【文档说明】上海奉贤区致远高级中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(17)页，1.307 MB，由小赞的店铺上传

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致远高中2021学年第二学期期末在线教学评估练习高一数学（考试时间：120分钟满分150分）一、填空题（第1-6题4分/题，第7-12题5分/题，共54分）1.复数2iz=+的虚部为______.【答案】1【解析】【分析】直接根据复

数的相关概念判断即可；【详解】解：复数2iz=+的虚部为1故答案为：12.8,2ABAC==，则BC的取值范围是__________．【答案】6,10【解析】【分析】设AB与AC的夹角为，则可得16

cosACAB=，由于BCACAB=−，所以可得6832cosBC=−，然后利用1cosθ1-＃可求出其范围【详解】设AB与AC的夹角为，因为8,2ABAC==，所以cos16cosACABACAB==，所以BCACAB=−()2ACAB=−22

2ACABACAB=−+4216cos64=−+6832cos=−，因为0，所以1cosθ1-＃，所以3232cos32−−，所以366832cos100−，所以66832cos10−，所以6

10BC，故答案为：6,103.在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若C＝105°，a＝42，A＝45°，则b＝_______【答案】4【解析】【分析】由题意可得π6B=，结合sinsinabAB=运算求解．【详解】由题意可得π6B=

根据正弦定理：sinsinabAB=，则sin4sinaBbA==故答案为：4．4.如图，AOB是用斜二测画法得到的AOB的直观图，其中2OA=，3OB=，则AB的长度为______.【答案】210【解析】【分析】在原图形中作出AB，然后由勾股定理计算．【详解】如图，在原图形

中，2OA=，6OB=，2226210AB=+=，故答案为：210．5.已知、0,2，4sin5=，1cos2=，则()cos−=______【答案】34310+【解析】【分析】根据角度范围，利用同角三

角函数关系式，先确定cos，sin的值，在用两角余弦和差公式求解即可.【详解】解：Q、0,2，4sin5=，1cos2=2233cos1sin,sin1cos52=−==−=3143343cos()cosc

ossinsin525210+−=+=+=.故答案为：34310+.6.已知向量()3,6a=，()3,4b=−，则a在b方向上的投影向量的坐标为______.【答案】912,55−【解析】【分析】首先求出ab，

再根据平面向量投影的定义cos||bab计算即可．【详解】解：向量(3,6)a=，(3,4)b=−，所以92415ab=−=−，()22345b=+−=，则a在b方向上的投影的坐标为151912cos(3,4),5555||||||babbabbb−==−

=−．故答案为：912,55−．7.关于z的实系数一元二次方程20zbzc++=的一根为13i+，则c=__________．【答案】4【解析】【分析】由实系数一元二次方程的虚数根成对出现得另一根为13i−，再由根与系数关系得结论．【详解】由题意方程另一根为13i

−，所以(13i)(13i)4c=+−=．故答案为：4．8.在ABC中，34ACBC==，，三角形的面积等于33，则AB的长为___________.【答案】13或37【解析】【分析】由面积公式求出sinC，即可得到C，再利用余弦定理计算

可得；【详解】解：因为3AC=，4BC=且三角形的面积等于33，所以11sin34sin3322ABCSabCC===，所以3sin2C=，因为()0,C，所以3C=或23C=，当3C=时，由余弦定理22

212cos916234132cababC=+−=+−=，所以13c=；当23C=时，由余弦定理22212cos916234372cababC=+−=+−−=，所以37c=；故答案为：13或379.已知长方体1111ABCDABCD−的棱143ABBCC

C===，，则异面直线1AB与1CD所成角的大小是_______.（结果用反三角函数值表示）【答案】7arccos25【解析】【分析】设1AB与1AB交于点H，证得异面直线1AB与1CD所成的角是1AHA或其补角，由余弦定理

解三角形可得．【详解】连接1AB，由11AD与BC平行且相等得11ADCB是平行四边形，11//CDAB，设1AB与1AB交于点H，则异面直线1AB与1CD所成的角是1AHA或其补角，在矩形11ABBA中，4AB=，13AA=，则22111522AHAHABBB

==+=，222111125259744cos2522524AHAHAAAHAAHAH+−+−===，17arccos25AHA=，故答案为：7arccos25．10.给出下列命题：①若两条不同的直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；②若两个

不同的平面同时垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行；③若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相垂直；④若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行；其中所有错误命题的序号为________.【答案】①③【解析】【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判

断．【详解】垂直于同一条直线的两条直线可能相交、可能平行、也可能异面，①错；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；垂直于同一平面的两个平面可能平行也可能相交，③错；垂直于同一平面的两条直线平行，④正确．故答案为：①③．11.已知z是虚数，2zz+是实数，z是虚数z的共轭

复数，则22()zzzz−++的最小值是__________．【答案】334−.【解析】【分析】设i(zaba=+，bR，且0)b，根据2zz+是实数，得到22zaz+=，表示出22()zzzz−++，结合二次函数的性

质求出其最小值即可．【详解】解：设i(zaba=+，bR，且0)b，则22222222i()iiabzababzababab+=++=++−+++，因为2zz+是实数，所以2220bbab−=+，因为0b

，所以22210ab−=+，所以222ab+=，则22zaz+=，因为izab=+，所以izab=−，所以222()(2i)4zzbb−=−=−，所以222()42zzzbaz−++=−+，因为222ab+=，所以222ba=−，22a−，则2222213

333()42428(2)244zzzbaaaaz−++=−+=+−=+−−，当14a=−时，取到最值.故答案为：334−．12.若△ABC的内角A、B、C，其中G为△ABC的重心，且0GAGB=，则cosC的最小值

为________【答案】45【解析】【分析】用向量ACBC、分别表示AGBG、，利用垂直关系建立方程，最后借助重要不等式求解．【详解】解：因为G为△ABC的重心，所以()()2112323AGABACACBC=+=−；()()11233BGBCB

ABCAC=+=−，因为0GAGB=，所以0AGBG=，即()()12209ACBCBCAC−−=，整理得225220ACBCACBC−−=，所以()2252||4ACBCcosCACBCACBC=+，所以45co

sC，故答案为：45．【点睛】本题考查了平面向量的数量积和向量的线性运算，考查重要不等式，属于中档题目，有一定难度．二、单选题（5分/题，共20分）13.下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（）A.sinyx=B.sinyx=C.tanyx=D.cos2yx=−【答案】

B【解析】【分析】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.【详解】对于A，sinyx=定义域为R，()sinsinxx−=−，sinyx=为奇函数，A错误；对于B，sinyx=定义域为R，()sinsinsinxxx−=−=，s

inyx=为偶函数，B正确；对于C，tanyx=定义域为(),22kkk−+Z，即定义域关于原点对称，()tantanxx−=−，tanyx=为奇函数，C错误；对于D，cossin2yxx=−=定义域为R，()sinsinxx−=−

，cos2yx=−为奇函数，D错误.故选：B.14.已知l、m、n是空间三条直线，则下列命题正确的是A若l//m，l//n，则m//nB.若l⊥m，l⊥n，则m//nC.若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线

AB//lD.若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面【答案】A【解析】【详解】分析：由公理4可判断A，利用空间直线之间的位置关系可判断B，C，D的正误，从而得到答案．详解：由公理4可知A正确；若l⊥m，l⊥n，

则m∥n或m与n相交或异面，故B错误；若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l或AB与l异面，故C错误；若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误．故选A．点睛：本题考查命题真假判断与应用，着重考

查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．15.以下数都

在复数范围内（1）如果i12iab+=−，则1a=，2b=−；（2）()21212zzzz+=+；（3）()()221212zzzz=；（4）若()()22120zzzz−+−=，则12zzz==.其中错误命题的个数是（）.的A.0B

.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】根据复数相等的定义、复数的模、复数的运算判断．【详解】由复数相等的定义只有在,Rab时，（1）才能正确，因此题中（1）错误；如12izz+=，则121zz+=是实数，212()1z

z+=−，1−i=，因此（2）错；()222212121212()()zzzzzzzz===，（3）正确；若1iz=+，11z=，2iz=，则()()22120zzzz−+−=，但12zzz==不成立，（4）错．故选：D．16.已

知1e，2e是平面向量的一个基底，设非零向量1112axeye=+，2122bxeye=+，给出下列两个命题：①1221//abxyxy=rr；②12120abxxyy⊥+=，则（）A.①②均正确B.①②均错误C.①对②错D.①错②对【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合向量的共线

定理与向量的数量积的计算公式，即可求解.【详解】由题意可知，1e，2e都不为零向量，对于①，因//abrr，所以λab=，即1212xxyy==，消去，得1221xyxy=，故①正确；对于②，由ab⊥，得()()11122122

0abxeyexeye=++=，即()221211221221120xxeyyexyxyee+++=，因1e，2e的夹角与模长都未知，所以12120xxyy+=不一定成立，故②错.故选：C.三、解答题（14+14+14

+16+18，共76分）17.已知函数()1sin224fxx=+，xR.（1）求()0f的值；（2）求()fx的最小正周期；（3）求()fx的单调减区间.【答案】（1）24（2）（3）588kk++，（Zk）【解析】【分析

】（1）直接代入计算；（2）结合正弦函数的周期求解；（3）由正弦函数的单调性求解．【小问1详解】12(0)sin244f==；【小问2详解】22T==；【小问3详解】3222242kxk+++，解得588kxk++，Zk，所以减区间是588kk+

+，（Zk）．18.如图，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD为正方形，已知PD⊥平面ABCD，且PDAD=，E为PC中点．（1）证明：//PA平面BDE；（2）证明：平面PCD⊥平面PBC．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接,ACBD交于点O，由三角形中位线性质可得//OEPA，根据线面平行的判定可证得结论；（2）由线面垂直的性质和正方形，结合线面垂直的判定可证得BC⊥平

面PCD，由面面垂直的判定可证得结论.【小问1详解】连接,ACBD交于点O，连接OE，四边形ABCD为正方形，O为AC中点，又E为PC中点，//OEPA，OE平面BDE，PA平面BDE，//PA平面BDE.【小问2详解】PD⊥平面ABCD，BC平面AB

CD，PDBC⊥；四边形ABCD为正方形，BCCD⊥；PDCDD=，,PDCD平面PCD，BC⊥平面PCD，BC平面PBC，平面PCD⊥平面PBC.19.已知复数izab=+（其中a、bR），存在实数t

，使12i3izatt+=−成立．（1）求值：2ab+；（2）若12zb+，求z的取值范围.【答案】（1）3（2）()29,33,3z+【解析】【分析】（1）由12i123i=

3iiaatatttbt+=−+−−，利用复数相等，求得a，b，再消去t得即可；：23ab+=；（2）根据12zb+，求得23a或4a，且0a，再利用复数模，结合二次函数求解.【小问1详解】解：因为复数izab=+（其中a、bR），所以12i123i=3iia

atatttbt+=−+−−，则12=,3abattt−=−，消去t得：23ab+=；【小问2详解】因为12zb+，所以()22212++abb，即()()222132+=−aba，则231480−+aa，解得23a或4

a，且0a，所以()2222232569=+=+−=−+zabaaaa，所以()29,33,3z+.20.对于一个向量组()*1233naaaannN，，，，，，令12nnaaab=+++，如果存在()*tatN，使得ttnaba−，那么称ta是

该向量组的“好向量”（1）若3a是向量组213aaa，，的“好向量”，且()nanxn=+，，求实数x的取值范围；（2）已知1a，2a，3a均是向量组213aaa，，的“好向量”，试探究213aaa，，的等量关系并加以证明．【答案】（1）2,0−（

2）120naaa++=，证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意312aaa+，用坐标表示向量的模，解之可得；（2）由“好向量”的定义得三个不等式，平方转化为向量的数量积，三式相加整理后可得．的小问1详解】由题意312aaa+，而1(1,1

)ax=+，2(2,2)ax=+，3(3,3)ax=+，12(3,23)aax+=+，所以229(3)9(23)xx++++，解得20x−，所以x的范围是[2,0]−；【小问2详解】213aaa，，的等量关系是1230aaa++=，证明如下：由题意1a是向量组213aaa，，

的“好向量”，所以123aaa+，则22123aaa+，即22123()aaa+，所以222122332aaaaa++，同理222211332aaaaa++，222322112aaaaa++，三式相加并整理得2221231223130222aaaaaaaaa+++++

，所以2123()0aaa++，1230aaa++所以1230aaa++=．21.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，112DDDAAB===，，点E在棱AB上运动．（1）证明：11BCDE⊥；（2）当E与A重合时，求直线AB与平面1DEB所成角的大

小（用反三角函数值表示）；（3）AE等于何值时，二面角1ADEC−−的大小为150？【答案】（1）证明见解析（2）1arctan2【（3）33【解析】【分析】（1）证明1BC⊥平面11ABCD可得；（2）平面1DEB即为平面11DABC，在平面11ABBA内过B作

1BHAB⊥于H，得BAH就直线AB与平面1DEB所成角，在直角三角形中求解即得；（3）二面角1ADEC−−是150，则二面角1CDEC−−是30，作CFDE⊥，垂足为F，连接1CF，得1CFC是二面角1CDEC−−的平面角，即130CFC=，然后求出CF，DF，tanCDF得ta

nDEA，从而得AE．【小问1详解】连接1AD，1BC，在正方形11BCCB中，11BCBC⊥，又长方体中AB⊥平面11BCCB，1BC平面11BCCB，所以1ABBC⊥，1ABBCB=I，1,ABBC平面11ABCD，所以1BC⊥平面11ABCD，而1DE平面11

ABCD，所以11BCDE⊥；【小问2详解】如图，平面1DEB即为平面11DABC，在平面11ABBA内过B作1BHAB⊥于H，由AD⊥平面11ABBA，BH平面11ABBA得ADBH⊥，1ADABA=，1,ADAB平面11DAB

C，所以BH⊥平面11DABC，所以BAH就是直线AB与平面1DEB所成角，是在直角1BAB!中11tan2BBBAHBA==，1arctan2BAH=．所以直线AB与平面1DEB所成角的大小为1a

rctan2；【小问3详解】如图二面角1ADEC−−是150，则二面角1CDEC−−是30，作CFDE⊥，垂足为F，连接1CF，1CC⊥平面ABCD，DF平面ABCD，则1CCDF⊥，1CCCFC=，1,CCCF平面1CCF，所以DF⊥平面1CCF

，而1CF平面1CCF，所以1DFCF⊥，所以1CFC是二面角1CDEC−−的平面角，即130CFC=，在直角1CCF中，11tantan30CCCFCCF==，3CF=，221DFCDCF=−=，tan3CFCDFDF==，所以tantan3AEDCDF==，

所以3tan3ADAEAED==．