【文档说明】四川省内江市第一中学2024届高三上学期开学考试数学（文）试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.861 MB，由小赞的店铺上传

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内江一中高2024届高三上学期入学考试文科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.1.设1i2i1iz−=++，则z的虚部为（）A.iB.3iC.1D.3【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法及加减运算求解作答.【详解】依题意，(1

i)(1i)2i2i=2ii2ii(1i)(1i)2z−−−=++=−+=+−，所以复数z的虚部为1.故选：C2.已知双曲线M：221(0)8xyaaa−=+的焦点到其渐近线的距离为4，则双曲线M的渐近线的方程是（）A.3yx=B.33yx=C.2yx=D.

y＝±2x【答案】C【解析】【分析】表达出焦点及渐近线方程，利用点到直线距离列出方程，求出渐近线方程.【详解】221(0)8xyaaa−=+的焦点为()28,0a+，渐近线方程为：8ayxa+=，则828481aaaa

a++=++，解得：8a=，所以渐近线方程为：2yx=故选：C3.函数21()ln2fxxx=−的单调增区间（）A.(1,)+B.(0,)+C.(,1)(1,)−−+D.(1,1)−【答案】A【解析】【详解】21()ln2fxxx=−的定义域为()0,+

，211()xfxxxx=−=−，令()0fx，解得1x，故21()ln2fxxx=−的单调递增区间为(1,)+.故选：A4.下列求导数运算正确是（）A.()sincos1cos2xxx+=B.2cossincosxxxxxx−

=C.()133xxx−=D.()1lgxx=【答案】A【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数公式逐项判断即可.【详解】解：A项中，()()22sincos1sincos(sin)cossin(cos)co

ssincos2xxxxxxxxxxx+==+=−=，故A项正确；B项中，222cos(cos)()cossincossincosxxxxxxxxxxxxxxx−−−+===−，故B项错误；C项中，()33ln3xx=，故C项错误；D项中，()

1lgln10xx=，故D项错误.故选：A.5.设a，b都是实数，则“0ab”是“11abb−”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件的【答案】D【解析】【分析】取2,1ab==，可判断充

分性，取1,2ab=−=−可判断必要性，分析即得解.【详解】当2,1ab==，满足0ab，但11abb=−，所以充分性不成立；若1,2ab=−=−，则111,ababb−=−．但不满足0ab，必要性不成立．因此“0ab”是“11abb−”的既不充分也不必要

条件．故选：D6.设一组样本数据122022,,,xxx的平均数为100，方差为10，则1220220.11,0.11,,0.11xxx+++的平均数和方差分别为（）A.10,1B.10,0.1C.11,1D.11,0.1【答案】D【解析】【分析】根据平均数和方

差的公式计算出正确答案.【详解】依题意2100,10xS==，所以0.110.1100111x+=+=，()220.10.01100.1S==.故选：D7.已知函数()22,1,txxxtfxxxt++=

+且()fx在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（）A.(,1]−−B.()1,5C.()1,2−D.(1,)−+【答案】A【解析】【分析】先判断()fx的单调性，然后对t进行分类讨论，由此求得

t的取值范围.【详解】由于函数1yx=+在定义域上单调递增，所以函数()fx在定义域上是单调递增函数．当0t=时，函数()2,01,0xxfxxx+=+在定义域上不单调，不符合题意；当0t时，函数2

2ytxx=++图象的对称轴为12xt=−，当0t时，函数22ytxx=++在区间1,2t−−上单调递减，不符合题意，当0t时，函数22ytxx=++在区间1,2t−−上单调递增，要使函数()fx在定义域上单

调递增，则需31212ttttt+++−，解得1t−．故实数t的取值范围为(,1]−−．故选：A8.高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便．某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口，若同时

开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号①②②③③④④⑤①⑤疏散乘客时间(s)120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是A.①B.②C.④D.⑤【答案】C【解析】【分析】利

用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果．【详解】（1）同时开放①⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时

间为140s，所以疏散1000名乘客④比①快60s．（2）同时开放①⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放①②两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，所以疏散10

00名乘客②比⑤快80s．（3）同时开放①②两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放②③两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，所以疏散1000名乘客①比③快100s．（4）同时开放②③两个安全出口，

疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放③④两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以疏散1000名乘客④比②快60s．（5）同时开放③④两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，同时开放④⑤两个安全出口，

疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以疏散1000名乘客⑤比③快20s．综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是④．【点睛】本题考查推理的应用，考查分析判断的能力，解题的关键是读懂题意，然后得到每两个安全出口疏散1000名乘客所用时间的大小关系，比较后可得结果．9.设函数()fx是定义在实数

集上的奇函数，在区间)1,0−上是增函数，且()()2fxfx+=−，则有（）A.()13132fffB.()31123fffC.()13132fffD.()31123fff【答

案】A【解析】【分析】由奇偶性和单调性求解即可【详解】()fx为奇函数，∴()()fxfx−=−，又∵()()2fxfx+=−∴1133ff=−−，()()11ff=−−，3112222fff=−+=

−−，又∵1111023−−−−，且函数在区间)1,0−上是增函数，∴()111023fff−−−，∴()11123fff−−−−−，()31123fff，故选：A.10.从3男

2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作，则至少有1名女性志愿者参加的概率为（）A25B.12C.35D.710【答案】D【解析】.【分析】将3名男性志愿者分别记为a，b，c，2名女性志愿者分别记为d，e，然后列举出

从5人中抽取2人的所有情况，再找出至少有1名女性的情况，然后利用古典概型的概率公式求解.【详解】将3名男性志愿者分别记为a，b，c，2名女性志愿者分别记为d，e，则样本空间{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),

(,),(,)}abacadaebcbdbecdcede=，共包含10个样本点．记事件A为至少有1名女性志愿者参加，则{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}Aadaebdbecdcede=，A包含的样本点个数为7，所以

7()10PA=．故选：D11.已知椭圆221112211:1(0)xyCabab+=与双曲线222222222:1(0,0)xyCabab−=有相同的焦点12,FF，若点P是1C与2C在第一象限内的交点，且1222FFPF=,设1C与2C的离心率分别为12,e

e，则21ee−的取值范围是A.13+，B.13+，C.12+，D.12+，【答案】D【解析】【分析】设椭圆与双曲线的半焦距为122FFc=,1||PFt=,由题意可得12aac−=，用2e表示出1e，结合二次函数的性质即可求

出范围.【详解】如图所示：设椭圆与双曲线的焦距为122FFc=,1||PFt=,由题意可得122,2tcatca+=−=122,2tactac=−=+，1222acac−=+，即12aac−=12111ee−=，即2121eee=+2222122222211111eeeeee

eee−=−==+++，由21e可知2101e，令21(0,1)xe=，2(0,2)yxx=+，所以2112ee−，故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线和椭圆的性质以及离心率的问题，考查了转化思想，属于中档题.12.已知78ea−=，

9ln8b=，18c=，则a，b，c的大小关系为（）A.cabB.acbC.cbaD.bca【答案】D【解析】【分析】构造()()e1xhxx=−+，0x，求导得到其单调性，结合()00h=，得到781e8ac−==；构造()

()ln1gxxx=−−，1x，求导得到其单调性，结合()10g=得到91ln88，即bc，从而得到答案.【详解】构造()()e1xhxx=−+，0x，则()e10xhx=−在(),0−上恒成立，故()()e1xhxx=−+在()

,0−上单调递减，又()00e10h=−=，故7877e1088h−−=−−+，故781e8ac−==，构造()()ln1gxxx=−−，1x，则()1110xgxxx−=−=在()1,+上恒成立，故()()ln1gxxx=−−在()1,+单调递减，又

()1ln100g=−=，()9008gg=，故91ln088−，即91ln88，故bc，综上：bca故选：D【点睛】构造函数比较大小是常考内容，以下时常用的不等式放缩，eexx，e

1xx+，()ln10xxx−，11ln1xx−，111ln11xxx++等，观察要比较的式子结构，选择合适的不等式.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.已知{N113},1,2,3,4,5AxxB=

−=，则()BAB=ð____.【答案】1,2,4,5【解析】【分析】根据补集、交集的知识求得正确答案.【详解】113,24xx−，所以3A=,1,2,4,5BA=ð，所以()1,2,4,5BAB=ð.故答案为：

1,2,4,514.如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为10cm，高为20cm，则这个茶叶盒的表面积为______2cm.【答案】300(43)+【解析】【分析】根据棱柱表面积的求法，结合已知求茶叶盒的表面积.【详解】由题设，一个底面的面积为1161010sin6015032S==2cm

，一个侧面矩形面积为21020200S==2cm，所以茶叶盒的表面积为1226300(43)SS+=+2cm.故答案为：300(43)+15.已知抛物线2:8Cyx=的焦点为F，准线为l，过点F的直线交

C于P，Q两点，PHl⊥于H，若HFPF=，O为坐标原点，则PFH△与OFQ的面积之比为______．【答案】12【解析】【分析】根据给定的条件，求出直线PQ的方程，与抛物线方程联立求出PF，QF的长即可求解作答.【详解】

依题意，由PHl⊥于H，得||PHHPFF==，即PFH△是正三角形，60PFxFPH==，而(2,0)F，则直线PQ的方程为3(2)yx=−，由23(2)8yxyx=−=，消去y并整理，得2320120xx−+=，令

1122)(,),(,PxyQxy，解得1226,3xx==，又准线:2lx=−，因此128||28,||23PFxQFx=+==+=，所以PFH△与OFQ的面积之比221||sin60821218||||sin60223PFHO

FQPFSSQFOF===.故答案为：12.16.若()0,x+，不等式2lne0xaxaxxx++−恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】1,e+【解析】【分析】令lnlntxxa=−

+，将所求不等式变形为e10tt+−，构造函数()e1tftt=+−，利用导数分析函数()ft的单调性，可得出lnln0txxa=−+，利用导数求出函数lnlntxxa=−+的最小值，可得出关于a的不等式，即可解得a的取值范围.【详解】因为0x，0ax，

则𝑎>0，()0,x+，2lne0xaxaxxx++−可得eln10xaaxxx++−，即lnlnlnlne10xaxxax+−+−+−，令lnlntxxa=−+，则e10tt+−，令()e1tftt=+

−，其中Rt且()00f=，()e10tft=+，则函数()ft在R上单调递增，由e10tt+−可得()()00ftf=，所以，lnln0txxa=−+，其中0x，111xtxx−=−=，当01x时，0t，此时函数lnln

txxa=−+单调递减，当1x时，0t，此时函数lnlntxxa=−+单调递增，所以，min1ln1ln0ta=−+，解得1ea.故答案为：1,e+.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立，解本题的关键在于将所求不等式变形为lnlnlnlne10x

axxax+−+−+−，通过换元lnlntxxa=−+将不等式变形为e10tt+−，再通过构造函数的方法求出t的取值范围，结合导数法可求得a的取值范围.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选

考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.动点(,)Pxy与定点(1,0)F的距离等于点P到直线=1x−的距离，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）经过定点(3,1)M直线l与曲线C交于,AB两点，且点M是线段AB的中点，

求直线l的方程．【答案】（1）24yx=（2）25yx=−【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义直接求解；(2)利用点差法求出l的斜率即可求解.【小问1详解】根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹为抛物线，且该抛物线以(1,0)F为焦点，所以

1,2p=所以2p=，所以曲线C的方程为24yx=.【小问2详解】若直线l垂直于x轴，则AB的中点在x轴上，不满足题意，若直线l不垂直于x轴，设1122(,),(,)Axyxy，且122yy+=，因为,AB在曲线C上，所以21122244

yxyx==，两式相减得，121212()()4()yyyyxx+−=−，所以12121242yyxxyy−==−+，即2ABk=，所以l的方程为12(3)yx−=−整理得25yx=−.18.某土特产超市为预估202

2年元旦期间游客购买土特产的情况，对2021年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：购买金额（元）)0,150)150,300)300,450)450,600)600,7507

50,900人数101520152010附：参考公式和数据：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++.附表：0k2.0722.7063.8416.6357.879()20PKk0.1500.1000.

0500.0100.005（1）根据以上数据完成22列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关.不少于600元少于600元合计男40女18合计（2）为做好2022年元旦的营销活动，该超市从2021年元旦期间的90位游客购买金额少于600元的人群中按照分层抽样

的方法任选6人进行购物体验回访，并在这6人中随机选取2人派发购物券，问能拿到购物券的2人恰好是一男一女的概率是多少？【答案】（1）列联表答案见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关（2）815【解析】【分析】（1）根据表格中的数据完善22

列联表，计算出2K的观测值，结合临界值表判断可得出结论；（2）分析可知按照分层抽样应该选4名男性，2名女性.记4名男性分别为A、B、C、D，2名女性分别为a、b，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的

基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：22列联表如下表所示：不少于600元少于600元合计男124052女182038合计306090()22901220401814405.8303.8413060

5238247K−==，因此有95%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关.【小问2详解】解：按照分层抽样应该选4名男性，2名女性.记4名男性分别为A、B、C、D，2名女性分别为a、

b，恰好选到一男一女的事件记为E，则任选2人派发购物券的所有可能结果为：AB、AC、AD、Aa、Ab、BC、BD、Ba、Bb、CD、Ca、Cb、Da、Db、ab，共15种，事件E包含的基本事件有：Aa、Ab、Ba、Bb、Ca、Cb、Da、Db，共8种，因此，()8

15PE=.19.如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，//ABCD，90ABC=，2AB=，1BCCD==，PAD△为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD.（1）证明：BDPA⊥；（2）求三棱锥CPBD−的体

积.【答案】（1）证明见解析；（2）612.【解析】【分析】（1）取AB中点E，连DE，易得EBCD为正方形，AED△为等腰直角三角形，再根据面面垂直的性质有BD⊥平面PAD，最后由线面垂直的性质证结论.（

2）取AD中点O，连PO，由面面垂直的性质有⊥PO平面ABCD，根据棱锥体积公式求三棱锥CPBD−的体积.【小问1详解】取AB中点E，连DE，因为//ABCD，90ABC=，2AB=，1BCCD==，所以四边形EBCD为正方形，AED△为等腰直角三角形，则2AD=，BDAD⊥，因为面PAD⊥面

ABCD，面PAD面ABCDAD=，BD面ABCD，所以BD⊥平面PAD，又PA平面PAD，所以BDPA⊥.【小问2详解】取AD中点O，连PO，则POAD⊥，且62PO=，因为平面PAD⊥平面ABC

D，面PAD面ABCDAD=，PO面PAD，所以⊥PO平面ABCD，又BCD△面积为1122BCBD=，三棱锥CPBD−的体积为16312CPBDPBCDBCDVVSPO−−===△.20.在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：3

2x=的距离之比是常数233，记P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）设过点A(3，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.【答案】（1）2213xy−=（2）证

明见解析【解析】【分析】（1）设P(x，y)，由P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：32x=的距离之比是常数233求解；（2）直线MN斜率不存在时，由直线AM，AN分别为yx3=−，3=−+yx，求得与双

曲线的交点即可；直线MN斜率存在时，设其方程为ykxm=+，(33k)，与双曲线方程联立，根据AM⊥AN，结合韦达定理得到k，m的关系即可.小问1详解】解：设P(x，y)，因为P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：32

x=的距离之比是常数233，所以22(2)23332xyx−+=−，【化简得2213xy−=，所以曲线E的方程为2213xy−=.【小问2详解】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为yx3=−，3=−+yx，分别联立2

213xy−=，解得M(23，3)，N(23，－3)，此时直线MN的方程为23x=，过点(23，0)；当直线MN斜率存在时设其方程为ykxm=+，(33k)由2213xyykxm−==+，消去y得222(13)6330−−−−=kxkmxm，所以222(6

)4(13)(33)0kmkm=−−−−，即22130mk+−，122613kmxxk+=−，21223313mxxk−−=−，因为AM⊥AN，所以1212133AMANyykkxx==−−−，即()()121233yyxx=−−−，即(

)()1212()()33kxmkxmxx++=−−−，即2212121212()3()3kxxkmxxmxxxx+++=++−，将122613kmxxk+=−，21223313mxxk−−=−代入化简得：223360mkmk++=，所以3

mk=−或23mk=−，当3mk=−时，直线MN方程为3ykxk=−(不符合题意舍去)，当23mk=−时，直线MN方程为(23)ykx=−，MN恒过定点(23，0)，综上所述直线MN过定点(23，0).21.已知函数()2=+bfxaxx，若

函数()fx在点()()1,1f处的切线方程为3y=.（1）求a，b的值；（2）求()fx的单调区间；（3）当0x时，若存在常数0t，使得方程()fxt=有两个不同的实数解1x，2x，求证：122xx+.【答案】（1）1a=、2b=（2）单调递减区间(),0−，()0,1，单调递增

区间为()1,+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()()1310ff==，即可得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得()22fxxx=+，求出函数的定义域与导函数，再解得关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间

；（3）由（2）不妨设12xx，则1201xx，则只需证明()()212fxfx−，即证()()112fxfx−，令()()()2gxfxfx=−−()01x，利用导数说明函数的单调性，即可得证.【小问1详解】因为

()2=+bfxaxx，所以()22bfxaxx=−，因为函数()fx在点()()1,1f处的切线方程为3y=，所以()()1310ff==，即320abab+=−=，解得12ab==.【小问2详解】由（1）可得()22fxxx

=+定义域为()(),00,−+，则()()()232222112222xxxxfxxxxx−++−=−==，为因为22131024xxx++=++，所以当0x或01x时()0fx，当1x时()0fx，所以()fx的单调递减区间为(),0−，()0,1

，单调递增区间为()1,+.【小问3详解】由（1）可得当0x时()fx的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+，则()fx在1x=处取得极小值()13f=，因为当0x时，存在常数0t，使得方程()fxt

=有两个不同的实数解1x，2x，即()yfx=()0x与yt=有两个交点，则3t，不妨设12xx，则1201xx，要证122xx+，即证212xx−，又101x，所以1122x−，因为()fx在()1,+上单调递增，所以只需证明()()212fxfx−，又()()1

2fxfx=，则只需证明()()112fxfx−，令()()()()2222222gxxfxfxxxx+−−−−==−−()01x，则()()()()()()2222222222222222222xxxxxxxxgxxx−−−−

−=+−−=−−()()()()()()3232222221264413222xxxxxxxxxx−−+−−+==−−，令()3232hxxx=−+，()01x，则()()236320hxxxxx=−=−，则()hx在()0,1上单调递减，且()10h

=，所以()0hx，所以()0gx，即()gx在()0,1上单调递减，所以()()10gxg=，即()()20fxfx−−在()0,1上恒成立，所以()()2fxfx−在()0,1上恒成立，即()()112fxfx−在()10,1x上恒成立，则122xx+

.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的

第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线M的方程为24yxx=−+，曲线N的方程为9xy=，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线M，N的极坐标方程；（2）若射线00π:(0,0)2l=与曲线M交于点A（异于极点），与曲

线N交于点B，且||||12OAOB=，求0．【答案】（1）π4cos02=；2sin218=（2）π4【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线M和N的极坐标方程；（2）将0=代入曲线

M和N的方程，求得018||sin2OB==和0||4cosOA==，结合题意求得0tan1=，即可求解.【小问1详解】解：由24yxx=−+，可得224(0)yxxy=−+，即224(04,0)xyxxy+=，又由cossinxy==，可得2π4

cos(0)2=，所以曲线M的极坐标方程为π4cos02=．由9xy=，可得2cossin9=，即2sin218=，即曲线N极坐标方程为2sin218=.【小问2详解】解

：将0=代入2sin218=，可得018||sin2OB==，将0=代入4cos=，可得0||4cosOA==，则012||||tanOAOB=，因为||||12OAOB=，所以0tan1=，又因为0π02，所以

0π4=．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()221fxxaxa=+++−.（1）当1a=−时，求不等式()6fx的解集；（2）若()4fx恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）2xx−或𝑥≥4}（2）(),13,−−+【解析】【分析】（1）

分1x−，13x−和3x三种情况求解即可；（2）利用绝对值三角不等式可求出()minfx，则()min4fx，从而可求出实数a的取值范围.【小问1详解】当1a=−时，22,1()134,1322,2xxf

xxxxxx−−=++−=−−，当1x−时，226x−，故2x−；当13x−时，46，故无解；当3x时，226x−，故4x因此，不等式()6fx的解集为2xx−或𝑥≥4}.的【小问2详解】因为()()22221211fxxaxaaa

a=+++−−+=−，当且仅当()2xa+()210xa+−时取等号，故当()214−a，即12a−时，()4fx，解得3a或1a−.所以a的取值范围是(),13,−−+.