【文档说明】内蒙古自治区赤峰市赤峰二中2020-2021学年高二下学期第二次月考数学试题（理科）答案.docx，共(21)页，906.265 KB，由小赞的店铺上传

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理科试题参考答案1．B【分析】由两直线垂直求得a的值，然后由充分必要条件的定义判断．【详解】12ll⊥的充要条件是(1)20aa−−=，解得2a=或1a=−，所以“2a=”是“12ll⊥”的充分不必要条件．故选：B．2．C【分析】()()()8i12i3i623

iabbb+=+−=++−，然后建立方程组求解即可.【详解】由题意得()()()8i12i3i623iabbb+=+−=++−，∴86,23,bab=+=−，解得2,1,ba==，故选：C3．D【分析】根据程序执行的结果，由程序逻辑列

出执行步骤及其结果，结合循环体各次迭代所得结果判断条件即可.【详解】由程序框图，其执行结果如下：1、0,0Sn==：2,2nS==，执行循环体；2、2,2Sn==：4,6nS==，执行循环体；3、6,4Sn==：6,12nS==，执行循环体；4、12,6Sn==：8,20nS=

=，执行循环体；5、20,8Sn==：10,30nS==，跳出循环体，输出30S=；∴框内条件应为10n≥.故选：D.4．B【分析】确定系统抽样每组的人数，由此可确定随机数，得到所抽取的分数，由此得到所求人数.【详解】将3

0人平均分为6组，则每组5630=人，113分为第1组第4位，则抽得的分数分别为：113、122、127、131、136、145.成绩在122,138上被抽到4人.故选：B.5．B【分析】由()1001100.35

P=,根据对称性得出()1101200.35P=，由此求得该班学生数学成绩在120分以上的概率，问题得解．【详解】因为数学成绩()2~110,N，所以由(100110)0.35P=剟可得：()1101200.35P=，所以该班学生数学成绩在120分以上的

概率为：()()112010.350.350.152P=−−=，所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为：0.15609=（人）故答案为：9.【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩的概率分布关于110=对称，利用对称写出要用的

一段分数的概率，题目得解．6．D【分析】设甲到的时间为x，乙到的时间为y，画图，利用几何概型求解即可.【详解】设甲到的时间为x，乙到的时间为y，则8:0010:00x，并且8:0010:00y，如图：因为车每隔半小时发一班，并且先到者最多等一

班车，说明甲在8:008:30内到时，乙在8:009:00之内到都满足甲乙坐同一班车，图中阴影部分是甲，乙坐同一班车的时间段.所以P（甲，乙坐同一班车）105448==，故选：D.【点睛】关键点睛：本题主要考查几何概型，分析题意，画出图像是解决本题的关

键.7．A【分析】由()()47270127(2)(2)(2)2221aaxaxaxxx+++++++=+−++−，再利用二项展开式的通项公式，求得3a的值．【详解】由47270127(

1)(2)(2)(2)xxaaxaxax++=+++++++()()472221xx=+−++−，则()()4143472183527aCC=−+−=−+=.故选：A.【点睛】关键点点睛：对式子进行变形，结合展开式的通项公式，系数性质是解题的关键．8．A【分析】依题意

可知A同学正确数量满足二项分布112,4B，B同学正确数量满足二项分布112,3B，利用二项分布的方差计算公式分别求得两者的方差，相减得出正确结论.【详解】设A学生答对题的个数为m，则得分5xm=（分），112,4mB，()13912444Dm=

=，所以()92252544DX==，同理设B学生答对题的个数为n，可知112,3nB,()12812333Dn==，所以()82002533DY==，所以()()2002251253412DYDX−=−=.故选A.【点睛】本

小题主要考查二项分布的识别，考查方差的计算，考查阅读理解能力，考查数学在实际生活中的应用.已知随机变量X分布列的方差为DX，则aXb+分布列的方差为2aDX.9．A【分析】先利用垂直关系证明ABAP⊥，结

合线线成角在RtPAB中求得1PA=，证得PAD△是等边三角形，再根据外接球的定义过两个平面图形的中心作垂线找到外接球球心，最后利用边长关系和表面积公式进行计算即可.【详解】如图所示四棱锥PABCD−，平面PAD⊥平面ABCD，PAPD=，

取AD中点E，则PEAD⊥，PE⊥平面ABCD，故PEAB⊥，又ADAB⊥，可知AB⊥平面PAD，故ABAP⊥.依题意，底面ABCD是矩形，直线PB与CD所成角的余弦值为255，即直线PB与AB所成角ABP的余弦值为255，故RtPAB中，25cos5ABABPPB

==，由2AB=知，5PB=，故1PA=，又由PAPD=，1AD=知，PAD△是等边三角形，故PE的三等分点F（距离E近的三等分点）是三角形中心，过F作平面PAD的垂线，过矩形ABCD的中心O作平面ABCD的垂线，两垂线交于点I，则I即外接球球心.11333326OI

EFPE====，1522AOAC==，设外接球半径R，则222222534263RAIAOOI==+=+=，所以四棱锥PABCD−的外接球表面积为24164433SR

===.故选：A.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的

点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.10．B【分析】将6名志愿者分成4组，根据分组方法可确定共65种分组方法；将4组志愿者分到4个社区，结合分步乘法计数原理可计算求得总的安排种数；利用分组

分配的方法可求得甲、乙在同一社区的方法种数，利用总的安排种数减掉甲、乙在同一社区的方法种数即可得到结果.【详解】把6名志愿者分成4组，每组至少1人，则有1,1,1,3，1,1,2,2两种分组方式，则共有11111265465432232

2204565CCCCCCAAA+=+=种分组方法；再将分好的4组志愿者分到4个社区，共有446565241560A==种安排方法；其中，甲、乙在同一社区的有：21144244221024240CCCAA+==种，不同的安排方法共有15602401320−=种

.故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查排列组合的应用，常见的排列组合问题求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）平均分组问题先选好人后，平均分了n组，则除以nnA；（5）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排

列，然后除以有限制元素的全排列数.11．A【分析】先利用点到直线的距离公式计算FNb=，得到3MNb=，OFc=，ONa=，在RtNOF和RtNOM中计算,NOMNOF的正切值，再结合2NOMNOF=和正切的二倍角公式化简计算得到22b

a，即得到221bea=+.【详解】如图所示，3MNFN=，FNON⊥，(),0Fc，渐近线:bONyxa=，即0bxay−=，焦点F到渐近线ON的距离22bcbcFNbcab===+，则3MNb=，而OFc=，故ONa=.RtNOF中，ta

nFNbNOFONa==，RtNOM中，3tanMNbNOMONa==.由渐近线对称性可知2NOMNOF=，故22tantantan21tanNOFNOMNOFNOF==−，故2231bbaaba=−

，化简得2213ba=，所以222221231133abbeaa+==+=+=.故选：A.【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的值或取值范围的常见方法：（1）直接法：由a，c直接计算离心率cea=；（2）构建齐次式：利用

已知条件和双曲线的几何关系构建关于a，b，c的方程和不等式，利用222bca=−和cea=转化成关于e的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.12．D【分析】原不等式化为3ln6xkxx−，设

()()3ln,6xgxhxkxx==−，画出函数图象，结合函数图象列不等式求解即可.【详解】由()23ln60fxxkxx=−+，得3ln6xkxx−，设()()3ln,6xgxhxkxx==−，()()231lnxgxx−=，(

)()00,0gxxegxxe所以()gx在()0,e的上单调递增，在(),e+单调递减，而()6hxkx=−的图象是一条恒过点()0,6−的直线，函数()gx与()hx的图象如图所示，依题意得，01m，若(),mn中只有两个整数，

这两个整数只能是1和2，则()()()()2233ghgh，即3ln2262ln336kk−−，解得6ln3123ln234k++，故k的最小值为6ln33+，故选：D.【点睛】方法点睛：函数图象是函数的

一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．13．7【分析】计算4x=，故1.230.085yx

=+=，代入计算得到答案.【详解】2345645x++++==，故1.230.085yx=+=，故2.23.85.56.555py++++==，解得7p=.故答案为：7.【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能

力.14．79【分析】根据古典概型的概率计算公式，先计算总的基本事件数：甲不跑第一棒的基本事件数：1333CA，再确定所求事件：甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的的基本事件数：13123322CAAA−，即可得到答案.【详解】由题得甲不跑第

一棒的总的基本事件数：133318CA=，甲不跑第一棒，乙跑第二棒的基本事件有12224AA=，所以甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有1312332214CAAA−=，所以由古典概型的概率公式得：在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是：147189P==.故答案为：

79.【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用、利用排列组合计算基本事件数，解题关键在于求甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件数时，利用正难则反的思想，先计算甲不跑第一棒，乙跑第二棒的基本事件数，再用总的基本事件数减去这个结果即为所求.15．3【分析】先由余弦定理求得13B

C=，再由正弦定理求得239sin13ABC=，再由正弦定理求得4CDBD=，设BDx=，则4CDx=，用余弦定理可得关于x的方程，解方程可得x，进而可求得BCD的面积.【详解】因为3AB=，4AC=，π3A=，由余弦定理得，191623

4132BC=+−=，所以239sinsin13ACABCABC==，则sin4sinCDDBCBDBCD==.设BDx=，则4CDx=，因为13cos13ABC=，所以13cos13DBC=−，由余弦定理得22131613213

13xxx=++，即2152130xx−−=，解得1x=或1315−（舍），所以1BD=，4CD=，则1394133226BCDS==△.故答案为：3.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由正弦定理求得4CDB

D=，设BDx=，则4CDx=，用余弦定理可得关于x的方程，解方程可得x，进而求得4CD=.16．434−【分析】抛物线28yx=的焦点为()2,0F，准线方程为2x=−．由题意得max||1PQPF

=+，所以2||||PAPQ2||1PAPF+，即2||||PAPQ的最小值为2||1PAPF+．令1tPF=+，则点P的横坐标为23PxPFt=−=−，由此得2||PA222(3)(3)8PPPPxyxx=−+=−+2(6)

8(3)tt=−+−，然后再根据基本不等式求解可得结果．【详解】由题意得抛物线28yx=的焦点为()2,0F，准线方程为2x=−．又点P是抛物线上一点，点Q是圆()2221xy−+=上任意一点，∴max||1PQPF=+，∴22||||1PAPAPQPF+．令1t

PF=+，点P的坐标为(,)PPxy，则23PxPFt=−=−，∴2||PA22222(3)(3)8(33)8(3)412PPPPxyxxtttt=−+=−+=−−+−=−+，∴22||41212124244341PAttttPFttt−+==+−−=−+，当且仅当12tt=，即23t=时等号

成立．∴2||||PAPQ的最小值为434−．故答案为434−．【点睛】本题考查抛物线定义及其应用，点与圆的位置关系、距离等问题，解题的关键是首先得到2||||PAPQ的最小值，然后再根据基本不等式求出在最小值的最小值．考查推理论证和转化思想的运用及计算能

力，属于中高档题．17．（1）131nan=−；（2）()232nnTn=+【分析】（1）由11nnnSSa−=−可求出；（2）利用裂项相消法求解即可.【详解】解：（1）当1n=时，1112Sa==，当2n时，()()221311133122nnnnnnnSSna−−+−

+=−=−=−，则131nan=−，当1n=时也满足，数列na的通项公式为：131nan=−；（2）由（1）可知()()11111313233132nnnbaannnn+===−−+−+1231nnnTbbbbb−=++

+++111111111113255881134313132nnnn=−+−+−++−+−−−−+()1113232232nnn=−=++.数列nb的前n

项和()232nnTn=+.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于nnab结构，其中na是等差数列，nb是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于+n

nab结构，利用分组求和法；（4）对于11nnaa+结构，其中na是等差数列，公差为d，则111111nnnnaadaa++=−，利用裂项相消法求和.18．（1）E为PB的中点；（2）255.【分析】（1）

直线//CE平面PAD时，平面DCE与平面PAD的交线与CE平行，注意到DC与平面PAB平行，12DCAB=，因此E是PB中点，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）以A为坐标原点，以AD，AB，AP分别为,,xyz轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz−，由空间向量法求二面角确定E点位置，再由线面

角的余弦．【详解】解：（1）E为PB的中点.取PA的中点F，连EF､FD，E为PB的中点，即1//,2EFABEFAB=，又1//,2CDABCDAB=，则四边形CDFE为平行四边形，故//CEDF，DFPADCEPAD平面，平面，故

//CE面PAD.（2）以A为坐标原点，以AD，AB，AP分别为,,xyz轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz−，如图所示，则()()()()0,0,0,0,0,1,0,2,0,1,1,0APBC.设(),,Exyz，则()(),,1,0,2,1PExyzPB=−

=−.E在棱PB上，可设PEPB=(01).故()(),,10,2,1xyz−=−，解得021xyz===−，即()0,2,1E−.设平面PAC的法向量为()111,,uxyz=，()()0,0,1,1,1,0APAC==，·0·0

uAPuAC==，即11100zxy=+=，取11x=，则()1,1,0u=−.设平面EAC的法向量()222,,vxyz=，()()0,2,1,1,1,0AEAC=−=，·0·0vAEvAC==

，即()22222100yzxy+−=+=，取21x=，则21,1,1v=−−.二面角EACP−−的正弦值为63，则余弦值为33，3cos,3uv=，即()221,1,01,1,13322111uvuv→→→→−−−==

++−，即211=−.又01，解得12=，即10,1,2E，10,1,2AE=.z轴⊥平面ABCD，平面ABCD的一个法向量为()0,0,1m=，

设AE与平面ABCD所成角为，则2152sin51112mAEmAE===+.故AE与平面ABCD所成角的余弦值为255.【点睛】方法点睛：本题考查空间向量法求异面直线所成的角，求二面角．求空间角的方法：（1）几何法（定义法）：

根据定义作出空间的平面角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角）并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直线方向向量的夹角得异面直线所成角（相等或互补），直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对

值得直线与平面所成角的正弦值，两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．19．(1)有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关；（2）①1213；②答案见解析.【分析】（1）根据题意计算27.56.

635K=，故有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关；（2）①根据题意，选取的8人中，男生6人，女生2人，进而根据条件概率求解即可；②根据题意，X服从超几何分布，进而根据超几何分布求解即可.【详解】解：（1）因为()22

120602020207.56.63580408040K−==，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关.（2）①根据分层抽样方法得，选取的8人中，男生3864=人，女生1824=人，记事件A=“选出的两人中有女生”，共有2286

13CC−=或21126213CCC+=种不同的选法，B=“选出的两人为一名男生､一名女生”，共有116212CC=种不同的选法，则()()()1111626222211862621213nABCCCCPBAnACCCCC====−+②根据题意，X所有可能取值为0,1,2

()262815028CPXC===()1162281231287CCPXC====()22281228CPXC===所以X的分布列为X012P152837128()15121141012282828282EX=++==(或X服从超几何分布，

8N=，2M=，2n=，()21282MEXnN===.)【点睛】本题考查独立性检验，条件概率，超几何概型，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意得选取的8人中，男生6人，女生2人，进而X服

从超几何分布，再根据超几何概型求解即可.20．（1）2214xy+=；（2）32,225.【分析】(1)由椭圆的定义及离心率的意义求出a，b即可得解；(2)按直线l1的斜率是否存在及是否为

0的三种情况讨论，分别求出AC，BD长，再建立起S的函数关系，探讨其值域即可得解.【详解】（1）由椭圆定义知2a=4，即a=2，又离心率32cea==得半焦距3c=，2221bac=−=，所以椭圆M的标准方程为：2214xy+=；（2）由(

1)知点1(3,0)F−，①当直线1l的斜率为0时，直线1l的方程为0y=，则24ACa==，直线2l的方程为3x=−，则2l与椭圆M的二交点坐标为13,2−，13,2−−，此时1BD=，可得1141222SACBD===；②当直线1l的斜率不存

在时，直线1l的方程为3x=−，则1l与椭圆M的二交点坐标为31(,)22−，31(,)22−−，此时1AC=，直线2l的方程为0y=，则24BDa==，可得1114222SACBD===；③当直线1l的斜率存在且不为0时，设直线1l的斜率为()0kk，则直线()1

:3lykx=+，由22(3)14ykxxy=++=得()222214831240kxkxk+++−=，216160k=+，设()()1122,,,AxyBxy，则2212122283124,1414kkxxxxkk−+=−=++，所以()222121212114

ACkxxkxxxx=+−=++−()()2222222412441831141414kkkkkkk−+−=+−=+++，同理可得()22414kBDk+=+，所以()()()()224224242

22228182111818224241744174414417kkkkSACBDkkkkkkkk+++====−=−++++++++．由于22448kk+（当1k=时取等号），22441725kk++，22110425417kk++，2218180425

417kk++，22321822425417kk−++，所以32225S，综合①②③可知，四边形ABCD面积的取值范围是32,225．【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的

距离212||1||kABxx=−+；直线l：x=my+t上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离212||1||ABmyy=+−.21．（1）12t=，()fx在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增；（2）证

明见解析.【分析】（1）由极值点与导数的关系，求出t的值，再根据0fxfx()()即可求函数单调性；（2）先将()22ln2ln2xtxfxexex−−=−+−+放缩，转化为求2()ln+2xgxex−=−的最小值即可证明.【

详解】（1）函数()fx的定义域(0,)+，因为21()xtfxex−=−，1x=是()fx的极值点，所以f（1）1210te−=−=，所以12t=，所以11()xfxex−=−，因为1xye−=和1yx=−在(0,)+上单调递

增，所以()fx在(0,)+上单调递增，所以当1x时，()0fx；01x时，()0fx，所以()fx在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增.（2）当1t时，()22ln2ln2xtxfxexex−−=−+−+，设2()ln+2xgxex

−=−，则21()xgxex−=−，因为2xye−=和1yx=−在(0,)+上单调递增，所以()gx在(0,)+上单调递增，因为()1110eg=−，()11210,22g=−=所以存在0(1,2)x使得0()0gx=，所以当00xx时，()0gx，当0xx时，(

)0gx，所以()gx在0(0,)x单调递减，在()0,x+上单调递增，所以()()0gxgx，因为0()0gx=，即0201xex−=，所以00ln2xx=−，所以0200001()l+2n

xgxexxx−=−=+，因为0(1,2)x，所以0001()2gxxx=+，所以()2fx.【点睛】本题主要考查函数的极值与导数的关系、利用导数研究函数的单调性，放缩法证明不等式及利用函数单调性研究不等式恒成立问题，属于能力提升题.22．（1）1C的极坐标方程为：()22

cos230−−=，0,π，2C的直角坐标方程为：3360yx+−=；（2）64.【分析】（1）由曲线1C的参数方程消去参数t可得1C的普通方程，即可得出极坐标方程，再将2C的极坐标方程化简可得出直角坐标方程；（2）将π6=分别代入1C和2C的极坐

标方程可求得,AB极坐标，即可求出面积.【详解】解：（1）由题意得：()2222310xttyy==−，消去t，∴2213xy+=()0y∴2222cos3sin30+−=即2222sin30+−=化简为：()22cos230

−−=，0,π∴1C的极坐标方程为：()22cos230−−=，0,π，由πsin36+=得：31sincos322+=∴313022yx+−=即：3360yx+−=∴2C的直角坐标方程为：3360yx+−=（2）由()2π62cos2

30=−−=得：2=，∴π2,6A，由π3πsin36=+=得：=3，∴π3,3B，1ππsin236AOBABS=−△1π23sin26=64=.【点睛】关键点睛：本题考查极坐标方程的

化简与应用，解题的关键是正确理解极坐标的几何意义.23．（1）32xx−∣…；（2）(0，1).【分析】(1)去掉绝对值号得3,2,()21,213,1.xfxxxx−=−−−−„…，分成1

x…和21x−两种情况解不等式()2fx„.(2)由(1)可得|()|0fx…，从而可得20aa−，进而可求出实数a的取值范围.【详解】解：（1）3,2,()1221,213,1.xfxxxxxx−=−−+=−−−−„…，当1x…时，()2fx

„；当21x−时，由212x−−„，得32x−….综上所述，不等式()2fx„的解集M为32xx−∣….（2）由（1）得，当xM时，()2fx„，那么|()|0fx…，从而可得20aa−，解得，01a，即实数a的取值范围是(0，1).24．（1

）)1,−+；（2）(,1−.【分析】（1）将1a=代入()fx，零点分段法去绝对值，分段求解最后求并集即可；（2）当(),1x−−时，20x−恒成立，分情况讨论当1a时和1a时，xa+的正负，去绝对值，代入()fx判断()0fx是否恒成立，从

而求出a的范围.【详解】（1）当1a=时，()()2222,212122,1222,1xxfxxxxxxxxx−=++−+=+−−+−，()0fx等价于22202xx−或22012xx+−或22201xx−+−解得2x或-12x或，

所以不等式()0fx的解集为)1,−+；（2）当(),1x−−时，20x−，()()()()2222fxxaxxxaxaxaxxa=++−+=++−−+，且()0fa−=，当1a时，0xa+

，()()()()()()2222222221fxxaxaxxaxaxaxxa=−++−−+=−+−+=−++，()()()0210fxxxa−++，因为10x−+，而0xa+，所以()0fx恒成立，所以1a满足题意；

当1a时，()()()()2,121,xaaxfxxxaxa+−−=−++−当1ax−−，0xa+，此时()0fx不恒成立，故不满足题意；综上，实数a的取值范围是(,1−.【点

睛】思路点睛：（1）解绝对值不等式常用的方法是零点分段法，去绝对值分段求解；（2）绝对值内含参数的绝对值不等式，常用分类讨论的方法去绝对值，再分情况讨论求解.