【文档说明】辽宁省鞍山市第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试 数学 答案.docx，共(22)页，1.871 MB，由管理员店铺上传

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2022-2023学年度下学期期中考试24届高二年级数学科试卷命题人：张一黄琳校对人：孙健周兴奎一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等差数列5，9，13，…，则下列哪个数是这个数列中的项（）A.19B.21C.30D.31【答

案】B【解析】【分析】根据前两项求出通项公式，根据通项公式可得答案.【详解】记等差数列为{}na，则15a=，29a=，所以公差21954daa=−=−=，所以1(1)54(1)41naandnn=+−=+−

=+，所以545121a=+=.故选：B.2.下列求导运算中，正确的是（）A.(cos)sinxx=B.()33xx=C.()2xx=D.()()e1exxxx=+【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则即可求出结果.【详解】对于选项

A，(cos)sinxx=−，所以选项A错误；对于选项B，()33n3lxx=，所以选项B错误；对于选项C，112211()()22xxxx−===，所以选项C错误；对于选项D，()()e()e(e)1exxxxxxxx=+=+，所以选项D正确.故选：D.3若随机变量()2~2,XN

，且()50.8PX=，那么()1PX−=（）A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8【答案】A【解析】【分析】由题意可得()5PX，根据()()15PXPX−=即可求得．【详解】由()50.8PX=，得()50.2

PX=，由题意，正态曲线关于2x=对称，所以()()150.2PXPX−==，故选：A．4.若五个数1−、x、y、z、16−成等比数列，则（）A.4y=，16xz=B.4y=−，16xz=C.4y=，16xz

=−D.4y=−，16xz=−【答案】B【解析】【分析】设等比数列1−、x、y、z、16−的公比为q，利用等比数列的性质和等比中项的性质可得出结果.【详解】设等比数列1−、x、y、z、16−的公比为q，则20yq=−，由等比中项的性质可得()()211616

xzy==−−=，所以，4y=−，16xz=.故选：B.【点睛】本题考查等比数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题.5.甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别

是35和13，在这个问题已被正确解答的条件下，甲、乙两位同学都能正确回答该问题的概率为（）A.415B.1115C.211D.311【答案】D【解析】【分析】利用独立事件及互斥事件的概率求法求解该问题被解答的概率，再利用条件概率计算公式求解即可.【详

解】设事件A表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这个问题被.解答”，则()35PA=，()13PB=，故()()()()31313111(1)(1)53535315PCPABPABPAB=++=−+−

+=，所以在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率为：()()31353111115PABPPC===.故选：D6.等比数列na的前n项积为nT，且满足11a，10210310aa−，102103101aa−−，则使得1nT成立

的最大自然数n的值为（）A.102B.203C.204D.205【答案】C【解析】【分析】由题意可得1021031aa，1021031,1aa，利用等比数列的性质即可求解.【详解】由10210310aa−，即1021031aa，则有21021aq，即0q。所以等

比数列na各项为正数，由102103101aa−−，即102103(1)(1)0aa−−，可得：1021031,1aa，所以10220412203204102103()1Taaaaaa==，1032051220320420510

31Taaaaaa==，故使得1nT成立的最大自然数n的值为204，故选：C【点睛】关键10220412203204102103()1Taaaaaa==点点睛：在分析出1021031aa，1021

031,1aa的前提下，由等比数列的性质可得102204102103()1Taa==，1032051031Ta=，即可求解，属于难题.7.已知定义在R上的函数()fx满足：()()0xfxfx+，且()12f=，则()2eexxf的解集为（）A.()0,+B.

()ln2,+C.()1,+D.()0,1【答案】A【解析】【分析】令()()gxxfx=，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式()2eexxf.【详解】设()()gxxfx=，则()()()0gxxfxfx=+，故()gx为R

上的增函数，而()2eexxf可化为()()ee211xxff=即()()ge1xg，故e1x即0x，所以不等式()2eexxf的解集为()0,+，故选：A.8.若函数()sinexxgxmx=+在区间()0,2π恰有两个极值点，则实数m的取值范围是（）A

.π2π2e,e−−−B.()π2πe,e−−−C.5ππ2e,e−−D.()3ππe,e−−【答案】A【解析】【分析】由函数有两个极值点得到导函数有两个零点，从而转化为cossinexxx

m−+=有两个不等变号实根，构造函数()sincosexxxhx−=，使ym=和()hx有两个交点即可求解.【详解】函数()sinexxgxmx=+，求导得：cossin()exxxgxm−=+，因为函数()si

nexxgxmx=+在区间()0,2π恰有两个极值点，所以cossin()0exxxgxm−=+=在区间()0,2π有两个相异的变号实根，即方程cossinexxxm−+=在区间()0,2π有两个相异

的变号实根，构造函数()sincosexxxhx−=，则()2cosexxhx=，()0,2πx，当π02x或3π2π2x时，()0hx，当π3π22x时，()0hx，所以()hx在π0,2

和3π,2π2单调递增，在π3π,22单调递减，所以当π2x=时，()hx取极大值π2π=20eh−，当3π2x=时，()hx取极小值3π23π=e02h−−

，又当2πx=时，2π(2π)eh−=−，又(0)1h=−，所以()3ππ(0)2π022hhhh，要使方程cossinexxxm−+=在区间()0,2π有两个相异的实根，则函数ym=和函数()hx

有两个交点，则()π2π2hmh，即π2π2e<em−−−，故实数m的取值范围是π2π2(e,e)−−−.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分．9.已知数列na，nb，下列说法正确的有（）A.若25nan=−，则na为递减数列B.若10b，13nnbb+=，则nb为等比数列C.若数列nb的公比1q=−，则nb为递减数列D.若数列na的前n项和22nSnn=+，则na为等差数列【答案】ABD【解析】【分

析】对A计算1nnaa+−可得答案；对B变形得13nnbb+=可得答案；对C举例求出123,,bbb可得答案；对D.求出na可得答案.【详解】对A，当nN时，()()12512550nnaann+−=−+−−=−，即1nnaa+，A正确；对B，因为10b，nN，所以0nb，由已知得

13nnbb+=，则nb是以3为公比的等比数列，B正确；对C，当11b=时，211bb=−=−，321bb=−=，则32bb，故nb不是递减数列，C错误；D.由22nSnn=+得1n=时，113aS==，2n，2212(1)2221nnnaSSnnnnn−=−=

+−−−+=+，检验得，1n=时，满足21nan=+，所以，12nnaa+−=，则{}na为等差数列，D正确.故选：ABD.10.以下命题正确的是（）A.关于正态分布2(,)(0)N，当一定时，越大，正态曲线越“矮胖”，越小，正态曲线越“瘦高”B.设随机变

量~(2,4)XN，则12DX的值等于2C.回归直线一定过样本的中心(),xyD.关于独立性检验，2越小，A与B有关系的把握程度就越大【答案】AC【解析】【分析】由正态分布曲线的特点和正态

分布的方差即可判断A和B,由线性回归的特点可判断C;由独立性检验的相关指数的特点来判断D.【详解】由正态分布曲线的特点可得:当一定时，越大，正态曲线越“矮胖”，越小，正态曲线越“瘦高”,A正确;由若X服从正态分布2(,)(0)N则D(X)=2,D(12

X)=14D(X)=142,所以设随机变量~(2,4)XN时D(12X)=1414=,则B不正确;由线性回归的性质可得回归直线一定过样本中心点,则C正确;由独立性检验的知识点可得当2越大时,A与B有关系的把握程度就越大,

则D不正确.故选:AC【点睛】本题考查了正态分布曲线的特点和正态分布中随机变量的方差的求解,考查了线性回归和独立性检验的性质特点,属于基础题.11.定义在()0,+上的函数()fx，满足()2exfxx=，则下列

说法正确的有（）.A.若0x，则()21xfxx+B.()fx在2x=处取得极小值2e4C.()fxa=有且只有一个零点的充要条件为2e4aD.若对任意()0,x+，()21fxkx+恒成立，则e1k−【答案】AB【解析】【分

析】对于对于A，构建函数2()()1gxxfxx=−−，求其最小值即可；对于BC、，研究函数()fx的单调性与极值即可；对于D，利用特例即可作出判断.【详解】对于A，0x，令2()()1e1xgxxfxxx=−−=−−，则()e10xgx=−，因此函数()gx在(0,)+上单调递增，

()(0)0gxg=，即e10xx−−，2()1xfxx+成立；对于B，3e(2)()xxfxx−=，可得函数()fx在(0,2)上单调递减，在(2,)+上单调递增，因此函数()fx在2x=处取得极小

值，()2e24f=，因此正确；对于C，由B可得：()fxa=有且只有一个零点的充要条件为2e4a=，因此不正确；对于D，对任意的,()0x+，21()fxkx+恒成立∴1x=时，(1)1,fk+即e1k−，因此e1k−不正确．故选：AB．12.已知数列na中，1

1a=，2212121nnnnaanaan+−+==()Ν*n，下列说法正确的是（参考公式：的()()22221211236nnnn++++++=）（）A.612a=B.221nan−=C.()()2462123nnn

naaaa++++++=D.存在()Ν*nn，使得12342111113naaaaa+++++=【答案】ABC【解析】【分析】由题意可得到221211nnanan+−+=，再根据累乘法可

求得()2211nan+=+，从而可求得()21nann=+，进而即可判断A，B；将22222462112233naaaann++++=++++++++进行分组求和即可判断C；先对1234211111naaaaa+++++分组求和，再进行放缩，再结

合裂项相消即可判断D．【详解】由2212121nnnnaanaan+−+==，则221211nnanan+−+=，所以()221213211212311nnnnnaaaaanaaa+−+−−==+，又()2212211nnnnanaan++

+==，得()21nann=+，对于A，由63412a==，故A正确；对于B，由221nan−=，故B正确；对于C，由()24621223341naaaann++++=+++++2222112233nn

=++++++++()()2222123123nn=+++++++++()()2222123123nn=+++++++++()()()()()121112623nnnnnnnn+++++=+=，所以()()2462123nnnnaaaa++++++=，故C正确；对于D，由()222123

42111111111111212231naaaaannn+++++=++++++++()()2111111111223112231nnnn++++++++−+

2111111111111111223112231nnnn=+−+−++−+−+−++−−+1111123111nnnn=−+−=−−++，所以123421111111331naaaaann+++++−−+，故D错误．故选：AB

C．【点睛】关键点睛：运用累乘法、分组求和、放缩、裂项相消法是解题的关键．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.函数()cosfxxx=的图象在2x=处的切线方程为___________.【答案】0xy−=【解析】【分析】求出导函数()f

x，计算出切线斜率(2)f，同时计算出函数值(2)f，然后可得切线方程．【详解】由()cosfxxx=得()cossinfxxxx=−，所以(2)2,(2)1ff==，所以()fx的图象在2x=处的切线方程为22yx−=−，即0xy−=.故答案为：0x

y−=．【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题，函数()yfx=图象在点00(,())xfx处的切线方程是000()()()yfxfxxx−=−．14.假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下：已知该市场智能手机的优质品率为88.5%，则乙品牌手机

的优质品率P为______．品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率95%P70%【答案】90%【解析】【分析】根据所给数据计算优质品率即可得解.【详解】设市场供应的智能手机共有a，则其中优质品有：50%95%30%20%70%aPaa++，故该市场智能手机的优质品率为50%95

%30%20%70%88.5%aPaaa++=，解得90%P=，故答案为：90%15.若数列na对任意正整数n，有nmnaaq+=（其中*Nm，q为常数，0q且1q），则称数列na是以m为周期，以q为周期公比的类周期性等

比数列．已知类周期性等比数列nb的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列nb前25项的和为___________．【答案】3277【解析】【分析】利用分组求和和等比数列的前n项和公式求解即可.【详解】由题意可知

，4m=，3q=，且43nnaa+=，所以()2515913172125Saaaaaaa=+++++++()()26101418223711151923aaaaaaaaaaaa++++++++++++()4812162024aaa

aaa+++++()()()()766611311321331310933647281092327713131313−−−−=+++=+++=−−−−，故答案为：327716.若函数exy=与e(ln)ayxa=+的图像有两

个不同的公共点，则a的取值范围为____________.【答案】(1,)+【解析】【分析】令()ee(ln),0xafxxax=−+,根据题意()fx在()0,+有两个零点，求导借助导数研究单调性分析得，()fx

的极小值()00fx，其中00eexax=，进而转化为能成立问题，借助基本不等式求解即可.【详解】令()ee(ln),0xafxxax=−+，函数exy=与e(ln)ayxa=+的图像有两个不同的公共点，等价于()fx在()0,+有两个零点，()ee,0axfxxx=−，令(

)0fx=，则ee0xax−=，令()e,e0xagxxx=−，()e,e0xxgxxx+=，易得()0gx恒成立，故()gx在()0,+单调递增，易得()()0lim0,lim0xxgxgx→→+，故存在()00,x+，使得()00gx

=，即()00fx=，即00eexax=，当()00,xx时，()0gx，等价于()0fx，则()fx在()00,x上单调递减，当()0,xx+时，()0gx，等价于()0fx¢>，则()fx在()0,x+上单调递减，故()0fx为极小值，因为

()fx在()0,+有两个零点，则()00fx，即00ee(ln)0xaxa−+，因00eexax=，则0000,lenaxxxax−==−，则0000ee(2)0xxxax−−，即0012xax+，解

得1a故答案为：(1,)+.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知数列na的前n项和为nS，且34nnSa+=．（1）求na的通项公式；为

（2）设nncna=，数列nc的前n项和为nT，证明：169nT．【答案】（1）11;4nna−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用数列的递推关系式求出数列的通项公式.（2）利用错位相减法求出数列的和，根据不等式的性质可证明169nT.【小问1详解】当1n=时，1

134Sa+=，解得111Sa==；当2n时，1134,34nnnnSaSa−−+=+=，两式相减得114nnaa−=；所以na是11a=，14q=的等比数列，故11114nnnaaq−−==．【小问2详解】证明：因为14nnnncna−==，所以0121123,4444

nnnT−=++++①123112344444nnnT=++++，②①-②得0012311113111114344414444444433414nnnnnnnnnT−−+=+++++−=−=−−所以11634994nnnT−+=−．因为1

34094nn−+，所以169nT．18.设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得的一些数据如下表所示：第x天1234567高度ycm0479111213作出这组数据的散点图发现：y（cm）与x（天）

之间近似满足关系式ybxa=+.（1）试借助一元线性回归模型，根据所给数据，求出y关于x的线性回归方程ˆˆˆybxa=+；（2）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于y的点的个数为，其中y为表格中所给的幼

苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望.附：回归方程ˆˆybxa=+中斜率与截距的最小二乘估计公式，分別为1221ˆniiiniixynxybxnx==−=−，ˆ=−aybx【答案】（1）59327ˆ8yx=−（2）分布列见

解析，数学期望()127E=.【解析】【分析】（1）由y关于x的回归直线方程的计算公式求得结果；（2）利用超几何分布概率公式计算，求得随机变量的分布列，并根据分布列，利用数学期望计算求得期望值.【小问1详解】由表格数据，得123456747++++++==x，04

7911121387y++++++==，则22222222102437495116127137ˆ485912345677428b++++++−==++++++−，所以5938ˆˆ4287aybx=−=−=−，所以y关于x的线性回归方程为593

27ˆ8yx=−.【小问2详解】7天中幼苗高度大于8y=的有4天，小于等于8的有3天，从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天，所以这3个点中幼苗的高度大于y的点的个数的取值为0，1，2，3，()303437CC10C35P===；()213437CC121C35P===；()12343

7CC182C35P===；()033437CC43C35P===；所以随机变量的分布列为：0123P13512351835435随机变量的期望值()112184120123353535357E=+++=.19.已知函

数()()212ln22fxxaxax=−+−（1）当1a=−，且()1,4x时，证明：()3fx−；（2）是否存在实数a，使函数()()gxfxax=−在()0,+上单调递增?若存在，求出a的取值范围；不存在

，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，1(,]2a−−.【解析】【分析】（1）将1a=−代入，利用导数求出函数()fx在(1,4)上的最小值，再借助对数函数的单调性推理作答.（2）求出函数()gx的导数，利用导函数在()0,+上不小于0恒成立求解作答

.【小问1详解】当1a=−时，21()2ln32fxxxx=+−，()1,4x，求导得2(1)(2)()3xxfxxxx−−=+−=，当12x时，()0fx，当24x时，()0fx，()fx在(

1,2)上单调递减，()fx在(2,4)上单调递增，所以()(2)22ln262(ln22)2(lne2)3fxf=+−=−−=−.【小问2详解】若存在实数a，使()()gxfxax=−在(0,)+上是增函数，

则(0,)+x，()()()222220axxagxfxaxaaxx−−=−=−+−=−恒成立，即2211220(1)22xxaax−−−−在(0,)+上恒成立，而函数211(1)22yx=−−，,()0x+在1x=时取

得最小值12−，因此12a−，又当12a=−时，2(1)()0xgxx−=，当且仅当1x=时，()0gx=，即函数()gx在(0,)+单调递增，所以当1(,]2a−−时，()()gxfxax=−在(0,)+上单调递增.20.为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿

，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A级旅游景区首道门票至少半价优惠．本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来游客至少去过两

个及以上景区的人数占比约为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的22列联表：不满意满意总计50周岁及以下55

50周岁以上15总计100（1）根据统计数据完成以上22列联表，并根据小概率值0.001=的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？（2）现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为

X，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率．①求X的分布列和数学期望；②求()11PX−．参考公式及数据：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．()2Pk=0.1000.0500.0100.

001k2.7063.8416.63510.828【答案】（1）补全的22列联表见解析；有关；（2）①分布列见解析；()2.7EX=；②0.271【解析】【分析】（1）由题意，抽取的100人年龄在50周岁

及以下的有60人，则年龄在50周岁以上的有40人，即可补全22列联表，再根据公式计算212.76=，即可判断；（2）①由题意可知(3,0.9)XB，根据二项分布即可求解分布列及数学期望；②根据()(11)(0)(1)(2)13PXPXP

XPXPX−==+=+==−=即可计算.【小问1详解】由题意，抽取的100人年龄在50周岁及以下的有60人，则年龄在50周岁以上的有40人，补全的22列联表如下：不满意满意总计50周岁及以下5556050周岁以上152540总计2080100则22100(5251555)12.761

0.82820806040−==.所以在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联.小问2详解】①由题意可得，游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9，则(3,0.9)XB，X的所有可能取值为0，1，2，3，033

(0)C0.10.001PX===，123(1)C0.90.10.027PX===，223(2)C0.90.10.243PX===，333(3)C0.90.729PX===，所以X的分布列如下：X

0123P0.0010.0270.2430.729因为(3,0.9)XB，所以数学期望()30.92.7EX==.②()(11)(0)(1)(2)13PXPXPXPXPX−==+=+==−=10.7290

.271=−=.【21.已知数列()*Nnan的前n项和为nS，若21363nnSSnn++=++，12a=．（1）记1nnnbaa+=+判断nb是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由．（2）记()

111nnnncaa++=−，nc的前n项和为nT，求nT．【答案】（1）不是等差数列，证明详见解析；（2）当n为偶数时，2354842nTnn=+−，当n为奇数时，2917322nTnn=++.【解析】【分析】（1）取1n=时可求1b，当2n时可根据ns与na的关系求

出1nnaa++，再验证1n=是否满足即可判断其是否为等差数列；（2）当2n时，由163nnaan++=+，得2169nnaan+++=+，两式相减即可得26nnaa+−=，进而可以得出nc从第2项起的奇数项和偶数项分别

成等差数列，讨论n为奇数时和为偶数时分别解决.【小问1详解】因为21363nnSSnn++=++，当1n=时，2112236312SSaa+=+=++=，又因为12a=，所以11210baa=+=当2n时，因为1nn

nSSa−−=，由21363nnSSnn++=++，得21363nnnaSSnn+=++++①，所以()()21231613nnaSnn−+=+−−+②，所以−①②得：163nnaan++=+，经验证，

当1n=时不等于1b，所以nb不是等差数列.【小问2详解】由()1632nnaann++=+，得()21692nnaann+++=+，两式相减得：()262nnaan+−=.所以当2n时：数列2ka（*Nk）是首项为28a=，公差为6的等差数列；数列21ka+（*Nk

）是首项为37a=，公差为6的等差数列.当n为偶数时，不妨设()*2Nnkk=，则262kak=+，此时2123212kkkTccccc−=+++++1223344556212221kkkkaaaaaaaaaaaaaa−+=−

+−+−+−()()()()122353475697821212kkkaaaaaaaaaaaaaaaa+−=−+−+−+−+−468216566666kaaaa=−+++++()()()1264061412kkk−−=−+−+23548kk=+−因

为()*2Nnkk=，所以此时2354842nTnn=+−.当n为奇数时，不妨设()*21Nnkk=+，则2161kak+=+，此时2112321221kkkkTcccccc+−+=++++++12233445562122212122kkkkkkaaaaaa

aaaaaaaaaa−+++=−+−+−+−+()()()()1242364586722221kkkaaaaaaaaaaaaaa++=+−+−+−+−35721166666kaaaa+=+++++()1616672kkk−=++2182416kk=++

.因为()*21Nnkk=+，所以此时2917322nTnn=++综上所述，当n为偶数时，2354842nTnn=+−，当n为奇数时，2917322nTnn=++.22.已知函数()()()1ln,f

xxgxfxaxx=+=−，其中0a.（1）讨论函数()gx的单调性；（2）数列()*Nnan满足()()110,1,nnaafa+=，证明：当1a=时，12230nnnnaagaa++++−−.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得

()221,(0)axxgxxx−+−=，然后分类讨论根据导数与函数单调性的关系即得；（2）根据条件及函数的单调性可得21nnaa++，进而可得12230nnnnaaaa++++−−，然后再结合函数的单调性即得.【小问1详解】函数()1lngxx

axx=+−的定义域为()0,+，且()221,(0)axxgxxx−+−=，当0a=时，由()0gx可得()0,1x，由()0gx可得()1,x+，所以()gx在()0,1上单调递减，()gx在()1,+上单调递增；当0a时，由()2210axxgxx−+−

==，可得210axx−+−=，Δ14a=−，（i）当Δ140a=−，即1a4时，()()0,gxgx在()0,+上单调递减；（ii）当Δ140a=−，即10a4时，令()0gx=，得1212114114,,022aaxxxxaa−−+−==，当x变

化时，()gx，()gx变化如下，x1140,2aa−−114114,22aaaa−−+−114,2aa+−+()gx−+−()gx减函数增函数减函数综上：当0a=时，()gx在()0,1上单调递减，在()1,+单调递增；当1

a4时，()gx在()0,+上单调递减；当10a4时，()gx在1141140,,,22aaaa−−+−+上单调递减；在114114,22aaaa−−+−上单调递增；【小问2详解】由题意知1a=时，()()

1lngxfxxxxx=−=+−，由（1）知，()gx在()0,+上单调递减，且()10g=，当()1,x+时，()()10gxg=，又()21xfxx=−，令()0fx=，得1x=，由(

)0fx可得()0,1x，由()0fx¢>可得()1,x+，所以()fx在()0,1上递减，在()1,+递增，因为()10,1a，所以()()2111afaf==，()()3211,,1nnafaafa+==，

又当()1,x+时，()()()10fxxgxg−==，所以()21110nnnnaafaa++++−=−，即21nnaa++，又因为函数()gx在)1,+时单调递减，所以()()21nngaga++，即22112111lnlnnnnnnnaaa

aaa+++++++−+−，即32210nnnnaaaa++++−−，12230nnnnaaaa++++−−，即12231nnnnaaaa++++−−，所以12230nnnnaagaa++++−−.【点睛】方法点睛：利用

导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx）转化为证明()()0fxgx−（或()()0fxgx−），进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当

放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com