【文档说明】中学生标准学术能力诊断性测试2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学 PDF版含答案（可编辑）.pdf，共(8)页，705.096 KB，由管理员店铺上传

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第1页共4页第2页共4页标准学术能力诊断性测试2024年10月测试数学试卷本试卷共150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合==−−AxBx4|24

,2,1,0,1,21，则AB=A．−1,0,1C．0,1B．−−2,1,0,1,2D．−1,12．若−=+zz1i1，则=zA．2B．22C．1D．213．已知单位向量a和b，若()2aab⊥+，则ab+

=A．2B．1C．2D．34．已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为A．1:2B．1:1C．3:4D．2:35．已知+==3tansin,21tan)(，则−

=sin)(A．−31B．−91C．31D．916．已知函数−=fxxfxxx21,112,01)()(，则函数=−xgxfx2)()(的零点个数为A．2B．0C．3D．无穷7．将=yxsin的图象变换为=−yx6sin

3的图象，下列变换正确的是A．将图象上点的横坐标变为原来的31倍，再将图象向右平移6个单位B．将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移18个单位C．将图象向右平移6个单位，再将图象上点的

横坐标变为原来的31倍D．将图象向右平移6个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍8．定义在R上的函数fx)(满足：−+−−−=fxfx110)()(，且++−=fxfx110)()(，当−x1,1时，=−fxax2)(，则fx)(的

最小值为A．−6B．−4C．−3D．−2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分.9．从1,2,3中随机取一个数记为a，从4,5,6

中随机取一个数记为b，则下列说法正确的是A．事件“+ab为偶数”的概率为94B．事件“ab为偶数”的概率为97C．设=+Xab，则X的数学期望为=EX6)(D．设=Yab，则在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是1210．在

直棱柱−ABCDABCD1111中，底面ABCD为正方形，==CDCC331，P为线段BC1上动点，EF,分别为AD11和BC的中点，则下列说法正确的是A．若0CPCB=311，则经过PEF,,三点的直棱柱的截面为四边形B．直线BC1与AC11所成角的余弦值为46C．三棱锥−P

ADC11的体积为定值D．+APBP1的最小值为711．一条动直线l1与圆+=xy122相切，并与圆+=xy2522相交于点AB,，点P为定直线+−=lxy:1002上动点，则下列说法正确的是A．存在直线l1，使得以AB为直径的圆与l2相切{#{QQ

ABaQyQogCAAhAAAQhCQQniCgMQkhCCCYgOREAIoAAASBFABAA=}#}第3页共4页第4页共4页B．+PAPB22的最小值为−150202C．APPB的最大值为−+27102D．+PAPB

的最小值为83三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若−xxxm1的展开式中存在x2项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列an的通项公式为．13．设双曲线−=abCabxy:10,02222)(的右顶点为F，且F是抛物线

=yx:42的焦点．过点F的直线l与抛物线交于AB,两点，满足2AFFB=，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为．14．已知=−−+−xfxaxalnln21)(，则fx)(的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）记ABC的内角ABC,,的对边分别是abc,,，满足++=abc2321222)(．（1）若==bcA4,cos3，求ABC的面积；（2）记BC边的中点为D，=ADx，若A为钝角，求x的取值范围．16

．（15分）如图所示，在四棱锥−PABCD中，===PAACBC2,1，=AB3．（1）若⊥AD平面PAB，证明：AD平面PBC；（2）若⊥PA底面ABCD，⊥ADCD，二面角−−ACPD的正弦值为36，求

AD的长．17．（15分）已知椭圆+=abCabxy:102222)(，C的下顶点为B，左、右焦点分别为F1和F2，离心率为21，过F2的直线l与椭圆C相交于DE,两点．若直线l垂直于BF1，则BDE的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与坐标轴不垂直，

点E关于x轴的对称点为G，试判断直线DG是否过定点，并说明理由．18．（17分）已知函数=+fxaxxxsin,0,)(．（1）若=−a1，证明：fx0)(；（2）若fx0)(，求a的取值范围；（3）若a0，记=−+agxfxxln11)

()()(，讨论函数gx)(的零点个数．19．（17分）乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利．（1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3

胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9．已知甲、乙两人共进行了Nmm)(场比赛，请根据小概率值=0.010的K2独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响．（2）若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的

胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，试证明：=PAPB)()(．（3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是pp0.5)(，没有平局．若采用“赛

满−n21局，胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为Pn)(．若采用“赛满+n21局，胜方至少取得+n1局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为+Pn1)(，试比较Pn)(与+Pn1)(的大小．附：()(

)()()++++=−abcdacbdKnadbc22)(，其中=+++nabcd．PKk02)(0.050.0250.010k03.8415.0246.635DCBAP（第16题图）{#{QQABaQyQogCAAhAAAQh

CQQniCgMQkhCCCYgOREAIoAAASBFABAA=}#}第1页共6页标准学术能力诊断性测试2024年10月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．12345678ACBBDACB二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对但不全的得3分，有错选的得0分．91011ABDBCDBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．=ann413．33

314．2四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）解：（1）由余弦定理知：+=+bcbcA5214cos22)(，又==bcA4,cos3，代入等式中可得：=+bcbc10213，即得=bc3，所以==bc3···········

····························································4分所以ABC的面积为==bcA2248sin13737·························

····················5分（2）因为D为线段BC的中点，所以()1ADABAC=+2，两边平方得：=++xbcbcA42cos1222)(，由余弦定理可得：=+−bcAbca2cos222，代入上式得：=+−xbca42212222)(，再由++=abc2321222)

(，可得=−ax761222，+=+bcx738222··················10分因为A为钝角，所以+abc222，可得−+xx776312822，解得x100105．{#{QQABaQyQogCAAhAAAQhCQQniCgMQ

khCCCYgOREAIoAAASBFABAA=}#}第2页共6页所以，x的取值范围为xx100105·····················································13分16．

（15分）解：（1）因为⊥AD平面PAB，AB平面PAB，所以⊥ADAB，由===ACBCAB2,1,3，可得=+ACABBC222，所以⊥BCAB，所以在平面四边形ABCD中，由⊥⊥ADABBCAB,，可得ADBC，因为AD平

面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC··················································································6分（2）【方法一】因为⊥PA底面ABCD，CD底面ABCD

，所以⊥PACD，因为ADCDPAADA⊥=,，所以⊥CD平面PAD，可得⊥CDPD，即=PDC90．以直线DA为x轴，直线DC为y轴，过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：···················

·····································8分设==ADaDCb,，则DAaCbPa0,0,0,,0,0,0,,0,,0,2)()()()(，在坐标平面xDz中，直线DP

的法向量就是平面PDC的法向量，可得其中一个法向量为(2,0,na=−1)．设平面PAC的一个法向量为(,,nxyz=2)，则0nAPnCP==22，而()(0,0,2,,,2APCPab==−)，可得=−=zaxby0,0．令=

xb，则=ya，得(,,0nba=2)···························································12分所以cos,nn=++−aabb4

222212，依题可知，cos,nn=3312，可得()()++=abab43412222，因为+==abAC4222，所以−=bb83122，解得=b22，则=a22，得=AD2·································

···········································15分zyxDPCBA{#{QQABaQyQogCAAhAAAQhCQQniCgMQkhCCCYgOREAIoAAASBFABAA=}#}第3页共6页【方法二】设点A到平面PCD的

距离为d1，点A到直线PC的距离为d2，二面角−−ACPD的平面角为，则由二面角的平面角定义知=ddsin21．由题意计算可得=d22，所以=d2361，可得=d3231．由等体积公式可得=

SPASdACDPCD33111，即=ADCDPDCD33，得=PDAD3．因为=+=−PCPDCDCDACAD,222222，所以=+−ADAD83422，得=AD2．17．（15分）解：（1）由离心率为21，==BFaOFc,11，

可得=BFOF2111，则=BFO601，可得BFF12是正三角形，如图所示：若直线l垂直BF1，则直线l垂直平分线段BF1，可知BDE与FDE1全等，那么FDE1的周长为8．由椭圆定义可知：+=+=EFEFaDFDFa2

,21212，所以FDE1的周长为a4，可得=a48，即=a2．所以=c1，可得=b3，则椭圆C的方程为+=xy43122······································································6分（2）设l的方程

为=+xmy1，DxyExy,,,1122)()(，则−Gxy,22)(，如图所示：可得直线DG的方程为−−=−+xxyyxxyy121112)(，因为=+=+xmyxmy1,11122，将它们代入直线方程中，可得直线DG的方程为：()−=−−++myyyxm

yyyy1121112)(，可整理得：()−=+−−+myyyyyxmyyyy212121212)()(（*）····································10分联立方程=+

+=xmyxy143122，得：++−=mymy3469022)(，yxO2F1FBDEyxO2F1FDEG{#{QQABaQyQogCAAhAAAQhCQQniCgMQkhCCCYgOREAIo

AAASBFABAA=}#}第4页共6页则+++=−=−mmyyyym3434,69221212，可得=+yymyy321212，=+myyyy231212)(，将其代入（*）式中，可得直线DG的方程为：()−=+−+my

yyyyxyy4121212)()(()()+−=−−myyx3446122)(，可见直线DG过定点4,0)(，所以直线DG过定点，定点坐标为4,0)(·······················································15分18．（1

7分）解：（1）若=−a1，则=−+fxxxsin)(，得=−+fxx1cos0)(，可知fx)(在0,单调递减，可得fxf0)()(，而=f00)(，所以fx0)(···················

·····················································3分（2）依题意，必须f0)(，即a0，可得a0，求导得=+fxaxcos)(．若−a1，则fx0)(，得fx)(在0,单调递减，

则fxf0)()(，而=f00)(，则fx0)(成立············································5分若−a10，由于fx)(在0,单调递减，而=+fa010)(，

=−fa10)(，可知fx)(在0,内有唯一零点，记为x1，当xx01时，fx0)(，可知fx)(在x0,1)单调递增，可得=fxf001)()(，这与fx0)(对任意x0,

恒成立矛盾，所以−a10不能成立，综上，实数a的取值范围为−−,1(······························································8分（3）有=+−+a

gxxxxxsinln1,0,1)()(，观察知：=g00)(，可见=x0是gx)(的一个零点．下面我们考虑gx)(在0,(内的零点情况···················································

····9分当x0,(时，若a0，则axsin01，可得+axxxsin1，令=−+Fxxxxln1,0,()()(，则+=xFxx10)(，得Fx)(在0,(单调递增，可得=FxF00)()(，即+xxln1)(，那么++axxxsinln11)

(，即gx0)(，{#{QQABaQyQogCAAhAAAQhCQQniCgMQkhCCCYgOREAIoAAASBFABAA=}#}第5页共6页故当a0时，函数gx)(在0,(内无零点········································

···········12分若a0，则+=+−axgxx11cos11)(，①当x2,时，xcos0，则axcos01，而+−x1101，可得gx0)(；②当x20,时，()+=−+xagxx1sin0112)(，可得gx)(在

20,单调递增，因为+==−agg2200,1012)(，所以gx)(在20,内有唯一零点，记为x2，当xx02时，gx0)(；当xx22时，gx0)(，综合①②，gx)(在x0,2)(单调递减，在x,2(单调递增

．因为=g00)(，所以gx02)(，又由+xxln1)(可得=−+gln10)()(，所以gx)(在0,(内恰有1个零点．综上所述，当a0时，gx)(有1个零点；当a0时，gx)(有2个零点··········17分1

9．（17分）解：（1）据题中条件，列出赛制和甲获胜情况列联表如下：甲获胜场数乙获胜场数合计5局3胜m0.8m0.2m7局4胜m0.9m0.1m合计m1.7m0.3m2由计算公式得：==−mmmmKmmmm1.70.351220.080.182222)(，若m516.6352，即m169

.1925，故若m170时，根据小概率值=0.010的K2独立性检验，推断赛制对甲获胜的场数有影响，此推断犯错误的概率小于0.010．若m170，根据小概率值=0.010的K2独立性检验，没有证据

认为赛制对甲获胜的场数有影响，此时赛制对甲获胜的场数没有影响··················································4分（2）依题意=+−+−PAppCpppCpp1

134322222)()()(=+−+−+=−+ppppppppp31612615103332543)()(，{#{QQABaQyQogCAAhAAAQhCQQniCgMQkhCCCYgOREAIoAAASBFABAA=}#}第6

页共6页又有=−+−+−PBCppCppCpp11155533445520)()()()(=−+−+ppppp101513452)()(=−++−+pppppp10201055543455=−+ppp61510543所以=PAPB)()(·

·········································································7分（3）考虑赛满+n21局的情况，以赛完−n21局为第一阶段，第二阶段为最后2局．设“赛满+n21局甲获胜”为事件C，结合第一阶段的结

果，要使事件C发生，有两种情况：第一阶段甲获胜，记为A1；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了−n1局，记为A2，则=+CACAC12，得：=+PCPACPAC12)()()(．若第一阶段甲获胜，即赛满−n21局甲至少胜n局，有两类情况：甲至少胜

+n1局和甲恰好胜n局．第一类情况，无论第二阶段的2局结果如何，最终甲获胜；第二类情况，有可能甲不能获胜，这种情况是第二阶段的2局比赛甲均失败，其概率值为：−−−−Cpppnnnn112112)()(，所以=

−−−−−PACPnCpppnnnn1112112)()()()(．若第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了−n1局，那么要使甲最终获胜，第二阶段的2局比赛甲必须全部取胜，可得：==−−−−PACPAPCACpppnnnn122221112)()()()(，所以+==−−−+−−−−−−

PnPCPnCpppCpppnnnnnnnn1111212111212)()()()()()(······················································

14分可得+−=−−−−−−−−−PnPnCpppCpppnnnnnnnn1111212111212)()()()()(=−−−−−++CppCppnnnnnnnn11212111)()(=−−−−Cppppnnnn1121)()()

(=−−−Cpppnnnn221121)(因为p21，所以−−−Cpppnnnn2210121)(，可得+PnPn1)()(，综上：+PnPn1)()(································

··································17分{#{QQABaQyQogCAAhAAAQhCQQniCgMQkhCCCYgOREAIoAAASBFABAA=}#}