【文档说明】山西省太原市第五中学2022届高三上学期9月月考试题 数学（理） 参考答案.docx，共(5)页，32.191 KB，由管理员店铺上传

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太原五中2021----2022学年度第一学期月考高三数学(理)【答案】1.B2.B3.B4.A5.C6.B7.A8.B9.B10.A11.D12.A13.−214.615.(10,12)16.1𝑒17.解：(Ⅰ)当𝑛=1时，𝑎1=𝑆1=92−𝑚，当𝑛=2时，𝑎2=𝑆2−

𝑆1=272−𝑚−92+𝑚=9，当𝑛=3时，𝑎3=𝑆3−𝑆2=812−𝑚−272+𝑚=27，由𝑎1，𝑎2，𝑎3成等比数列，可得𝑎22=𝑎1𝑎3，即92=27(92−𝑚)，解得𝑚=32，𝑎𝑛=3⋅

3𝑛−1=3𝑛；(Ⅱ)𝑏𝑛=(−1)𝑛𝑙𝑜𝑔3𝑎𝑛=𝑛⋅(−1)𝑛，𝑇2𝑛=(−1+2)+(−3+4)+...+(−2𝑛+1+2𝑛)=1+1+...+1=𝑛．18.解：(1)在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B

，C的对边分别为a，b，c，且满足足𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴+𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵=√2𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶．由余弦定理得：𝑏⋅𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐+𝑎⋅𝑐2+𝑎2−𝑏22𝑎𝑐=√2�

�𝑠𝑖𝑛𝐶，即𝑐=√2𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶，∴𝑠𝑖𝑛𝐶=√2𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶，∴𝑠𝑖𝑛𝐵=√22，B为锐角，∴𝐵=𝜋4．(2)由正弦定理可得：𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵，即2𝑠𝑖𝑛𝐴=√6√22，∴𝑠

𝑖𝑛𝐴=√33．∵𝑎<𝑏，∴𝐴<𝐵，∴𝑐𝑜𝑠𝐴=√63，∴𝑠𝑖𝑛𝐶=sin(𝐴+𝐵)=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵=√33×√22+√63×√22=√6+2√36．△𝐴𝐵𝐶的面积

𝑆=12𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶=12×2×√6×√6+2√36=1+√2．19.解：(1)由𝑓(𝑥)=13𝑥3−𝑎2𝑥2+𝑏𝑥+𝑐得𝑓(0)=𝑐，𝑓′(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑥+𝑏，又由𝑓′(0)=𝑏，曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑃(0,𝑓(0

))处的切线方程为𝑦=1，得𝑓(0)=1，𝑓′(0)=0．故𝑏=0，𝑐=1．(2)𝑎=4时，𝑓(𝑥)=13𝑥3−2𝑥2+1，𝑓′(𝑥)=𝑥2−4𝑥，点(0,2)不在𝑓(𝑥)的图象上，设切点为(𝑥0,�

�0)，则切线斜率𝑘=𝑥⬚02−4𝑥0，所以{𝑦0−2𝑥0−0=𝑥02−4𝑥0,𝑦0=13𝑥03−2𝑥02+1⇒23𝑥⬚03−2𝑥⬚02+1=0,上式有几个解，过(0,2)就能作出𝑓(𝑥)的几条

切线．令𝑔(𝑥)=23𝑥3−2𝑥2+1，则𝑔′(𝑥)=2𝑥2−4𝑥=2𝑥(𝑥−2)，𝑔(𝑥)，𝑔′(𝑥)随x变化的情况如下：x(−∞,0)0(0,2)2(2,+∞)𝑔′(�

�)+0−0+𝑔(𝑥)↗极大值↘极小值↗𝑔极大值=𝑔(0)=1>0，𝑔极小值=𝑔(2)=−53<0，所以𝑔(𝑥)有三个零点，即过(0,2)可作出𝑓(𝑥)的3条不同的切线．20.证明：(1)在正方形ABCD中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∵𝐶𝐷⊂

平面CDEF，𝐴𝐵⊄平面CDEF，∴𝐴𝐵//平面CDEF，又∵𝐴𝐵⊂平面ABEF，且平面𝐴𝐵𝐸𝐹∩𝐶𝐷𝐸𝐹=𝐸𝐹，∴𝐴𝐵//𝐸𝐹．(2)∵四边形ABCD为正方形，∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐷，∵𝐴𝐷∩𝐴𝐸=𝐴，∴𝐶𝐷⊥平面ADE，∵𝐷𝐸⊂平面

ADE，∴𝐶𝐷⊥𝐷𝐸，又𝐴𝐷⊥𝐷𝐸，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则𝐵(3,3，0)，𝐶(0,3，0)，𝐹(0,1，1)，可知𝑚⃗⃗⃗=(0,1，0)为平

面ADE的一个法向量，设平面BCF的一个法向量为𝑛⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，{𝑛⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛⃗⃗⋅𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0，则{−3𝑥=02𝑦−𝑧=0，令𝑦=1，𝑛⃗⃗=(0,1,2)，设平面ADE与平面B

CF所成的锐二面角为𝜃，则𝑐𝑜𝑠𝜃=|cos<𝑚⃗⃗⃗,𝑛⃗⃗>|=|𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗||𝑚⃗⃗⃗|⋅|𝑛⃗⃗|=√55，故平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为√55．21.解：(1)𝑓(𝑥)定义

域为(0,+∞)，𝑓′(𝑥)=2𝑥−2𝑚𝑥=2𝑥⋅(−𝑚𝑥2+1)，当𝑚≤0时，𝑓′(𝑥)≥0，即𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，不合题意，∴𝑚>0；令−𝑚𝑥2+1=0，解得：𝑥=√1𝑚⬚，∴当𝑥∈(0,√1𝑚⬚)时，𝑓′(𝑥)>0；当𝑥∈(√1�

�⬚,+∞)时，𝑓′(𝑥)<0；∴𝑓(𝑥)在(0,√1𝑚⬚)上单调递增，在(√1𝑚⬚,+∞)上单调递减，∴𝑓(𝑥)max=𝑓(√1𝑚⬚)；存在𝑥0，使得𝑓(𝑥0)>𝑚−1成立，则𝑚−1<

𝑓(𝑥)max，即𝑚−1<𝑓(√1𝑚⬚)，又𝑓(√1𝑚⬚)=2ln√1𝑚⬚−𝑚⋅1𝑚+1=−ln𝑚，∴𝑚−1<−ln𝑚，即𝑚+ln𝑚−1<0，令ℎ(𝑚)=𝑚+ln𝑚−1，则ℎ′(𝑚)=1+1𝑚=𝑚+

1𝑚>0，∴ℎ(𝑚)在(0,+∞)上单调递增，又ℎ(1)=1+ln1−1=0，∴0<𝑚<1，即实数m的取值范围为(0,1)．(2)证明：当𝑚=1时，𝑓(𝑥)=2ln𝑥−𝑥2+1，则𝑓′(𝑥)

=2𝑥−2𝑥=2−2𝑥2𝑥=2(1−𝑥2)𝑥，∴当𝑥∈(0,1)时，𝑓′(𝑥)>0；当𝑥∈(1,+∞)时，𝑓′(𝑥)<0；∴𝑓(𝑥)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，∴由𝑥1<𝑥2且𝑓(𝑥1)=𝑓(�

�2)知：0<𝑥1<1<𝑥2；令𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑓(2−𝑥)，𝑥∈(0,1)，则𝐹′(𝑥)=2(1−𝑥2)𝑥−2[1−(2−𝑥)2]2−𝑥·(2−𝑥)′=4(𝑥−1)2𝑥(2−𝑥)>0，∴𝐹(𝑥)在(0,1)上单调递增，∴𝐹(𝑥)<𝐹(1)=

0，即𝑓(𝑥)<𝑓(2−𝑥)；∴𝑓(𝑥1)<𝑓(2−𝑥1)，又𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)，∴𝑓(𝑥2)<𝑓(2−𝑥1)；∵𝑥1∈(0,1)，∴2−𝑥1∈(1,2)，又𝑥2>1且𝑓(𝑥)在

(1,+∞)上单调递减，∴𝑥2>2−𝑥1，即𝑥1+𝑥2>2．22.解：(1)因为曲线C的参数方程为{𝑥=2𝑚+16𝑚𝑦=2𝑚−16𝑚(𝑚为参数)，则𝑥+𝑦=4𝑚,𝑥+𝑦4=𝑚

，所以𝑥=2×𝑥+𝑦4+16×𝑥+𝑦4，整理得曲线C的普通方程为34𝑥2−34𝑦2=1．直线l的极坐标方程为𝜌cos(𝜃+𝜋3)=1，展开得，l的普通方程为𝑥−√3𝑦−2=0．，代入34𝑥2−34𝑦2=1中得3𝑡2+12√

3𝑡+16=0，设P，Q对应的参数为𝑡1,𝑡2，则𝑡1+𝑡2=−4√3,𝑡1𝑡2=163，所以1|𝑀𝑃|+1|𝑀𝑄|=|𝑀𝑃|+|𝑀𝑄||𝑀𝑃|·|𝑀𝑄|=|𝑡1+𝑡1||𝑡1𝑡2|=4√3163=3√34．2

3.解：(1)当𝑥>6时，𝑓(𝑥)=2𝑥−10<4，解得𝑥<7，故6<𝑥<7；当4≤𝑥≤6时，𝑓(𝑥)=2<4恒成立；当𝑥<4时，𝑓(𝑥)=10−2𝑥<4，解得𝑥>3，故3<𝑥<4．综上可得不等式𝑓(𝑥)<4的解集为(3,7)．(2)𝑓(𝑥)=|�

�−4|+|𝑥−6|=|4−𝑥|+|𝑥−6|≥|4−𝑥+𝑥−6|=2，当且仅当4≤𝑥≤6时等号成立，故𝑚=2，因此有2𝑎+1𝑏=2，即𝑎+2𝑏=2𝑎𝑏，𝑎2+2𝑏2𝑎+2𝑏=𝑎2+2𝑏22𝑎𝑏=𝑎2𝑏+�

�𝑎≥2√𝑎2𝑏⋅𝑏𝑎⬚=√2⬚，当且仅当𝑎2=2𝑏2时等号成立，即𝑎=2+√2⬚2,𝑏=√2⬚+12，故𝑎2+2𝑏2𝑎+2𝑏的最小值为√2⬚．