【文档说明】四川省内江市第六中学2023-2024学年高三上学期第一次月考理科数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.993 MB，由小赞的店铺上传

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内江六中高2024届高三开学考试理科数学考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.在复平面内，复数35i1i−−对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】对复

数进行化简，根据复数的几何意义即可.【详解】35i(35i)(1i)82i4i,1i(1i)(1i)2−−+−===−−−+对应的点为(4,)1−，在第四象限，故选：D.2.已知a，Rb，则“1a，1b”是“222ab+”的（）A

.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由a，Rb，1a，1b，得221,1ab，于是222ab+，由a，Rb，取1,2ab==，满

足222ab+，显然“1a，1b”不成立，所以“1a，1b”是“222ab+”的充分不必要条件.故选：A3.已知数列na是等差数列，nS为数列na的前n项和，12343aaaa+++=，171

819209aaaa+++=，则20S=（）A.10B.15C.20D.30【答案】D【解析】【分析】利用等差数列性质“若mnpq+=+则mnpqaaaa+=+”和等差数列前n项和公式计算可得答案.【详解】因为12343aaaa+++=，171819209aaaa+++=，所以()()()()12

0219318417+++++++aaaaaaaa()12043912=+=+=aa，可得1203+=aa，则()1202030220+==Saa故选：D.4.执行如图所示的程序框图，将输出的y看成输入的x的函数，得到函数()yfx=，若

144ff=，则=a（）A.1−B.32−C.1−或32−D.1【答案】B【解析】【分析】根据程序框图得到函数解析式，再根据函数解析式求出14f，再分类讨论，结合函数解析式计算可得.【

详解】由程序框图可得()2,12,1xxyfxxax==−，则1112442faa=−=−，若112a−，即12a−时，11213442ffaaa=−−=−=

，解得1a=−（舍去）；若112a−≥，即12a−时，12212424aff−===，解得32a=−故选：B5.函数()2lnxfxx=的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【

解析】【分析】根据函数的奇偶性，结合导数的性质判断其单调性进行判断即可.【详解】函数()2lnxfxx=的定义域为()(),00,−+U，关于原点对称，且()()()22lnlnxxfxfxxx−−==−=−−，所以函数()fx为奇函数，排除A，B；当0x时，函数()2lnxfxx

=，则()()221lnxfxx−=，当0ex时()0fx¢>，函数()fx单调递增，当ex时，()0fx，函数()fx单调递减，排除D．故选：C6.若直线：()100,0axbyab−+=平分圆：222410xyxy++−+=的面积，则21ab+的最小值为.（）．A.8B.

426+C.4D.6【答案】A【解析】【分析】根据题意可知：直线：()100,0axbyab−+=过圆心()1,2-，进而可得()210,0abab+=，再利用基本不等式运算求解.【详解】由题意可知：圆：2224

10xyxy++−+=的圆心为()1,2-，若直线：()100,0axbyab−+=平分圆：222410xyxy++−+=的面积，则直线：()100,0axbyab−+=过圆心()1,2-，可得()2100,0abab−−+=，即()210,0abab+=，则

()21214424248babaababababab+=++=+++=，当且仅当4baab=，即122ab==时，等号成立，所以21ab+的最小值为8.故选：A.7.为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题，填空题和解答

题这3种题进行改编，则每种题型至少至少指派1名教师的不同分派方法种数为（）A.144B.120C.150D.180【答案】C【解析】【分析】将5名老师分为221++和311++的两种情况，计算得到答案.【详解】5名老师分为221++的情况时：共有22353322C

CA90A=；5名老师分为311++的情况时：共有3353CA60=，故共有9060150+=种不同分派方法.故选：C.的8.设实数x，y满足2214xy+=，则|3412|xy+−的取值范围为（）A.[0,)+B.[12213,12

213]−+C.[0,12213]+D.前三个答案都不对【答案】B【解析】【分析】利用三角换元，结合辅助角公式即可得解.【详解】因为x，y满足2214xy+=，令2cos,sinxy==，则()()|3412||6

cos4sin12|213sin1212213sinxy+−=+−=+−=−+，其中3tan2=，且为锐角，易知()1sin1−+，则()1221312213sin12213−−++，于是|3412|xy+−的取值范围是[12213,122

13]−+．故选：B.9.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，过点1F的直线分别交双曲线的左、右两支于A，B两点，且1||2ABAF=，若122π3FAF=，则双曲线离心率为（）A.7B.6C.5D.2【答案】A【解析】【

分析】根据给定条件，利用双曲线的定义、余弦定理求解作答.【详解】令1||AFt=，则122||2,||3,||32,||2ABtBFtBFtaAFta===−=+，在2ABF△中，2π3BAF=，由余弦定理得222222π||||||2|

|||cos3BFABAFABAF=+−，即222(32)4(2)2(2)tattatta−=++−+，解得2ta=，于是12||2,||4AFaAFa==，在12AFF△中，令双曲线半焦距为c，由余弦定理得：2222π(2)(4)224co

s(2)3aaaac+−=，解得7ca=，所以双曲线离心率7cea==.故选：A10.函数()11exfx=+，若()()()()22233gxfxafxa=−++有4个零点，则a的取值范围是（）A.()1,2B.3,22C.330,,222

D.331,,222【答案】D【解析】【分析】由()0gx=可得出()32fx=或()fxa=，数形结合可知直线32y=与函数()fx的图象有两个交点，从而可知直线ya=与函数()fx有两个零点，结合图形可得出实数a的取值范围.【详

解】由()()()()222330gxfxafxa=−++=，可得()()230fxfxa−−=，解得()32fx=或()fxa=，如下图所示：由图可知，直线32y=与函数()fx的图象有两个交点，又因为函数()gx有四个零点，故直线ya=与函

数()fx有两个零点，且32a，所以，12a且32a，因此，实数a的取值范围是331,,222.故选：D.11.设正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，点E是棱11AB的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：①如果

1AMBD⊥，则点M的轨迹所围成图形的面积为32；②如果1BM∥平面1AEC，则点M的轨迹所围成图形的周长为352；③如果EM∥平面11DBBD，则点M的轨迹所围成图形的周长为22+；④如果1EMBD⊥，则点M的轨迹所

围成图形的面积为334．其中正确的命题个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由正方体性质得11AD⊥面11ABBA，根据线面垂直的判定定理、性质定理证1BD⊥面1ACB，确定M轨迹图形判断①；若,FG分别为,CDAB中点，连接111,,,,AFFCBGGCCB，根据线面

平行、面面平行的判定证面1//BCG面1AECF，确定M轨迹图形判断②；若,,GIJ分别为11,,ABADAD的中点，连接,,,EGGIIJJE，同②方式证面11//DBBD面EGIJ，确定M轨迹图形判断③；若,,,,HIKLN分别是111111,,,,AAABBCCCCD的中点，并依次连接，先

证面//ENLKIH面1ACB，结合①得1BD⊥面ENLKIH，确定M轨迹图形判断④.【详解】由11AD⊥面11ABBA，而1AB面11ABBA，则11AD⊥1AB，又11ABBA⊥，又1111ADBAA=，111,A

DBA面11BAD，则1AB⊥面11BAD，由1BD面11BAD，则1AB⊥1BD，同理AC⊥1BD，1ABACA=，1,ABAC面1ACB，则1BD⊥面1ACB，所以1BD垂直于面1ACB所有直线，且A面1ACB，若1AMBD⊥，则

M在边长为2的正△1ACB的边上，故轨迹图形面积为213(2)sin6022=，①对；若,FG分别为,CDAB中点，连接111,,,,AFFCBGGCCB，由正方体的性质易得11////AEBGFC，11AEBGFC==，所以1,,,

AECF共面，且1AECF为平行四边形，故面1AEC即为面1AECF，由AE面1AECF，1BG面1AECF，则1//BG面1AECF，同理可得//CG面1AECF，1BGCGG=，1,BGCG面1BCG，所以面1//BCG面1AECF，要使1BM∥平面1AEC，则M

在△1BCG边上，所以轨迹长为522252+=+，②错；的若,,GIJ分别为11,,ABADAD的中点，连接,,,EGGIIJJE，显然//EGIJ，所以,,,EGIJ共面，即,,,EGIJ面EGIJ，由1//EGBB

，EG面11DBBD，1BB面11DBBD，则//EG面11DBBD，又//IGBD，同理可得//IG面11DBBD，EGIGG=，,EGIG面EGIJ，所以面11//DBBD面EGIJ，故面EGIJ内任意

直线都与面11DBBD平行，要使EM∥平面11DBBD，则M在四边形EGIJ的边上运动，此时轨迹长为2221222+=+，③对；若,,,,HIKLN分别是111111,,,,AAABBCCCCD的中点，并依次连接，易知ENLKIH为正六边形，显然

1//EHAB，////ENIKAC，由EH面1ACB，1AB面1ACB，则//EH面1ACB，同理可得//EN面1ACB，EHENE=，,EHEN面ENLKIH，所以面//ENLKIH面1ACB，由1BD⊥面1ACB，则1BD⊥面ENL

KIH，故1BD垂直于面ENLKIH所有直线，要使1ENBD⊥，则M在边长为22的正六边形ENLKIH边上运动，所以轨迹图形面积为2123336()2224=，④对；故选：C12.已知函数()fx是奇函数()()f

xxR的导函数，且满足0x时，()()1ln0xfxfxx+，则不等式()()9850xfx−的解集为（）A()985,+B.()985,985−C.()985,0−D.()0,985【答案】D【解析】【分析】根据已

知条件构造函数()()lngxxfx=，求导后可判断当0x时，函数()gx单调递减，再由()10g=，可得当0x时，()0fx，再由()fx为奇函数，得0x时，()0fx，从而可求得不等式的解集.【详解】令函数()()lngxxfx=，则()()()1ln0g

xfxxfxx=+，即当0x时，函数()gx单调递减，因为()10g=，所以当01x时，()0gx，当1x时，()0gx.因为当01x时，ln0x，当1x时，ln0x，所以当()()0,11,x

+时，()0fx.又()()1ln110ff+，()10f，所以当0x时，()0fx；又()fx为奇函数，所以当0x时，()0fx，所以不等式()()9850xfx−可化为09850xx−或09850xx−，解得0985x，所以不等

式的解集为()0,985，故选：D.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是根据题意构造函数，然后求导后可判断函数的单调性，从而利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想，属于较难题..二、填空题（

本大题共4小题，共20分）13.522(12)xxx++展开式中3x的系数是__________.【答案】104【解析】【分析】根据通项公式可求出结果.【详解】522(12)xxx++()()

55221212xxxx=+++，()512x+的通项公式为155C(2)2CkkkkkkTxx+==，0,1,2,3,4,5k=，所以522(12)xxx++展开式中3x的系数是2255552C22C+104=.故

答案为：104.14.已知向量()2,cosa=−，()1,sinb=，且//ab，则2sin22cos3=+__________.【答案】423−【解析】【分析】由//ab，得到1tan2=−，然后由2222sin22sincos2tan2cos35cos3sin53tan

==+++求解.【详解】解：因为//ab，所以2sincos0−−=，所以1tan2=−，所以2222sin22sincos2tan1412cos35cos3sin53tan23534−====−++++.故答案为：423−15.已知双曲线()222

210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足110AFBF=，11tan3ABF=，则该双曲线的渐近线方程为______．【答案】62yx=【解析】【

分析】根据垂直关系以及双曲线的对称性可得四边形12AFBF为矩形，即可结合双曲线的定义求解113,BFaAFa==，进而可求.【详解】由110AFBF=可得11AFBF⊥，由于,AB关于原点O对称，

1F,2F关于原点O对称，所以四边形12AFBF为矩形，故122ABFFc==，由于1111tan,3AFABFBF==又21112AFAFBFAFa−=−=，所以113,BFaAFa==，因此221110ABAFBFa=+=，故

210ca=，进而可得()2222610442bacaba==+=，所以渐近线方程为：62yx=故答案为：62yx=16.如图，在直角梯形ABCD中，90,1,2BADABADCD====，将ABD△沿BD翻折成

ABD，使二面角ABDC−−为60，则三棱锥ABCD−外接球的表面积为__________.【答案】14π3【解析】【分析】外接球的球心为O，半径为,rM为BD中点，N为CD中点，由二面角的定义可得AMN为二面角ABDC−−

的平面角，所以有60AMN=，作AHMN⊥于H，由题意可求得64AH=，2,4NH=进而可得276r=，即可得答案.【详解】解：如图，设外接球的球心为O，半径为,rM为BD中点，N为CD中点，因为1ABAD

==，所以AMBD⊥，MN∥BC，又因为90BAD=，2CD=，所以1CNDN==，所以221BNBDDN=−=,222BCCNBN=+=,所以90NMD=o，NMBD⊥，所以AMN为二面角ABDC−−的平面角，所以60AMN

=，作AHMN⊥于H，因为AMBD⊥，NMBD⊥，NMAMM=，所以BD⊥平面AMN，又因为AH平面AMN，所以BD⊥AH，又因为AHMN⊥，BDMNM=,则AH⊥平面BCD，所以AH∥O

N，则有OCOAr==，即()2222ONCNNHAHON+=++，由题意可求得：2361,sin60224CNAHAM====，2212cos60,2224NHMNMHMNAM=−=−=−=设ONh=，由题上式可得：2216184hh+=++

，求得：16h=，从而求得：276r=，故三棱锥ABCD−外接球的表面积为2144ππ3Sr==.故答案为：14π3三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在ABC中，是A，B，C所对应的

分边别为a，b，c，且满足sinsin2aBbA=.（1）求A；（2）若2a=，ABC的面积为23，求ABC的周长.【答案】（1）π3A=（2）227+【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合正弦的二倍角公式变形可得A；（2）

由面积公式求得bc，再由余弦定理求出bc+，从而可得周长．【小问1详解】因为sinsin2aBbA=，所以由正弦定理得sinsinsinsin2ABBA=，因为sin0B，所以sinsin2AA=，则sin2sincosAAA=，因为sin0A，所以1cos2A=，又因为0πA，所以π3

A=；【小问2详解】因为113Ssin23222ABCbcAbc===△，所以8bc=，又由余弦定理2222cosabcbcA=+−得，2214282bc=+−，所以2212bc+=，则222121627bcbcbc+=++=+=，所以ABC的周长为：227+．18.如图，在直三棱柱1

11ABCABC-中，1111ABAC⊥，D是11BC的中点，1114,3AAABAC===.（1）求证：若F为BC中点，求证：1//BF平面1ACD；（2）F点为BC中点时，求二面角1BAFB−−余弦值.【答案】

（1）证明见解析（2）33434【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证得1//BF平面1ACD.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角1BAFB−−余弦值.【小问1详解】由于F是BC的中点，D是11BC的中点，所以11//,CFDBCFDB=，所以四边形1CFBD

是平行四边形，所以1//BFCD，由于1BF平面1ACD，CD平面1ACD，所以1//BF平面1ACD.【小问2详解】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，由于1114,3AAABAC===，所以()()()134,0,0,0,3,

0,2,,0,4,0,42BCFB，平面BAF的法向量为()0,0,1m=.设平面1BAF的法向量为(),,nxyz=，所以14403202nABxznAFxy=+==+=，令3z=可得3,4xy=−=，故()3,4,3n=−.设二面角1BAFB−−为，由图可知

为锐角，3334cos349169mnmn===++.19.下表为某班学生理科综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在[80,90)分数段内的学生人数为21.`分数段[65,70)[70,75)

[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]频率0.10.150.20.20.150.1*（1）求测试成绩在[95,100]分数段内的人数；（2）现欲从[95,100]分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为3

5，求[95,100]分数段内男生的人数；（3）若在[65,70)分数段内的女生为4人，现欲从[65,70)分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，为分配到此组的3名学生中男生的人数．求的分布列及期望E【答案】（1）6（2）2（3）分布列见解析，()1

E=【解析】【分析】（1）利用在[80,90)分数段内的学生数为21人求出高二年级某班学生总数，再利用频率和为1求出，两数相乘可得答案；（2）设男生有x人，根据抽出2人这2人都是男生的概率为12266216C5CC3CCxxx−+=，解得x可得答案；（3）求出

在[65,70)分数段内的学生人数及男生人数，可得的取值及对应的概率，可得分布列和期望.【小问1详解】某班学生共有21600.20.15=+人，因为0.10.150.20.20.150.11++++++=，所以0.1=，所以测试成绩在[95,10

0]分数段内的人数为600.16=人.【小问2详解】由（1）知在[95,100]分数段内的学生有6人，设男生有x人，若抽出2人至少有一名男生的概率为35，则12266216C5CC3CCxxx−+=，解得2x=，所以在95,100分数段内男生有2人.【小问3详解】在[65,70)分

数段内的学生有600.16=人，所以男生有2人，X的取值有0,1,2，()3436C10C5P===，()214236CC31C5P===，()124236CC12C5P===，X的分布列为012P152515()1310121555E=++=.20.已知抛物线2:4Myx

=的焦点为F，过点()2,0的直线与抛物线M交于,AB两点，点A在第一象限，O为坐标原点．（1）设P为抛物线M上的动点，求OPFP的取值范围；（2）记AOB的面积为1,SBOF△的面积为2S，求12SS+的最小值．【答案】（1）23[0,]3；（2）43.【解析】【分析】（1）求出抛物线M的焦点

坐标，准线方程，设点2(,2)Ptt，求出OPFP关于t的函数关系，再利用二次函数性质求解作答.（2）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理、三角形面积公式结合均值不等式求解作答.【小问1详解】依题意，抛物线2:4

Myx=的焦点()1,0F，准线方程1x=−，设2(,2)Ptt，则222422||()(2)4,||1OPttttFPt=+=+=+，因此4222222222||(1)2(1)31143()||(1)13341

tttOPtFPttt++++−===−+−+++，而211≥t+，即有21011t+，则当2111t=+，即0=t时，min0(||)||OPFP=，当21113t=+，即2t=时，max||23)||3(OPFP

=，所以OPFP的取值范围是23[0,]3.【小问2详解】显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为2xmy=+，由224xmyyx=+=消去x并整理得2480ymy−−=，显然0，设1122(,),(,)AxyBxy

，120,0yy，则128yy=−，即218yy=−，令(2,0)为点E，于是AOB的面积为121211||()2OEySyyy=−=−，BOF的面积为22211||||22SOFyy==−，因此12122121111131212()()

24322SSyyyyyyyyy+=−+−=−=+=，当且仅当1112yy=，即123y=时取等号，所以12SS+的最小值为43.21.已知函数()()()2e2xfxmxnmxmnx=++++在=1

x−处取得极小值11e−−.（1）求实数,mn的值；（2）当()0,x+时，证明：()3ln2fxxx++.【答案】（1）1,0==mn（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数极值点与极值，求导数代入计算，即可得,mn的值；（2）设()232elnxgxx

xxx=++−−，求()gx，确定导函数的单调性与取值情况，即可得()gx的取值情况，从而得结论.【小问1详解】()()e22xfxmxnmmxmn=+++++，由题意知()10f−=，则1e0nn−+=，即0n=，由()111ef−=−−，知11eemm−−=−−，即1m=．故1,0=

=mn，经检验符合题意；【小问2详解】由（1）得()2e2xfxxxx=++，设()232elnxgxxxxx=++−−，则()()()()()()211111e211e1e2xxxxxgxxxxxxxx−+=++

+−=++=++−．设()1e2(0)xhxxx=+−，则()hx在()0,+上单调递增，且113411e20,e1043hh=−=−，所以存在唯一011,43x，使得()0001e

20xhxx=+−=，即001e2xx=−．当00xx时，()()()0,0,hxgxgx单调递减；当0xx时，()()()0,0,hxgxgx单调递增．0222min0000000000032()eln1

2ln2l32n1xgxxxxxxxxxxxx=++−−=−++−−=−−−．设()2111ln,,432Gxxxxx=−−−，则()()()121121xxGxxxx−=+=−−，当11,43x时，()()0,GxGx单调递减，所以()113135ln3

lne03181818GxG=−−=，所以()0gx，故当()0,x+时，()3ln2fxxx++．【点睛】方法点睛：证明函数不等式()()fxgx的常用的方法：（1）构造差函数法：构造差函数()()()Fxfxgx=−，求导()Fx

，判断函数单调性，从而得函数最值，让最值与0比较大小即可得答案；（2）分离函数法：确定中间函数()hx，利用导数分别证明()()fxhx，()()hxgx，即可证明结论；（3）放缩法：利用不等式对所证不等式进行放缩，证明放缩后的不等式成立，即可得结论.四、

选做题（总分10分，只需要从中选择1个题目完成）22.在直角坐标系xOy中，直线l经过点()3,1M，倾斜角为30，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos=.（1）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，弦AB的中点为N，求MNMAMB的值.【答案】（1）l的参数方程为332112xtyt=+=+（t为参数），C的直角坐标方程为()2224xy−+=（2）3

14+【解析】【分析】（1）根据直线过点()3,1M及倾斜角即可写出参数方程，根据极坐标与直角坐标的转化公式写出曲线C的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入圆的方程，得到关于参数t的一元二次方程，根据根与系数的关系及参数的几何意义求解即可.【小问1详解】l的参数方程为3cos301sin30xt

yt=+=+，即332112xtyt=+=+（t为参数），因为曲线C的极坐标方程为4cos=，即24cos=，所以224xyx+=化简得()2224xy−+=，所以C的直角坐标方程为()2224xy−+=；【小问2详解】将l的参数方程代入C的直角坐标方程

，得223111422+++=tt，整理，得()23120tt++−=，此时()2Δ3180=++，设,AB两点对应的参数分别为1t，2t，则1231tt+=−−，122

tt=−，所以1t，2t异号，1212,,2+===MAMBttttMN，所以121231312242−−+===−+ttttMNMAMB.23.已知函数()2fxxxa=++−，aR．（1）当1a=时，求不等式()5fx的解集；（2）若对任意

xR，都有()1fxa−成立，求a的取值范围．【答案】（1）[]3,2-（2）12−+，【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值符号解不等式即可；（2）利用三角不等式化简条件式得22xxaa++−+，解不等式21aa+−即可.小问1详解】当

1a=时，()21fxxx=++−，∴()5fx，即为215xx++−，当1x时，215xx++−，解得12x；当2<<1x−时，215xx++−，恒成立；当2x−时，215xx−−+−，解得32x−−≤≤．综上，不等式()5fx的解集是[]3,2-．【【小

问2详解】()1fxa−对任意实数x都成立，即21xxaa++−−恒成立，∵222xxaxaxa++−++−=+，∴21aa+−，当2a−，则1212aaa+−−，当2a−，则21aa+−，无解；综上，解得

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