【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用）专题28 三角函数的图象与性质 Word版含解析.docx，共(26)页，275.497 KB，由小赞的店铺上传

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专题28三角函数的图象与性质知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：三角函数的定义域题型二：三角函数的值域题型三：三角函数的周期性、奇偶性、对称性题型四：求三角函数的单调区间题型五：根据单调性求参数题型六：

利用单调性比较大小及求值域培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦

函数、正切函数的性质.【考点预测】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，

0).(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表

中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R，且x≠kπ＋π2}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－

π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2递减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴方程x＝kπ＋π2x＝kπ无【常用结论】1.正弦曲线、余弦曲线相

邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式.3.对于y＝ta

nx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数.【方法技巧】1.三角函数定义域的求法：求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解．2.三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y＝A

sin(ωx＋φ)的形式求值域．②把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域．③利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．3.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为

y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx的形式．4.周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．5.已知三角函数解

析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．6.已知三角函数的单调区间求

参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．二、【题型归类】【题型一】三角函数的定义域【典例1】函数y＝1tanx－1的定义域为________．【解析】要使函数有意义，则tanx－1≠0，x≠π2＋kπ，k∈Z，即x≠π4＋kπ，k∈Z，x≠π2

＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为xx≠π4＋kπ，且x≠π2＋kπ，k∈Z.【典例2】函数y＝sinx－cosx的定义域为________．【解析】要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝

sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4

，k∈Z.【典例3】函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为________.【解析】要使函数有意义，则sinx＞0，cosx－12≥0，即sinx＞0，cosx≥12，解得2kπ＜x＜π＋2kπ，k∈Z，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2k

π，k∈Z，所以2kπ＜x≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为x|2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z.【题型二】三角函数的值域【典例1】f(x)＝sin3xcosx－sinxcos3x的最大值为()A.12B.14C.22D.1【解析】∵f(x)＝sin3xcosx－si

nxcos3x＝sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－12sin2xcos2x＝－14sin4x，∴f(x)＝sin3xcosx－sinxcos3x的最大值为14.故选B.【典例2】当x∈π6，7π6时，函数y＝3－sinx－2co

s2x的值域为________.【解析】因为x∈π6，7π6，所以sinx∈－12，1.又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2sinx－142＋78，所以

当sinx＝14时，ymin＝78，当sinx＝－12或sinx＝1时，ymax＝2.即函数的值域为78，2.【典例3】函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________.【

解析】设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，sinxcosx＝1－t22，且－2≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ym

in＝－12－2.∴函数的值域为－12－2，1.【题型三】三角函数的周期性、奇偶性、对称性【典例1】下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2上单调递增的是()A．f(x)＝|cos2

x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|【解析】A中，函数f(x)＝|cos2x|的周期为π2，当x∈π4，π2时，2x∈π2，π，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数

f(x)＝|sin2x|的周期为π2，当x∈π4，π2时，2x∈π2，π，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cosx的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝sinx，x≥0，－sinx，x<0，由正弦函数图象知

，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.【典例2】函数f(x)＝3sin2x－π3＋φ＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对

称中心为________．【解析】若f(x)＝3sin2x－π3＋φ＋1为偶函数，则－π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝5π6＋kπ，k∈Z，又∵φ∈(0，π)，∴φ＝5π6.∴f(x)＝3sin2x＋π

2＋1＝3cos2x＋1，由2x＝π2＋kπ，k∈Z得x＝π4＋kπ2，k∈Z，∴f(x)图象的对称中心为π4＋kπ2，1，k∈Z.【典例3】设函数f(x)＝2sin2x－π3＋34，则下列叙

述正确的是()A．f(x)的最小正周期为2πB．f(x)的图象关于直线x＝π12对称C．f(x)在π2，π上的最小值为－54D．f(x)的图象关于点2π3，0对称【解析】对于A，f

(x)的最小正周期为2π2＝π，故A错误；对于B，∵sin2×π12－π3＝－12≠±1，故B错误；对于C，当x∈π2，π时，2x－π3∈2π3，5π3，∴sin2x－π3∈－1，32，∴2sin2x－π3＋34∈

－54，3＋34，∴f(x)在π2，π上的最小值为－54，故C正确；对于D，∵f2π3＝2sin2×2π3－π3＋34＝34，∴f(x)的图象关于点2π3，34对称，故D错误．故选C.【题型四】

求三角函数的单调区间【典例1】函数y＝|cosx|的一个单调递增区间是()A．[－π2，π2]B．[0，π]C．[π，3π2]D．[3π2，2π]【解析】将y＝cosx的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或

x轴上)的图象不变，即得y＝|cosx|的图象(如图)．故选D.【典例2】设函数f(x)＝sin2x－π3，x∈－π2，π，则以下结论正确的是()A．函数f(x)在－π2，0上单调递减

B．函数f(x)在0，π2上单调递增C．函数f(x)在π2，5π6上单调递减D．函数f(x)在5π6，π上单调递增【解析】由x∈－π2，0得2x－π3∈－4π3，－π3，所以f

(x)先减后增；由x∈0，π2得2x－π3∈－π3，2π3，所以f(x)先增后减；由x∈π2，5π6得2x－π3∈2π3，4π3，所以f(x)单调递减；由x∈5π

6，π得2x－π3∈4π3，5π3，所以f(x)先减后增．故选C.【典例3】函数f(x)＝sin－2x＋π3的单调递减区间为________．【解析】f(x)＝sin－2x＋π3＝sin－2x－π3

＝－sin2x－π3，由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故所求函数的单调递减区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．【题型五】根据单调性求参数【典例1】若函数f(x)＝23·sinωxcosω

x＋2sin2ωx＋cos2ωx在区间－3π2，3π2上单调递增，则正数ω的最大值为()A.18B.16C.14D.13【解析】方法一因为f(x)＝23sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx＝3

sin2ωx＋1在区间－3π2，3π2上单调递增，所以－3ωπ≥－π2，3ωπ≤π2，解得ω≤16，所以正数ω的最大值是16.故选B.方法二易知f(x)＝3sin2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝πω，所以

－π4ω≤－3π2，π4ω≥3π2，解得ω≤16.所以正数ω的最大值是16.故选B.故选B.【典例2】若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是()A．π4B．π2C．3π4D．π【解

析】f(x)＝cosx－sinx＝－2sinx－π4，当x∈－π4，3π4，即x－π4∈－π2，π2时，y＝sinx－π4单调递增，则f(x)＝－2sinx－π4单调递减．因为函数f(x)在[－a，a]上是减函数，所以

[－a，a]⊆－π4，3π4，所以0＜a≤π4，所以a的最大值为π4.故选A.【典例3】若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝__

______．【解析】因为f(x)＝sinωx(ω＞0)过原点，所以当0≤ωx≤π2，即0≤x≤π2ω时，y＝sinωx是增函数；当π2≤ωx≤3π2，即π2ω≤x≤3π2ω时，y＝sinωx是减函数．由已知得π2ω＝π3，解得ω

＝32.【题型六】利用单调性比较大小及求值域【典例1】已知函数f(x)＝2sinx＋π3，设a＝fπ7，b＝fπ6，c＝fπ3，则a，b，c的大小关系是(

)A．a<c<bB．c<a<bC．b<a<cD．b<c<a【解析】a＝fπ7＝2sin10π21，b＝fπ6＝2sinπ2＝2，c＝fπ3＝2sin2π3＝2sinπ3，因为

y＝sinx在0，π2上单调递增，且π3<10π21<π2，所以c<a<b.故选B.【典例2】函数f(x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为()A.－32，32B

.－32，3C.－332，332D.－332，3【解析】当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，sin2x－π6∈－12，1，故3sin2x－π6∈－32，3，即此时函数f(x)的值

域是－32，3.故选B.【典例3】下列关系式中正确的是()A．sin11°＜cos10°＜sin168°B．sin168°＜sin11°＜cos10°C．sin11°＜sin168°＜cos10°D．sin168°＜cos10°＜sin

11°【解析】因为sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由正弦函数y＝sinx在0°≤x≤90°上是增函数，得sin11°＜sin12°＜sin80°，所以sin11°＜sin168°＜cos10°.故选C.三、【培优训

练】【训练一】(多选)在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！函数f(x)＝i＝17sin[（2i－1）x]2i

－1(i∈N*)的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是()A．函数f(x)为周期函数，且最小正周期为πB．函数f(x)为奇函数C．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝π2对称D．函数f(x)的导

函数f′(x)的最大值为7【解析】对于A，因为f(x)＝sinx＋sin3x3＋sin5x5＋…＋sin13x13，f(x＋π)＝sin(x＋π)＋sin3（x＋π）3＋sin5（x＋π）5＋…＋sin13（x＋π）13＝－sinx－sin3x3－sin5x5－…－sin13x1

3＝－f(x)，所以π不是函数y＝f(x)的最小正周期，故A错误；对于B，因为f(－x)＝sin(－x)＋sin（－3x）3＋sin（－5x）5＋…＋sin（－13x）13＝－sinx－sin3x3－sin5x5－…－sin13x13＝－f(x)，且函数y＝f(x)的定义域为R，

所以函数y＝f(x)为奇函数，故B正确；对于C，因为f(π－x)＝sin(π－x)＋sin3（π－x）3＋sin5（π－x）5＋…＋sin13（π－x）13＝sinx＋sin3x3＋sin5x5＋…＋sin13x13＝f(x)，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x

＝π2对称，故C正确；对于D，f′(x)＝cosx＋cos3x＋cos5x＋…＋cos13x，因为－1≤cosx≤1，－1≤cos3x≤1，－1≤cos5x≤1，…，－1≤cos13x≤1，所以f′(x)＝cosx＋cos3x＋cos5x＋…＋cos13x≤7，又f′(0)＝7，所以函数y

＝f′(x)的最大值为7，故D正确.故选BCD.【训练二】如图，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x1，y1)，角β＝α＋2π3的终边与单位圆交于点B(x2，y2)，记f(α)＝y1－y2.若角α为锐角，则f(α)的取值范围

是________．【解析】由题意可知y1＝sinα，y2＝sinβ＝sinα＋2π3，所以f(α)＝y1－y2＝sinα－sinα＋2π3＝sinα＋12sinα－32cosα＝32sinα－32cosα＝3sinα－π6.又因为α为锐角，即0＜α＜π2

，所以－π6＜α－π6＜π3，所以－12＜sinα－π6＜32，则－32＜f(α)＜32，即f(α)的取值范围是－32，32.【训练三】已知函数f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x＋32.(1)求f(x)的最大

值及取得最大值时x的值；(2)若方程f(x)＝23在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．【解析】(1)f(x)＝cosxsinx－32(2cos2x－1)＝12sin2x－32cos2x＝sin2x－π3.当2x－π3＝π2＋2kπ(k∈Z)

，即x＝512π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝512π＋kπ(k∈Z)，所以当x∈(0，π)时，对称轴为x＝512π.又方程f(x)＝23在(0，π)上的解为x1，x2.所以x1＋x2＝56π，则x1＝56π－x2，所以c

os(x1－x2)＝cos56π－2x2＝sin2x2－π3，又f(x2)＝sin2x2－π3＝23，故cos(x1－x2)＝23.【训练四】已知函数f(x)＝sin2x＋3si

nxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，求m的最小值．【解析】(1)f(x)＝sin2x＋3sinxcosx＝12－12cos2x＋32sin2x＝sin2x－π6＋12，所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)

由(1)知，f(x)＝sin2x－π6＋12.由题意知－π3≤x≤m，所以－5π6≤2x－π6≤2m－π6.要使得f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，即sin2x－π6在区间－

π3，m上的最大值为1，所以2m－π6≥π2，即m≥π3.所以m的最小值为π3.【训练五】已知f(x)＝sin2x＋π8＋2sinx＋π4·cosx＋π4－12.(1)求

f(x)的单调递增区间；(2)若函数y＝|f(x)|－m在区间－5π24，3π8上恰有两个零点x1，x2.①求m的取值范围；②求sin(x1＋x2)的值．【解析】(1)f(x)＝sin2x＋π8＋2sinx＋π4·cos

x＋π4－12＝1－cos2x＋π42＋22sin2x＋π2－12＝12－24cos2x＋24sin2x＋22cos2x－12＝24sin2x＋24cos2x＝12sin2x＋π4，结合正弦函数的图象

与性质，可得当－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)，即－3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)时，函数单调递增，∴函数y＝f(x)的单调递增区间为－3π8＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)．(2)①令t＝2x＋π4，当x∈－5π24，

3π8时，t∈－π6，π，12sint∈－14，12，∴y＝12sint∈0，12(如图)．∴要使y＝|f(x)|－m在区间－5π24，3π8上恰有两个零点，m的取值范围为14<m<12或m＝0.②设t1，t2是函数y＝

12sint－m的两个零点即t1＝2x1＋π4，t2＝2x2＋π4，由正弦函数图象性质可知t1＋t2＝π，即2x1＋π4＋2x2＋π4＝π.∴x1＋x2＝π4，∴sin(x1＋x2)＝22.【训练六】已知函数f(x)＝2sin2x＋π6

＋a＋1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x∈0，π2时，f(x)的最大值为4，求a的值；(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1，且x∈[－π，π]的x的取值集合.【解析】(1

)令2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为kπ－π3，kπ＋π6，k∈Z.(2)因为当x＝π6时，f(x)取得最大值，即fπ6＝2sinπ2＋a＋1＝a＋3＝4

.解得a＝1.(3)由f(x)＝2sin2x＋π6＋2＝1，可得sin2x＋π6＝－12，则2x＋π6＝7π6＋2kπ，k∈Z或2x＋π6＝11π6＋2kπ，k∈Z，即x＝π2＋kπ，k∈Z或x＝5π6＋

kπ，k∈Z，又x∈[－π，π]，可解得x＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x的取值集合为－π2，－π6，π2，5π6.四、【强化测试】【单选题】1.下列函数中，周期为2π的奇函数为()A．y＝sinx2

cosx2B．y＝sin2xC．y＝tan2xD．y＝sin2x＋cos2x【解析】y＝sin2x为偶函数；y＝tan2x的周期为π2；y＝sin2x＋cos2x为非奇非偶函数，故B，C，D都不正确．故选A.2.f(x)＝tanx＋sinx＋1，若f(b

)＝2，则f(－b)＝()A．0B．3C．－1D．－2【解析】因为f(b)＝tanb＋sinb＋1＝2，即tanb＋sinb＝1.所以f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1＝－(tanb＋sinb)＋1＝0.故选A.3.下列关

于函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是()A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B．在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2及π2，π上是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D．在

π2，π及－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数【解析】函数y＝4sinx在－π，－π2和π2，π上单调递减，在－π2，π2上单调递增．故选B.4.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f(

x)≤fπ6对于一切x∈R恒成立，则f(x)的单调递增区间是()A.kπ，kπ＋π2(k∈Z)B.kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)C.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)D.

kπ－π2，kπ(k∈Z)【解析】因为f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，则fπ6为函数f(x)的最大值，即2×π6＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，则φ＝2kπ＋π6(k∈Z)，又φ∈(0，2π)，所以φ＝π6，所以f(x)＝sin

2x＋π6.令2x＋π6∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，则x∈kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．故选B.5.设函数f(x)＝cosx＋π3，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象

关于直线x＝8π3对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝π6D．f(x)在π2，π上单调递减【解析】函数f(x)＝cosx＋π3的图象可由y＝cosx的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f(x)在π2，π上先递减后递增，

D选项错误．故选D.6.已知函数f(x)＝2sinωx＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象()A．关于点π3，0对称B．关于点5π3，0对称C．关于直线x＝π3对称D．关于直线x＝5π3对称【解析】函数f(x)＝2sin

ωx＋π6(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f(x)＝2sin12x＋π6.函数f(x)的对称轴为x2＋π6＝π2＋kπ，解得x＝23π＋2kπ(k∈Z

)；令k＝0得x＝23π.函数f(x)的对称中心的横坐标为x2＋π6＝kπ，解得x＝2kπ－13π(k∈Z)，令k＝1得f(x)的一个对称中心53π，0.故选B.7.若函数f(x)＝sinx＋3cosx在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，则函数g(x

)＝cosx－3sinx在区间[a，b]上()A．是增函数B．是减函数C．可以取得最大值2D．可以取得最小值－2【解析】f(x)＝sinx＋3cosx＝2sinx＋π3，g(x)＝cosx－3sinx＝2cosx＋π3＝2sin

x＋π2＋π3.f(x)在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，不妨令a＋π3＝π2，b＋π3＝3π2，则a＋π2＋π3＝π，b＋π2＋π3＝2π，故g(x)在[a，b]上既不是增函数，也不是减函数，g(x)在[a，

b]上可以取得最小值－2.故选D.8.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)0＜ω＜1，|φ|＜π2的图象经过点(0，1)，且关于直线x＝2π3对称，则下列结论正确的是()A．f(x)在π12，2π3上是减函数B．若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则一定有f′(x0)

≠0C．f(x)≥1的解集是2kπ，2kπ＋π3，k∈ZD．f(x)图象的一个对称中心是－π3，0【解析】由f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，得sinφ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，则f(x)＝2sinωx＋

π6.因为f(x)的图象关于直线x＝2π3对称，所以存在m∈Z使得2π3ω＋π6＝mπ＋π2，得ω＝3m2＋12(m∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝12，则f(x)＝2sin12x＋π6.令2nπ＋π2≤12x＋π6≤2nπ＋3π2，n∈Z，得4nπ＋2π3≤x≤

4nπ＋8π3，n∈Z，故A错误；若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则f(x)在x＝x0处取得极值，所以一定有f′(x0)＝0，故B错误；由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ＋4π3，k∈Z，故C错误；因为f－π3＝0，所以－π3

，0是其图象的一个对称中心，故D正确．选D．【多选题】9.下列函数中，最小正周期为π的是()A.y＝cos|2x|B.y＝|cosx|C.y＝cos2x＋π6D.y＝tan2x－π4【解析】A中，y＝co

s|2x|＝cos2x，最小正周期为π；B中，由图象知y＝|cosx|的最小正周期为π；C中，y＝cos2x＋π6的最小正周期T＝2π2＝π；D中，y＝tan2x－π4的最小正周期T＝π2.故选ABC.10.已知函数f(x)＝sinxcosx＋32(1

－2sin2x)，则有关函数f(x)的说法正确的是()A.f(x)的图象关于点π3，0对称B.f(x)的最小正周期为πC.f(x)的图象关于直线x＝π6对称D.f(x)的最大值为3【解析】由题可知f(x)＝12sin2x＋32cos2x＝sin2

x＋π3.当x＝π3时，2x＋π3＝π，故函数f(x)的图象关于点π3，0对称，故A正确；函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，故B正确；当x＝π6时，2x＋π3＝2π3，所以函数f(x)

的图象不关于直线x＝π6对称，故C错误；函数f(x)的最大值为1，故D错误.故选AB.11.已知函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|，下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)在区间π2，π单调递增C.f(x)在

[－π，π]有4个零点D.f(x)的最大值为2【解析】f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确；当π2<x<π时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，∴f(x)在π2

，π上单调递减，故B不正确；f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故C不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故D正确.故选AD.12.

已知函数f(x)＝2sinxcosx－3(sin2x－cos2x)，判断下列给出的四个命题，其中正确的为()A.对任意的x∈R，都有f2π3－x＝－f(x)B.将函数y＝f(x)的图象向右平移π12个单位，得到偶函数g(x)C.函数

y＝f(x)在区间π12，7π12上是减函数D.“函数y＝f(x)取得最大值”的一个充分条件是“x＝π12”【解析】由题意得f(x)＝2sinxcosx－3(sin2x－cos2x)＝sin2x＋3co

s2x＝2sin2x＋π3.对于A，对任意的x∈R，f2π3－x＝2sin22π3－x＋π3＝2sin5π3－2x＝2sin2π－π3＋2x＝－2sinπ3＋2x＝－f(x)，故A正确；

对于B，将函数y＝f(x)的图象向右平移π12个单位，可得g(x)＝sin2x－π12＋π3＝sin2x＋π6，不是偶函数，故B错误；对于C，因为x∈π12，7π12

，所以2x＋π3∈π2，3π2，因为y＝sinx在π2，3π2上单调递减，所以f(x)＝2sin2x＋π3在区间π12，7π12上是减函数，故C正确；对

于D，当x＝π12时，2x＋π3＝π2，所以fπ12＝2sinπ2＝2，即函数y＝f(x)在x＝π12处取得最大值，充分性成立，所以函数y＝f(x)取得最大值的一个充分条件是x＝π12，故D正确.故选ACD.【

填空题】13.比较大小：sin－π18________sin－π10.【解析】因为y＝sinx在－π2，0上单调递增且－π18>－π10>－π2，故sin－π18>sin－π10.14.函数f(x

)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．【解析】∵f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1，令t＝cosx，则t∈[－1,1]，∴f(t)＝－2t2－3t

＋1.又函数f(t)图象的对称轴t＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴当t＝1时，f(t)有最小值－4.综上，f(x)的最小值为－4.15.设函数f(x)＝cosωx－π6(ω>0)．若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，则ω的最小

值为________．【解析】∵f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，∴当x＝π4时，f(x)取得最大值，即fπ4＝cosπ4ω－π6＝1，∴π4ω－π6＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋23，k∈Z.∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值23.16.

已知函数f(x)＝tan12x－π6，则下列说法正确的是________．(填序号)①f(x)的周期是π2；②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；③直线x＝5π3是函数f(x

)图象的一条对称轴；④f(x)的单调递减区间是2kπ－2π3，2kπ＋π3，k∈Z.【解析】函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝5π3时，12x－π6＝2π3≠kπ2，k∈Z，∴x

＝5π3不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－π2<12x－π6<kπ，k∈Z，可得2kπ－2π3<x<2kπ＋π3，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间是2kπ－2π3，2kπ＋π3，k∈Z，④正确．【解答题】17.已知函数f(x)＝2sin2x＋π4.(1)求f(x)

的单调递增区间；(2)当x∈π4，3π4时，求函数f(x)的最大值和最小值．【解析】(1)令2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，则kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.故f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.(2)当x∈

π4，3π4时，3π4≤2x＋π4≤7π4，所以－1≤sin2x＋π4≤22，所以－2≤f(x)≤1，所以当x∈π4，3π4时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－2.18.已知

函数f(x)＝sin2x－π6.讨论函数f(x)在区间－π12，π2上的单调性并求出其值域．【解析】令－π2≤2x－π6≤π2，则－π6≤x≤π3.令π2≤2x－π6≤32π，则π3≤x≤5π6.因为－π12≤x≤π2，所以函数f(x)＝sin

2x－π6在区间－π12，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减．当x＝π3时，f(x)取得最大值为1.因为f－π12＝－32<fπ2＝12，所以当x＝－π12时，

f(x)min＝－32.所以f(x)的值域为－32，1.19.已知函数f(x)＝2cos2x－π6＋2sinx－π4·sinx＋π4.求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心．【解析】因为f(x)

＝2cos2x－π6＋2sinx－π4·sinx＋π4＝cos2x－π3＋1＋2sinx－π4sinx＋π2－π4＝cos2x－π3＋2sinx－π4c

osx－π4＋1＝12cos2x＋32sin2x＋sin2x－π2＋1＝32sin2x－12cos2x＋1＝sin2x－π6＋1，所以函数f(x)的最小正周期为2π2＝

π，图象的对称中心为π12＋kπ2，1，k∈Z.20.已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在0，π2上的单调性

．【解析】(1)因为f(x)＝sinωx－cosωx＝2sinωx－π4，且T＝π，所以ω＝2.于是，f(x)＝2sin2x－π4.令2x－π4＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋3π8(k∈Z)，即函

数f(x)图象的对称轴方程为x＝kπ2＋3π8(k∈Z)．(2)令2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为kπ－π8，kπ＋3π8(k∈Z)．注意到x∈0，π2，所以令k＝0，得函数f(x)在0，π

2上的单调递增区间为0，3π8；同理，其单调递减区间为3π8，π2.21.已知函数f(x)＝sin(2π－x)sin3π2－x－3cos2x＋3.(1)求f(x)的最小正周

期和图象的对称轴方程；(2)当x∈0，7π12时，求f(x)的最小值和最大值．【解析】(1)由题意，得f(x)＝(－sinx)(－cosx)－3cos2x＋3＝sinxcosx－3cos2x＋3＝12

sin2x－32(cos2x＋1)＋3＝12sin2x－32cos2x＋32＝sin2x－π3＋32，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π；令2x－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋5π

12(k∈Z)，故所求图象的对称轴方程为x＝kπ2＋5π12(k∈Z)．(2)当0≤x≤7π12时，－π3≤2x－π3≤5π6，由函数图象(图略)可知，－32≤sin2x－π3≤1.即0≤sin2x－π3＋32≤2＋32.故f(x)的最小值为0，最大值为2＋

32.22.已知函数f(x)＝4tanxsinπ2－xcosx－π3－3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性．【解析】(1)f(x)的定义域为xx≠π2＋kπ，k∈Z.f(x

)＝4tanxcosxcosx－π3－3＝4sinxcosx－π3－3＝4sinx12cosx＋32sinx－3＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x＋3(1－cos2x)－3＝sin2x－3

cos2x＝2sin2x－π3.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)令z＝2x－π3，函数y＝2sinz在z∈－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z上单调递增．由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋

kπ，k∈Z.设A＝－π4，π4，B＝x－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝－π12，π4.所以当x∈－π4，π4时，f(x)在区间－π12，π4上单调递增，在区间－π4，－π12上

单调递减．