【文档说明】湖北省武汉市第十一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷 含解析.docx，共(18)页，1002.374 KB，由管理员店铺上传

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武汉市第十一中学2026届高一3月考高一数学试卷命题教师：审题教师：考试时间：2024年3月30日7：50-9：50试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．1.2πtan3=（）A.33B.3−C.33−D.3【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式及特殊值即可求解.详解】2πππtantanπtan3333=−=−=−.故选：B.2.在ABC中，其中三个

内角分别为A，B，C，并且所对的边分别为a，b，c，其中::2:3:4abc=，则sin:sin:sinABC=（）A.2∶3∶4B.4∶9∶16C.4∶3∶2D.16∶9∶4【答案】A【解析】【分析】运用正弦定理边化角即可.【详解】由正弦定理得2sinaRA=，2sinbRB=，2si

ncRC=，（R为三角形外接圆半径），所以::2sin:2sin:2sinsin:sin:sin2:3:4abcRARBRCABC===，又::2:3:4abc=，所以sin:sin:sin2:3:4AB

C=.故选：A3.计算22cossin1212−的值为A.12−B.12C.32−D.32【.【答案】D【解析】【分析】直接由二倍角的余弦公式，即可得解.【详解】由二倍角公式得：223121262cossincos−==，故选D.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，属于

基础题.4.已知扇形的圆心角为30°，面积为3，则扇形的半径为（）A.32B.3C.62D.6【答案】D【解析】【分析】利用扇形的面积公式直接求解即可【详解】解：设扇形的半径为R，则由题意得2303360R=，得236R=，解得6R=，故选：D5.若单位向量a，b的夹角为π

3，则2ab+与ab−的夹角的余弦值为（）A.714B.77C.77−D.714−【答案】D【解析】【分析】求出2ab+与ab−的数量积以及模长，根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】由题意知单位向量a，b的夹角为π3，则π111

cos32ab==，故221(2)()22ababaabb+−=+−=−，222|2|(2)447ababaabb+=+=++=，222||()21ababaabb−=−=−+=，故1(2)()72cos2,14|2|||71abababababab−+−+−===−+−，

故选：D6.如图，已知等腰ABC中，3ABAC==，2BC=，点P是边BC上的动点，则()APABAC+（）A.为定值16B.为定值10C.最大值为8D.与P的位置有关【答案】A【解析】【分析】结合向量运算求得正确答案.【详解】99

47cos2339BAC+−==，设(),01BPtBCtACABt==−，()()()()()APABACABBPABACABtBCABAC+=++=++()()ABtACtABABAC=+−+()()1tABtACABAC=−++，()221tAB

ABACtAC=−++()2271333397169tt=−++=+=.故选：A7.已知函数()()()sin0,0,0πfxAxBA=++的部分图像如图所示，且()fx的图像关于点π,212中心对称，则()f=（）

．A.4B.3C.2D.0【答案】A【解析】【分析】根据函数图像的最低点及对称中心的位置得到A，B的值，根据点()0,3得出的值，由五点作图法可得2=，即可得出答案．【详解】由图可知，2AB==，又因为()fx过点()0,3，所以()()02sin023f=++=，解得1sin2=，又

因为0π，且()0,3在()fx的一个减区间上，所以5π6=，根据五点作图法可知，π5ππ126+=，解得2=，∴()5π2sin226fxx=++，()5π5π5π2sin222sin24662f=++=+=

，故选：A．8.三角形ABC的三边分别是,,abc，若4c=，3C=，且sinsin()2sin2CBAA+−=，则有如下四个结论：①2ab=②ABC的面积为833③ABC的周长为443+④ABC外接圆半径433R

=这四个结论中一定成立的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可得三角形外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简2A=或sin2sinBA=，即2ba=；分别讨论，结合余弦定理和三角形面

积公式，计算可得所求值，从而可得结论．【详解】4c=，3C=，可得4832sin3sin3cRC===，可得ABC外接圆半径433R=，④正确；()sinsin2sin2CBAA+−=，即为()()sinsin2sin2ABBAA++−=，即有sincoscossinsincosco

ssin2sincos4sincosABABBABABAAA++−==，则cos0A=，即2A=或sin2sinBA=，即2ba=；若2A=，3C=，6B=，可得2ab=，①可能成立；由4c=可得833a=，433b=，则三角形的周长为443+；面积为18323bc=；则

②③成立；若2ba=，由2222222cos316cababCababa=+−=+−==，可得433a=，833b=，则三角形的周长为443abc++=+；面积为11438383sinsin223333SabC===；则

②③成立①不成立；综上可得②③④一定成立,故选C．【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考

查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公的式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分．9.已知向量()()1,1,2axbx=−=，，则（）A.abB.若//ab，则2x=C.若ab⊥，则23x=D.2ab−【答案】ACD【解析】【分析】A用向量相等判断，B用向量

共线的坐标运算来判断，C用向量垂直的坐标运算来判断，D用向量模的运算来判断.【详解】显然ab，A对，//abrr得：()1212xxx=−=或=1x−，B错，ab⊥，()22103xxx+−==，C对，()()()()222221,3132222abxxxxx−=−

−=−+−=−+，2ab−，D对．故选：ACD10.为了得到函数sin23yx=−的图象，可以将函数cos2yx=的图象（）A.右移512个单位B.左移712个单位C.右移56个单位

D.左移6个单位【答案】AB【解析】【分析】将目标函数解析式化为5cos26yx=−，利用三角函数图象变换规律可得出结论.【详解】5sin2cos2cos23326yxxx=−=

−−=−577cos2=cos2+=cos2+12612xxx=−，所以，为了得到函数sin23yx=−的图象，可以

将函数cos2yx=的图象右移512个单位或左移712个单位.故选：AB.11.武汉十一中举行了春季运动会，运动会上有同学报名了实心球项目，其中实心球项目的比赛场地是一个扇形．类似一把折扇，经过数学组老师的实地测量，得到比赛场地的平面图如图2的扇形AOB，其中150

AOB=，222OAOCOD===，点F在弧AB上，且120BOF=，点E在弧CD上运动，则下列结论正确的有（）A.31ODDA=−B.OFOAmOB=+，则31m+=+C.OF在DF方向上投影向量为57DFD.EFEB的最

大值是1−【答案】BCD【解析】【分析】根据已知条件，建立以O为坐标原点的平面直角坐标系，求出相关点的坐标由点坐标写出向量坐标，利用向量运算的坐标运算即可求解.【详解】依题意，以O为坐标原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，如图所示因为150,222,120AOBOAOCODBOF=====

，所以()()()()311,3,2,0,1,0,3,1,,22FBDAC−−−，设()5πcos,sin,06E，的对于A，()()1,031,131ODDA=−−=−−，故A错误；对于B，由OFOAmOB

=+，得()()()1,33,12,0m−=−+，即3213m−+=−=，解得3,1m==，所以31m+=+，故B正确；对于C，()()1,3,2,3OFDF=−=−，所以OF在DF方向上的投影向量为55777OFDFDFDFD

FDFDF==，故C正确；对于D，()()1cos,3sin2cos,sinEFEB=−−−−−22π2coscos3sinsin12sin6=−−+−+=−−+，因为5π0

6，所以ππππ,0sin1666++，当ππ6+=，即5π6=时，π12sin6−−+取得最大值1−,所以EFEB的最大值是1−.故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题主要是建立平面直角坐标系，求出相关点

的坐标，利用向量的坐标运算即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若π3sin(+θ)=25，则cos2θ=_________．【答案】【解析】【详解】试题分析：∵π3sin(+θ)=25，∴3cosθ=5，∴27cos2θ=2cosθ1=2

5－－，故答案为.考点：诱导公式；二倍角的余弦.13.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为2sinaA，则cosA的最小值是______．【答案】34##0.75【解析】【分析】利用三角形的面积公式及余弦定理的推论，结合基本不等式即可求解.【详解】因为AB

C的面积为2sinaA，所以21sinsin2ABCSbcAaA==,因为0πA，所以sin0A,所以22.bca=所以2221232cos224bcbcbcaAbcbc−+−==，当且仅当bc=时，等号成立，所以cosA的最小值是34.故答案为：34.14.已知函

数()()sinfxx=+，如图A，B是直线32y=与曲线()yfx=的两个交点，2π03f=且π12AB=，则()2024πf=______．【答案】32−【解析】【分析】设1233,,,22AxBx，根

据图象以及点2π,,,03AB在一个周期内，先计算出，然后利用2sin03+=求出，则函数解析式可求，代入2024πx=计算即可.【详解】设1233,,,22AxBx

，则()()123sinsin2xx+=+=，2sin03+=，由图可知点2π,,,03AB在一个周期内，则122π2π,π2π33xkxk+=++=+，2π2π2π,Z3kk+=+，又

π12=AB，则21π12−=xx，可得21ππ123xx−==，解得4ω=，则2π42π2π,Z3kk+=+，解得2π2π,Z3kk=−+，所以()2π2π2πsin4sin4,Z33fxxxkk==−−+，所以()2π2π332024πsin4

2024πn23sif===−−−故答案为：32−.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在平面四边形ABCD中，3π4ABC

=，2ABCS=△，BACDAC=，24CDAB==．（1）求线段BC的长度；（2）求线段AC的长度；（3）求sinADC的值．【答案】（1）22（2）25（3）12【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式即可求解；（2）利用（1）的

结论及余弦定理即可求解；（3）利用（1）(2)的结论及正弦定理即可求解；【小问1详解】因为3π4ABC=，2ABCS=△，2AB=，所以113πsin2sin2224ABCSABBCABCBC===，解得22BC=，所以线段BC的长度为22.【小问

2详解】由（1）知，22BC=，在ABC中，由余弦定理可得22222cos482222202ACABBCABBCABC=+−=+−−=，解得25AC=，所以线段AC的长度为25.【小问3详解】由（1）（2）知22,25BCAC==,在ABC中，由正弦定理可得sins

inBCACBACABC=，即22253πsinsin4BAC=，得5sin5BAC=，又因为BACDAC=，所以5sinsin.5DACBAC==在ACD中，由正弦定理可得sinsinCDACDACA

DC=，即425,sin55ADC=得1sin2ADC=，故sinADC的值为12.16.如图，在ABC中，1CA=，2CB=，60ACB=．（1）求||ABuuur；（2）已知点D是AB上一点，满足

ADAB=uuuruuur，点E是边CB上一点，满足BEBC=．①当12=，求AECD；②是否存在非零实数，使得AECD⊥？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3（2）①14；②存在，23=【解析】【分析】（1）由2||||()A

BCBCACBCA=−=−，然后根据向量数量积的运算律即可求解；（2）①由题意，11()22AECDACCBCACB=++，由向量数量积的定义及运算律即可求解；②由题意，(1)CDCBCA=+−，(1)AECBCA=−−，假设存在非零实数，使得AECD

⊥，则由0AECD=uuuruuur即可求得23=.【小问1详解】解：∵ABCBCA=−，且24CB=，21CA=，21cos601CBCA==，∴2||||()ABCBCACBCA=−=−=2223CBCBCACA−+=．【小问2详解】解

：①12=时，12ADAB=，12BEBC=，∴D、E分别是边AB、BC的中点，∴12AEACCEACCB=+=+，1()2CDCACB=+，∴11()22AECDACCBCACB=++211112244ACCAACC

BCBCACB=+++211112cos12022=−+211121cos602444++=；②存在．理由如下：假设存在非零实数，使得AECD⊥，由ADAB=uuuruuur，得()ADCBCA=−，∴()CDC

AADCACBCA=+=+−(1)CBCA=+−．又BEBC=，∴()AEABBECBCABC=+=−+(1)CBCA=−−，∴AECD=2(1)CBCBCA−−+22(1)(1)CBCACA−−−24(1)(1)(1)=−−+−−−232

0=−+=，解得23=或0=（不合题意，舍去），所以存在非零实数23=，使得AECD⊥.17.已知函数()()2π23cos2sinπcos32fxxxx=+−+−（1）求()fx的最小正周期；（2）求()fx的对称轴以及对称中心；（3）当π1011π,4

2024x，求()fx的最大值和最小值．【答案】（1）πT=（2）对称轴为5ππ122kx=+，Zk，对称中心为ππ(,0)62k+，Zk（3）最大值为2，最小值为1【解析】【分析】（1）运用诱导公式、降次公式、辅助角公式化简()fx，结合周期公式

计算即可.（2）运用整体性求()fx的对称轴、()fx的对称中心.（3）由x的取值范围求出整体角的取值范围，再结合正弦函数图象及性质得出结果.【小问1详解】()()22π23cos2sinπcos323sin2sincos32fxxxxxxx=+−+−=+−

π3(1cos2)sin23sin23cos22sin(2)3xxxxx=−+−=−=−，所以()fx的最小正周期为2ππ2T==.【小问2详解】令ππ2π32xk−=+，kZ，解得5ππ122kx=+，kZ，故()fx的对称轴为5ππ122kx=+，kZ，令

π2π3xk−=，kZ，解得ππ62kx=+，kZ，故()fx的对称中心为ππ(,0)62k+，kZ.【小问3详解】当π1011π,42024x时，ππ2021π2,363036x−，又2021

ππππ3036226−−，所以当ππ232x−=，即5π12x=时，()fx取得最大值为2，当ππ236x−=，即π4x=时，()fx取得最小值为1.故()fx最大值为2，最小值为1.18.在平面直角

坐标系中，已知点()1,0A和点()1,0B−，1OC=，且AOC=，其中O为坐标原点．（1）若7π4=，求3sin4cos7sin8cos−+的值；（2）若3π4=，设点D为线段OA（包括端点）上动点，求OCOD+的最小值；（3）若ππ,4

2，向量mBC=，()1cos,sin2cosn=−−，求mn式的最小值及对应的值．【答案】（1）7−的（2）22（3）当π4=时，最小0.【解析】【分析】（1）求出tan，将

目标式转化为用tan表示，然后代入tan的值计算即可；（2）设点(),0Dt，利用向量的坐标运算以及二次函数的性质计算模的最小值；（3）计算化简mn，然后利用正弦函数的性质求解最值.【小问1详解】因为7π4=，则tan1=−，则3

sin4cos3tan43477sin8cos7tan878−−−−===−++−+；【小问2详解】因为1OC=，且3π4=，则点22,22C−，设点(),0Dt，01t，则()2222,,

0,2222tOCtOD−+=+−+=，所以22122tOCOD=−++，当22t=时，OCOD+最小，且最小为22；【小问3详解】由已知点()cos,sinC，则()

cos1,sinmBC==+，又()1cos,sin2cosn=−−，所以()()()cos11cossinsin2cosmn=+−+−221cossin2cossin=−+−1cos2sin2=−−32sin2π14

=−+，因为ππ,42，所以43πππ2,44−−，则当3ππ244−=−，即π4=时，mn取最小值，且最小值为0.19.已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义非零向量(,)OMab=的“相伴函数”为sincos()yaxbxx=+R，向量(,

)OMab=称为函数sincos()yaxbxx=+R的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S（1）已知R，()cos()2coshxxx=++，若函数()hx为集合S中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；（2）已知点(,)Mab满足条件：3a=，0

3b，若向量OM的“相伴函数”()ygx=在0xx=处取得最大值，当b在区间(0,3]变化时，求0tan2x的取值范围；（3）当向量(3,1)OM=时，“相伴函数”为()fx，若110,6x，方程

2()(2)()30fxafxa+−+−=存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围.【答案】（1）[1,3]（2）[3,0)−（3）(1,3](4,5)【解析】【分析】（1）把()hx化为sincosaxbx+形式得“相伴向量”OM

，求出模后可得其范围；（2）写出“相伴函数”()ygx=，根据辅助角公式得最大值及最大值点0x，由b的范围得0x的范围，再得出02x的范围后可得0tan2x的取值范围；（3）由定义得()fx并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程2()(2)()30fxafxa+−+−=

得()1fx=或()3fxa=−，()1fx=求得两根，然后作出函数()fx，110,6x的图象，由图象可得()3fxa=−且31a−有两根的a的范围．【小问1详解】()cos()2coscoscossinsin2cossinsin(2cos)coshxxxxxx

xx=++=−+=−++，∴函数()hx的相伴向量(sin,2cos)OM=−+，22(sin)(2cos)54cosOM=++=+，∴cos1=时，max543OM=+=；cos1=−时，min541OM=−=.∴OM的取值范围为[1，3]【小问

2详解】OM的相伴函数22()sincossin()gxaxbxabx=+=++其中22cosaab=+，22sinbab=+.当22xk+=+，Zk，即022xk=−+，Zk时，()gx取得最大值，∴013tantan22tanaxkbb=−+===

，∵03b，∴0tan[3,)x+，∴0,()32xkkkZ++，∴0222,2()3xkkkZ++.∴0tan2[3,0)x−.【小问3详解】31()3sincos2(sincos)2sin226fxxxx

xx=+=+=+，当110,6x时，,266x+，由2()(2)()30fxafxa+−+−=，得：(()1)(()(3))0fxfxa−−−=，∴()1fx=或()

3fxa=−，由()1fx=，即1sin62x+=，而110,6x，解得0x=或23x=，即∴()1fx=在110,6x上有两个根，方程2()(2)()30fxafxa+−+−=在110,6x

上存在4个不相等的实数根，当且仅当()3fxa=−且31a−在110,6x上有两个不等实根，在同一坐标系内作出函数()yfx=在110,6x上的图像和直线3y

a=−，如图，方程()3(4)fxaa=−在110,6x上有两个不等实根，当且仅当函数()yfx=在110,6x上的图像和直线3(4)yaa=−有两个公共点，观察图像知：230a−−或132a−，解得13a<?或45a，所以实数a的取值

范围是(1,3](4,5).