【文档说明】浙江省温州市环大罗山联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.370 MB，由小赞的店铺上传

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2023学年第一学期温州环大罗山联盟期中联考高二年级数学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后

，只需上交答题纸．选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知直线3:3=−lyx，则该直线倾斜角的度数为（）A.120B.150C.13

5D.60【答案】B【解析】【分析】根据倾斜角和斜率的关系直接转化即可.【详解】已知直线斜率33k=−，令直线倾斜角为()0180，则3tan3=−，解得150=，故选：B2.已知平面的法向量为()()4,4,8,1,1,2nAB=−=−−，则直线AB与平面的位置关系为

（）A.ABB.AB⊥C.AB与相交但不垂直D.//AB【答案】B【解析】【分析】由已知向量的坐标知//nAB，即可判断直线AB与平面的位置关系.【详解】由题设4nAB=−，即//nAB，又n是平面法

向量，所以AB⊥.故选：B的3.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线24yx=上，则这个等边三角形的边长为（）A.83B.42C.43D.32【答案】A【解析】【分析】设另外两个顶点的坐标分别为()22,,,044mmmmm

−，由图形的对称性可以得到方程2tan304mm=，解此方程得到m的值，即可得到答案.【详解】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线24yx=上，可设另外两个顶点的坐标分别为()22,,,044mmmmm−

，23tan3034mm==，解得43m=，故这个等边三角形的边长为283m=.故选：A.4.已知半径为2的圆经过点()3,4，则其圆心到原点的距离最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由题意确定圆心的轨迹为以()3,4为圆心，2为半径的圆，即可确定当坐标原点

、圆心以及点()3,4三点共线时，圆心到原点的距离最小，由此可得答案.【详解】由题意知半径为2的圆经过点()3,4，设该圆圆心为P，故该圆的圆心的轨迹为以()3,4为圆心，2为半径的圆，当坐标原点、圆心P以及点()3,4三点共线且圆心P在坐标原点和()3,4之间时，圆心到原点的距

离最小，最小值为223423+−=，故选：C5.已知直线:lyxm=+与椭圆22:143xyC+=有公共点，则m的取值范围是（）A.7,7−B.6,7−C.6,6−D.22,22−【答案】A【解析】【分析】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可

得到关于x一元二次方程，方程有解，从而有判别式0，即可解出m的取值范围．【详解】直线yxm=+代入椭圆方程消去y得：22784120xmxm++−=；∵直线与椭圆有公共点，方程有解，∴()2264474120mm=−−

；解得77m−，即m的取值范围为7,7−.故选：A6.已知圆22:(1)(1)4Cxy−+−=和两点()(),0,,0(0)AaBaa−，若圆C上有且仅有一点P，使得90APB=，则实数a的值是（）A.22−B.22+C

.22−或22+D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意，求出以AB为直径的圆的方程为222xya+=，由圆C上有且只有一点P使得的90APB=，可得圆C与圆222xya+=相切，由圆与圆的位置关系分析

可得答案.【详解】根据题意，圆22:(1)(1)4Cxy−+−=，其圆心为(1,1)C，半径2r=，由两点()(),0,,0(0)AaBaa−，可得以AB为直径的圆的方程为222xya+=，设该圆为圆O，其圆心为(0,0)O，半径Ra=，若点P满足90APB=，则P在圆222xya+

=上，又由圆C上有且只有一点P使得90APB=，则圆C与圆222xya+=相切，则有2222||(01)(01)(2)OCa=−+−=−或2222||(01)(01)(2)OCa=−+−=+，又因为0a，解得22a=−或22a=+故选：C.7.在等腰直角ABC中

，4ABAC==，点P是边AB的中点，光线从点P出发，沿与AB所成角为的方向发射，经过,BCCA反射后回到线段PB之间（包括端点），则tan的取值范围是（）A.1,2B.2,3C.4,5D.3,4【答案】D【解析】【分析】根据题意建立直角坐

标系，根据点关于线对称画出光路图，利用tanθk=表示各点坐标，求出满足使反射后回到线段PB之间角范围.【详解】建立直角坐标系如图所示，()0,0A，()4,0B，()0,4C，()2,0P则直线:4BCxy+=由题光线从点P出发，沿光线路径依次为,,PEEFF

G其中,,EFG分别为光线与对应边交点，设(,0),24Gtt，点(),0Gt关于直线AC对称点为1(,0)Gt−，设点()2,0P关于直线BC对称点为1(,)Pmn，根据对称则有1142(4,2)22422nmmPnmn==−=++=，因为光线与

AB所成角为的方向发射，即EPB=，令tanθk=，k即为直线PE斜率，则直线PE方程为(2)ykx=−，则与BC联立22(2)2212,42111xykxkkExykkkyk=+=−+++=++

=+，由光线反射的性质与光路可逆性知11,,,PEFG四点共线，则直线1PE方程为2211(4)2(4)2221kkyxyxkk−+=−+=−+−+，令0y=得42242,434tktkk−=−=−，所以tan的取值范围为3,4.故选：D8.在正方体1111ABCDA

BCD−中，棱长为2，平面经过点A，且满足直线1AA与平面所成角为45，过点1A作平面的垂线，垂足为H，则CH长度的取值范围为（）A.1042,1042−+B.10,1042+C.6,10

D.10,14【答案】A【解析】【分析】根据线面角确定点H的轨迹，进而得到HAC的取值范围，由余弦定理即可求出CH长度的取值范围.【详解】由题意，1AH⊥面，连接AH，因为1AA与平面所成角为45，所以145AAH=，过H作11HOAA⊥，如

图：因为12AA=，所以12AHAH==，11OH=所以点H的轨迹为以1O为圆心，半径为1的圆，如图：所以45135HAC，所以22cos22HAC−，在HAC△中，由题意，22AC=，所以2

222cos282222cos108cosCHAHACAHACHACHACHAC=+−=+−=−所以210421042CH−+，所以CH长度的取值范围为1042,1042−+.故选：

A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线12:10,:10lxmylmxy+−=+−=，则下列说法正确的是（）A.若12//ll，则

1m=B.当12//ll时，两条平行线之间的距离为2C.若12ll⊥，则0m=D.直线2l过定点()0,1【答案】BCD【解析】【分析】代入1m=得两直线方程可判断A；利用两条平行直线间的距离公式可判断B；利用两直线垂直的

条件求出m可判断C；根据直线方程特征求出直线过定点可判断D.【详解】对于A，若1m=，则12:10,:10lxylxy+−=+−=，可得1l与2l重合，故A错误；对于B，当12//ll时，则21101mm−=

，解得1m=−，此时1210,10::lxylxy−−=−+=，所以两条平行线之间的距离为1122−−=，故B正确；对于C，若12ll⊥，则110+=mm，解得0m=，故C正确；对于D，由()2:10+−=lmxy

可得直线2l过定点()0,1，故D正确.故选：BCD.10.向量()(),1,0,2,1,1amb==，则下列说法正确的是（）A.Rm，使得abB.若5a=，则2m=C.若ab⊥，则12m=−D.当1m=时，a在b方向上的投影向量为111,,22

【答案】BCD【解析】【分析】若ab得R，使ab=，列出方程组，即可判断A；由空间向量模的坐标运算公式即可判断B；由空间向量垂直，得0ab=，即可判断C；由空间向量的投影向量计算公式即可判断D．【详解】对于A，若ab，则

R，使ab=，即210m===，显然无解，故A错误；对于B，若5a=，则2215am=+=，解得2m=，故B正确；对于C，若ab⊥，则210abm=+=，解得12m=−，故C正确；对于D，若1m=，得()

1,1,0a=，则a在b方向上的投影向量为222221111()(1,,)2112222,1,1abbbb+===++，故D正确；故选：BCD．11.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，11,3ABADAA===．底面A

BCD为菱形，160,BADAA=与ABAD、的所成角均为60，下列说法中正确的是（）A.11BDADABAA=−+B.11ACABADAA=++C.130CAC=D.1623AC=+【答案】ABD【解析】【分析】根据空

间向量的运算法则和几何关系逐项判断即可.【详解】对于A，111BDBAADDDADABAA=++=−+,故A正确；对于B，111ACABBCCCABADAA=++=++,故B正确；对于D，1=cos60=2ABADABAD，113=cos60=2AAADAA

AD,113=cos60=2AAABAAAB,()2222111111==222ACABADAAABADAAABADAAABADADAAABAA=+++++++++=113133623+++++=+,故D正确;对于C，底面ABCD为菱形,60,BAD=60,BAC=

12cos303ACABCC===,即1ACC△是等腰三角形，11o1coscs302ACCCACA=,故C错误.故选：ABD12.已知点,PQ是圆22:5Oxy+=上的两个动点，点A是直线:40lxy+−

=上的一定点，若PAQ的最大值为90，则点A的坐标可以是（）A.()1,3B.()2,2C.()3,1D.()4,0【答案】AC【解析】【分析】首先判断直线与圆的位置关系，再由直线上任意一定点A与圆上两动点,PQ所成角PAQ最大

，有,APAQ与圆相切，进而求出对应A的坐标.【详解】由圆心(0,0)O与直线:40lxy+−=的距离42252d==，即直线与圆相离，所以直线上任意一定点A与圆上两动点,PQ所成角PAQ最大，此时,APAQ与圆相切，若PAQ的最大值为90，则APOQ为正方形，此时||10OA=，

令(,4)Axx−，所以222(4)1043(1)(3)0xxxxxx+−=−+=−−=，可得1x=或3x=，所以A(1,3)或(3,1)时满足题设.为故选：AC非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，

共20分．13.已知圆22:4210Cxyxy+−−+=，圆C的弦AB被点()1,0Q平分，则弦AB所在的直线方程是______．【答案】1yx=−+【解析】【分析】求出圆心和半径，根据垂径定理得到CQ⊥AB，从而求出1ABk=−，得到弦AB所在直线

方程.【详解】圆22:4210Cxyxy+−−+=变形为()()22:214Cxy−+−=，圆心为()2,1，半径为2，因为圆C的弦AB被点()1,0Q平分，所以CQ⊥AB，其中10121CQk−==−，故1ABk=−，所以弦AB所

在直线方程是()1yx=−−，即1yx=−+.故答案为：1yx=−+14.已知双曲线22:1(0)xCymm−=的一条渐近线为20xmy+=，则C的焦距为______．【答案】23【解析】的【分析】先确

定双曲线的2a，2b，再利用双曲线的渐近线是byxa=列式计算，根据双曲线焦距的定义计算即可.【详解】由双曲线22:1(0)xCymm−=得2am=，21b=，又其渐近线为20xmy+=，即2yxm=−，2()12mm=−，解得2m=，221:2xCy−=，

焦距为22123+=.故答案为：23.15.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：22()()xayb−+−可以转化为平面上点(),Mxy与点(),Nab的距离．结合上述观点，可得22251xxx−+−+的最大

值为______．【答案】2【解析】【分析】将22251xxx−+−+转化成(,0)Px到点(1,2)M的距离与到点(0,1)N的距离之差，再结合||||||PMPNMN−进行求解.【详解】222222251(1)(02)(0)(01)xxxxx−+−+=−+−−

−+−，可转化成x轴上一点(,0)Px到点(1,2)M的距离与到点(0,1)N的距离之差.22||||||(10)(21)2PMPNMN−=−+−=，所以22251xxx−+−+的最大值为2.故答案为：216.已知点12,FF分别是椭圆2222:1(0)Cbbxaay+=的上下焦点，点

M为直线2ayb=上一个动点．若12FMF的最大值为30，则椭圆C的离心率为______．【答案】22【解析】【分析】首先设点M的坐标2,amb()0m，并设2FMN=，1FMN=，则12FMF

=−,并结合两角差的正切公式，以及基本不等式得到关于,ac的齐次方程，即可求解离心率.【详解】根据对称性，不妨设点M在第一象限，且坐标为2,amb()0m，如图，记直线2ayb=与y轴的交点为N，设2FMN=，1

FMN=，则12FMF=−,由于()10,Fc−，()20,Fc，故21aNFcb=+，22aNFcb=−，所以2tanacbm−=，2tanacbm+=，所以()22242222422221222222tantan1bbabcmbabcambcmcmccmFFbM

m=−+−+−=+==−,因为0m，()422224222abcmbbabcm−+−，当且仅当4222abcmbm−=时等号成立，即42222abcmb−=时等号成立，所以()221242224222

223tantan3032cbcbFMFabcbabcmbm===−−+，整理得4224440caca−+=，所以424410ee−+=，得212e=，所以22e=，即椭圆C的离心率为22.故答案为：22四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，190,2ACBACBCCC====．（1）求证：11ABBC⊥；（2）求点1C到直线1AB的距离．【答案】（1）证明见解析（2）263【解析】【分析】（1）建系，再由向量

垂直的充分必要条件直接得出空间异面直线垂直.（2）由向量法求空间距离公式直接得出点到直线的距离.【小问1详解】建立直角坐标系，其中C为坐标原点，以CA边所在直线为x轴，以CB边所在直线为y轴，以1CC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示依题意得()()()()112,

0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2ABBC，因为()()112,2,20,2,20ABBC=−−=，所以11ABBC⊥．【小问2详解】1111111111113(0,2,0),(2,2,2),cos,3BC

ABBCABBCABBCAB=−=−==1116sin,3BCAB=111111126·sin,3CABdBCBCAB−==18.已知椭圆2212xy+=的左焦点为1F，直线:1lyx=−与椭圆C交于AB、两点．（1）求线段AB的长；（2）求1ABF的面积．【答

案】（1）423（2）43【解析】【分析】（1）联立直线和椭圆方程得到()0,1A−，41,33B，然后根据两点间距离公式计算即可；（2）根据点到直线的距离公式得到12Fld−=，然后求三角形面积即可.【小问1详解】设()1

1,Axy，()22,xy，联立直线与椭圆方程2223120221xyxxyx+=−==−，解得10x=，243x=．()0,1A−，41,33B，()()221212423ABxxyy=−+−=．【小问2详解】由题可知，左焦点()11,0F−．

由点到直线的距离公式得00222AxByCdAB++==+，11423ABFSABd==.19.如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，ADBC∥，,CDADAE⊥⊥底面,,3,2,1ABCDAECFADCDBCAECF=====∥．（1）求证：//BF平面

ADE；（2）求直线BF与直线CE所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）48585【解析】【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直，据此建立空间直角坐标系，利用向量法求证；（2）根据向量的夹角公式计算即可得解.【小问1详解】因为//AECF，⊥AE底面ABCD，

所以CF⊥底面ABCD，因为,BCCD底面ABCD，所以,CFBCCFCD⊥⊥.又CDAD⊥，所以CDBC⊥，以C为原点，CD方向为x轴正半轴，CB方向为y轴正半轴，CF方向为z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，则()()()()()()2,3,0,0,2,0,0,0,0

,2,0,0,2,3,2,0,0,1ABCDEF．21,,32BFBCCFBCADCFAE=+==2132BFADAE=+，又B平面ADE//BF平面ADE．【小问2详解】由（1）知()()0,2,1,2,3,2BFCE=−=62485cos

,8541494CEBF−+==+++，直线所成线线角余弦值为48585.20.已知抛物线C：24yx=的焦点为F，斜率为1的直线l与C在第一、四象限的交点分别为A、B，与的x轴的交点为P．（1）当10AFBF+=时，求点P的坐标；（

2）设APPB=，若122AB=，求的值．【答案】（1）()2,0（2）2【解析】【分析】（1）设l：yxm=−联立24yx=后得1224xxm+=+，由12210AFBFxx+=++=可得2m=

，进而可得点P的坐标为()2,0.（2）由弦长公式和122AB=得8m=，进而可得2APPB=，即2=.【小问1详解】设(),0(0)Pmm，则l：yxm=−，联立24yx=得()22240xmxm−++=，则()()222441610mmm=+−=+，即1m−，设()11,Axy

，()22,Bxy，则1224xxm+=+，212xxm=，因为12210AFBFxx+=++=，所以12248xxm+=+=，得2m=，故点P的坐标为()2,0.【小问2详解】由（1）可知1224xxm+

=+，212xxm=，所以()212121222421616122ABxxxxxxm=−=+−=+=，所以161612m+=，得8m=，所以l：8yx=−，联立284yxyx=−=，解得44xy=

=−或168xy==，则()16,8A，()4,4B−，()8,0P，所以()8,8AP=−−，()4,4PB=−−，所以2APPB=，故2=.21.如图，在三棱锥SABC−中，面SAB⊥面,,A

BCABBCSAB⊥△为等腰直角三角形，90,22,ASBABBCE===为线段SB上一动点．（1）若点E为线段SB的三等分点（靠近点S），求点B到平面ACE的距离；（2）线段SB上是否存在点E（不与点S、点B重

合），使得直线BE与平面ACE的所成角的余弦值为2211．若存在，请确定E点位置并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21111（2）点E为线段SB的三等分点（靠近点S）或点E为线段SB的十五等

分点（靠近点S）．【解析】【分析】（1）以AB中点O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离；（2）设SESB=，利用向量法表示线面角的正弦值，代入已知数据求解的值.【小问1详解】取AB中点O，SAB△为等腰直角三角形，则SOAB⊥，面SAB⊥面ABC，面SA

B面ABCAB=，SO面SAB，所以SO⊥面ABC，以点O为原点，OA为x轴，平面ABC内过O点垂直于AB的直线为y轴，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由ABBC⊥，22ABBC==，SAB△为等腰直角三角形，9

0ASB=，得2222,0,0,,0,0,,2,0,0,0,2222ABCS−−．点E为线段SB的三等分点（靠近点S），有22,0,63E−，

22,0,33BE=，222,0,33AE=−，()2,2,0AC=−，设面ACE的一个法向量为(),,nxyz=r，则有222033220nAExznACxy=−+==−+=，令1y=，则2,22xy==，得()2,1,22n=所以点B

到平面ACE的距离为()()22224+21133=112+1+22BEndn==.【小问2详解】点E为线段SB的三等分点（靠近点S）或点E为线段SB的十五等分点（靠近点S）．理由如下：点E是线段SB上的点，设22

,0,(01)22SESB==−−，得()22,0,122E−−，()()221,0,122BE=−−，设面ACE的一个法向量为()111,,nxyz=，()()221,0,122

AE=−+−，()2,2,0AC=−，()()11112202211022nAExynACxz=−+==−++−=，取11z=+，则11x=−，()1212y=−，得()21,1,1

2n=−−+，设直线BE与平面ACE的夹角为，由22cos11=，得311sin11=，则()()()2222222(1)11231122sin11331(1)(1)(1)(1)22BEnBEn−+−+====−−++

−++．两边同时平方，化简可得2451810−+=，解得1211,315==．所以点E为线段SB的三等分点（靠近点S）或点E为线段SB的十五等分点（靠近点S）．22.已知()(),2,0,2,0,ABCBCAB−△与AC两边上中线长的差的绝对值为33．（1）求三角形ABC重心的轨迹G

方程；（2）若()()3,0,3,0EF−，点Q在直线32x=上，连结,EQFQ，与轨迹G的y轴右侧部分交于,MN两点，求点E到直线MN距离的最大值．【答案】（1）()22133xyx−=（2）23+【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可；（2）求出动直线MN的方程

，再求的所过定点，即可知E与定点间的距离为最大值.【小问1详解】设AB与AC的中点为,DH，则由题意可得33DCHB−=，由重心性质得23(234)GCGB−=，由双曲线的定义可知G的轨迹为双曲线，易得223,24ac==，2221bca

=−=，()22133xyx−=【小问2详解】如图，设()()111221,,,,:(3)3EMyMxyNxylyxx=++，令32x=，得113323Qyyx+=+，同理由FNl可得：223323Qyyx−=−121233332233yyxx+−

=+−，两边同时平方可得()()222212221233332233yyxx+−=+−①又由121231yx−=，可得221113xy=−，同理222213xy=−，代入①式得2212123333332233xxxx−+

+=−+−两边交叉相乘化简可得()12127412xxxx+=+②当NMl斜率存在时，可设直线为ykxm=+，与2213xy−=联立可得()222136330kxkmxm−−−−=，由根与系数关系可得：12221226133313kmxxkmxxk+=

−−−=−，代入②式，得226720kkmm++=解得12km=−或23km=−，当12km=−时，直线1:2NMlymxm=−+过定点()2,0R当23km=−时，直线2:3NMlymxm=−+过定点3,02，由332显然不成立，舍去，若当NMl斜率不存在时，则

直线2:NMlx=，过点()2,0R．综上，直线MN恒过定点()2,0R所以点E到直线MN距离23dER=+．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com