【文档说明】人教A版选择性必修 高二年级数学下学期期末考试分类汇编 ——椭圆（教师版）【高考】.docx，共(25)页，1.305 MB，由小赞的店铺上传

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专题04椭圆方程及其应用类型一椭圆的定义与标准方程1．（2022·全国·高二课时练习）设1F、2F为椭圆2212516xy+=的两个焦点，直线过1F交椭圆于A、B两点，则△2AFB的周长是（）．A．10B．15C．20D．25【答案】C【

解析】由椭圆的定义可知12210AFAFa+==，12210BFBFa+==，则△2AFB的周长为121220AFAFBFBF+++=，故选：C.2．（2022·广东·广州市番禺区实验中学高二期中）已知1F，2F是椭圆22:12516xyC+=的两个焦点，点M在C上，则12MFMF的最大

值为（）．A．13B．12C．25D．16【答案】C【解析】由椭圆方程知：5a=；根据椭圆定义知：12210MFMFa+==，21212252MFMFMFMF+=（当且仅当12MFMF=

时取等号），12MFMF的最大值为25.故选：C.3．（2022·安徽滁州·高二期中）已知椭圆221259xy+=的焦点为1F、2F，P为椭圆上的一点，若1260FPF=，则12FPF△的面积为（）A．3B．9C．33D．93

【答案】C【解析】根据椭圆的定义有1210,2594PFPFc+==−=，①根据余弦定理得221212642cos60PFPFPFPF=+−，②结合①②解得1212PFPF=，所以12FPF△的面积12113sin60123

3222SPFPF===．故选:C类型二椭圆的简单几何性质4．（2022·安徽·南陵中学高二阶段练习）已知椭圆2212516xy+=的左､右焦点分别为B、C，A为椭圆上的一点（不在x轴上），则△ABC面积的最大值是（）A．15B．12

C．6D．3【答案】B【解析】由三角形面积公式12ABCASBCy=可知，当Ay最大时ABCS有最大值，即点A位于椭圆上顶点或下顶点，其中2222225166BCcab==−=−=，则△ABC面积的最大值是164122ABCS==，故选：B.5．（2022·广东·盐田高中高二期中）已

知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，其左右焦点分别为12,FF，其离心率为12e=，点P为该椭圆上一点，且满足12π3FPF=，已知12FPF△的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为（）A．2B．4C．6D．12【答案】D【解析】

由12e=，得12ca=，即2ac=①.设12FPF△的内切圆的半径为r，则因为12FPF△的内切圆的面积为3π，所以2π3πr=，解得3r=（负舍），在12FPF△中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知()122121tan2222FPFFSbracPF==+，即()2

333bac=+②，由222abc=+③，联立①②③，得3,6,33cab===，所以该椭圆的长轴长为22612a==.故选：D.6．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习）已知p是椭圆22:198xyC+=上的动点，且与C的四个顶点不重合，

1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，若点M在12FPF的平分线上，且10MFMP=，则OM的取值范围是（）A．()0,2B．()0,22C．()0,322−D．()0,1【答案】D【解析】如图，直线1

FM与直线2PF相交于点N，由于PM是12FPF的平分线，且10MFMP=，即PM⊥1FN，所以三角形1FPN是等腰三角形，所以1PFPN=，点M为1FN中点，因为O为12FF的中点，所以OM是三角形12FFN的中

位线，所以212OMFN=，其中212112226FNPFPFPFaPF=−=−=−，因为P与C的四个顶点不重合，设(),Pmn，则()0,3m，22198mn+=则()()2222181119993PFmnmmm=++=++−=+，所

以()12,4PF，又20FN，所以()20,2FN，()210,12OMFN=∴||OM的取值范围是()0,1.故选：D.类型三椭圆离心率问题7．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室高二期中

（文））已知椭圆()2222:10xyEabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且22PFFQ⊥，2212PFQSa=，224PFFQ+=，则椭圆E的离心率为（）A．12B．22C．32

D．63【答案】B【解析】因为过坐标原点的直线交E于P，Q两点，根据椭圆的对称性，可知四边形21PFQF为平行四边形，又22PFFQ⊥，所以四边形21PFQF为矩形，则122FFPQc==，因为224PFFQ+=，所以48a

=，则2a=，设2PFx=，则24FQx=−，又2212PFQSa=，所以2221122PFFQa=，即()44xx−=，解得2x=，则42x−=，因为22222PFFQPQ+=，即()222222c+=，所以2c=，所以22cea==，故选：B8．（2022·

湖南·长沙一中高二阶段练习）两个长轴在x轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A，B分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC，BD，切点分别为C，D，且两切线斜率之积等于23−，则椭圆的离心率

为（）A．13B．33C．32D．63【答案】B【解析】法一：设内椭圆方程为()222210xyabab+=，外椭圆为()222220xymmab+=，切线AC的方程为()1ykxma=+，联立()1222222,,ykxmabxayab=++=消去y可得：()222232242221

1120bakxmakxmakab+++−=，因为直线AC为椭圆的切线，所以()()26422224222111Δ440makbakmakab=−+−=，化简可得：2212211bkam=−，设直线BD的方程为：2ykxmb=+，同理可得()222221bkma=−，因为两切线斜率之积等

于23−，所以2223ba=，所以椭圆的离心率为3e3=.故选：B.法二；设内层椭圆：22221xyab+=，外层椭圆：22222xymab+=.设切点()111,Pxy，()222,Pxy，(),0Ama，()0,Bmb，切线1l：11221xxyyab+=，切线2l：2222

1xxyyab+=，∴21121xbkay=−①，22222xbkay=−②，又∵11APkk=，即211211xybayxma−=−，即222222111bxbmaxay−+=，即22222222111bm

axaybxab=+=+，∴1mxa=，同理22BPkk=，∴2myb=，∴21ybxa=，将1P，2P代入椭圆22221xyab+=中得：221222ybxa=，经分析得：12ybxa=−，由①②可知22212122212xxbbkkayya==−，∴2223

ba=，∴2221e13ba=−=，∴3e3=.故选：B.9．（2022·四川·阆中中学高二期中）已知1()0Fc−，，2(0)Fc，是椭圆C：22221(0)xyabab+=的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得212PFPFc=，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．33(]32，B．32[

]32，C．3[31]2−，D．2[1)2，【答案】B【解析】设点(,)Pxy，22212(,)(,)=PFPFcxycxyxcy=−−−−−−+22222222222bcxcbxxcbaa=−+−=−+，因为220x

a，所以22212bcPFPFb−，即2222bccb−，结合222=bac−可得221132ca，所以32,32e.故选：B.10．（2022·江西赣州·高二期中）已知椭圆()2222:10xyCabab+=，P是椭圆C上的点，()()12,0,,0FcF

c−是椭圆C的左右焦点，若12PFPFac恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．51,12−B．(0,21−C．510,2−D．)21,1−【答案】A【解析】设()()()222002001001200,

,,,,,PxyPFcxyPFcxyPFPFxcyac=−−=−−−=−+，P在椭圆上，2222222000002221,,,xyabbxxaayaba−+=−=，2222222220000

2abbxxcyxcaca−−+=−+，两边都乘以2a化简后得：22224302cxacaac−+，3422220022,0,aaxaxacc+−，2342222111152,12,24aaaacceee+−+

−−512e−，又因为椭圆离心率()0,1e，51,12e−.故选：A.考点二椭圆综合问题类型一：齐次化解决定点定值问题1已知椭圆C：2222=1xyab+（a>b>0），四点P

1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【答案】(1)2214x

y+=.(2)证明见解析.解题方法一：试题解析：（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点.又由222211134abab++知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此222111314bab

=+=，解得2241ab==.故C的方程为2214xy+=.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知0t，且2t，可得A，B的坐标分别为（t，242t−），（t，242t−−）.则221

24242122ttkktt−−−++=−=−，得2t=，不符合题设.从而可设l：ykxm=+（1m）.将ykxm=+代入2214xy+=得()222418440kxkmxm+++−=由题设可知()22=16410km−+

.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2841kmk−+，x1x2=224441mk−+.而12121211yykkxx−−+=+121211kxmkxmxx+−+−=+()()12121221kxxmxxxx+−+=.由题设121kk+=−，故()()()12

122110kxxmxx++−+=.即()()22244821104141mkmkmkk−−++−=++.解得12mk+=−.当且仅当1m−时，0，欲使l：12myxm+=−+，即()1122myx++=−−，所以l过定点（2，1−）解题方法二：

齐次化处理：类型二：常规韦达定理解决椭圆问题3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：()222210xyabab+=的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，且椭圆过点()0,5、5(2,)3，过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点（点P在x

轴的上方）.（1）求椭圆的标准方程；（2）若20PFQF+=，求点P的坐标；（3）设直线AP、BQ的斜率分别为1k、2k，是否存在常数，使得120kk+=?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22195xy+=)1,2(1)

2,2(1122488148808)48(0)(8402411)1(4:121222222''22'−−=+=−+=−=+−=+=+++=+++=++=+=++个单位上移过：，个单位下移nymxnmnmnmkkxmxyynnymx

yyxyyxnymxBAyxE（2）353,44（3）存在，15=−【分析】（1）因为椭圆过点()0,5、5(2,)3，则有22542519bab=+=，解得35ab==，所以椭圆的标准方程为22

195xy+=.（2）设()()111,0Pxyy，()22,Qxy.由（1）知，()2,0F.因为20PFQF+=，则有()()()11222,22,0,0xyxy−−+−−=，即()()121262,20,0xxyy−−−−=，所以1212620,20,xx

yy−−=−−=解得12126,2,2xxyy−==−即116,22xyQ−−.分别将P、Q两点的坐标代入22195xy+=得221122111,956221,95xyxy+=−−

+=解得113,4534xy==−（舍）或113,453.4xy==所以所求点P的坐标为353,44.（3）设存在常数，使得120kk+=.由题意可设直线l的方程为2xmy=+，点()11,Pxy，()22,Qxy，则(

)()11211222123333yyxkxykyxx−+−===+−.又因为2222195xy+=，即2222599yx=−−，即()22225339xyxy+=−−，所以()()()()12121212

99533555yyyyxxmymy−−−==++++即()122121295525yymyymyy−−=+++（*）又由222,1,95xmyxy=++=得()225920250mymy++−=，()290010m=+△，且1222059myym+=−+

，1222559yym=−+.代入（*）得22222591595252055255959mmmmmm−−+−==−+−+++即15=−，所以存在常数15=−，使得120kk+=.4．已知椭圆()2222:10xyEabab+

=的短轴长是2，且离心率为22．（1）求椭圆E的方程；（2）已知()0,1C，若直线1:3lykx=−与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数，使AMCABC=∠∠恒成立，并说明理由．【答案】（1）22

12xy+=；（2）存在，理由见解析.【分析】（1）因椭圆()2222:10xyEabab+=的短轴长是2，则1b=，而离心率2222abea−==，解得2a=，所以椭圆方程为2212xy+=.（2）存在常数2=，使AMCABC=

∠∠恒成立，由221322ykxxy=−+=消去y并整理得：22(918)12160kxkx+−−=，设()11Axy，，()22Bxy，，则12212918kxxk+=+，12216918xxk=−+，又()111CAxy=−，，()221CBxy=−，，()()121

21212441133CACBxxyyxxkxkx=+−−=+−−()()21212416139kxxkxx=+−++()22216412161091839189kkkkk−=+−+=++，则有CACB⊥，而线段AB

的中点为M，于是得MCMB=，并且有2AMCABC=所以存在常数2=，使AMCABC=∠∠恒成立.围.类型三：中点弦问题5．已知椭圆C：2215xy+=的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在椭圆C

上.(1)若线段MN的中点坐标为12,3，求直线MN的斜率；(2)若M，N，O三点共线，直线NF1与椭圆C交于N，P两点，求△PMN面积的最大值.【答案】(1)65−(2)5【解析】设()()

1122,,,MxyNxy，则222212121,155xxyy+=+=，两式相减，可得()()()()1212121205xxxxyyyy+−++−=，则()()121242053xxyy−−+=，解得121265MNyykxx−

==−−，即直线MN的斜率为65−；(2)显然直线NF1的斜率不为0，设直线NF1：2xmy=−，()()3344,,,NxyPxy，联立22215xmyxy=−+=，消去x整理得()225410mymy−−=＋，显然()2201

0m+＝，故34342241,55myyyymm−+==++，故△PMN的面积1341222PMNOPNSySOFy=−△△＝222224145124555mmmmm−+=−=+++，令21,1tmt=+，则245454

55444PMNtSttt===++△，当且仅当2t=，即3m=时等号成立，故△PMN面积的最大值为5.6．已知椭圆方程22143xy+=，直线:4lx=与x轴相交于点P，过右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点．（1）若过点

F的直线MF与AB垂直，且与直线l交于点M，线段AB中点为D，求证：ODOMkk=．（2）设Q点的坐标为5,02，直线BQ与直线l交于点E，试问EA是否垂直EP，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）是垂直；证明见解析

．【解析】（1）由椭圆方程为22143xy+=知，右焦点F坐标()1,0，直线l方程为4x=，点P坐标()4,0．由MFAB⊥知，直线AB斜率不为0，故设直线AB的方程为1xmy=+，从而，直线MF的方程

为()1ymx=−−，令4x=得，M点坐标为()4,3m−，故直线OM的方程来34myx=−，联立方程组221143xmyxy=++=，消去y得：()2234690mymy++−=，设()11,Ax

y，()22,Bxy，即122634myym−+=+，122934yym−=+，从而，线段AB的中点2243,3434mDmm−++，34ODmk=−，综上可知，ODOMkk=．（2）（ⅰ）当直线AB的斜率为0时，点E即为点P，从而EAEP⊥．（ⅱ）当直线A

B的斜率不为0时，由（1）知，122634myym−+=+，122934yym−=+，所以121223yymyy+=，则()122132yymyy+=，直线BQ的方程为225522yyxx=−

−，又221xmy=+，令4x=，得()222211222113333532252322yyyyyyyyxmyxy=====+−−−，所以点E的坐标为()14,y，即EAEP⊥．类型四：最，定值以及参数取值范围问题7设

点M和N分别是椭圆()2222:10xyCabab+=上下不同的两点，线段MN最长为4，椭圆的离心率32e=.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线MN过点()0,2Q，且0OMON，线段MN的中点为P，求直线

OP的斜率的取值范围.【答案】（1）2214xy+=（2）3113,,6886−−【分析】由题意可得2432aca==，解得23ac==，所以2221bac=−=，所以椭圆C的标准方程为2214xy+=，（2）由题意知，直线MN的斜率存在

且不为零，设其方程为2ykx=+，由22214ykxxy=++=，得22(14)16120kxkx+++=，由222(16)4(14)1216(43)0kkk=−+=−，得234k，设1

122(,),(,)MxyNxy，则1212221612,1414kxxxxkk+=−=++，所以2212121212244(2)(2)2()414kyykxkxkxxkxxk−=++=+++=+，因为0OMON，所以22121222212444(4)0141414kkxxyykk

k−−+=+=+++，得24k，所以2344k，设直线OP的斜率为'k，因为221122221414xyxy+=+=，所以2222212104xxyy−+−=，化简得211221124()yyxxxxyy

−+=−−+，所以'14kk=−，所以'22111,166412kk=，解得'3168k−−或'1386k，所以直线OP的斜率的取值范围为3113,,6886−−1、单选题1．（2022·

江西省定南中学高二阶段练习（理））已知椭圆C：2212xy+=的左､右焦点分别是1F､2F，过2F的直线l与C交于A，B两点，设O为坐标原点，若OEOAOB=+，则四边形AOBE面积的最大值为（）A．1B．2C．3D．22【答案】B【解析】由已知得若OEOAOB

=+，故四边形AOBE是平行四边形，其面积是△OAB面积的两倍，下面先求△OAB的面积的最大值.由椭圆的方程的椭圆的右焦点坐标为(1,0)，设直线AB的方程为1xky=+,代入椭圆方程中并整理得：()222210,kyky++−=()()()()22224+2181kkk=−+−=

,()()2212282111+12212+2OABABkkSOFyykk=−==++△，令2+1=kt,2222211OABtSttt+==+△,当1t=,即k=0,也就是直线AB与x轴垂直时OAB面积取得最大

值为22，∴四边形AOBE的面积最大值为2.故选：B.2．（2022·北京·人大附中高二期末）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12,FF，若C上存在一点P，使得12120FPF

=，且12FPF△内切圆的半径大于312a，则C的离心率的取值范围是（）A．30,2B．110,12C．311,212D．11,112【答案】C【解析】设12||2=FFc，12FPF△内切圆的半径为r．因为12||+||2P

FPFa=，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|FFPFPFPFPFaPFPF=+−+=−，则212||||4PFPFb=．由等面积法可得()22211(22)4sin1203

22acrbac+==−，整理得3()rac=−，又312ra故1112ca．又12120FPF=，所以16900FPO则32ca，从而311212e．故选：C3．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）如图，1F、2F分别为椭圆()2222:10xyCabab+

=的左、右焦点，P为椭圆C上的点，Q是线段1PF上靠近1F的三等分点，2PQF为正三角形，则椭圆C的离心率为（）A．22B．34C．23D．75【答案】D由椭圆的定义知，122PFPFa+=，则2322PQPFa+=，因为

2PQF为正三角形，所以245aPF=，165aPF=．在12PFF△中，由余弦定理得22216364642cos60252555aacaa=+−22825a=，则2725e=，75e=，故选：D．4．（2

022·全国·高二课时练习）已知椭圆()222210xyabab+=的离心率为35，左，右焦点分别为1F，2F，过左焦点1F作直线与椭圆在第一象限交点为P，若12PFF△为等腰三角形，则直线1PF的斜率为A．427B．728C．45D．

827【答案】A【解析】因为点P在第一象限，所以12||||PFPF，因为35cea==，所以53ac=，当112||||2PFFFc==时，24||223PFacc=−=满足12||||PFPF

，222112212112||||||cos2||||PFFFPFPFFPFFF+−=222216447989cccc+−==，所以124942sin1819PFF=−=，所以12121242sin429tan7cos79PFFPFFPFF===，所以

直线1PF的斜率为427，当212||||2PFFFc==时，1224||2||22||3PFaPFaccPF=−=−=，不符合题意.综上所以直线1PF的斜率为427.故选：A二、多选题5．（2022·海南

·嘉积中学高二阶段练习）设1F，2F为椭圆22:1164xyC+=的两个焦点，点M在椭圆C上.若12MFF△为直角三角形，则下列说法正确的是（）A．符合条件的M点有4个B．M点的纵坐标可以是233C．12MFF△的面积一定是23D．12MFF△的周长一定是843+【答案】BD【解析】椭圆22:11

64xyC+=的长半轴长4a=，焦点1(23,0)F−，2(23,0)F，12MFF△为直角三角形，以1F为直角顶点的直角12MFF△有2个，以2F为直角顶点的直角12MFF△有2个，显然椭圆C的半焦距23c=，短半轴长2b=，bc，以线段12FF为直径的圆与椭圆C有4个公共点，以M为直角顶

点的直角12MFF△有4个，因此，符合条件的M点有8个，A不正确；以M为直角顶点时，设00(,)Mxy，由2200220012416xyxy+=+=消去0x得：023||3y=，即M点的纵坐标为233，B正确；由选项B知，以M为

直角顶点时，12MFF△的面积1201123||||434223SFFy===，C不正确；由椭圆定义知，12MFF△的周长为121222843MFMFFFac++=+=+，D正确.故选：BD6．（20

22·黑龙江·绥化市第九中学高二阶段练习）一般地，我们把离心率512−的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（）A．若椭圆22112xym+=是黄金椭圆，则656m=−B．在ABC中，()2,0B−，()2,0C，点A在以B，C为焦点的黄金椭圆上，则ABC

的周长为625+C．过黄金椭圆()222210xyabab+=上的右焦点(),0Fc作垂直于长轴的垂线，交椭圆于A、B两点，则()51ABa=−D．设1F､2F是黄金椭圆()2222:10xyCabab+=的两个焦点，则椭圆C上满

足1290FPF=的点P不存在【答案】BCD【解析】对于A，若焦点在x轴上,则1251223m−−=,解得656m=−.若焦点在y轴上,则12512mm−−=,解得656m=+，故A错误；对于B，易知2c=512ca−=,所以51a=+,所以22625ac+=

+,故B正确；对于C，将xc=代人椭圆方程得2bya=,则22bABa==()222aca−,因为512ca−=,所以()51ABa=−，故C正确；对于D，设1PFm=,2PFn=,则()2225122512aaa−−=−

,与2mna+=联立,此方程组无实数解.因此椭圆C上满足1290FPF=的点P不存在,故D正确.故选：BCD.7．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）设椭圆22193xy+=的右焦

点为F，直线(03)ymm=与椭圆交于,AB两点，现给出下述结论，其中所有正确结论的是（）A．6AFBF+=B．ABF的周长的取值范围是（6，12）C．当32m=时，ABF的面积为98D．当1m=时，ABF为直角三

角形．【答案】ABD【解析】：由椭圆22193xy+=得223,3,6abcab===−=，设椭圆的左焦点为F，则AFBF=，∴=6AFBFAFAF+=+为定值，故A正确；ABF的周长为ABAFBF++，因为AFBF+为定值6，∴AB的范围是()0,6

，∴ABF的周长的范围是()6,12，故B正确；当32m=时，将32y=与椭圆方程联立，解得333(,)22A−，333(,)22B，则332332AB==，所以ABF的面积为13933224ABFS==，故C不正确；当1m=时，将1y=与椭圆方程联立，解得()6,1A

−，()6,1B，又因为(6,0)F，所以BFAB⊥，所以ABF为直角三角形，故D正确．故选：ABD.8．（2022·河北省唐县第一中学高二开学考试）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左，右两焦点分别是1F

，2F，其中122FFc=.直线()():Rlykxck=+与椭圆交于A，B两点.则下列说法中正确的有（）A．2ABF的周长为4aB．当0k时，若AB的中点为M，则22OMbkka=C．若212=3AFAFc，则椭圆的离心率的取值范围是51,52D．若2

23bca=，则椭圆的离心率12e=【答案】CD【解析】对于A,当k=0时,直线l:y=k(x+c)与椭圆的两交点A,B与F2在一直线上，不能构成三角形.故A错误；对于B,设A(x1,y1),B(x2,y2),1212,22x

xyyM++,可得12121212,,OMkyyyyxxkxx+−==+−由2222112222221,1xyxyabab+=+=作差得:2221222212yybxxa−=−−，则有121212122212222122OMyybkyyyyx

xxxkxxa+−−===−+−−.故B错误；对于C,22222221211=,AFAFxycbcac+−−−,则有222223bccac−−,可得：51,52e.故C正确；对于D,由223bca=

,即222320aacc−−=，解得：2ac=（12ac=−舍去）,所以12e=.故D正确.故选:CD三、解答题9．（2022·北京市第十二中学高二期中）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左右顶点12,AA的坐标分别为(2,0),(2,0)−且椭圆E的离心率为12．(1)求

椭圆E的方程；(2)过点(1,0)F作直线l交椭圆E于P，Q两点，且点P位于x轴上方，记直线12,AQAP的斜率分别为12,kk．①证明：213kk=；②设点Q关于x轴的对称点为1Q，求证直线1PQ过x轴上一个定

点，并求1PFQ△面积的最大值．【答案】(1)22143xy+=;(2)①证明见解析；②334.【解析】(1)由题意知，2a=，又12cea==，所以1c=，所以2223bac=−=，所以椭圆方程为22143xy+=；(2)①设直线l的方程为1122121,(,),(,)(0,0,

0)xmyPxyQxyyym=+，则21212122121211222112121111212(2)(1)(),(2)(3)233ykxxymyymyyymyyyyyykxymyymyyymyyyx+−−−−++=====++++−，又221143xmy

xy=++=，消x得22(34)690mymy++−=，得1221226,349,34myymyym+=−+=−+因此112221211229631343434993333434mmmyykmm

mmkyymm−++−++++===−+−+++，故213kk=.②1Q坐标为22(,)xy−，则直线1PQ方程为121112()yyyyxxxx+−=−−，令0y=解得:2112112211212112121212()(1)(1)21xxy

xyxymyymyymyyxxyyyyyyyy−++++=+===+++++2292()3414634mmmm−+=+=−+，即直线1PQ恒过(4,0)D点，故111212121133|||3||3|||||||||||2222PFQPFDQFDSSSyyyyyy=−=−=−=+236||23

4mm=+943||||mm=+9334212=，当243m=，即233m=时，等号成立，此时1PFQ△面积最大值为334．10．（2022·湖北恩施·高二期中）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=过点B（0，1），A为其左顶点，且直线AB的斜率为12.(1)求E的方程；(2)不

经过B点的直线l与E相交于C，D两点，若两直线BC，BD的斜率之和为1−，求直线l所过的定点.【答案】(1)2214xy+=；(2)(2,1)−.【解析】(1)由题意，直线AB为112yx−=，即22xy−=−，故当0y=时

2x=−，所以2a=，椭圆2222:1(0)xyEabab+=过(0,1)B，则1b=，所以椭圆E为2214xy+=.(2)设直线BC与直线BD的斜率分别为1k，2k.若直线l与x轴垂直，设直线:lxt=

，0t且||2t，可得C，D分别为24(,)2tt−，24(,)2tt−−，则22124242122ttkktt−−−++=−=−，得2t=，不符合题设.从而可设直线:(1)lykxmm=+.将ykxm=+代入2214xy+=得：222(41)8440kxkmxm+++−=.由题意22

16(41)0km=−+.设()11,Cxy，()22,Dxy，则122841kmxxk+=−+，21224441mxxk−=+.而121212121212121211112(1)1()yykxmkxmkxxmxxkkxxxxxx−−+−+−+−++=+=+==−.所

以1212(21)(1)()0kxxmxx++−+=，即222448(21)(1)04141mkmkmkk−−++−=++，解得12mk+=−或1m=（舍去）.当且仅当1m−时0，于是直线1:2mlyxm+=−+，即11(2)2myx++=−−，所以直线l过定点(2,1)−.1

1．（2022·首都师范大学附属中学高二期中）已知椭圆()2222:10xyCabab+=的短轴长等于23，离心率12e=．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过右焦点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，判断PF

AB是否为定值．若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．【答案】(1)22143xy+=(2)是定值，14.【解析】：由椭圆C：()222210xyabab+=的短轴长等于23，离心率12e=．可得2222

232bacbac===−，解得2,3,1abc===，所以椭圆的方程为22143xy+=.(2)：由椭圆的方程22143xy+=，可得右焦点(1,0)F，设直线l的方程为(1)ykx=−，联立方程组22(1)14

3ykxxy=−+=，整理得2222(43)84120kxkxk+−+−=，设()()1122,,,AxyBxy所以221212228412,4343kkxxxxkk−+==++，所以()()()()222222121121214ABxxyykxxxx=−+−=++−

()()()222222222441212181434343kkkkkkk−+=+−=+++，所以，()2212143kABk+=+，设弦AB中点为Q，所以21224243Qxxkxk+==+，则2

3(1)43QQkykxk−=−=+，即22243(,)4343kkQkk−++，当0k=时，AB4=，1PF=.所以14PFAB=.当0k时，线段AB的垂直平分线方程为2223144343kkyxk

kk+=−−++，令0y=，得2243Pkxk=+，即22,043kPk+，所以22223(1)114343PkkPFxkk+=−=−=++，所以2222334311234124kkkPFABk+++=+=（定值）.

所以，PFAB是定值，为14.12．（2022·湖北省罗田县第一中学高二阶段练习）已知椭圆()2222:10yxCabab+=的两个焦点分别为1F，2F，过点1F且与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，2MNF的面积为3，椭圆C的离心率为32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知O为坐

标原点，直线:lykxm=+与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数，使得4OAOBOP+=，求m的取值范围．【答案】(1)2214yx+=(2)(2,1)(1,2){0}−−【解析】(1)设椭

圆的焦距为2c，11(,),(,)MxcNxc−，代入椭圆方程可得221221xcab+=，解得21bxa=，所以2112()bMNxxa=−−=，所以2211222322bMNFMNcca===，解得223bca=，又32cea==，所以21b=，又222abc=+，所以24a

=，所以椭圆C的标准方程为2214yx+=(2)当m=0时，则(0,0)P，由椭圆的对称性得APPB=uuuruur,所以04OAOBOP+==，所以当m=0时，存在实数，使得4OAOBOP+=；当0m时，由

4OAOBOP+=，得144OPOAOB=+，因为A、B、P三点共线，所以1144+=，解得3=，所以3APPB=，设2233(,),(,)AxyBxy，由2214ykxmyx=++=，得22

2)(4240kxmkxm+++−=，由题意得222244(4)(4)0mkkm=−+−，则2240km−+，且223232224,44mkmxxxxkk−−+==++，由3APPB=，可得233xx=−，所以2332224mkxxxk−+=−=+，解得324mkxk=+，又2222

332243344mkmxxxkk−=−=−=++，整理得222240mkkm−+−=，显然21m=不满足上式，所以22241mkm−=−，因为2240km−+，所以2224401mmm−−+−，即()222401mmm−−，解得21m−

−或12m，综上，m的取值范围为(2,1)(1,2){0}−−