【文档说明】四川省内江市第二中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题 含解析 .docx，共(24)页，1.642 MB，由管理员店铺上传

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内江二中高2025届高二上期第二次月考数学试题一．选择题（共8小题）1.直线310xy++=的斜率为A.3B.3−C.33D.33−【答案】D【解析】【分析】由题将直线化成斜截式，可得答案.【详解】由题将直线

的化简可得3333yx=−−，所以斜率为33−故选D【点睛】本题考查了直线的方程，一般式化为斜截式，属于基础题.2.已知椭圆C：2211xymm+=+的离心率为12，则m=（）A.13B.1C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的性质计算即可.【详解】由题意

可知11312mmemm+−===+.故选：C3.设m､n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（）①若,//mn⊥，则mn⊥②若,⊥⊥，则//③若//,//mn，则//mn④若//,//,m⊥，则m⊥A.①和②

B.①和④C.③和④D.②和③【答案】B【解析】【分析】①运用线面平行、垂直的性质定理即可判断①；②运用面面垂直的判定和性质定理，即可判断②；③运用线面平行的性质定理，即可判断m，n的位置关系；④运用面面平行的传递性和线面垂直的性质定理，即可判断④．

【详解】①由于n∥α，由线面平行的性质定理得，n平行于过n的平面与α的交线l，又m⊥α，故m⊥l，即m⊥n，故①正确；②若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，也可能平行，故②错；③若m∥α，n∥α，由线面平行的性质定理，即得m，n平行、相交或异面，故③错；④若α∥β，β∥γ，m⊥α

，则面面平行的传递性得α∥γ，由线面垂直的性质定理得，m⊥γ，故④正确．故选：B．【点睛】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质定理，考查面面平行、垂直的判定和性质定理的运用，是一道基础题．4.已知点()1,

3P与直线l：10xy++=，则点P关于直线l的对称点坐标为（）A.(3,1)−−B.(2,4)C.(4,2)−−D.(5,3)−−【答案】C【解析】【分析】设点P关于直线l的对称点坐标(),ab，即可得到方程组，解得即可.【详

解】解：设点()1,3P关于直线l：10xy++=的对称点坐标为(),ab，所以3111131022baab−−=−−++++=，解得42ab=−=−，即对称点坐标为()4,2−−；故选：C5.中国南北朝

时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，高为23，一个不规则的几何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（

）A.7332B.163C.183D.21【答案】D【解析】【分析】首先求出正六棱台的上、下底面面积，再根据台体的体积公式求出正六棱台的体积，根据祖暅原理可得.【详解】因为正六棱台的上下底面为正六边形，所以23336142S==上，23626

34S==下，所以1333363632321322V=++=六棱台，由祖暅原理知该几何体的体积也为21.故选：D．6.12,FF是椭圆22197xy+=的两个焦点，A为椭圆上一点，且1245AFF=，则三角形12AFF的面积为（）A.7B.74C.72D.752【答

案】C【解析】【分析】由椭圆的定义结合余弦定理求得1AF，再由三角形面积公式求解即可.【详解】由已知3a=，972c=−=，设1AFm=，则26AFm=−，由余弦定理得()222(6)22222cos45mmm−=+−，解得72m=，则三角形12

AFF的面积17722sin45222S==.故选：C．7.已知点F为椭圆C:2212516xy+=的右焦点，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆22:(3)1Mxy++=上的动点，则PFPQ的最小值是（）A.12B.29C.23D.83

【答案】B【解析】【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得PFPQ的最小值.【详解】如下图所示：在椭圆:C2212516xy+=中，5,4,3abc===，则()3,0F，圆22:(3)1Mxy++=的圆心()3,0M−，半径1r=，圆心()3,0M−为椭圆C的左焦点

，由椭圆定义可得210PFPMa+==，10PFPM=−，由椭圆的几何性质可得acPMac−+，即28PM，由圆的几何性质可得1PQPMQMPM+=+，所以101111211111819PFPFPMPQPMPMP

M−==−−=++++，所以PFPQ的最小值是29.故选：C.8.已知圆224xy+=上有四个点到直线yxb=+的距离等于1，则实数b的取值范围为（）A.()2,2−B.2,2−C.()2,2−D.()1,1−【答案】A【解析】【分析】若圆

上有4个点到直线的距离等于1，则O到直线yxb=+的距离d小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案.【详解】由圆的方程224xy+=，可得圆心为原点(0,0)O，半径为2，若圆上有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线yxb=+的距离d小于1，又直线的一般方程为0xyb−+=，||12bd=，

解得22b−，所以实数b的取值范围为()2,2−.故选：A.二．多选题（共4小题）9.如图所示，四边形ABCD为梯形，其中//ABCD，2ABCD=，M，N分别为ABCD，的中点，则结论正确的是（）A.12ACADAB=+B.1122CMCACB=+C14MNADAB=+D.12BCADA

B=+【答案】AB【解析】【分析】根据给定条件，可得四边形AMCD为平行四边形，再结合向量线性运算逐项分析计算作答.【详解】对于A，四边形ABCD为梯形，//ABCD，2ABCD=，M为AB中点，即有AMCD=，.则四边形AMCD为平行四边形，12ACADAMADAB=+=+，A正确；

对于B，MAB中点，1122CMCACB=+，B正确；对于C，N为CD的中点，111224MNMAADDNABADDCADAB=++=−++=−，C不正确；对于D，由选项A知，MCAD=，12BCMCMBADAB=−=−，D不正确.故选：AB10.下列选项正确的是（）

A.若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线一定平行B.若直线210axy−+=与直线20xay+−=垂直，则0a=C.若直线210axy+−=与直线820xaya++−=平行，则4a=−D.若直线l的一个方向向量是()1,3a=−，则直线l的倾斜角是π3【答案】AC【解析

】【分析】根据两直线的倾斜角相等且不重合可对A项判断；由直线210axy−+=和直线20xay+−=垂直，从而求出0a=或1a=，即可对B项判断；直线210axy+−=和直线820xaya++−=平行，利用两直线平行知识可对C项判断；知道直线l的方向向量()1,3a=−，从而可求

解出倾斜角，即可对D项判断.【详解】对于A项：两直线的倾斜角相等且不重合，可得两直线平行，故A项正确；对于B项：由直线210axy−+=和直线20xay+−=垂直，得：20aa−=，解得：0a=或1a=，故B项错误；对于C项：直线210axy

+−=和直线820xaya++−=平行，当0a=时，得直线：210y−=与直线820x+=不平行，当0a时，得：8212aaa−=−−−，解得：4a=−或4a=，经检验当4a=时两直线重合不符题意，故4a=−，故C项正确；为

对于D项：知直线l的方向向量为()1,3a=−，得：()1,3a−=−，所以得直线的斜率为3−，倾斜角为2π3，故D项错误.故选：AC.11.已知点A，B在圆22:4Oxy+=上，点P在直线:250lxy+

−=上，则（）A.直线l与圆O相离B.当23AB=时，PAPB+的最大值是252+C.当PA、PB为圆O的两条切线时，()OAOBOP+为定值D.当PA、PB为圆O的两条切线时，直线AB过定点【答案】ACD【解析】【分析】对A选项：

计算圆心到直线的距离与半径比较即可；对B选项：设出AB的中点D，将求PAPB+转化为求||PD即可得；对C选项：结合RtPAO△、RtPBO△，有cosOPPOAOA=、cosOPPOBOB=，即可计算；对D选项：设出P点坐标，结合性质算出直线AB方程，计算出定点即可得.【详解】对于

A：因为O到直线l的距离2255221d−==+，即直线l与圆O相离，A正确；对于B，令AB的中点为D，则ODAB⊥，2214312ODOAAB=−=−=，点D在以O为圆心，1为半径的圆上，|||2|2

||PAPBPDPD+==，显然当P在l上运动时，||PD无最大值，B不正确；对于C，当PA、PB为切线时，PAOA⊥，PBOB⊥，所以在RtPAO△中，cosOPPOAOA=，同理cosOPPOBOB=，()coscosOAOBOPOA

OPPOAOBOPPOB+=+22coscos8OAOPPOAOBOPPOBOAOB=+=+=，故C正确.对于D，设(),52Paa−，当PA、PB为切线时，PAOA⊥，PBOB⊥，点A、B在以OP为直径的圆上，此圆的方

程为()(52)0xxayya−+−+=，由圆224Oxy+=：，作差得直线AB为()524axay+−=，即()2540axyy−+−=，即有20540xyy−=−=，解得8545xy==，所以直线AB过定点84,55，D正确.故选：

ACD.12.如图，在矩形AEFC中，AE23=，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（）A.三棱锥−PABC的体积为423B.直线PA与直线BC所成角的余弦值为36C.直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

13D.三棱锥−PABC外接球的半径为222【答案】BD【解析】【分析】证明BP⊥平面PAC，再根据PABCBPACVV−−=即可判断A；先利用余弦定理求出cosAPC，将BC用,PCPB表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点A到平面PBC的距离d，再

根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为dPA即可判断C；利用正弦定理求出PAC△的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D.【详解】由题意可得,BPAPBPCP⊥⊥，又,,,,APCPPAPCPPAPCP==平面PAC，所以BP⊥平面PAC，在PAC△中，23PAP

C==，AC边上的高为()2223222−=，所以11824222323PABCBPACVV−−===，故A错误；对于B，在PAC△中，1212161cos322323APC+−==，1244BC=+=()cos,23483P

APCPBPABCPAPCPAPBPABCPABC−−===1232333683==，所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为36，故B正确；对于C，1232PBCSPBPC==，设点A到平面PBC的距离为d，由BPACAPBCVV−−=，得1822333d

=，解得463d=，所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为46223323dPA==，故C错误；由B选项知，1cos3APC=，则22sin3APC=，所以PAC△的外接圆的半径132sin2ACrAPC==，设三棱锥−PABC外

接球的半径为R，又因为BP⊥平面PAC，则22219111222RrPB=+=+=，所以222R=，即三棱锥−PABC外接球的半径为222，故D正确.故选：BD.三．填空题（共4小题）13.在三棱锥−PABC中，N在线段PA上，满足3,PAPNM=是平面ABC内任意一点，4

52PMPNxPBPC=++，则实数x=__________.【答案】13【解析】【分析】根据空间向量运算、四点共面等知识求得正确答案.【详解】依题意，452PMPNxPBPC=++，则515114424342xxPMP

NPBPCPAPBPC=++++=511242xPAPBPC++=，由于,,,ABCM四点共面，所以5111,12423xx++==.故答案为：1314.已知x，y满足2240xxy−+=，则2xy−的最大值为_______．【答案】225+##252+【解析】【分析】设

2xyt−=，故直线20xyt−−=与圆2240xxy−+=有交点，从而利用点到直线距离得到不等式，求出答案.【详解】2240xxy−+=可化为()2224xy−+=，设2xyt−=，则直线20xyt−−=与圆有交点，所以2241t−+，解得22522

5t−+，2xy−的最大值为2+25．故答案为：225+．15.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为63m，行车道总宽度BC为211m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方

向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是_________．【答案】3.5m##7m2【解析】【分析】通过已知数据求出圆弧的半径，再通过由半径算弦心距的方法求出最大高度，最后减去安全高度差即可.【详解】如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过

B作BGAD⊥，交圆弧于点G，作GHMN⊥于点H，连接OE、OG.由题可知，523mMP=−=，133m2EPAD==，111m2GHBC==设OEOMr==，则3OPr=−在OEP中，有222OEOPEP=+即222(3)(33)rr=−+，解得6r=()22226115m

OHOGGH=−=−=651mMHOMOH=−=−=514mBGNHMNMH==−=−=故车辆通过隧道的限制高度是40.53.5m−=.故答案为：3.5m16.已知椭圆C：()222210xyabab+=的左，

右焦点分别为1F，2F，焦距为2c，P是椭圆C上一点（不在坐标轴上），Q是12FPF的平分线与x轴的交点，若22QFOQ=，则椭圆离心率的范围是___________．【答案】1,13【解析】【分析】由已知结合三角形内角平分

线定理可得|PF1|＝2|PF2|，再由椭圆定义可得|PF2|23a=，得到a﹣c23aac+＜＜，从而得到e13ca=＞，再与椭圆离心率的范围取交集得答案．【详解】∵22QFOQ=，∴223QFc=，1

43QFc=，∵PQ是12FPF的角平分线，∴1243223cPFPFc==，则122PFPF=，由12232PFPFPFa+==，得223aPF=，由23aacac−+，可得13cea=，由01e，∴椭圆离心率的范围是1,13

．故答案为：1,13【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了角平分线定理的应用及椭圆定义的应用，是中档题．四．解答题（共6小题）17.求满足下列条件的直线的方程：（1）过点()2

,1A，且斜率为12−；（2）过点()2,1P且在两坐标轴上的截距相等．【答案】（1）240xy+−=（2）20xy−=或30xy+−=【解析】【分析】（1）根据点斜式公式计算即可得到答案；（2）分两种情况讨论，一种截距不为0，另一种截距为0，进而解决问题.【

小问1详解】解：因为直线过点()2,1A，且斜率为12−，由点斜式公式得直线方程为：()1122yx−=−−，化简得：240xy+−=；【小问2详解】当在两坐标轴上的截距为0时，设直线的方程为ykx=，

因为经过点()2,1P，所以12k=，故直线方程为20xy−=；当在两坐标轴上的截距不为0时，设直线为1xyaa+=，因为经过点()2,1P，故211aa+=，所以3a=，故直线方程为30xy+−=；综上：直线方程为：20xy−=或30xy+−=.18.已知椭圆的长轴

长为2a，焦点是()13,0F−、()23,0F，点1F到直线23ax=−的距离为33，过点2F且倾斜角为45的直线l与椭圆交于,AB两点.（1）求椭圆的方程；（2）求线段AB的长．【答案】（1）2214xy+=（2）85.【解析】【分析】（1）根据题意及椭圆方程,,abc的关系求解

即可；（2）联立椭圆方程和直线方程，利用韦达定理和两点间距离公式求解即可.【小问1详解】由已知可得3c=且23333a−−−=，解得24a=，则222431bac=−=−=，所以椭圆方程：2214xy+=.【小问2详解】由已知可得直线l斜率1k=，方程为yx3=−，联立

22314yxxy=−+=得258380xx−+=，设()11,Axy，()22,Bxy，则12835xx+=，1285xx=，则()()()2222121212128145ABxxyykxxxx=

−+−=++−=，所以线段AB的长为85.19.如图，已知平行六面体1111ABCDABCD−中，BCDC⊥，11⊥DCDC，E为1DC，1DC的交点，且1DCBE⊥.（1）求证：平面11CCDD⊥平面ABCD；

（2）若1DDDC⊥，22ABBC==，求二面角ABED−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，进而可证明面面垂直，（2）建立空间直角坐标系，

利用法向量的夹角求解即可.小问1详解】由于11⊥DCDC，1DCBE⊥，11,,DCEBEDCEB=平面1ABC，所以1DC⊥平面1ABC，又BC平面1ABC，所以1DCBC⊥，BCDC⊥，11,,DCDCDDCDC=

平面11CCDD，所以BC⊥平面11CCDD,又BC平面ABCD，所以平面11CCDD⊥平面ABCD【小问2详解】又（1）知平面11CCDD⊥平面ABCD，且两平面交线为CD,1DDDC⊥,1DD平面11CCDD，所以1DD⊥平面ABCD，同理可

得AD⊥平面11CCDD，因此1,,DDDADC两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，由11⊥DCDC，1DDDC⊥可得12DCDD==,则()()()()0,0,0,1,2,0,0,1,1,1,0,0DBEA,()()

()1,1,1,0,2,0,1,2,0BEBADB=−−=−=,设平面BED,BEA的法向量分别为()()mx,y,z,na,b,c==，所以0,20BEmxyzDBmxy=−−+==+=取2x=，则()2,1,1m=−，0,20BEn

abcBAmb=−−+==−=取1ac==，则()1,0,1n=，设二面角ABED−−的平面角为,为锐角，所以33coscos,226mn===，故二面角ABED−−的余弦值为32【20.已知圆221:2440Cxyxy+−

−+=与直线:240lxy+−=相交于,AB两点．（1）求弦AB的长；（2）若圆2C经过(1,3),(0,4)EF−，且圆2C与圆1C的公共弦平行于直线210xy++=，求圆2C的方程．【答案】（1）45

5（2）226160xyx++−=【解析】【分析】（1）利用点线距离公式与弦长公式即可得解；（2）两圆相减求得公共弦方程，从而得到26DE=+，再利用待定系数法即可得解.【小问1详解】因为圆221:2440Cxyxy+−−+=可化为()()22121xy−+−=，则圆1C的圆心1(1,2

)C，半径为11r=，所以1(1,2)C到直线:240lxy+−=的距离为1445514d+−==+，所以弦AB的长为22114522155ABrd=−=−=.【小问2详解】设圆2C的方程为220xyDxEyF++++=，两圆方程相减得公共弦所在的直线方程

为(2)(4)40DxEyF++++−=，因为其与直线210xy++=平行，所以2421DE++=，则26DE=+．又因圆2C经过(1,3),(0,4)EF−，所以1930164026DEFEFDE++−+=++==+，解得6016DEF==

=−，此时圆2C的方程为226160xyx++−=，经检验，满足题意，所以圆2C的方程为226160xyx++−=．21.如图，在四棱锥ABCDE−中，3DE=，2AE=，1BCCD==，2π3BCDCDE==

，π2AEB=．（1）当ABBC⊥时，求直线AB与平面BCDE所成角的大小；（2）当二面角ABEC−−为π3时，求平面ABC与平面ADE所成二面角的正弦值．【答案】（1）π6（2）45【解析】【分析】（1）作出辅

助线，由余弦定理求出23BE=，证明出线面垂直，得到ABE即为直线AB与平面BCDE的所成角，求出3tan3ABEAEBE==，得到答案；（2）作出辅助线，得到AEG为二面角ABEC−−的平面角，即π3AEG=，设点B到平面AEF和边AF的距离分别为1d，2d，由

ABEFBAEFVV−−=求出1615d=，由ABFAEFSS=△△求出2152d=，从而利用12sindd=求出答案.【小问1详解】延长BC，ED交于点F，连接AF．为因为2π3BCDCDE==，所以π3FCDFDC=

=，故CDF为等边三角形，所以1CFDF==，π3F=．因为3DE=，1BC=，所以112BF=+=，134EFDFDE=+=+=．在BEF△中，由余弦定理得2222cos12BEBFEFBFEFBFE

=+−=，所以23BE=，所以222BFBEEF+=，所以由勾股定理逆定理得BCBE⊥．因为ABBC⊥，ABBEB=，AB，BE平面ABE，所以BC⊥平面ABE．因为AE平面ABE，所以BCAE⊥．因为AEBE⊥，BEBCB=，BE，BC平面BCDE，所以⊥AE平面BCDE，所以ABE

即为直线AB与平面BCDE的所成角，在直角三角形AEB中，3tan3ABEAEBE==，故直线AB与平面BCDE所成角的大小为π6．【小问2详解】过E，F分别作BC，BE的平行线交于点G，连接AG，取EG的中点H，连接AH．则四边形BFGE为平行四边形，由（1）

知，2BF=，故2EG=，因为BCBE⊥，//EGBC，所以EGBE⊥．又因为AEBE⊥，所以AEG为二面角ABEC−−的平面角，即π3AEG=．在AEG△中，因为2AEEG==，π3AEG=，所以AEG△为等边三角形，所以AHEG⊥，且3AH=，2AG=．由（1）知

BCBE⊥，所以EGBE⊥，因为AEBE⊥，AEEGE=，AE，EG平面AEG，所以BE⊥平面AEG．因为AH平面AEG，所以BEAH⊥．因EGBEE=，,EGBE平面BFGE，所以AH⊥平面BFGE，因

为//FGBE，所以FG⊥平面AEG，因为AG平面AEG，所以FG⊥AG，在AFG中，2AG=，23FG=，π2AGF=，所以4AF=．在AEF△中，2AE=，4EFAF==，所以222416161cos22244AEA

FEFEAFAEAF+−+−===，故215sin1cos4EAFEAF=−=，所以1sin152AEFSAEAFEAF==△．易求得23BEFS=△．设点B到平面AEF和边AF的距离分别为1

d，2d，因为ABEFBAEFVV−−=，所以11133BEFAEFSAHSd=△△，即123315d=，所以1615d=．在ABF△中，4,2ABAFBF===，故ABF△≌FEA，故ABFAEFSS=△△，所以214152d=，所以2152d=．设平面ABC与平面ADE所成二

面角的大小为，则12624sin51515dd===．为22.已知O为坐标原点，()1,0F是椭圆C：()222210xyabab+=的右焦点，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点．当A为短轴顶点时，AOF的周长为33+．（1）求C的方程；（2）若线段AB的垂直平分线

分别交x轴、y轴于点P，Q，M为线段AB的中点，求PMPQ的取值范围．【答案】（1）22143xy+=（2）30,16【解析】【分析】（1）根据题意，得到1c=且133ab++=+，结合221ab=+，列出方程求得,ab的值，即可求解.（2）解法一：设直线():1AByk

x=−，联立方程组，利用韦达定理得到22243,4343kkMkk−++，得出AB的垂直平分线的方程，求得2243Pkxk=+，化简()()22223143kkPMPQk+==+，利用换元法和二次函数的性质，即可求解；解法二：设:1ABxmy=+，联立方程

组，利用根与系数的关系得到2243,3434mMmm−++，进而得到2134Pxm=+，化简()()2223134mPMPQm+==+，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】设椭圆C的焦

距为2c，因为椭圆C的焦点为()1,0F，可得1c=，又因为A为短轴顶点时，AOF的周长133ab++=+，又由221ab=+，所以()22231aa=+−+，解得2,3ab==，所以椭圆C的标准方程为22143x

y+=．【小问2详解】解法一：因为椭圆C的焦点为()1,0F，设直线():1ABykx=−，联立方程组()221143ykxxy=−+=，整理得()22224384120kxkxk+−+−=，设()11,Axy，()22,Bxy，则2122843k

xxk+=+，()121226243kyykxxkk−+=+−=+，则22243,4343kkMkk−++，于是线段AB的垂直平分线的方程为2221434343kkyxkkk=−−−++，令0y=，可

得2243Pkxk=+，由221111MPPPMPQxxxkk=+−+()()222222222223114143434343kkkkkkkkkk+=+−=++++，令2433tk=+，则()()()222222231323311321161643kktt

PMPQtttk+−−===−−++，因为3t，所以110,3t，可得()2113210,1tt−−+，因此231133210,1616PMPQtt=−−+

．解法二：因为椭圆C的焦点为()1,0F，设直线:1ABxmy=+，联立方程组221143xmyxy=++=，整理得()2234690mymy++−=，设()11,Axy，()22,Bxy，则1226

34myym−+=+，()121228234xxmyym+=++=+，则2243,3434mMmm−++，可得线段AB的垂直平分线的方程为22433434mymxmm=−−−++，令

0y=，得2134Pxm=+，由2211MPPPMPQmxxmx=+−+()()()222222231411134343434mmmmmm+=+−=++++．令2444tm=+，则()()222223111134m

tPMPQtttm+−===−++，因为4t，可得110,4t，可得21130,16tt−+，因此30,16PMPQ．【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值

域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何

特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众

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