsin=yx与()coscosyx=是

偶函数，()|sinsinπsinsn|i+=xx，()()()()coscosπcoscoscoscosxxx+=−=，所以函数||sinsin=yx与()coscosyx=的周期πT=；又()||||sinsinπsinsin=−xx，()()()()coscosπc

oscoscoscos−=−=xxx，所以函数||sinsin=yx与()coscosyx=的对称轴为π=2x；当π0,2x时，||in,s01x，得||sinsin0,sin1x，cos0,1x，()coscoscos1

,1x，πππcos1,222−−x，又因为πsincos22+xx，所以πsincos2xx−，因为sinyt=在π0,2上单调递增，所以()π0sinsinsincos12

−xx，即()()0sinsincoscos1xx，根据周期性，对称性可知()||10sinsincoscosxx.又()fx在0,1上单调递增，()()()||sinsincoscosfxfx，故C正确；对于D，若0,1x，()4

,0fx−，因为sinyx=在π4,2−−单调递减，在π,02−单调递增，又12πsin−=−，()sin4sin40−=−，所以()()sin1,sin4fx−−，1

,sin4P=−−，因为cosyx=在4,π−−单调递减，在π,0−单调递增，所以()()cos1,1fx−，所以1,1Q=−，则PQ成立，故D正确.故选：BCD.【点睛】函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的方法点睛：(1)函数的零点:零点存在性定理.通过代

入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内.(2)方程的根:方程的等价变形.当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数(3)两函数的交点

:数形结合.前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现.通过图像可清楚的数出交点的个数(即零点，根的个数)或者确定参数的取值范围.14．直角ABC中，斜边2AB=，P为ABC所在平面内一点，2

21sincos2APABAC=+（其中R），则（）A．ABACuuuruuur的取值范围是(0,4)B．点P经过ABC的外心C．点P所在轨迹的长度为2D．()PCPAPB+的取值范围是1,02−【答案】ABD【分析】由向量数量积的几何意义有2ABAC

AC=uuuruuuruuur，结合已知即可判断A；若O为AB中点，根据已知有,,OPC共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得()2||||PCPAPBPCPO+=−，结合基本

不等式求范围判断D.【详解】由2ABACAC=uuuruuuruuur，又斜边2AB=，则||(0,2)ACuuur，则(0,4)ABACuuuruuur，A正确；若O为AB中点，则12AOAB=uuuruuur，故22s

incosAPAOAC=+，又22sincos1+=，所以,,OPC共线，故P在线段OC上，轨迹长为1，又O是ABC的外心，B正确，C错误；由上2PAPBPO+=，则()22||||PCPAPBPCPOPCPO+==−，又||||||

1PCPOOC+==，则2||||1||||()24PCPOPCPO+=，当且仅当1||||2PCPO==等号成立，所以1()2||||[,0]2PCPAPBPCPO+=−−，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：若O为AB中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数

量积的几何意义和运算律判断P轨迹，求ABACuuuruuur、()PCPAPB+.三、解答题15．已知abc，，分别为ABC三个内角ABC，，的对边，222coscos1cosACB+=+且1b=，(1)求B；(2)若12ABAC，求11ac+的取值范围

；(3)若O为ABC的外接圆，若PMPN、分别切O于点MN、，求PMPN的最小值.【答案】(1)2B=；(2)()22,+；(3)2324−.【分析】（1）由题目条件可证得222sinsinsinACB+=,可得ABC为直角三角形，可求

出2B=.（2）由数量积的定义可求得2102c，设sin,cos,0,4ca==，则11sincossincosac++=，令()sincos2sin,1,24tt

=+=+，则()21122,1,211ttacttt+==−−，判断出21ytt=−的单调性，即可得出答案.（3）用PO分别表示出PMPN，结合均值不等式即可求出答案.【详解】（1）因为222coscos1co

sACB+=+，则2221sin1sin11sinACB−+−=+−，所以222sinsinsinACB+=，则222acb+=，所以ABC为直角三角形，所以2B=.（2）221cos2ABACABACAABc===，所以2102c，而221ac+

=，所以设sin,cos,0,4ca==，所以1111sincossincossincosac++=+=，令()sincos2sin,1,24tt=+=+，又因为()22sinco

s12sincos,t=+=+所以21sincos2t−=，所以()2112,1,21ttact+=−，令()222,1,211tytttt==−−，因为1tt−在()1,2t上单调递增，所以21ytt

=−在()1,2t上单调递减，所以222122y=−.所以11ac+的取值范围为()22,+（3）ABC的外接圆的半径为r，12rOAOC===，设(),Pmn，则2222214PNPMPOONPO==−=−，其中2

14PO，所以()2cos,2cos1PMPNPMPNPMPNPMPNNPO==−，而2222214cosPOPNNPOPOPO−==，222114214POPMPNPOPO−=−−2213238424POPO+−−=，

当且仅当342PO−=取等.所以PMPN的最小值为2324−.【点睛】关键点点睛：本题考查向量相关的取值范围问题，考查面较广，涉及了基本不等式、函数值域、正弦定理、三角函数等，需要对知识掌握熟练且灵活运用.考

查学生的运算能力和逻辑推理能力，属于难题.16．在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2coscoscosbAaCcA=+，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足()()0OAOBABOBOCBC+=+=．(1)若2a=，求AO的

值；(2)在（1）条件下，求32OAOBOC++的最小值；(3)若AOxAByAC=+，求xy+的取值范围．【答案】(1)1(2)35−(3)1,222−【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到2cos

1A=，求得π4A=，再由向量的线性运算法则，求得OAOBOC==，得到O为ABC的外心，结合正弦定理，即可求得AO的长．（2）由（1）求得2BOC=，||22BCR==uuur且1R=，根据向量的运算法则，化简得到()2|32|1465cos2OAOBOCC++=++uuruu

uruuur，结合三角函数的性质，即可求解；（3）取AB的中点D，连接OD，求得212AOABAB==，212AOACAC=，由向量数量积的定义得到2||||2ABACABAC=uuuruuuruuuruuur，结合题意，得到2||2||||xAB

yACAB+=uuuruuuruuur和2||2||||xAByACAC+=uuuruuuruuur，联立方程组，求得2||||22||||ACABxyABAC+=−+uuuruuuruuuruuur，化简得到2112tanABACB=+uu

ur，即可求解.【详解】（1）解：因为2coscoscosbAaCcA=+，由正弦定理得2sincossincossincossin()BAACCAAC=+=+,因为πACB+=−，可得sin()sinACB+=，所以2sincossinBAB=，又因为(0,π)B，可得sin0B，所以2c

os1A=，即2cos2A=，因为(0,π)A，所以π4A=，又由()()0OAOBABOBOCBC+=+=，可得()()()()0OAOBOBOAOBOCOCOB+=−++=，解得2222,OAOBOBOC==，即OAOBOC==，所以O为ABC的外心，由正弦定理有2222πsi

n2sin42aOAA====，所以1AO=．（2）解：因为π4A=，所以22BOCA==，所以||2BC=，||||OBOCR==uuuruuur，所以||22BCR==uuur，外接圆的半径1R=，2222

|32|941264OAOBOCOAOBOCOAOBOAOCOBOC++=+++++uuruuuruuuruuruuuruuuruuruuuruuruuuruuuruuur94112cos26cos24cos2CBA=+++++31412cos26cos22CC=++−

1412cos26sin2CC=+−()1465cos2C=++其中1tan2=，且为锐角，故π04，由22sin1tancos2sincos1π04==+=，可得525sincos55==，，因为π023ππ042CBC

=−，解得ππ42c，即ππ,42C则ππ2,2C，则π2π2C+++，且ππ3π224+，因为余弦函数cosyx=在π,π2+上单调递减，在()π,

π+上单调递增，又因为π5cossin25+=−=−，()25cosπcos5+=−=−，所以，()51cos25C−+−，所以()()23514651465cos28C−=−

++，所以min|32|35OAOBOC++=−uuruuuruuur．（3）解：如图所示：取AB的中点D，连接OD，则ODAB⊥，所以()212AOABADDOABADABDOABAB=+=+=，同理可得212AOACAC=，由平面向量数量积

的定义可得2||||cos||||2ABACABACAABAC==uuuruuuruuuruuuruuuruuur，因为AOxAByAC=+，所以，2AOABxAByABAC=+，即2212||||||||22ABxAByABAC=+uuuruuur

uuuruuur，所以2||2||||xAByACAB+=uuuruuuruuur，①2AOACxABACyAC=+，即2212||||||||22ACxABACyAC=+uuuruuuruuuruuur，所以2||2||||xAByACAC+=uuuruuuruuur，

②．联立①②可得2||12||ACxAB=−uuuruuur，2||12||AByAC=−uuuruuur，所以2||||22||||ACABxyABAC+=−+uuuruuuruuuruuur，又因为()()2sincossinsin2121sinsinsin2tanBBAB

ABCBBBBAC++====+uuuruuur，因为,42B，可得||2,22||ABACuuuruuur，所以1,222xy+−.【点睛】17．在AB

C中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2b=，cos=cbA．(1)求角B；(2)求11ac+的最小值；(3)O为ABC的外接圆，P为O外一点，过P点作O的切线，切点分别为E，F，求PEPF的最小值．【答

案】(1)π2(2)2(3)2232−【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到sincos0AB=，进而得到cos0B=，即可求解；（2）由正弦定理得到2sin,2sinaAcC==，化简112co

ssin2sincosAAacAA++=，设cossintAA=+，得到11121actt+=−，进而求得最小值；（3）由,PEPHHEPFPHHE=+=−，化简得到2211(232PEPFxx=+−），结合基本不等式，即可求解.【详

解】（1）解：因为cos=cbA，由正弦定理得sinsincosCBA=，又因为sinsin()sincoscossinCABABAB=+=+，所以sincoscossinsincosABABBA+=，所以sincos0AB=，因为(0,π)A，所以cos

0B=，又因为(0,π)B，所以π2B=.（2）解：由正弦定理得2sinsinsinacbACB===，所以2sin,2sinaAcC==，因为π2B=，所以π2CA=−，所以1111211()π2sin2sin2sinsin()

2acAACA+=+=+−2112cossin()2sincos2sincosAAAAAA+=+=，设πcossin2sin()4tAAA=+=+，因为π(0,)2A，所以(1,2]t，21sincos

(1)2AAt=−，所以21112211tacttt+===−−，因为()1fttt=−在(1,2]t上单调递增，所以2t=时，min111()22122ac+==−.（3）解：因为π2B=且2b=，O为ABC的外

接圆，可得圆的半径为22r=，如图所示，设POx=，连接EF与PO交于点H，由点P为O外一点，过P点作O的切线，切点分别为E，F，所以OEPE⊥，所以90OEP=，因为EFOP⊥，所以90EHP=，又因为OPEEPH=，所以OPEEPH∽，则EHPEOEPO=，所以22221()22222

2xxPEOEEHPOxx−−===，又由212PEPFx==−，所以22212122xPExPHPOxx−−===，因为,PEPHHEPFPHHFPHHE=+=+=−，可得()()22222212212()()22xx

PEPFPHHEPHHEPHHExx−−=+−=−=−42222222311111223(23(223)2222xxxxxxx−+−==+−−=），当且仅当2212xx=，当222x=时，等号成立，所以PEPF的最小值为2232−．18．已知O

为坐标原点，对于函数()sincosfxaxbx=+，称向量(),OMab=为函数()fx的联合向量，同时称函数()fx为向量OM的联合函数．(1)设函数()2π3πsincos32gxxx=+++，试求函数()gx的联合向量的坐标；(

2)记向量()1,3ON=的联合函数为()fx，当()65fx=且ππ,36x−时，求sinx的值；(3)设向量()2,2OP=−，R的联合函数为()ux，()1,1OQ=的联合函数为()vx，记函数()()()2hxu

xvx=+，求()hx在0,π上的最大值．【答案】(1)13,22(2)34310−(3)()2max12,12,1222,2hx−−=+−【分析】（1）化简()gx的解析式，从而求得伴随向量OM；（2）先求得()fx，由(

)65fx=求得πsin3x+，进而求得πcos3x+，从而求得sinx；（3）先求得()hx，然后根据三角函数的值域与二次函数最值分类讨论求解即可.【详解】（1）因为()2π3π2π2πsincossincoscossinsi

n3233gxxxxxx=+++=++13sincos22xx=+，所以函数()gx的联合向量的坐标为13,22OM=.（2）依题意()πsin3cos2sin3fxxxx=+=+，由()65fx=，得π62sin35x

+=，即π3sin35x+=，又因为ππππ,,0,3632xx−+，所以2ππ94cos()1sin()133255xx+=−+=−=，所以ππ1π3π343sinsinsincos332323

10xxxx−=+−=+−+=.（3）由题知π()2sin2cos22sin4uxxxx=−=−，ππππ()sincos2sin2sin2cos4424vxxxxxx=+=+=−+=−

，所以()()()22ππ22sin2cos44hxuxvxxx=+=−+−2ππ2sin22sin244xx=−−+−+因为0,πx，ππ3

π,444x−−，所以，π2sin,142x−−，令π2sin,142tx=−−，所以，问题转化为函数222222,,12yttt=−++−上的最大值问题.因为函数222222,,12yttt=−

++−的对称轴为22t=，所以，当2222t=−，即1−时，222222,,12yttt=−++−的最大值在22t=−处取得，此时2max222()22()21222y=−−+−+=−；当212t=，即2时，2222

22,,12yttt=−++−的最大值在1t=处取得，此时max21222221y=−++=；当22122−，即12−时，222222,,12yttt=−++−的最大值在22t=处取得，此时2max2222(

)222()222y=−++=+；综上，()hx在0,π上的最大值为()2max12,12,1222,2hx−−=+−.【点睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定

义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法.19．已知函数()()()4413sincossincos12fxxxxxx=+−−R，函数()yfx=的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位得到()ygx=的图象，()(

)coscos3hxxxmmm=−−+R.(1)若()0f=，求；(2)若对任意2π,6π2x−，存在1π0,2x使得()()12gxhx=成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)ππ,Z3kk=+(2)1384m【分析】（1）利用三角恒等变换化简()fx的解析式，从而由()0f=解得；（2）利用三角函数的图象变换规律求出函数()gx的解析式，根据题意，将所给条件转化为()hx和()gx的值

域的包含关系，根据分段函数的特征及二次函数的性质分类讨论，列出不等式组，求得实数m的取值范围．【详解】（1）()()4413sincossincos12fxxxxx=+−−()()222231sin2sincossincos122xxxxx=+−+−31sin2cos2122xx=−−π

sin216x=−−，若()0f=，则πsin216−=，∴ππ22π,Z62kk−=+，∴ππ,Z3kk=+.（2）()πππsin211sin2666gxxx

=+−−+=+，当π0,2x时，ππ7π2,666x+，()1,12gx−，若对任意2π,6π2x−，存在1π0,2x使得()()12gxhx=成立，则函数(),,6ππ2hx

x−的值域是1,12−的子集.()πcosco,πs3,26hxxxmmx=−−+−，令cos,0,1txt=，记()3ptttmm=−−+，当0m时，3302mmt，()()223

93324ptttmmttmmtmmm=−−+=−−+=−−++，()pt在0,1t时单调递减，则()()()10pptp，即()41mptm−，由题意得14121mm−−，解得118m，又0m，矛盾，所以无解；当103m时，30312mm

，(3),03()3(3),31ttmmtmptttmmttmmmt−+=−−+=−−+，222239,0324()39,3124tmmmtmptmtmmmt−+−=−−++，()pt在30,

2mt时单调递减，在3,32mtm时单调递增，在()3,1tm时单调递减，()()()2390,,3,14124mpmpmmpmmpm==−==−，由题意得2191421412mmmm−

−−−，解得122289m+，又103m，所以1183m；当1233m时，30132mm，3tm，()()2239324ptttmmtmmm=−+=−+−，()pt在30,2mt时单调递减，在3,12mt时

单调递增，()()()2390,,3,11224mpmpmmpmmpm==−==−，由题意211219142mmmm−−−，解得22209m+，又1233m，所以1233m；当23m时，3132mm，3tm，()()2239324p

tttmmtmmm=−+=−+−，()pt在0,1t时单调递减，则()()()10pptp，即()12mptm−，由题意得11221mm−−，解得34m，又23m，所以2334m，综上可得

，1384m.【点睛】方法点睛：一般地，已知函数(),[,]yfxxab=，(),[,]ygxxcd=，（1）若12[,],[,]xabxcd，总有()()12fxgx成立，则()maxmin()fxgx；（2）若1

2[,],[,]xabxcd，使得()()12fxgx成立，则()maxmax()fxgx；（3）若12[,],[,]xabxcd，使得()()12fxgx成立，则()minmax()fxgx；（4）若12[,],[

,]xabxcd，使得()()12fxgx=成立，则()fx的值域是()gx值域的子集．20．高新体育中心体育馆（图1）是成都大运会乒乓球项目比赛场馆，该体育馆屋顶近似为正六边形ABCDEF，屋底近似为正六边形111111ABCDEF

．(1)如图2，已知该体育馆屋顶上有,,AMN三点用电缆围成了三角形形状，测得75MAN=，45,50AMNAM==米，求该电缆的长度；(2)如图3，若在建造该体育馆时在馆底111,,BDE处的垂直方向上分别有1,2,3号塔吊，若1号塔吊（点2B

处）驾驶员观察2号塔吊（点2D处）驾驶员的仰角为30,2号塔吊驾驶员观察3号塔吊（点2E处）驾驶员的仰角为45，且1号塔吊高a米，2号塔吊比1号塔吊高33a米，则3号塔吊高多少米?（塔吊高度以驾驶员所在高度为准）

．【答案】(1)50252256++米.(2)2313a+米.【分析】（1）根据正弦定理求出三角形边长，可得三角形周长；（2）在直角梯形1122BDDB中，过2B作212BMDD^，垂足为M，求出

112BDBMa==米，在直角梯形1122EDDE中，过2D作212DNEE^，垂足为N，求出233ENa=米，再由1222BBDMEN++可得结果.【详解】（1）因为75MAN=，45AMN=，所以60ANM=，()sin

sin75sin4530MAN==+sin45cos30cos45sin30=+oooo23216222224+=+=.由正弦定理得sinsinMNAMMANANM=行，得sinsinAMMANMNANM=ÐÐ6250432+=252

5263=+米，sinsinANAMAMNANM=行，sinsinAMAMNANANM=ÐÐ250232=5063=米，所以该电缆的长度为2550502526633AMMNAN++=+++50252256=++米.（2）在

直角梯形1122BDDB中，过2B作212BMDD^，垂足为M，则12BBa=米，2230DBM=Ð，233DMa=米，所以2233tan3033aDMBMa===米，所以112BDBMa==米，所以正六边形111111ABCDEF的边长为132332aa=米，在直角梯形1122EDDE中，

过2D作212DNEE^，垂足为N，则233DNa=米，2245EDN=Ð，所以233ENa=米，所以3号塔吊高为33231333aaaa++=+米.21．在ABC中，a，b，c，分别是角A，B，C的对边，请在①sinsinsinACbcBac−−=+；②sinsin2BCcaC

+=两个条件中任选一个，解决以下问题：(1)求角A的大小；(2)如图，若ABC为锐角三角形，且其面积为32，且12AMAC=，2ANNB=，线段BM与线段CN相交于点P，点G为ABC重心，求线段GP的取值范围.【答案】(1)π3A=(2)113,612

【分析】（1）若选①，先由正弦定理的边角互化，然后结合余弦定理即可得到结果；若选②，先由正弦定理的边角互化，再结合二倍角公式，即可得到结果.（2）用AB、AC作为平面内的一组基底表示出AG，再根据平面向量共线定理及推论表示

出AP，即可表示GP，利用面积公式求出2bc=，再由三角形为锐角三角形求出b的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得．【详解】（1）若选①，因为sinsinsinACbcBac−−=+，由正弦定理可得，acbcbac−−=+，化简可得2

22abcbc=+−，又因为2222cosabcbcA=+−，则1cos2A=，()0,πA，故π3A=.若选②，因为sinsin2BCcaC+=，由正弦定理可得，sinsinsinsin2ACAC−=，且sin0C，则cos2si

ncos222AAA=，且cos02A，所以1sin22A=，其中π0,22A，所以π26A=，则π3A=.（2）由题意可得23ANAB=，12AMAC=，所以()222111333233AGABBGABBMABAMABABACABABAC=+=+=+−=

+−=+，因为C、N、P三点共线，故设()()2113APANACABAC=+−=+−，同理M、B、P三点共线，故设()()1112APABAMABAC=+−=+−，则()231112=−=−，解得3412=

=，所以1124AABAPC=+，则()11111112243361212GPAPAGABACABACABACABAC=−=+−+=−=−，因为13sin22ABCSbcA==，所以2

bc=，又因为ABC为锐角三角形，当C为锐角，则0ACBC，即()22102AACACACACABBbbc−==−−uuuruuuruuuruuuruuuruuur，即22bcb=，所以1b；当B为锐角，则0ABCB，即()22102AA

BABABACABCcbc−==−−uuuruuuruuuruuuruuuruuur，则2cb，即22bb，所以02b；综上可得12b，又因为1212GPABAC=−，则()222222222216144|244

4|4||424GPABACABABACACABABACACcbcbbb=−=−+=−+=−+=−+，因为12b，则214b，且()164fxxx=−+在(1,4)上单调递减，()()11

3,44ff==，所以()()4,13fx，即()22216144||44,13GPbb=−+uuur，所以113,612GP．22．如图，设ABC中角,,ABC所对的边分别为,,,abcAD为BC边上的中线，已知1c

=且1212sincossinsinsin,cos47cABaAbBbCBAD=−+=.(1)求中线AD的长度；(2)设点EF､分别为边,ABAC上的动点，线段EF交AD于G，且AEF△的面积为ABC面积的一半，求AGEF的最大值.【答案】(1)212(2)112【分析】

（1）先由正弦定理与余弦定理进行边角互化，求出4b=，再由()12ADABAC=+结合数量积的运算性质即可求解；（2）设,AExAFy==，再根据AEF△的面积为ABC面积的一半，得到2xy=，然后利用,,EGF共线和基本定理，利用数量积运算求解.【详解】（1）1

2sincossinsinsin4cABaAbBbC=−+，由正弦定理：2212cos4caBabbc=−+，由余弦定理：2222221124,1,4244cabcaabbccbcbccbac+−=−+====.因

为D为中点，所以()12ADABAC=+，设,ABAC的夹角为，222211178cos22cos,222ADABACABACcbbc+=++=++=又()()2211cos14cos2222ccbABADABABACABABAC++=+=+

==，2114coscos7178cosABADBADABAD+===+，即228cos8cos110+−=，解得1cos2=或11cos14=−，又14cos0+，∴1cos2=,∴212

AD=；（2）设,AExAFy==，则,4yxABAFACAE==，∵AEF△的面积为ABC面积的一半，∴142AEAFxyABAC==，∴2xy=.设AGAD=，则22AGADABAC==+，

又,,EGF共线，∴可设()1AGAEAF=+−，则()()114yAGAEAFxABAC−=+−=+，∴()2142xy=−=，解得：4yxy=+.∴2244AGABACxyxy=+++，又4yEFE

AAFACxAB=+=−，∴22444yAGEFABACACxABxyxy=+−++222964444yyyxACxABxACABxyxy−=−+−=++.又2xy=，化简得22296186213442422yxxAG

EFxyxx−−===−+++，又4y，则112x，则12x=时，AGEF的最大值为112.23．已知向量()2sin,2cosaxx=，()sin,2cossinbxxx=−，设函数()322fxab=−.(1)求π4f的值；(2)当ππ

,48x−时，()()sin423gxxmfx=+−有零点，求实数m的取值范围【答案】(1)22−(2)[22,)+【分析】（1）利用向量数量积坐标公式结合二倍角公式和辅助角公式即可得到()fx的解析式，代入π4x=即可；（2）化简()2sin2cos2(cos2sin2)

3gxxxmxx=+−−，利用整体换元法结合对勾函数性质即可得到答案.【详解】（1）由题意知：223232()2sin22cos2sincos22fxabxxxx=−=+−−2222π2cos2sincoscos2sin2c

os22224xxxxxx=−−=−=+π242f=−.（2）由（1）知22()cos2sin222fxxx=−，()sin42()32sin2cos2(cos2sin2)3gxxmfxxxmxx=+−=

+−−有零点，令πcos2sin22cos24txxx=−=+，πππππ,,2,48442xx−+−，则(πcos20,14x+，则(0,2]t，22sin2c

os21xxt=−，所以22()132httmttmt=−+−=−+−在(0,2]t上有零点，即220tmt−+−=在(0,2]t上有解，即2mtt=+在(0,2]t有解，显然222tt+，当且仅当2t=时等号成立，故m的取值范围为[2

2,)+.24．已知函数()2ππ3sin2cos1,(0)6212xfxx=−+−−的相邻两对称轴间的距离为π2．(1)求()fx的解析式；(2)将函数()fx的图象向右平移π6个单位长度

，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()ygx=的图象，当ππ,126x−时，求函数()gx的最值．(3)对于第（2）问中的函数()gx，记()()Rygxmm=−在π4π,63x上的5个零点从小到大

依次为12345,,,,xxxxx，求12345222mxxxxx+++++的取值范围．【答案】(1)()2sin2fxx=(2)最小值为2−，最大值为3.(3)20π20π[,3)33+【分析】（1）根据题意，化简函数由函数()2sinfxx=

，结合πT=，求得2=，即可求得函数()fx的解析式；（2）根据三角函数的图象变换，得到()π2sin(4)3ygxx==−，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（3）根据题意求得ππ4,5π33x−，令3π4

tx=−，作出函数2sinyt=在π,5π3上的图象，结合图象得到[0,3)m，进而求得12233411π17π23π,,121212xxxxxx+=+=+=，4529π12xx+=，即可求解.【详解】（1）解：由函数

()2ππ3sin2cos16212xfxx=−+−−ππππ3sincos2sin2sin6666xxxx=−+−=−+=，因为函数()fx的相邻两对称轴间的距离为π2，

可得πT=，所以2π2T==，所以函数()fx的解析式为()2sin2fxx=.（2）解：将函数()fx的图象向右平移π6个单位长度，可得π2sin(2)3yx=−再把横坐标缩小为原来的12，得到函数()π2sin(4)3ygxx==−的图象，当ππ,126x−

时，可得,3π4332ππx−−，当ππ432x−=−时，即π24x=−时，函数()gx取得最小值，最小值为2−；当ππ433x−=时，即π6x=时，函数()gx取得最大值，最大值为3，所以函数()gx的最小值为2−，最大值为3.

（3）解：因为π4π,63x，可得ππ4,5π33x−，令3π4tx=−，作出函数2sinyt=在π,5π3上的图象，如图所示，因为方程()(R)gxmm=，在π4,6π3

上有五个实数根，可函数2sinyt=在π,5π3上有五个实数根，由图象可得[0,3)m，且122334453π5π7π9π23π,25π,27π,29π2222tttttttt+==+==+==+==所以122334ππππππ(4

)4)(4)4(3π,(5π,)(4)4)333333(7πxxxxxx+−−−+−==+=−−，45ππ(4)43(39π)xx+−=−，所以1223344511π17π23π29π,,,12121212xxxxxxxx+=+=+=+=，所以1234512233445222()()

()()mxxxxmxxxxxxxxx++++=+++++++++11π17π23π29π20π20π20π[,3)12121212333mm=++++=++.25．在①cos3sin0aCaCbc+−−=，②222cos1coscossinsinABCBC+=++，③()πsincos6bAC

Aa+=−，这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且______．(1)求A；(2)若2a=，BDDC=，求AD的最大值．【答案】(1)π3A=(2)3【分析】（1）选择条件①，边化角

，利用诱导公式、和角公式与辅助角公式求解；选择条件②，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即可；选择条件③，边化角，利用余弦函数的差角公式化简求解即可.（2）根据余弦定理以及平面向量数量积的运算法则化简可得2442ADbc−=，再利用基本不等式求解即可.【详解】（1）选

择条件①∵cos3sin0aCaCbc+−−=，∴sincos3sinsinsinsin0ACACBC+−−=∴()sincos3sinsinsinsin0ACACACC+−+−=∴3sinsincossinsin0ACACC

−−=，∴3sincos10AA--=，∴π1sin62A−=，∵0πA，∴π3A=选择条件②∵222cos1coscossinsinABCBC+=++，∴222sinsinsinsinsinBCABC+−=∴222bcabc+−=，∴2cosbc

Abc=，∴1cos2A=，∵0πA，∴π3A=选择条件③：易知ABC++=.可得πsincos6bBAa=−，根据正弦定理，可得sinπsincossin6BBAA=−可得π31sincoscossin622AAAA=−=+整理可得ta

n3A=∵0πA，∴π3A=（2）∵222cosabcbcA=+−，∴224bcbc=+−，又由题有1122ADABAC=+，∴2ADABAC=+uuuruuuruuur∴22242ADABACABAC=++，即2224A

Dbcbc=++由2222244bcbcADbcbc=+−=++，得22222ADbc+=+，2442ADbc−=又∵222bcbc+，当且仅当“bc=”时，“=”成立∴222244ADAD+−，∴23AD，∴3AD，即AD的最大值为326．已知函数()()23π1πsincos0

262212xfxx=++−+的相邻两对称轴间的距离为π．(1)求的值；(2)证明：()()()3334fxfxfx=−；(3)令()π43gxfx=−，记方程()gxm=，30,2m在π

3π,64x上的根从小到大依次为12,,,nxxx，若1231222nntxxxxx−=+++++，试求t的值．【答案】(1)1=(2)证明见解析(3)11π12t=【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式

化简()fx，由()fx最小正周期可求得的值；（2）利用两角和差正弦公式和二倍角公式化简证明即可；（3）将问题转化为()gx与ym=交点的横坐标的求解，采用数形结合的方式，结合正弦型函数的对称性可求得结果.【

详解】（1）()π1cos3π13π1π6sinsincos26222626xfxxxx++=++−=+−+ππsinsin66xx=+−=；()

fx的相邻两对称轴间的距离为π，()fx\的最小正周期2πT=，即2π2π=，解得：1=.（2）由（1）得：()sinfxx=，则()3sin3fxx=，()()22sin3sin2sincos2cossin2sin12sin

2sincosxxxxxxxxxxx=+=+=−+()3233sin2sin2sin1sinsin2sin2sin2sinxxxxxxxx=−+−=−+−33sin4sinxx=−，()()()333

4fxfxfx=−.（3）由（1）得：()πsin43xxg−=，当π3π,64x时，ππ8π4,333x−，()gxm=，30,2m的根等价于()

gx与ym=交点的横坐标，作出()gx图象如下图所示，由图象可知：方程()gxm=，30,2m在π3π,64x上的根从小到大依次为12,xx，由对称性得：1211π12xx+=，1211π12txx=+=.【点睛】关键点点睛：本题求解方程根之和的关键是将问题转化为

两函数交点横坐标之和的求解问题，采用数形结合的方式，结合正弦型函数的对称性来进行求解.27．设平面向量a、b的夹角为，sinabab=．已知()sin,1ax=，()cos,1bx=，()3π04fxabx=．(1)求()f

x的解析式；(2)若()()cos2fxgxx=−﹐证明：不等式()()()()2e22lnfxfxfxgx+++在π3π,24上恒成立．【答案】(1)()πcossin,04π3πsincos,44xxxfxx

xx−=−(2)证明见解析【分析】（1）根据数量积的坐标表示得到cos，再根据所给定义及同角三角函数的基本关系得到()fx的解析式；（2）首先求出()fx、()gx的解析式，在利用换元法求出()()()2

efxfxfx++的最小值，()22lngx+的最大值，即可得证.【详解】（1）因为()sin,1ax=，()cos,1bx=，3π04x，所以2sin1ax=+，2cos1bx=+，sincos1abxx=+，所以221sinccos1cos1sosinababxxxx+=

=++，则2222sincos1scos1ninssi11co1xxxx+=−=−++()()()()222222sincocos1sin1cos1sin1s1xxxxxx−+=++++()()2222cos1sincoi1ssn

xxxx++−=22cos1sin1sincosxxxx−=++，所以()isinscosnxxfxabab===−，因为3π04x，当π04x时cossinxx，当π3π44x时sincosxx，所以()πcossin,04π3πsincos,4

4xxxfxxxx−=−；（2）当π3π,24x时()sincosfxxx=−，又()()()()cos2sincossincosfxgxxxxxx=−=+−，所以()sincosgxxx=+，令()πsincos2sin4tfxxxx=−=−=，

因为π3π,24x，所以πππ,442x−，所以π2sin,142x−，则)1,2t，所以()()()22eefxtfxfxtt++=++，令()2ethttt=++，)1,2t，因为exy=在)1,2上单调递

增，2yxx=+在)1,2上单调递增，所以()2ethttt=++在)1,2上单调递增，则()()1e2hth=+，即()()()2ee2fxfxfx+++令()πsincos2sin4kgxxxx==+=+，因为π3π,24x，所以π3π,π44

x+，所以π2sin0,42x+，则(0,1k，则()22ln22lngxk+=+，令()22lnmkk=+，(0,1k，显然()mk在(0,1上单调递增，

所以()()12mkm=，即()22ln2gx+，显然2e2+，所以()()()()2e22lnfxfxfxgx+++，即不等式()()()()2e22lnfxfxfxgx+++在π3π,24上恒成立.【点睛

】关键点睛：根据解答的关键是由数量积的定义及坐标运算表示出cos，即可得到sin，再由所给定义得到()fx的解析式，利用换元法求出函数的最值.28．ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，已知sinsin2aAACb=+，且1a=.(1)若ABC的外接圆

半径为2，求ABC的面积；(2)若1b=，在ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使ADEV沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A正好落在边BC上，求此情况下AD的最小值.【答案】(1)33158+(2)233−【分析】（1）由正弦定理边角互化

，结合三角恒等变换，即可求解π3B=，由余弦定理可得边的长度，进而由面积公式即可求解.（2）根据余弦定理可得212xxmx−+=−，结合基本不等式即可求解最值.【详解】（1）因为sinsin2aAACb=+，即sinsin2ACabA+=，所以由正弦定理边角互化得

sinsinsinsin2ACABA+=，因为()0,π,sin0,πAAACB+=−，所以πsinsin22BB−=，即cossin2BB=，所以cos2sincos222BBB=，因为()0

,πB，所以0,,cos0π222BB，所以1sin22B=，所以π26B=，即π3B=.又由正弦定理得π2sin4sin233bRB===，再由余弦定理得2222cosbacacB=+−，即222π(23)121cos3cc=+−，整

理得2110cc−−=，解得1352c+=或1352c−=（舍去），由面积公式得11135π3315sin1sin22238ABCSacB++===；（2）因为顶点A正好落在边BC上，设为点P，又1ab==，π3B=，所以AB

C为等边三角形，即1ACBCAB===，如图，设ADm=，则1,BDmPDm=−=，所以在BPD△中，由余弦定理得()()22222211cos2212BPmmBPBDPDBBPBDBPm+−−+−===

−，整理得()()22211BPmmBPm+−−=−，设,01BPxx=，所以()()2223231323222xxxxmxxxx−−−+−+===−+−−−−，由于01x，故122x−，所以3

232332mxx=−+−−−，当且仅当3232xx−==−，即23x=−时等号成立，所以AD的最小值为233−.四、填空题29．已知,ab是平面内一组基底，21ab+=，3ab−=rr，则ab+与2ab+所成角的最大值为．【答案】3/60【分析】利用换元结合数量积的

运算以及夹角公式运算求解.【详解】因为,ab是平面内一组基底，即,ab不共线，设2,mabnab=+=+urrrrrr，显然m、n不共线，且均不为零向量，设,mn的夹角为()0,π，则23abmn−=−rrurr，1m=，

又因为233abmn−=−=rrurr，则2241293mmnn−+=ururrr，即241293mnn−+=urrr，整理得29112nmn+=rurr，所以2911111112cos92912122nmnnnmnnn

n+===+=rurrrrurrrrr，又因为()0,π，则π03，所以ab+与2ab+所成角的最大值为π3.故答案为：π3.30．已知函数()()πsin04fxx=−在区间π,π4上有且仅有

一个零点，则的取值范围为．【答案】159,1,444【分析】根据题意可得2ππ3ππ44T=−=，从而可求得的一个大范围，根据π,π4x，可得ππππ,π4444x−−−，再由ππ44−的范围分类讨论，结合正弦函数的性

质即可得解.【详解】因为函数()()πsin04fxx=−在区间π,π4上有且仅有一个零点，所以2ππ3ππ44T=−=，所以83，由π,π4x，可得ππππ,π4444x

−−−，由803，得πππ5π44412−−，当πππ0444−−，即01时，则π0ππ4−，解得1544，所以114，当ππ5π04412−，即813时，则πππ2π4−，解得59

44，综上所述：的取值范围为159,1,444.故答案为：159,1,444.【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：（1）将函数解析式变形为()()sin+0yAxB=+或()()cos+0y

AxB=+的形式；（2）将x+看成一个整体；（3）借助正弦函数sinyx=或余弦函数cosyx=的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.31．已知边长为2的菱形ABCD中，30,DABE=是边AD所在直线上的一点，则EB

EC的取值范围为．【答案】)0,+【分析】取BC的中点Q，连接EQ，利用平面向量的运算可得221(4)4EBECEQCB=−，结合菱形的几何性质可得答案.【详解】取BC的中点Q，连接EQ，则2EBECEQ+=，所以2222211[()()](4)144EBECEBECEBECEQC

BEQ=+−−=−=−，当且仅当EQBC⊥时，EQ有最小值，则21EQ−有最小值，此时菱形的面积1112sin3022221222EQBCABADEQEQ===，21EQ−最小值为

110−=，因为E是边AD所在直线上的一点，所以EQ无最大值，21EQ−无最大值，EBEC的取值范围为)0,+，故答案为：)0,+32．在ABC中，若12ABACABAC=−，BDDC=，BAC的内角平分线交边BC于点E，若6AD=，22AE=，则ABC外接圆的直径为．

【答案】85【分析】根据12ABACABAC=−可得2π3BAC=，从而得π3BAECAE==，利用三角形面积公式可得()22bcbc=+，再利用6AD=，结合数量积的运算可得221440bcbc+−−=，从而可得bc，利用余弦定

理得a，最后应用正弦定理即可得ABC外接圆的直径.【详解】又1cos2ABACABACBACABACABAC==−，所以1cos2BAC=−，因为()0,πBAC，所以2π3BAC=，则

π3BAECAE==又ABEAECABCSSS=+，所以111sinsinsin222ABACBACABAEBAEABAECAE=+，则1313132222222222bcbc=+，整理得：()22bcbc=+①，又1122ADABAC=+，所以222111111

12222442ADABACABACABACABAC=+=+=++，则221116444cbbc=+−，整理得221440bcbc+−−=②，联立①②可得：()22411520bcbc−−=，解得48bc=或24bc=−（舍）在ABC中，由余弦定理

可得222222cos2144240abcbcBACbcbcbc=+−=++=+=，所以415a=，设ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得415285sin32aRBAC===所以ABC外接圆的直径为85.故答案为：85.33．奋进新时代，扬帆新航程.在南海海域的某

次海上阅兵上，一大批国产先进舰船和军用飞机接受了党和人民的检阅.歼-15舰载飞机从辽宁舰航空母舰上起飞，以3002千米/小时的速度在同一水平高度向正东方向飞行，在阅兵舰“长沙号”导弹驱逐舰上第一次观察到歼-15舰载飞机在北偏西3方向，1分钟后第二次观察到歼-15

舰载飞机在北偏东512方向，仰角为6，则歼-15飞机飞行高度为千米（结果保留根号）.【答案】533/533【分析】作出图形，用点,AB表示歼-15舰载飞机，用点C表示阅兵舰，然后由正弦定理求得CF，再在直角三角形中求得FB．【详解】如图

，C是阅兵舰，,AB是歼-15舰载飞机被观察的起始位置，,EF是飞机在地面上的射影，由已知130025260AB==千米，52EFAB==，CD是正北方向，因此3DCE=，512DCF=，6FCB=，

533124ECF=+=，236CED=−=，由正弦定理sinsinEFCFECFCEF=，即523sinsin46CF=，解得5CF=，在直角三角形BFC中，53tan5tan63BFCFBCF===．故答案为：533．34．在ABC中，G为ABC的重心，93

ABCS=，1cos2BAC=，则GBGC的最大值为.【答案】6−【分析】利用基底法得2133GBABAC=−，2133GCACAB=−，再利用三角形面积公式得36ABAC=，再根据向量数量积的运算律结合基本不等式即可得到最值.【详解】延长AG交BC于点D，因为G是ABC的重心，

则D为BC的中点，21()33AGADABAC==+，2133GBABAGABAC=−=−，()21213333GCGBBCABACACABACAB=+=−+−=−，由1cos2BAC=，()0,BAC

，由三角形面积公式得139322ABAC=，解得36ABAC=，则()222121152233339GBGCABACACABABACABAC=−−=−−11(54)5cos4993

ABACABACABACABAC−=−166ABAC=−=−，当且仅当||6ABAC==等号成立，此时ABC为等边三角形.故答案为：6−.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用,ABAC作为基底表示出,GBGC，再结合三角形面积公式和基本不等式即可得到最值.35．已知a，

b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，写出“使满足2b=，π3A=的ABC唯一”的a的一个取值为．【答案】3（答案不唯一，满足3a=或2a即可）【分析】根据题意，利用正弦定理求解.【详解】∵π32,bA==，πsin2sin33bA==，∴当si

nabA=或ab，即3a=或2a时，ABC唯一；故答案为：3（答案不唯一，满足3a=或2a即可）36．RtABC△中，90A=，3AB=，4AC=，M为ABC的外接圆上一动点，则ABAM的最大值为．【答案】12【分析】设ABC的外心为O，根据平面向量的线性运算将AB

AM转化为ABAOABOM+，再结合数量积的定义，代入计算即可．【详解】设ABC的外心为O，由题意得5BC=，则点O为BC的中点，且52OM=，又AMAOOM=+，则()ABAMABAOOMABAOABOM=+=+，由539co

ssin3252ABAOABAOBAOABAOC====，又cos,ABOMABOMABOM=，则当,0ABOM=，即ABOM时，ABOM取得最大值，且()max515322ABOM==，所以()()maxmax9151222ABAMA

BAOABOM=+=+=，所以ABAM的最大值为12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查平面向量的应用，属于中档题．37．在ABC中，G满足0GAGBGC++=，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若(0)AMmABm=，(0)AN

nACn=，则3m+n的最小值为.【答案】4233+【分析】根据题意可知G为三角形的重心，利用三点共线可得11313mn+=，再由均值不等式即可求最值.【详解】取BC中点D，连接GD，如图，由0GAGB

GC++=可得20GAGD→→+=，即2GAGD→→=−，所以,.AGD三点共线且2AGGD=，即G为ABC的重心，所以2211113323AGADABACAMANmn→→→→→→==+=+，因为,,MGN三点共线，所以11313mn+=，又1143

(3)=+3333nmmnmnmnmn+=+++，0,0mn，所以442332333nmmnmn+++=，当且仅当3nmmn=，即3313,93mn++==时，等号成立，故答案为：4233+38．在锐角ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tantan2tant

anBCBC+=，则tantantanABC++的最小值为．【答案】8【分析】根据两角和的正切公式得到tantantantantantantantantantantantan1BCABCABCBCBC+++==−，最后再换元，利用基本不等式求最小值.【详解】()tantan0tantanan1t

antBBCACBC−+=+=−，()tantantantantan1BCABC+=−,tantantantantantantantantantantantan1BCABCABCBCBC+++==−，令tantan10BCm−=，由()tantan2tantan21BC

BCm+==+，则()()()2212122tantantan1424228mmABCmmmmmmm++++=+==+++=，当且仅当22mm=时，即1m=时，取等号，此时tantan2BC=，所以tantantanABC++的最小值是8.故

答案为：8.【点睛】关键点睛：本题关键在于利用两角和的正切公式将tantantanABC++转化为tantantantantantan1BCBCBC+−，换元，进而利用基本不等式求解即可.39．如图，半径为2的圆O内有一条长度等于半径的弦AB，若圆O内

部（不含圆上）有一动点P，则2PAAPPB+的取值范围为.【答案】()2,6−【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法及点的坐标范围求解即可.【详解】以O为原点建立平面直角坐标系，如图：由题意三角形OAB是边长为2的正三角形，则(0

,0),(1,3),(1,3)OAB−−−，设(,)Pxy，则224xy+，所以(1,3),(2,0)PAxyBA=−−−−=−，所以2()(1)(2)(3)022PAAPPBPAPAPBPABAxyx+=−==−−−+−−=+，因为22x−，所以2

226x−+，所以2PAAPPB+的取值范围为()2,6−.故答案为：()2,6−【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用坐标法研究数量积的范围问题，尤其是圆中的数量积的范围问题，利用坐标运算把数量积范围问题转化为函数（

不等式）范围问题解决即可.40．在ABC中，和313ACBCAB===，且CExCA=，CFyCB=（其中,(0,1)xy），且41xy+=，若M，N分别为线段,EFAB的中点，则线段MN的最小值为．【答案】77【解析】先由平面向量基本定理，根据题中条件，得到1[(1)(1)]2

MNxCAyCB=−+−，由向量模的计算公式，以及题中条件，即可得出结果．【详解】解：因为313ACBCAB===，所以120C=．因为11()()22MNCNCMCACBCECF=−=+−+111()()[(1)(1)]222CACBxCAyCBxCAyCB=+

−+=−+−，所以222221||(1)||(1)||2(1)(1)4MNxCAyCBxyCACB=−+−+−−2211(1)(1)2(1)(1)42xyxy=−+−+−−−()222111

(4)(1)2(4)(1)2161424yyyyyy=+−+−−=−+．因为,(0,1)xy，且41xy+=，所以104y．所以，当17y=时，2||MN取得最小值17，即MN的最小值为77．故答案为：77．【点睛】本

题主要考查向量的应用，熟记向量模的计算公式，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型．五、双空题41．已知ABC的内角,,ABC的对边分别为a，b，c，且满足2a=，sinsin2sinsinbBcCAbC+−=，则A=；ABC的中线AD的最大值为.【

答案】3/603【分析】空1：根据题意结合正、余弦定理运算求解；空2：根据基本不等式可得4bc，结合向量的运算求解.【详解】空1：因为sinsin2sinsinbBcCAbC+−=，由正弦定理可得222bcabc+−=，由余弦定理可得22

21cos222bcabcAbcbc+−===，且()0,πA，所以π3A=；空2：因为222bcabc+−=，可得224bcbc+=+，由2242bcbcbc+=+，当且仅当2bc==时，等号成立，所以4bc，又因为AD为ABC

的中线，则()12ADABAC=+，可得()()()22222211122cos444ADABACABABACACcbcAb=+=++=++uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur()()22112423

42cbbc=+−=+，所以3ADuuur，即中线AD的最大值为3.故答案为：π3；3.