【文档说明】《精准解析》新疆乌鲁木齐地区2023届高三第一次质量监测数学（理）试题（解析版）.docx，共(24)页，1.115 MB，由小赞的店铺上传

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乌鲁木齐地区2023年高三年级第一次质量监测理科数学（问卷）（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是

符合题目要求的．1.已知集合240Axx=−，230Bxxx=−，则AB=（）A.3xxB.02xxC.0xxD.23xx【答案】B【解析】【分析】先求出集合AB中元素范围，再求交集即可.【详解】2402Axxxx=−=，2300

3Bxxxxx=−=，02ABxx=.故选：B.2.命题“)0,x+，30xx+”的否定是（）A.(),0x−，30xx+B.(),0x−，30xx+C.)00,x+，3000xx+D.)00,x+，3000xx+【答案】C【

解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题得答案.【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得，命题“)0,x+，30xx+”的否定是)00,x+，3000xx+.故选：C.3.已知向量()()2,3,1,2==−a

b，若manb+与2ab−共线，则mn等于（）A.12−B.12C.2−D.2【答案】A【解析】【分析】先得出manb+与2ab−的坐标，由共线得出147mn=−，进而得出答案.【详解】解：易得()()2,32,24,1

manbmnmnab+=−+−=−，因为manb+与2ab−共线，所以()()()21324mnmn−−=+，即147mn=−，所以12mn=−.故选：A.4.复数5ii2z=−的共轭复数是（）A.12i−−B.12i−C

.12i−+D.12i+【答案】D【解析】【分析】先求出复数z的代数形式，再求共轭复数即可.【详解】()()()5ii+25i12ii2i2i+2z===−−−，12iz=+.故选：D.5.已知直线a，b与平面α，β，γ，能使⊥的充分条件是（）A.//a，b//，ab⊥B.⊥，

⊥C.//a，a⊥D.a=，ab⊥，b【答案】C【解析】【分析】根据空间线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.详解】解：对于A选项，//a，b//，ab⊥时，//也可能满足，如图1，故错误；【对于B选项，⊥，⊥时，//

也可能满足，如图2，故错误；对于C选项，//a，a⊥时，一定有⊥，故正确；对于D选项，a=，ab⊥，b时，⊥不一定成立，如图3，故错误.故选：C6.中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？

”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（）A.乙分到37文，丁分到31文B

.乙分到40文，丁分到34文C.乙分到31文，丁分到37文D.乙分到34文，丁分到40文【答案】A【解析】【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3ad−，2ad−，ad−，a，ad+，2ad+，3ad+，再根据题意列方程组可解得结果.【详解】依题意，设甲

、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3ad−，2ad−，ad−，a，ad+，2ad+，3ad+，则32772375adadadadad−+−=+++++=，解得313ad==−，所以乙分得237ad−=（文），丁分得31a=（文），故选：A.7.已知定义在R上的奇函数()fx，

满足()()3fxfx+=−，且当30,2x时，()268fxxx=−+，则()()()()012100ffff++++=（）A.6B.3C.0D.3−【答案】B【解析】【分析】根据函数()fx恒有()()3fxfx+=−，得到函数(

)fx的周期是6，再由()fx定义在R上的奇函数，得到()()00,30ff==，然后()()()()012...100ffff++++()()()()012...516ffff=++++()()()()()01234ff

fff+++++求解.【详解】因为函数()fx对任意的实数x，恒有()()3fxfx+=−，所以()()()63fxfxfx+=−+=，所以函数()fx是以6为周期的周期函数，又()fx定义在R上的奇函

数，所以()()()00,300fff==−=，又当3(0,]2x时，()268fxxx=−+，所以()()()()()13,213113fffff==−+=−−==，()()()()()()41313,52323ffffff=+=−=−=+=−=−，所以(

)()()()012...100ffff++++，()()()()012...516ffff=++++()()()()()01234fffff+++++，01633=+=，故选：B.8.已知23sincos3+=，则2cos(2)3−=（）A.1718−B.1718C

.89−D.89【答案】C【解析】【分析】由已知式求得2cos()36−=，然后再由余弦的二倍角公式求值．【详解】由23sincos3+=，得3122(sincos)223+=，22cos()33−=，2cos()36−=，∴22228c

os(2)2cos()12()13369−=−−=−=−．故选：C.【点睛】本题考查两角差的余弦公式的二倍角公式，解题关键是结合已知角和未知角的关系确定选用什么公式．9.已知1F，2F分别是双曲线2222:1xyCab−=（0a，0b）的左、右焦点，

以12FF为直径的圆与C在第二象限交于点A，且双曲线C的一条渐近线垂直平分线段2AF，则C的离心率为（）A.2B.3C.2D.5【答案】D【解析】【分析】由题知2AFakb=−，1AFbka=，进而得直线1AF、2AF的方程并联立得222,ababAcc−，再将其代入

双曲线方程整理得5ca=，再求离心率即可.【详解】解：由题设()()12,0,,0FcFc−，渐近线1:blyxa=，2:blyxa=−，因为以12FF为直径的圆与C在第二象限交于点A，所以21AFAF⊥，因为双曲线C的一条

渐近线垂直平分线段2AF，所以，2AFakb=−，1AFbka=，所以，直线2AF的方程为()ayxcb=−−，直线1AF的方程为()byxca=+，所以，联立方程()()ayxcbbyxca=−−=+得222,ababAcc−，所以，将

222,ababAcc−代入22221xyab−=整理得225ac=，即5ca=，所以，C的离心率为5cea==.故选：D10.已知函数()2ln3xfxx−=+，2log3a=，3log4b=，5log8c=，

则（）A.()()()fafcfbB.()()()fafbfcC.()()()fcfafbD.()()()fcfbfa【答案】A【解析】【分析】由对数运算性质，借助中间量32得b<c<a，进而在结合函数单调性比较大小即可.【详

解】解：由203xx−+得()()230xx−+，解得32x−，所以，函数()2ln3xfxx−=+的定义域为()3,2−，因为()()()5325lnlnln1333xxfxxxx−+−===−+++，由于函数513tx=−+在()3,2−上单调递减，函数lnyt=在

定义域上单调递增，所以，根据复合函数的单调性得()2ln3xfxx−=+在()3,2−上单调递减，因为327lg64log4log64lg27b===，525lg64log8log64lg25c===，lg27lg251，所以bc，因为3

2555538log8log5loglog10255c−=−==，所以32c，因为32222233log3log2loglog10222a−=−==，所以32a，所以，32log31log42bca==

，所以，由函数单调递减的性质得()()()fafcfb.故选：A11.已知函数()()2sinfxx=+（0，π02）的图象过点()0,1，且在区间()π,2π内不存在最值，则的取值范围是（）A.10,6B.17,412C(1170,,6412

D.1120,,633【答案】D【解析】【分析】先通过()01f=求出，然后求出使()fx取最值时的x，再根据()fx在区间()π,2π内不存在最值列不等式求解的取值范围.的.【详解】函数()()2sin

fxx=+的图象过点()0,1，,()12sn0if==，即1sin2=，又π02，π6=()π2sin6fxx=+，令πππ,Z62xkk+=+，即ππ,Z3kxk=+

，当ππ,Z3kxk=+时，函数()()2sinfxx=+取最值，()fx在区间()π,2π内不存在最值，()πππ3,Z1ππ2π3kkk+++，解得12,Z332kkk++，当1k−时

，不存在；当1k=−时，2136−，又0，106，当0k=时，1233，当0k时，不存在；综合得的取值范围是1120,,633.故选：D.12.三棱锥ABCD−中，点A在平面BCD的射影H是△BC

D的垂心，点D在平面ABC的射影G是△ABC的重心，1AD=，则此三棱锥体积的最大值为（）A.12B.13C.16D.19【答案】C【解析】【分析】如图，点D在平面ABC内的射影G是ABC的重心，连接AG延长交BC于M，连接BG延长交AC于N，利用线面垂直的判定定理与性质证明AB=A

C、AB=BC，则ABC为等边三角形，根据锥体体积公式表示出DABCV−，结合导数求出体积的最大值即可.【详解】如图，点D在平面ABC内的射影G是ABC的重心，连接AG延长交BC于M，连接BG延长交A

C于N，则M、N分别为BC和AC的中点，因为AH⊥平面BCD，BC平面BCD，射影AH⊥BC，又H为△BCD的垂心，则DH⊥BC，由,,AHDHHAHDH=平面DAH，所以BC⊥平面DAH，由AD平面DAH，得BC⊥AD.因为DG⊥平面ABC，BC平面ABC，所以

DG⊥BC，又,,ADDGDADDG=平面DAG，则BC⊥平面DAG，由AG平面DAG，得BC⊥AG，所以BC⊥AM，因为M为BC的中点，所以AB=AC，由,CHDB⊥又BD平面BCD，则,,,AHDBA

HCHHAHCH⊥=平面CAH，所以DB⊥平面CAH，由AC平面CAH，得DB⊥AC，由AC平面ABC，则,,,DGACDBDGDDBDG⊥=平面DBG，则AC⊥平面DBG，由BG平面DBG，得AC⊥BG，

所以AC⊥BN，因为N为AC的中点，所以AB=BC，则ABC为等边三角形，设其边长为x，则323,233AMxAGAMx===，又1AD=，所以222113DGDAAGx=−=−，则24211131311

(1)33223123DABCABCVSDGxxxxx−==−=−，令424611()(1)33fxxxxx=−=−，由421(1)03xx−得03x，则3532()422(2)fxxxxx=−=−，令()002fxx，令()02

3fxx，所以函数()fx在(0,2)上单调递增，在(2,3)上单调递减，得max84()(2)433fxf==−=，所以max341()1236DABCV−==，即此三棱锥的体积的最大值为16.故选：C.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题

两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.在()621x−的展开式中2x的系数为______．【答案】60【解析】【分析】直接

利用二项展开式的通项求解2x的系数.【详解】()621x−的展开式中含2x的项为()()24426C2160xx−=，即在()621x−的展开式中2x的系数为60.故答案为：60.14.设O为坐标原点，抛物线()220

Cypxp=：的焦点为F，过点F作x轴的垂线交C于点PQ，为x轴正半轴上一点，且5OQ=，若45OPQ=，则C的准线方程为______．【答案】3x=−【解析】【分析】由题知,2pPp，进而根据11sin22OPQSOQPFOPPQOPQ==计算即

可.【详解】解：如图，由题知,02pF，将2px=代入方程22ypx=得yp=，故,2pPp所以221542OPppp=+=，2252pPQp=−+，所以11sin22OPQSOQP

FOPPQOPQ==，因为2252552422pppp=−+，整理得24120pp−−=，解得6p=（2p=−舍），所以，抛物线212Cyx=：，准线方程为：3x=−故答案为：3x=−

15.已知函数()2ππeesin36xxfxax−=+++有且只有一个零点，则实数a的值为______．【答案】e2−【解析】【分析】首先证明(2)()fxfx−=，则(1)0f=，解得2e

a=−，再代回原函数证明函数只有唯一零点即可.【详解】2()eesin36xxfxax−=+++，2(2)eesin(2)36xxfxax−−=++−+25eesin63xxax−=++−2eesin36xxax

−=++−+2eesin36xxax−=+++(2)()fxfx−=，()fx的图象关于直线1x=对称，若函数()fx有且只有一个零点，即()fx的图象与x轴有且只有一个交点，则只能是(1)0

f=，即ee0a++=，解得2ea=−，此时2()ee2esin36xxfxx−=+−+，22ee2ee2exxxx−−+=，当且仅当2eexx−=,即1x=时取等号,当1x时,2e

e2exx−+，又1sin136x−+，2e2esin2e36x−+，当1x时,()0fx，当2ea=−时，函数()fx有且只有一个零点1x=.故答案为：e2−.16.已知数列na满足111,2256nnaaa+==，若2

log2nnba=−，则12···nbbb的最大值为__________．【答案】6254【解析】【详解】由题意可得：212loglg2onnaa+=，即：21211loglog12nnaa++=+，整理可得：()()2121log

2log22nnaa+−=−，又21log210a−=−，则数列nb是首项为-10，公比为12的等比数列，12110222nnnb−−=−=−，则：()()3212···52nnnnnSbbb−==−,很明显，n为偶数时可能取得最大值，由()2*

2{2,nnnnSSnkkNSS+−=可得：4n=，则12···nbbb的最大值为6254.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列

的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在ABC中，边,,abc

所对的角分别为,,ABC，3a=，2239cbb=−+．（1）求角C大小；（2）若33coscA=，求ABC的面积．【答案】（1）π3C=（2）2793.8+【解析】【分析】（1）将3a=代入2239cbb=−+中，然后再利用余弦定理求

角C；（2）利用正弦定理及33coscA=可求出角A，进而可求出c，再利用sinsin()BAC=+求出sinB，最后利用面积求解即可.【小问1详解】3a=，由2239cbb=−+得222cbaba=−+，即222abbac=+−，22

21cos222abcabCabab+−===，又()0,πC，π3C=；【小问2详解】由正弦定理得sin33,33sin2sincosaCccAAA===，33332sincosAA=，sin21A=，又2π4ππ0,02,2332A

AA=，即π4A=，36233cos3322cA===，的212362sinsin()sin()4322224ππBAC+=+=+=+=，11622793sin3.2248362ABCSacB++===18.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD

，ADCD⊥，//ADBC，且2PAADCD===，3BC=，E是PD的中点，点F在PC上，且2PFFC=．（1）证明：//DF平面PAB；（2）求二面角FAEP−−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）223【解析】【分析】（1）在线

段PB上取点M，使得2PMMB=，进而证明DF//AM即可证明结论；（2）如图，以A点为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz−，利用坐标法求解即可；【小问1详解】证明：在线段PB上取点M，使得2PMMB=，所以，在PBC中，223MFBC==，且//MFBC，因为在四

边形ABCD中，//ADBC，2AD=，所以，//,MFADMFAD=，所以，四边形ADFM是平行四边形，所以DF//AM，因为DF平面PAB，AM平面PAB，所以//DF平面PAB.【小问2详解】解：如图，以A点为坐标原点，建立空间直角坐标系A

xyz−，所以，(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)ACDP，因为E是PD的中点，点F在PC上，且2PFFC=，所以(0,1,1)E，()()22440,0,22,2,2,,333323AFAPPC=+=+−=所以，44(0,1,1)

2,,,333AEAF==，设平面AEF的一个法向量为(,,)nxyz=，所以，00nAEnAF==，即04420333yzxyz+=++=，令1x=得()1,2,2n=-，由题，易知平面PAE的

一个法向量为()1,0,0m=，所以1cos,3nmnmnm==，所以222sin,1cos,3nmnm=−=，所以，二面角FAEP−−的正弦值为223.19.投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列如表所示：甲种股票：收益

x（元）1−02概率0.10.30.6乙种股票：收益y（元）012概率0.30.30.4（1）如果有人向你咨询：想投资其中一种股票，你会给出怎样的建议呢？（2）在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，假设两种股票的买入价都是每股1元，某人有

10000元用于投资，请你给出一个投资方案，并说明理由．【答案】（1）建议购买乙种股票.（2）投资甲种股票3485元，乙种股票6515元.【解析】【分析】（1）根据期望与方差给出建议即可；（2）设投资甲种

股票a元，投资乙种股票()10000a−元，进而计算对应的期望与方程，使得方差最小时即可得答案.【小问1详解】解：由题知：()10.120.61.1,()10.320.41.1ExEy=−+==+=，()()22222()(1)0.1

20.61.11.29DxExEx=−=−+−=，()()22222()10.320.41.10.69DyEyEy=−=+−=，由题可知，两种股票的期望相同，但乙种股票的方差较小，所以，投资

乙种股票相对于甲种股票更稳妥.【小问2详解】解：设投资甲种股票a元，投资乙种股票()10000a−元，所以，()(10000)()(10000)()11000EaxEayaExaEy+−=+−=，22()(10000)()(10000)()DaxDayaDxaDy+−=+

−221.29(10000)0.69aa=+−281.98138000.6910aa=−+所以，当13800348521.98a−=−时，()(10000)DaxDay+−取得最小，所以，应当投资甲

种股票3485元，乙种股票6515元，20.已知椭圆C的中心是坐标原点，焦点在x轴上，且经过点21,2A，141,24B−−．（1）求椭圆C的标准方程；（2）MN是经过椭圆C的右焦点F的一条弦（不经过点A），设直线MN与直线:

2lx=相交于点Q，记,,AMANAQ的斜率分别为1k，2k，3k，求123kkk的最大值．【答案】（1）2212xy+=（2）9232【解析】【分析】（1）根据题意，待定系数求解即可；（2）设直

线MN的方程为(1)ykx=−，()()1122,,,MxyNxy，进而得121231222(1)(1)222()112kxkxkkkkxx−−−−=−−−，再联立22(1)12ykxxy=−+=，结合韦达定

理，二次函数最值整理求解即可.【小问1详解】解：由题，设椭圆C的标准方程为22221(0)xyabab+=，因为椭圆C经过点21,2A，141,24B−−，所以222211211411641abab+=+=，解得222,1ab==，所以，椭圆C

的标准方程为2212xy+=【小问2详解】解：由（1）知()1,0F，因为MN是经过椭圆C右焦点F的一条弦且不经过点A，所以，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为(1)ykx=−，()()1122,,,MxyNxy，所以，()2,Qk，所以，121231222222

,,112yykkkkxx−−===−−−，联立方程22(1)12ykxxy=−+=得2222(12)4220,0kxkxk+−+−=，所以22121222422,1212kkxxxxk

k−+==++所以，121231222(1)(1)222()112kxkxkkkkxx−−−−=−−−21212121212()2212()2(()1)2(()1)2xxkkkxxxxxxxx+−=−+−−++−++2222222122112211224421212kkkkkkk

k−+=−+−=−−−−−++22922328k+=−−，所以，当28k=时，123kkk有最大值923221.已知()2lnbfx

xaxx=++在1x=处的切线方程为3yx=−．（1）求函数()fx的解析式；（2）()fx是()fx的导函数，对任意)1,x+，都有()()113exfxfxmx−−++，求实数m的取值范围．的【答案】（1）1()2ln4fxxxx=−+（2）2m【解析】【分析】（1）代入1x

=得到3ab+=−，求出()fx，则(1)2fab=+−，解出,ab即可.（2）221()4fxxx=−−，221()2ln23gxxxxx=−+−+，求出232(1)(1)()0xxgxx−−+=，则()(1)0gxg=

，即111()()3422exfxfxxxx−−+−++，故2m.【小问1详解】(1)fab=+，当1x=时，33yx=−=−，3ab+=−，22()bfxaxx=+−，(1)2fab=+−，(1),33,3fabyxab=+=−=−+=−，由切线方程

为3yx=−，23ab+−=−，323abab+=−+−=−，即41ab=−=，1()2ln4fxxxx=−+.【小问2详解】1()2ln4fxxxx=−+，221()4fxxx=−−，由已知[1,)x+，11()()3exfxfxmx−−++成立，令

211211()()()212ln4421gxfxfxxxxxxxxxx=−+−−=−+−+++−−2212ln23xxxx=−+−+22332222(1)(1)()20xxgxxxxx−−+=−+−=，所以()gx在[1,)+上单调递减，所以()(1)0gxg=,即1()(

)21fxfxxx−−++，设()1exhxx=+−，则()1exhx=−，令()0hx=，解得0x=，当0x时，()0hx，()hx单调递增，当0x时，()0hx，()hx单调递减，故当0x=时，()()max00hxh==，故

()1e0xhxx=+−，即1exx+，令1x−代换x有12exx−−，两边同乘2有1422exx−−，则111()()3422exfxfxxxx−−+−++，当1x=时取等号，所以2m时

满足题意，若2m,存在1x=时，原式有41171m−−+++，即2m与2m矛盾,不满足题意,所以2m.【点睛】结论点睛：（1）e1(0xxx+=取等)；（2）ln1(1xxx−=取等)；（3）eexx（1x=取等）；（4）lnexx（ex=取等）.选考题：

共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：1xy+=与曲线C：1cossinxy=+=（θ为参数）．以坐

标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线m：()0=与直线l和曲线C的公共点分别为A，B，π0,2，当2OBOA=时，求α的值．【答案】（1）直线l的极坐标方程为1π2sin4=

+，曲线C的极坐标方程为2cos=.（2）π4=.【解析】【分析】（1）直接将直线极坐标化得π2sin14+=，即1π2sin4=+，对曲线C参数方程消去参数得22(1)1xy−+=，则得到其极坐标方程；（2）

由题有22cosπ2sin4=+，化简得π2sin242+=，再根据范围即可得到答案.【小问1详解】由直线:1lxy+=得cossin1+=，即π2sin14+=，直线l的极坐标方程为1π2sin4=

+，由曲线1cos:sinxCy=+=(为参数)的参数方程化为普通方程得22(1)1xy−+=，则曲线C的极坐标方程为2cos=.【小问2详解】由（1）知1,π2sin4A+

，(2cos,)B，又||2||OBOA=，22cosπ2sin4=+，即π2cossin14+=，化简得sin2cos21+=，即π2sin214+=，解得π2sin242+=，又π0,2

，ππ5π2,444+，π3π244+=，解得π4=.[选修4-5：不等式选]23.已知函数()()210fxxaxa=−++．（1）若3a=，求不等式()5fx的解集；（2）若函数()()1gxfxx=−+的最小值为M，实数0b，1c−，且bcMa

+=−，证明：1121bc++．【答案】（1）4,(0,)3−−+；（2）见解析.【解析】【分析】（1）分1x−，13x−和3x讨论即可；（2）首先根据绝对值不等式和a的范围

得min()1gxaM=+=，根据基本不等式有1111222121cbbcbc+++=++.【小问1详解】当3a=时,()|3|2|1|fxxx=−++，当1x−时，()()32113fxxxx=−−+=−，当13x−时，()()3215

fxxxx=−++=+，当3x时，()()32131fxxxx=−++=−，所以13,1()5,1331,3xxfxxxxx−−=+−−，1135xx−−,或1355xx−+,或3315xx−，解得43x−或03x或3x，

()5fx的解集为4,(0,)3−−+.【小问2详解】由题意()||2|1||1||||1||()(1)||1|gxxaxxxaxxaxa=−++−+=−++−−+=+，0a，min()1gxaM=+=，又bcMa+=

−，1bc+=，则12bc++=,由0,1bc−,得10c+，111111111112221212121bcbccbcbbcbcbcbc+++++++=+=++++=++++当且仅当1bc=+，

即1,0bc==时取等号，1121bc++成立.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com