【文档说明】中学生标准学术能力诊断性测试2024-2025学年高三上学期10月测试数学试卷 Word版含解析.docx，共(23)页，1.176 MB，由小赞的店铺上传

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标准学术能力诊断性测试2024年10月测试数学试卷本试卷共150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合1244xAx=，{2,1,0,1,2}B=−−，则AB=（）A.{1,0,1}−

B.{2,1,0,1,2}−−C.{0,1}D.{1,1}−【答案】A【解析】【分析】由指数函数性质确定集合A，再由交集定义计算．【详解】124{|22}4xAxxx==−，又{2,1,0,1,2}B=−−，所以{1,

0,1}AB=−，故选：A．2.若1i1zz+=−，则||z=（）A.2B.22C.1D.12【答案】C【解析】【分析】由1i1zz+=−可得1i1iz−−=−，利用复数的除法可得z，结合共轭复数的概念以及模的计算，即得答案

.【详解】由1i1zz+=−，可得()1i1zz+=−，所以()()()()1i1i1ii1i1i1iz−−+−−===−−−+，故i,||1zz==，故选：C3.已知单位向量a和b，若()2aab⊥+，则+=ab（）A.2B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】由()

22abab+=+即可求解.【详解】因为()2aab⊥+，221,1ab==，所以()2220aabaab+=+=，所以21ab=−，所以()222221abababab+++===+，所以1ab+=，故选：B4.已知圆柱的底面半径和球的半

径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（）A.1：2B.1：1C.3：4D.2：3【答案】B【解析】【分析】根据圆柱与球的表面积公式求解即可.【详解】设球的半径为R，则24πSR=球，由题意，圆柱底面半径、圆柱高均为R，所以圆柱的表面积222π2π4πSRRRR

=+=，所以圆柱与球的表面积之比为1：1.故选：B5.已知1sin()3+=，tan2tan=，则sin()−=（）A.13−B.19−C.13D.19【答案】D【解析】【分析】根据两角和与差的

正弦公式以及同角三角函数的关系求解即可.【详解】tan2tan=，即tan2tan=，sin2sincoscos=，即sincos2cossin=，1sin()sincoscossin3

+=+=，12cossincossin3+=，解得1cossin9=，2sincos9=，211sin()sincoscossin999−=−=−=.故选：D.6.已知函数2,0

1()1(1),12xxfxfxx=−，则函数2()()gxfxx=−的零点个数为（）A.2B.0C.3D.无穷【答案】A【解析】【分析】根据函数表达式确定函数()fx在(1,]nn−（N*n）上是增函数且21()2nfn−=，零点

个数转化为函数()fx与2()hxx=的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论．【详解】由2,01()1(1),12xxfxfxx=−，得()fx在区间(,1]

nn+上的函数值都是区间(1,]nn−上相应函数值的一半，N*n，又01x时，()2xfx=是增函数，即()(1)2fxf=，所以21()2nfn−=，因此(1,]xnn−时，21()()2nfxfn−=，令2()hxx=，它在(0,)+上是减函数，2

()hnn=，(1)2(1)hf==，(2)1(2)hf==，当3n时，221()2nhnn−=，作出()yfx=和2()hxx=在(0,)+上图象，如图，由图可知：在2x时，()fx的图象与()

hx的图象没有交点，所以在(0,)+上，它们只有两个交点，所以()gx的零点个数为2.故选：A．7.将sinyx=的图象变换为πsin36yx=−的图象，下列变换正确的是（）A.将图象上点的横坐标变为原来的13倍，再将图象向右平移π6个单位B.将图象

上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移π18个单位C.将图象向右平移π6个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的13倍D.将图象向右平移π6个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的图象变换进行选择.【详解】由sinyx=图象变换为πsin36yx

=−的图象，有以下两种思路：（1）先将sinyx=的图象向右平移π6个单位，得πsin6yx=−的图象，再把所得函数图象上任一点的横坐标变为原来的13，纵坐标不变，得πsin36yx=−的图象，故C正确，D错误；（2）先

将sinyx=的图象上任一点的横坐标变为原来的13，纵坐标不变，得sin3yx=的图象，再把所得函数图象向右平移π18个单位，得πsin318yx=−πsin36x=−的图象，故AB错误.故选：C的8.定义在R上的函数()fx满足：(1)(1)0fxfx−+

−−−=，且(1)(1)0fxfx++−=，当[1,1]x−时，()2fxax=−，则()fx的最小值为（）A.6−B.4−C.3−D.2−【答案】B【解析】【分析】根据题意，由条件可得函数()fx的周期为8，然后求得其一个周期的值域，即可得到结果.【详解】由(1)(1)0fxf

x−+−−−=可得(1)(1)fxfx−+=−−，即()fx关于1x=−对称，即()()2fxfx=−−，由(1)(1)0fxfx++−=可得()fx关于()1,0对称，即()()=2fxfx−−，所以()()22fxfx−−=−−，令2xt−−=，则2xt=−−，代

入可得()()4ftft=−+，即()()4fxfx=−+，则()()()84fxfxfx+=−+=，所以()fx的周期为8，由()fx是定义在R上的函数，且()fx关于()1,0对称，可得()10f=，又当[1,1]x−时，()2fxax

=−，即()120fa=−=，所以2a=，当[1,1]x−时，()4,0fx−，且()fx关于1x=−对称，则3,1x−−时，()4,0fx−，又()fx关于()1,0对称，则1,5x时，()0,4fx，即()fx在一个周期内的值

域为4,4−，则()fx的最小值为4−.故选：B【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：（1）若()()fxafxbc++−+=，则函数()fx关于,22abc+中心对称；（2）若()()fxafx

b+=−+，则函数()fx关于2abx+=对称；（3）若()()fxafxa+=−，则函数()fx周期为2a；（4）若()()fxafx+=−，则函数()fx的周期为2a.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18

分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分．9.从{1,2,3}中随机取一个数记为a，从{4,5,6}中随机取一个数记为b，则下列说法正确的是（）A.事件“ab+为偶数”的概率为49B.事件“ab为偶数”的概率为79C.设Xab=+

，则X的数学期望为()6EX=D.设Yab=，则在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12【答案】ABD【解析】【分析】确定从{1,2,3}中随机取一个数，从{4,5,6}中随机取一个数的所有可能取法数，根据古典概型的概率计算可判断ABD；根据数学期

望的计算可判断C；【详解】从{1,2,3}中随机取一个数记为a，从{4,5,6}中随机取一个数记为b，共有339=（种）可能；对于A，当1,3a=时，5b=时，ab+为偶数；当2a=时，4,6b=时，ab+为偶数；故共有4种可能，则事件“ab+为偶数”的概率为49，A正确；对于B，当

1,3a=时，4,6b=时，ab为偶数；当2a=时，4,5,6b=时，ab为偶数；此时共有2237+=（种）可能，故事件“ab为偶数”的概率为79，B正确；对于C，Xab=+的取值可能为5,6,7,8,9，则12321(5),(6),(7

),(8),(9)99999PXPXPXPXPX==========,故12321()56789799999EX=++++=，C错误；对于D，Yab=的取值可能为4,5,6,8,10,12,15,18，的11111(4),(5),(6),(8),(10)99

999PYPYPYPYPY==========，211(12),(15),(18)999PYPYPY======，故在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12，D正确，故选：ABD10.在直棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为正方形，133CDCC==，P为线段1BC上动点，E，

F分别为11AD和BC的中点，则下列说法正确的是（）A.若1103CPCB=，则经过P，E，F三点的直棱柱的截面为四边形B.直线1BC与11AC所成角的余弦值为64C.三棱锥11PADC−的体积为定值D.1APBP+的最小值为7【答案】B

CD【解析】【分析】作出经过P，E，F三点的截面，判断A的真假；作出异面直线1BC与11AC所成的角，利用等腰三角形的性质，求角的余弦，判断B的真假；判断点P到平面11ADC的距离是否为定值，可判断C的真假；转化成平面上两点之间线

段最短，并求出最小值，可判断D的真假.【详解】对A：如图：直线FP交直线1CC于K，设1CKkCC=.因为()11CPCBCBCC==+2CFCKk=+，因为,,FPK三点共线，所以21k+

=12k=−，因为103，所以01k.所以点K在线段1CC上.设射线FK与射线11BC交于点M，连接EM交11CD于点L.在线段1AA上取点I，使1AICK=；在线段AB上取点J，使1AJCL=.依次连接,,,,,FKLEIJ，可得经过P，E，F三点的直棱

柱的截面，可见截面不是四边形，故A错误；对B：如图：因为11//ACAC，所以1BCA即为异面直线1BC与11AC所成的角，设为θ.在1ABC△中，112BABC==，6=BC，所以662cos24==，故B正确；对C：易知平面11//ACD平面1ACB，1BC平面1ACB，所以1//BC平

面11ACD.点1PBC，所以P到平面11ACD的距离为定值，所以三棱锥11PADC−的体积为定值.故C正确；对D：如图将1BCB△绕1BC旋转，使11,,,,ABBCD共面，则11ABAPBP+.过B作BH与直线11AB垂直，垂足为H.在1BBC△中，11BB=，2BC=，190BBC=

，所以160BBC=，132BH=，12BH=，所以22131322AB=++7=.故D正确.故选：BCD11.一条动直线1l与圆221xy+=相切，并与圆2225xy+=相交

于点A，B，点P为定直线2:100lxy+−=上动点，则下列说法正确的是（）A.存在直线1l，使得以𝐴𝐵为直径的圆与2l相切B.22||||PAPB+的最小值为150202−C.APPB的最大值为27102−+D.||||PAPB+的最小值为83【答案】BCD【解析】【分析】对A，数形结

合求出点M到直线2l距离的最小值与12AB比较可判断；对B，C，根据向量数量积运算结合521PM−，运算得解判断；对D，直线2l上点P使得PAPB+最小等同于求直线52x=上一点Q，QAQB+的最小值问题，设()00,Mxy，𝐴(𝑥

1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，利用直线对称列式运算求解.【详解】设线段AB的中点为M，根据圆的对称性可知点M在圆221xy+=上，则2PAPBPM+=，坐标原点O到直线2l的距离为10522=，由图易知521PM−，225146AB=−=，对于A，点M到直

线2l距离的最小值为521−，且1521262AB−=，所以以AB为直径的圆与2l相离，故A错误；对于C，()()2214PAPBPAPBPAPB=+−−()2221122444PMBAPM=−=−，()22242452110227APPBPM=−−−=−，

故C正确；对于B，()()()222222222224PMPAPBPAPBPAPBPAPBPM=+=++=++−，()2222248252148150202PAPBPM+=+−+=−，故B正确；对于D，由于,AB两点在圆2225xy+=上，且46A

B=，点O到直线2l的距离52，求直线2l上点P使得PAPB+最小等同于求直线52x=上一点Q，QAQB+的最小值问题，设()00,Mxy，𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，点B关于直线52x=对称点为1B，则()122102,Bxy−，直线00:1ABxxyy+=，22001xy

+=，由0022125xxyyxy+=+=，消去y整理得()2222000125yxxxy+−=，即()2222000021250xyxxxy+−+−=，即220021250xxxy−+−=，1202xxx+=，2120125xxy=−，同理1202

yyy+=，2120125yyx=−，()()()2221PAPBQAQBQAQB+=+=+()()22211212102ABxxyy==−++−()()220121210224xyyyy=−++−()()222000102244125

xyx=−+−−200100402200xx=−+，011x−，()2PAPB+的最小值为()241002004021924100−−=，所以PAPB+最小值为83，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是将求直线2l上点P使

得PAPB+最小值转化为求直线52x=上一点Q，QAQB+的最小值问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若1mxxx−的展开式中存在2x项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列na的通项公式为__________．【答案】4n

an=【解析】【分析】先根据二项展开中含有2x的项满足的条件443km−=，再根据m为正整数求出数列{𝑎𝑛}的通项公式.【详解】1mxxx−展开式的通项为()()43211C1CmkkmkkkkkmmTxxxx−−+=−=−，由于展开式中存在2x项，令4

322km−=，则443km−=，所以()431443nnan+−==.故答案为：4nan=13.设双曲线2222:1xyCab−=（0,0ab）的右顶点为F，且F是抛物线2:4yx=的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足2AFFB=，若点A也在双曲线C上，则

双曲线C的离心率为的__________．【答案】333##1333【解析】【分析】求出直线l的方程，与抛物线方程联立求出点A坐标，再结合已知求出双曲线的离心率.【详解】抛物线2:4yx=的焦点(1,0)F，直线l不垂直于y轴，设其方程

为1xty=+，由214xtyyx=+=消去x得：2440yty−−=，设1122()AxyBxy,,(,)，则124yy=−，由2AFFB=，得122yy=−，由对称性不妨令点A在第一象限，解得122y=，12x=，由点(2,22)A在双

曲线2222:1xyCab−=上得，22481ab−=，又1a=，解得283b=，所以双曲线C的离心率22833133abea+==+=.故答案为：33314.已知()|lnln2||1|afxaxx=−−+−，则()fx的最小值为__________．【答

案】2【解析】【分析】变形函数()fx，换元构造函数，再利用导数分段探讨单调性求出最小值.【详解】函数()|ln2||1|aafxxx=−+−，令0atx=，令223ln,01()ln211ln,1eln3,etttgttttttttt−−=−+−=+−+−

，当01t时，1()10gtt=−−，函数()gt在(0,1]上单调递减，当21et时，1()10gtt=−，函数()gt在2[1,e]上单调递增，当2et时，1()10gtt=+，函数()gt在2[e,)+上单

调递增，因此当1t=时，min()(1)2gtg==，所以当xa=时，()fx取得最小值2.故答案为：2【点睛】关键点点睛：利用对数运算法则变形，再换元构造新函数是解决本题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记ABCV的内角A，B，C

的对边分别是a，b，c，满足()2222321abc++=．（1）若bc=，3cos4A=，求ABCV的面积；（2）记BC边中点为D，ADx=，若A为钝角，求x的取值范围．【答案】（1）378（2）1050,10【解析】【分析】（1）由余弦定理及三角形面积公式得解；（2）利用向量的

运算及余弦定理得出2x与2a的关系，再由基本不等式及A为钝角得出2a范围即可.【小问1详解】因为bc=，所以222621ab+=，又22222223cos224bcabaAbcb+−−===，即222ba=，所以2721b=，即23b=，所以22113737sin1cos22248

ABCSbcAbA==−==△.【小问2详解】因为BC边的中点为D，所以()12ADABAC=+,所以()()2222221122cos44xADABACABACbcbcA==++=++的()222222

2211124224bcabcbcbcabc+−=++=+−，又()2222321abc++=，所以222221217764212axaa−=−=−，在三角形中，bca+，所以2222224bcbca++

，所以()2222332122abca+=−，即26a，又A为钝角，则22222123aabc−+=，解得2215a，故由22165a，可得2277210,21220xa=−，所以1050,10x.16.如图所示，在四棱锥

PABCD−中，2PAAC==，1BC=，3AB=．（1）若AD⊥平面PAB，证明：//AD平面PBC；（2）若PA⊥底面ABCD，ADCD⊥，二面角ACPD−−的正弦值为63，求AD的长．【答案】（1）证明见解析（2）2AD=

【解析】【分析】（1）根据三角形三边长可得到三角形角度，再根据线面垂直得到线线垂直，结合同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得到线面平行；（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由空间向量夹角的余弦公

式列方程，即可得求答案.【小问1详解】证明：∵2AC=，1BC=，3AB=，即222BCABAC+=，∴90ABC=，即BCAB⊥，∵AD⊥平面PAB，AB平面PAB，∴ADAB⊥，∴//ADBC，又BC平面PBC，AD平面PBC，∴//AD平面PBC；【小问2详解】∵PA⊥底面AB

CD，,CDAD底面ABCD，∴PACD⊥，PAAD⊥，又ADCD⊥，以点D为原点，以,DADC所在的直线为,xy轴，过点D作PA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示：令ADt=，则()()(),0,0,,0,2,0,0,0AtPtD，24D

Ct=−，则()20,4,0Ct−，()()2,4,0,0,0,2ACttAP=−−=，设平面ACP的法向量为𝑛1⃗⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，∴211111040200nACtxtyznAP=−+−===，令214xt=−，则1

1,0ytz==，∴()214,,0ntt=−，设平面CPD的法向量为()2222,,nxyz=，∴222222200400txznDPtynDC+==−==，令2zt=，则222,0xy=−=，∴()22,0,nt=−，∵二

面角ACPD−−的正弦值为63，则余弦值为33，又二面角为锐角，∴21212212324cos,324nntnnnnt−===+，解得2t=，所以2AD=.17.已知椭圆2222:1(0)xyCab

ab+=，C的下顶点为B，左、右焦点分别为1F和2F，离心率为12，过2F的直线l与椭圆C相交于D，E两点．若直线l垂直于1BF，则BDEV的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与坐标轴不垂直，点E关于x轴的对称点为G，试判断直线DG是否过定点，并说明理由．【答案】（1）22143

xy+=（2）()4,0，理由见详解.【解析】【分析】（1）据题意可知12BFF是正三角形，由直线l垂直于1BF，可证1BDEFDE，由此可知48a=，1c=，进而得到椭圆方程；（2）设直线l的方程为1xmy=+，()()1122,,,DxyExy，则()22,Gxy−

，得到直线DG方程，直曲联立，由韦达定理可得12122269,3434myyyymm+=−=−++，进而得到()121223myyyy=+，代入直线方程可求出定点.【小问1详解】由题意可知11,BFaOFc==，因为离心率为12，所以1112OFcBFa==，所以160BFO=，

故12BFF△是正三角形，如图所示：若直线1lBF⊥，则直线l垂直平分线段1BF，所以1BDEFDE，由于BDEV的周长为8，故1FDE的周长为8，由定义可知：12122,2EFEFaDFDFa+=+=，所以1FDE的周长为48a=，故2a=，所以1c=，故3b=，所以椭圆C的方

程：22143xy+=.【小问2详解】由题意可设直线l的方程为1xmy=+，()()1122,,,DxyExy，则()22,Gxy−，如图所示：可得直线DG的方程为：()121112yyyyxxxx+−=−−，因为11221,1xmyxmy=+=+，将其代入直线

DG方程，可得()()1211121yyyxmyymyy+=−−+−，可整理得：()()()121212122()yyxmyyyyymyy+−−+=−，联立方程221143xmyxy=++=得()22

34690mymy++−=，则12122269,3434myyyymm+=−=−++，所以121223yymyy+=，即()121223myyyy=+，将其代入()式中，可得直线DG方程为：()()()()()()12122121246434yyxyyxymyymy

y+−+−−==−+−，可见直线DG过定点()4,0，所以直线DG过定点，坐标为()4,0.18已知函数()sinfxaxx=+，[0,π]x．（1）若1a=−，证明：()0fx；（2）若()0fx，求a的取值范

围；（3）若0a，记1()()ln(1)gxfxxa=−+，讨论函数()gx的零点个数．【答案】（1）证明见解析；（2）1a−；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用导数研究()fx区间单调性，即可证结论；（2）问题化为研究(0,π]x时sinxax−恒

成立，应用导数求右侧最值，即可得范围；.（3）根据解析式有(0)0g=，在将问题化为研究sinxya=与()ln(1)xxx=+−在(0,π]x上的交点情况，讨论参数a的符号，结合导数研究交点，即可确定原函数零点个数.【

小问1详解】由题设()sinfxxx=−+且[0,π]x，则()cos10fxx=−，所以()fx在[0,π]x上递减，故()(0)0fxf=，得证；【小问2详解】由解析式，易知0x=时()0fx恒成立，当(0,π]x，只需sinxax−恒成

立，令sin()xxx=−且(0,π]x，则2sincos()xxxxx−=，令()sincoshxxxx=−，则()sin0hxxx=，即()hx在(0,π]x上递增，所以()(0)0hxh=，故()0x，即()x在(0,π]x上递

增，且(π)0=，对于sinyxx=−，[0,π]x，则1cos0yx=−，故sinyxx=−在[0,π]x上递增，且0x=时sin0sinyxxxx=−==，综上，()(1,0]x−，即1a−.【小问3详解】由题

设()()ln(1)fxgxxa=−+，且定义域为[0,π]x，显然(0)0g=，令()0[ln(1)]singxaxxx=+−=，且(0,π]x，只需研究sinxya=与()ln(1)xxx=+−在(0,π]x上的交点情况，若0a，则sinxya=在π(0,)2上

递减，在π(,π]2上递增，且πx=时0y=，而()01xxx=−+，即()x在(0,π]上递减，且ππ1(π)ln(0)0e+==，又cosxya=，则0cos010)0|(xyaa====，在0x=处()x的图象递减趋势比sinxya=的图象平缓，故sinxya=

与()ln(1)xxx=+−在(0,π]x上有且仅有一个交点，此时，()gx在[0,π]x有两个零点；若0a，sin0xya=在(0,π]x恒成立，而()0x恒成立，故sinxya=与()

ln(1)xxx=+−在(0,π]x上无交点，此时，()gx在[0,π]x有一个零点；综上，0a时()gx有两个零点；0a时()gx有一个零点.19.乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”

指7局中胜4局的一方取得胜利．（1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9．已知甲、乙两人共进行了()*mmN场比赛，请根据小概率值0.010=的

2K独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响．（2）若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，试证明：()()PAPB=．（3）甲、乙两人进行乒乓球比

赛，每局比赛甲的胜率都是(0.5)pp，没有平局．若采用“赛满21n−局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为()Pn．若采用“赛满21n+局，胜方至少取得1n+局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为(1)Pn

+，试比较()Pn与(1)Pn+的大小．附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．()20PKk0.050.0250.0100k3.8415.0246.635【答案】（

1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）(1)()PnPn+.【解析】【分析】（1）根据题设写出列联表，应用卡方公式得2251mK=，讨论参数结合独立检验基本思想即得答案；（2）根据题设，应用独立乘法公式及互斥事件加法得到(

),()PAPB，并化简，即可证；（3）考虑赛满21n+局的情况，以赛完21n−局为第一阶段，第二阶段为最后2局，设“赛满21n+局甲获胜”为事件C，第一阶段甲获胜，记为1A；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了1n−局，记为2A，根据题意分析得到12()()()P

CPACPAC=+，进而分情况写出关于参数p的概率公式，即可比较大小.【小问1详解】由题设，赛制与甲获胜情况列联表如下，甲获胜场数乙获胜场数5局3胜0.8m0.2mm7局4胜0.9m0.1mm1.7m0.3m2m所以22222(0.080.18)2

1.70.351mmmmKmmmm−==，若26.635169.192551mm，当170m时，根据小概率值0.010=的2K独立性检验，推断赛制对甲获胜的场数有影响．当170m时，根据小概率值0.010

=的2K独立性检验，没有证据认为推断赛制对甲获胜的场数有影响．【小问2详解】由题意，32222234()C(1)C(1)PAppppppp=+−+−33323(1)6(1)ppppp=+−+−54361510ppp=−+，33244550555()C(1)

C(1)C(1)PApppppp=−+−+−324510(1)5(1)ppppp=−+−+54345510201055pppppp=−++−+54361510ppp=−+，综上，()()PAPB=，得证.【小问3详解】考虑赛满21n+

局的情况，以赛完21n−局为第一阶段，第二阶段为最后2局，设“赛满21n+局甲获胜”为事件C，结合第一阶段结果，要使事件C发生，有两种情况：第一阶段甲获胜，记为1A；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了1n−局，记为2A，则

12CACAC=+，得12()()()PCPACPAC=+，若第一阶段甲获胜，即赛满21n−局甲至少胜n局，有甲至少胜1n+局和甲恰好胜n局两种情况，甲至少胜1n+局时，无论第二阶段的2局结果如何，最终甲获胜；甲恰好胜n局时，有可能甲不能获胜，此时第二阶段的2局比赛甲均失败，概率为1221C

(1)(1)nnnnppp−−−−，所以1()()PACPn=−1221C(1)(1)nnnnppp−−−−，若第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了1n−局，那么要使甲最终获胜，第二阶段的2局甲全胜，得222()()(|)PACPAPCA==11221

C(1)nnnnppp−−−−，所以(1)()()PnPCPn+==−1221C(1)(1)nnnnppp−−−−+11221C(1)nnnnppp−−−−，则(1)()PnPn+−=11221C(1)nnnnppp−−−−−1221C(1)(1

)nnnnppp−−−−121C(1)nnnnpp+−=−−121C(1)nnnnpp+−−21C(1)[(1)]nnnnpppp−=−−−2112C(1)()2nnnnppp−=−−，由12p，所以

2112C(1)()02nnnnppp−−−，得(1)()PnPn+.【点睛】关键点点睛：第三问，设“赛满21n+局甲获胜”为事件C，第一阶段甲获胜，记为1A；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了1n−局，记为2A，根据题意分析得到12()()()PCPACPAC=

+为关键.