【文档说明】四川省大数据精准联盟2021届高三下学期5月第三次统一监测文科数学试题含答案.docx，共(20)页，1.103 MB，由小赞的店铺上传

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四川省大数据精准教学联盟2018级高三第三次统一监测文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U=，集合{1,3,7,9}A=，{2,3

,5,6}B=，则()UAB=ð（）A.{4,8}B.{3}C.{1,2,3,5,6,7,9}D.{1,2,5,6,7,9}2.若2i1iz+=−，其中i为虚数单位，则z=（）A.10B.5C.102

D.523.若a，b为非零向量，则“ab⊥”是“()222abab+=+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.某年级有100名学生到甲、乙、丙、丁、戊

这5个社区参加志愿者活动，且每个人只到一个社区，经统计，并将到各社区参加志愿者活动的学生人数绘制成如下不完整的两个统计图：则到戊社区参加志愿者活动的学生人数为（）A.10B.15C.20D.255.以点(1,1)−为圆心，且与直线20xy−+=相切的圆的方程为（）A.22(1

)(1)2xy++−=B.22(1)(1)2xy−++=C.22(1)(1)8xy++−=D.22(1)(1)8xy−++=6.已知等差数列na满足4622aa+=，1957aa=，则该等差数列的公差为（）A.1或-1B.2C.-2D.2或-27.已知0ab，则下列不等式一定

成立的是（）A.22abB.2abbC.ln0abD.21ab−8.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.23B.43C.2D.839.已知双曲线2222:1(0,0)xyEa

bab−=的右焦点为F，左顶点为A，点B的坐标为(0,)b.若ABF△为等腰三角形，则E的离心率为（）A.2B.3C.21+D.31+10.满足121aa==，12(3)nnnaaan−−=+的数列na称为斐波那契数列，又称黄金分割数列.如图，依次以斐波那契数列na

各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90°的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线（也称“黄金螺旋”）.右图圆心角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段，若在该扇形内任取一点，

则该点在图中阴影部分的概率为（）A.38B.12C.58D.7811.已知函数()sin3cosfxxx=−，则下列结论正确的是（）A.函数()fx的图象关于点5,06对称B.函数()fx的图象关于直线6x=对称C.函数()fx在区间,22−上单调递增D.函数

()fx的图象与直线1y=的交点间的最小距离为2312.函数()22(0)fxxx=−+，()lnxgxxx=+.若()()12fxgx=，则212xx−的最小值为（）A.2e1−B.24e−C.4e2−D.4e1−二、填空题：本题共4小

题，每小题5分，共20分.13.已知2a=，3b=，且向量a与b的夹角为23，则2ab−=______.14.设nS为等比数列na的前n项和，且12a=，12(2)nnaSn−=，则4S=______.15.设椭圆22:195xyC+=的左，右

焦点分别为1F，2F，过2F作倾斜角为45°的直线l与C交于A，B两点（点A在x轴上方），且22(01)AFFB=，则=______.16.如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，2DBDE=，点P在线段EF上.给出下列命题：①直线PD⊥直线AC；②直线PD与平面

ABCD所成角的正弦值的取值范围是5,15；③存在点P，使得直线PD⊥平面ACF；④存在点P，使得直线//PD平面ACF.其中所有真命题的序号是______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22

、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）2021年是“十四五”开局之年，是实施乡村振兴的重要一年.某县为振兴乡村经济，大力发展乡村生态旅游，激发乡村发展活力.该县为了解乡村生态旅游发展情况，现对全县乡村生态旅游进行调研，统计了近9个月来每月到该县乡村生态旅

游的外地游客人数y（单位：万人），并绘制成右图所示散点图，其中月份代码1~9分别对应2020年7月至2021年3月.（1）用模型①yabx=+，②yabx=+分别拟合y与x的关系，根据散点图判断，哪个模型的拟合效果最好?（不必说理由）（2）根据（1）中选择的模型，求y关于x的回归方程（系数精确到0

.01）；（3）据以往数据统计，每位外地游客可为该县带来100元左右的旅游收入，根据（2）中的回归模型，预测2021年10月，外地游客可为该县带来的生态旅游收入为多少万元?参考数据：下表中iitx=，9119iitt==.yt()921iixx

=−()921iitt=−()()91iiiyyxx=−−()()91iiityyt=−−232.15603.5884.521.31参考公式：对于一组数据()11,ty，()22,ty，…，(),nnty，回归方程ya

bt=+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niiiniittyybtt==−−=−，aybt=−.18.（12分）在ABC△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2)coscos0bcAaC++=.（1）求角A的大小；（2）若2a=，求bc+的取

值范围.19.（12分）如图，由半径为2的四分之一圆面绕其半径所在直线l旋转一周，形成的几何体底面圆的圆心为O，D是几何体侧面上不在O上的动点，AB是O的直径，C为O上不同于A，B的动点，G为ABC△的重心，2AEED=.（1）证明：//EG平面B

CD；（2）当三棱锥DABC−体积最大时，求三棱锥GCDE−的体积.20.（12分）己知点(1,0)F，直线:2lx=−，P为y轴右侧或y轴上动点，且点P到l的距离比线段PF的长度大1，记点P的轨迹为E.（1）求曲线E的方程；（2）设点(1,)(0)Att

在曲线E上，C，D为曲线E上异于点A的两个动点，且直线AC，AD的斜率互为相反数，求证：直线CD的斜率为定值.21.（12分）已知函数()elnlnxfxaxaa=−−.（1）当ea=时，求()fx的单调区间：（2）若()0fx，求a的取值范围.（二）选

考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为22(2)4xy+−=.

以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设A是1C上的动点，先将点A绕点O顺时针旋转得3得到点B，再保持极角不变，极径变为原来的2倍得到点C，设点C的轨迹方程为曲线2C.（1）求曲线1C，2C的极坐标方程

；（2）设M是曲线1C，2C的公共点，P，Q分别是射线3=与曲线1C，2C的公共点，且M，P，Q都异于点O，求MPQ△的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()122fxxx=−+−.（1）解不等式()2fx

x；（2）若正实数a，a满足2ab+=，试比较221111fab+++与(1)f的大小.四川省大数据精准教学联盟2018级高三第三次统一监测文科数学命题意图及参考答案一、选择题：本题共12小题

，每小题5分，共60分.1.命题意图：本小题主要考查集合的并集、补集的概念及其运算等基础知识；考查运算求解能力。答案A.因为{1,2,3,5,6,7,9}AB=，所以(){4,8}UAB=ð.2.命题意图：本小题主要考查复数的除法运算和复

数的模的概念等基础知识；考查运算求解能力。答案C.法1：由2i(2i)(1i)13i1i(1i)(1i)2z++++===−−+，所以221310||222z=+=.法二：2222221510||1221(1)izi++====−+−.3.命题意图：本小题主要考查向

量垂直的几何意义、充要条件等基础知识；考查逻辑推理能力，化归与转化等数学思想.答案C.因为ab⊥，所以0ab=，则()222222abaabbab+=++=+，所以“ab⊥”是“()222abab+=+”的充分条件

；反之，由()222abab+=+有0ab=，所以非零向量a，b垂直，“ab⊥”是“()222abab+=+”的必要条件.4.命题意图：本小题主要考查统计图表等基础知识；考查统计思想和应用意识.答案C.由于到甲、乙、丙社区参加志愿

者活动的学生所占比例分别为15%，20%，15%，且甲社区的志愿者学生人数为15，则丙、丁社区志愿者学生人数分别为20，15，所以，到戊社区参加志愿者活动的学生数为1001520153020−−−−=.5.答案D.因直线与圆相切，所以圆的半径

等于点(1,1)−到直线20xy−+=的距离，即22|1(1)2|221(1)Rd−−+===+−，则所求圆的方程为22(1)(1)8xy−++=.命题意图：本小题主要考查直线与圆相切的性质、圆的标准方程等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化、数形

结合等数学思想.6.命题意图：本小题主要考查等差数列的性质，通项公式和公差等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化、方程等数学思想和应用意识。答案D.由194622aaaa+=+=，1957aa=，所以1a，9a是方程22257

0xx−+=的两实数根，解得193,19,aa==或1919,3,aa==所以公差9128aad−==或-2.7.命题意图：本小题主要考查不等式、函数性质等基本知识；考查化归与转化等数学思想。答案D.对于A，由0ab知，22ab不一定成立；对于B

，由2()0abbbab−=−，知2abb；对于C，取14a=，14b=−，则1ln()ln02ab−=，C也不一定成立；由ab，知21ab−，D项正确.8.命题意图：本小题主要考查多面体三视图、直观图等基础知识；考查空间想

象、运算求解能力；考查数形结合等数学思想.答案B.该几何体的直观图为如图所示的三棱锥，底面是等腰直角三角形，高为2，则体积114222323V==.9.命题意图：本小题主要考查双曲线的定义、标准方

程和几何性质等基础知识；考查运算求解、推理论证等数学能力及创新意识；考查数形结合、化归与转化等数学思想。答案D.由题|||ABc=，||AFac=+，22||BFbc=+，因为ABF△为等腰三角形，所以||||AFBF=，则22acbc+=+，化为22220caca−−=

，即2220ee−−=，解得31e=+.10.命题意图：本小题主要考查几何概型等基础知识；考查运算求解等能力；考查化归与转化等数学思想。答案C.由题，121aa==，32a=，43a=，55a=，则阴影部分面积为()()22222222221

2345112351044aaaaa+++++=++++=，扇形OAB的面积为28164=，所以在该扇形内任取一点，则该点在图中阴影部分的概率为105168=.11.命题意图：本小题主要考查三角函数图象及其性质、命题判断等基础知识；考查运算求解能力、逻辑推理能力；考

查化归与转化和数形结合等数学思想。答案D.因为()sin3cos2sin3fxxxx=−=−，结合图象易知A，B，C结论不正确；对于选项D，不妨看第一象限的交点，由2sin1(0)3xx−=，得2()2xkk=+Z或72()6xkk=+Z，依次

得到交点的横坐标12x=，276x=，352x=，4196x=，……，所以交点间的最小距离等于2123xx−=.12.命题意图：本小题主要考查函数的性质、不等式等基础知识；考查抽象概括、运算求解等数学能力；考查化归与转化等数学思想。答案C.由题120xx，且(

)()12fxgx=，2120xx−.有212222lnxxxx−+=+，则22122222lnxxxxx−=+−，令()22lnxuxxx=+−（0x且1x，()0ux）.（1）当01x时，知()0ux，不满足条件.（2）当1x时，知()0ux，由222l

nln1(2ln1)(ln1)()lnln2xxxxuxx+−−+==，令()0ux=，则1ex=，212x=（舍去），若1ex，则()0ux；若ex，则()0ux，则ex=时取得极小值()e4e2u=−，也为最小值，则()()euxu，即21

244e2xx−−，所以212xx−的最小值为4e2−.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题意图：本小题主要考查平面向量的模，两个向量的差的运算等基础知识；考查运算求解能力及应用意识.答案37.由题意，2222|2||2|2|2|||cos||1

6129373abaabb−=−+=++=，所以|2|37ab−=.14.命题意图：本小题主要考查等比数列定义、前n项和公式、递推数列等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化等数学思想。答案54.方法1：由12(2)nnaS

n−=有13(2)nnSSn−=，所以nS是以2为首项，3为公比的等比数列，所以33412354SqS===.方法2：由已知，2124aS==，3222(24)12aS==+=，4322(2412)36aS==++=，所以42412365

4S=+++=.15.命题意图：本小题主要考查椭圆的定义、标准方程、直线的方程、直线与椭圆位置关系、平面向量的数乘运算等基础知识；考查运算求解、推理论证等数学能力及创新意识；考查数形结合、化归与转化等数学思想。答案13.设()11,Axy，()22,Bxy，由题意知直线l的方程为1yx

=−.由22AFFB=，得()()11221,1,xyxy−−=−，则有12yy−=.①由221,12yxxy=−+=消去x，得23210yy+−=.所以113y=，21y=−，代入①得13=.16.答案①②④.设AC与BD相交于点O.由已知，A

CBD⊥，ACED⊥，所以ACPD⊥，①真；易知，直线PD与平面所成的角等于BDP，最小为BDF（其正弦值为55），最大为2，（即BDE），②真；若DP⊥平面ACF，则DPFO⊥，当P在线段EF上运动时，在题设条件下DPFO⊥不成立，③假

；当点P为EF的中点时，//DPOF，④真.命题意图：本小题主要考查直线与平面所成的角、直线与平面平行判定定理、直线与平面垂直判定定理、性质定理等基础知识；考查逻辑推理、空间想象能力；考查化归转化等数学思想.16.答案3.方法1：设()11,Axy，()22,Bxy，由题意可设直线l

的方程为2(0)xtyt=+.由2212AFFB=，得()()112212,2,2xyxy−−=−，则有122yy−=.①由222,195xtyxy=++=消去x，得()225920250tyty++−=.则12220

59tyyt+=−+，②；1222559yyt=−+.③由①②得122059tyt=+，224059tyt−=+代入③得213t=即33t=，则l的斜率为3.方法2：设()11,Axy，()22,Bxy，则21123

3AFaexx=−=−，222233BFaexx=−=−.由2212AFFB=，得()()112212,2,2xyxy−−=−，即1226xx+=，①由2212AFFB=，得1221233323xx−=−，即12429xx−=.②由①②得1218x=，21

112153,51898xxy==−=，则23AFk=，则直线l倾斜角为60°.方法3：如图，设直线l的倾斜角为，9:2mx=为椭圆的右准线，过点A作1AAm⊥交m于点1A，过点A作2AA垂直于x轴，且交x轴于点2A，过点B作1BBm⊥交m于点1B，过点B作2BB垂直

于x轴，且交x轴于点2B，则有2212235cos22AFAAAFAF+=+=，即252cos3AF=+；1222235cos22BBBFBFBF−=−=，即2532cosBF=−.而2212AFFB=，则222BFAF=，即51032cos32cos=−+，

解得1cos2=，则直线l的斜率为3.命题意图：本小题主要考查椭圆的定义、标准方程、直线的方程、直线与椭圆位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证等数学能力及创新意识；考查数形结合、化归与转化等数学思想.三、

解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17.（12分）命题意图：本小题主要考查回归方程、统计案例等基本知识；考查统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识.（1）模型②ˆyabx=+的拟合效果最好.（2）令tx=，知y与t可用线性方ˆya

bt=+拟合，则()()()9192121.31ˆ5.9533.58iiiiittyybtt==−−==−，ˆ235.9532.1510.20aybt=−=−，所以，y关于t的线性回归方程为10.205.95y

t=+，故y关于x的回归方程为10.205.95yx=+.（3）2021年10月，即16x=时，10.205.951634y=+=（万人），此时，外地游客可为该县带来的生态旅游收入为3400万元.18.（12分）命题意图：本小题主要考查正余弦定

理及其应用、特殊角的三角函数值、两角和差的正余弦公式应用等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；化归与转化数学思想.（1）由(2)coscos0bcAaC++=，根据正弦定理有(2sinsin)cossincos0BCAAC++=.所以2sincossincossincos0B

ACAAC++=，所以2sincossin()0BACA++=，即2sincossin0BAB+=.因为0B，所以sin0B，所以1cos2A=−，因为0A，所以23A=.（2）由（1）知23A=，所以

3BC+=，则033CBB=−，由正弦定理：sinsinsinabcABC==得232sinsinsin33bcBB==−，所以4sinbB=，4sin23cos2sin3cBBB=−

=−.所以4sin23cos2sinbcBBB+=+−2sin23cosBB=+134sincos22BB=+4sin3B=+.因为03B，所以3sin123B

+，所以当6BC==时，bc+的最大值为4.19.（12分）命题意图：本小题主要考查旋转体、直线与平面平行的判定、三棱锥体积、三角形重心性质、球体等基础知识；考查逻辑推理、运算求解

、空间想象等能力及创新意识；考查化归转化、数形结合等数学思想。（1）连接AG并延长交BC于F点，连接DF，因为G为ABC△的重心，所以23AGAF=.因为2AEED=，所以23AEAD=，则AEAGADAF=，所以//EGDF.又EG面BCD，DF面BCD，所以//EG面.BCD（2）

当三棱锥DABC−体积最大时，平面ABD⊥平面ABC，且ABC△和ABD△为等腰直角三角形，则22ACBCADBD====.所以()()222333GCDEOCDEOACDOACEDAOCEAOCVVVVVV−−−−−−==−=−2112

21833333927AOCAOCAOCSDOSDOSDO=−==△△△.20.（12分）命题意图：本小题主要考查拋物线的定义、直线的斜率、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查逻辑推理、运算求解等数学能力；考查数形结合、化归与转化、分类与整合等数

学思想。（1）由已知，线段PF的长度等于P到0:1lx=−的距离，则点P的轨迹是以(1,0)F为焦点，0:1lx=−为准线的抛物线，所以E的方程为24yx=.（2）将1x=代入24yx=得2t=，易知直线CD斜率存在，设为k，知0k，直线CD方程为ykxb=+.由24,yx

ykxb==+得222(24)0kxbkxb+−+=.则242CDbkxxk−+=，22CDbxxk=.①易知，2211DDADDDykxbkxx−+−==−−，2211CCACCCykxbkxx−+−==−−，因为直线AC，AD的斜率互为相反数，

所以()()()2(2)2(2)2201111CDCDCDACADCDCDkxxbkxxbkxbkxbkkxxxx+−−+−−+−+−+=+==−−−−，变形可得()2(2)2(2)0CDCDkxxbkxxb+−−+−−=.②联立①②得2(1)20kbkb+−+−=，所以1k=−或2kb=−.

若2kb=−，则CD的方程为2(1)2ykxkkx=+−=−+，恒过(1,2)A，不合题意，所以1k=−，即直线CD的斜率为定值-1.21.（12分）命题意图：本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、函数单调性、函数极值与最值等基础知识；查推理论证、运算求解

等数学能力和创新意识；考查分类与整合、函数与方程及数形结合等数学思想。（1）ea=时，()eelnexfxx=−−，其中0x，则e()exfxx=−，可知()fx为(0,)+的增函数，且()'

10f=，当01x，()0fx，()fx单调递减；当1x，()0fx，()fx单调递增，所以，()fx的单调递减区间为(0,1)，递增区间为(1,)+.（2）由题知0x，0a，()exafxx=−，可知()fx在区间(0,)+为单调递

增函数，且当0x→时，()0fx，当x→+时，()0fx，（此处也可利用函数exy=与ayx=图象在第一象限有交点来描述）所以，存在0(0,)x+，使得()00fx=，即00exax=，当()00,xx时，()0fx，()fx在()00,x上单调递减；

当()0,xx+时，()0fx，()fx在()0,x+上单调递增，所以，()0min0000()elnlnlnln0xafxfxaxaaaxaax==−−=−−即001lnln0xax−−

，由00exax=，得00exax=，即00lnlnaxx=+，所以00001lnln0xxxx−−−，即00012ln0xxx+−，由于1()2ln1uxxxx=+−+为(0,)+的单调递增函数，且(1)0u=，则有001x，因为()exvxx=为(0,1]

上的增函数，则当(0,1]x时，()(0,e]vx，所以a的取值范围为(0,e].（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）命题意图：本小题主要考查曲线的直角坐标方程

与极坐标方程的互化、极角与极径的几何意义等基础知识；考查逻辑推理、运算求解等数学能力；考查化归与转化、数形结合等数学思想.（1）将cos,sinxy==代入22(2)4xy+−=，化简得4sin=.设点C的极坐标为(

,)，依题意可知,2B，,23A+.因为点A在曲线1C上，带入其方程可得4sin23=+，即8sin3=+.故曲线1C，2C的极坐标方程分别为4sin=，8sin3=

+.（2）联立4sin,8sin3==+可得4,2M；将3=代入4sin=中，得23,3P；将3=代入8sin3=+中，得43,3Q

.显然，6MOPMOQ==.故MPQOMQOMPSSS=−△△△11sinsin2322OMOQMOQOMOPMOP=−=.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）命题意图：本小题主要考查含绝对值的不等式、基本不等式、不等式

证明方法等基础知识；考查运算求解、推理论证等数学能力；考查分类与整合、化归与转化等数学思想.（1）由题()|21||2|fxxx=−+−当12x时，()212332fxxxxx=−+−+=−+，得35x，此时不成立；当122x时，()21212fxxxxx=−−+=

+，得1x，此时取12x；当2x时，()212332fxxxxx=−+−=−，得3x，此时取23x.综上，不等式的解集为13xx.（2）()()()()()()2222222222222111

1211111111abababababab++−+++++−=−=++++++()()2222111abab−=++.因为正实数a，b满足22abab=+，即有1ab，则()()22221011abab−

++，所以2211111ab+++，由（1）已知函数()fx为[1,)+的增函数，所以2211(1)11ffab+++.