【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用）专题04 基本不等式及其应用 Word版含解析.docx，共(26)页，283.378 KB，由小赞的店铺上传

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专题04基本不等式及其应用知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：用配凑法求基本不等式的最值题型二：用常数代换法求基本不等式的最值题型三：用消元法求基本不等式的最值题型四：基本不等式的常见变形应用题型

五：利用基本不等式求参数范围题型六：基本不等式与其他知识交汇的最值问题题型七：基本不等式的实际应用培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.了解基本不等

式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在生活实际中的应用.【考点预测】1.基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号

.(3)其中a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积x

y等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P.(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.【常用结论】1.ba＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.2.ab≤a＋b22

≤a2＋b22.3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.【方法技巧】1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和

为常数”或“积为常数”的形式.2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求ax＋by的最值”的问题，先将ax＋by转化为ax＋by·x＋yt，再用基本不等式求最值.3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，

凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.5.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代

换法求最值.6.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围.7.根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.8.解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.9.在应用基本不等式求函

数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.二、【题型归类】【题型一】用配凑法求基本不等式的最值【典例1】设0<x<32，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为()A.94B．4C.92D．9【解析】y＝4

x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·2x＋3－2x22＝92.当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时取等号，∴当x＝34时，ymax＝92.故选C.【典例2】若x<23，则f(x)＝3x＋1＋93x－2有()A．最大值0B．最小值9C．最大值－3D．最小值－3【解析】

∵x<23，∴3x－2<0，f(x)＝3x－2＋93x－2＋3＝－[(2−3𝑥)+92−3𝑥]＋3≤－2√(2−3𝑥)92−3𝑥＋3＝－3.当且仅当2－3x＝92－3x，即x＝－13时取“＝”．故选C.【典例3】函数y＝(𝑥+5)(

𝑥+2)𝑥+1(x>－1)的最小值为________．【解析】因为x>－1，则x＋1>0，所以y＝[(𝑥+1)+4][(𝑥+1)+1]𝑥+1＝(𝑥+1)2+5(𝑥+1)+4𝑥+1＝(x＋1)＋4x＋1＋5≥2√(𝑥+1)

4𝑥+1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时等号成立，所以函数的最小值为9.【题型二】用常数代换法求基本不等式的最值【典例1】已知首项与公比相等的等比数列{an}中，满足ama2n＝a24(m，n∈N＋)，则2m＋1n的最小值为()A.1B.32C.2D.9

2【解析】由题意可得，a1＝q，∵ama2n＝a24，∴a1·qm－1·(a1·qn－1)2＝(a1·q3)2，即qm·q2n＝q8，即m＋2n＝8.∴2m＋1n＝(m＋2n)2m＋1n×18＝2

＋mn＋4nm＋2×18≥()4＋24×18＝1.当且仅当m＝2n时，即m＝4，n＝2时，等号成立.故选A.【典例2】已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则2a＋12b的最小值是()A．1B．2C.94D.92【解析】因为a>0，b>0，

且a＋b＝2，所以a＋b2＝1，所以2a＋12b＝12(a＋b)2a＋12b＝122ba＋a2b＋52≥12×2＋52＝94，当且仅当a＝43，b＝23时，等号成立．故选C.【典例3】已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)x

y的最小值；(2)x＋y的最小值．【解析】(1)由2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1，又x＞0，y＞0，则1＝8x＋2y≥28x·2y＝8xy，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．(2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝8yy－

2，∵x＞0，∴y＞2，则x＋y＝y＋8yy－2＝(y－2)＋16y－2＋10≥18，当且仅当y－2＝16y－2，即y＝6，x＝12时等号成立．解法二：由2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1，则x＋y＝8x＋2y·(x＋y)＝10＋2xy＋8yx≥10＋22xy·8yx＝18，当且

仅当y＝6，x＝12时等号成立．【题型三】用消元法求基本不等式的最值【典例1】已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____．【解析】方法一(换元消元法)由已知得9－(x＋3y)＝13·x·3y≤13·x＋3y22，当且仅当x＝3y，即x＝3

，y＝1时取等号．即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.方法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－3y1＋y，所以x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝9－3y＋3y1＋y1＋y＝9＋3

y21＋y＝31＋y2－61＋y＋121＋y＝3(1＋y)＋121＋y－6≥231＋y·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝121＋y，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6.【典例2】若实数x>1，y>12且x＋2y＝3，则1x－1＋12y－1的最小值为_______

_．【解析】令x－1＝m,2y－1＝n，则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，∴1x－1＋12y－1＝1m＋1n＝1m＋1n(m＋n)＝2＋nm＋mn≥2＋2＝4，当且仅当nm＝mn，即m＝n＝12时取“＝”．∴1x－1＋12y－1的最小值为4.【典例3】已

知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝2a＋3ba＋b()A.有最大值145B.有最小值145C.有最小值3D.有最大值3【解析】∵a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，∴a＋b≥a2＋a＋4.又∵a，b>0，∴aa＋b≤aa2＋a＋4，∴－aa＋b≥－aa2＋a＋4，∴u＝2a＋3ba＋

b＝3－aa＋b≥3－aa2＋a＋4＝3－1a＋4a＋1≥3－12a·4a＋1＝145，当且仅当a＝2，b＝8时取等号.故选B.【题型四】基本不等式的常见变形应用【典例1】《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数

的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为()A.a＋b2≥ab(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0

)C.2aba＋b≤ab(a>0，b>0)D.a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)【解析】由图形可知，OF＝12AB＝12(a＋b)，OC＝12(a＋b)－b＝12(a－b)，在Rt△OCF中，由勾股定

理可得，CF＝a＋b22＋a－b22＝12a2＋b2，∵CF≥OF，∴12a2＋b2≥12(a＋b)(a>0，b>0)．故选D.【典例2】已知0<a<1，b>1，则下列不等式中成立的是()A．a＋b<4aba＋bB.ab<2aba＋bC.2a2＋2b

2<2abD．a＋b<2a2＋2b2【解析】对于选项A，因为0<a<1，b>1，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>4ab，故选项A错误；对于选项B，ab>21a＋1b＝2aba＋b，故选项B错误；对于选项C，2a2＋b2>2×2ab＝2ab，故选项C错误；对于

选项D,2a2＋2b2>a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，所以a＋b<2a2＋2b2.故选D．【典例3】若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2abC.1a＋1b>2abD

.ba＋ab≥2【解析】a2＋b2≥2ab，所以A错误；ab>0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a<0，b<0时，B错误；同时C错误；ab或ba都是正数，根据基本不等式求最值，ab＋ba≥2ab×ba＝2，故选D．【题型五】利用基本不等式求参数范围【典例1】

已知a>0，b>0，若不等式m3a＋b－3a－1b≤0恒成立，则m的最大值为()A．4B．16C．9D．3【解析】∵a>0，b>0，∴由m3a＋b－3a－1b≤0恒成立得m≤3a＋1b(3a＋b)＝10＋3ba＋3ab恒成立．∵3ba＋3ab≥23ba·3ab＝6，当

且仅当a＝b时等号成立，故10＋3ba＋3ab≥16，∴m≤16，即m的最大值为16.故选B.【典例2】已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，则实数m的取值范围为________．【解析】由条件知m(ex＋

e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立．令t＝ex(x＞0)，则t＞1，且m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋1对任意t＞1成立．∵t－1＋1t－1＋1≥2（t－1）·1t－1＋1＝3，∴－1t－1＋1t－1＋1≥－13，当且仅当t＝2，

即x＝ln2时等号成立．故实数m的取值范围是－∞，－13.故填－∞，－13.【典例3】已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8【

解析】已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)1x＋ay的最小值大于或等于9，∵1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1，当且仅当y＝ax时，等号成立，∴a＋2a＋1≥9，∴a≥2或a≤

－4(舍去)，∴a≥4，即正实数a的最小值为4，故选B.【题型六】基本不等式与其他知识交汇的最值问题【典例1】在△ABC中，点P满足BP→＝2PC→，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若AM→＝mAB→，AN→＝nAC→(m>0，n>0)，则m＋2n的最小值为

()A.3B.4C.83D.103【解析】∵AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋23()AC→－AB→＝13AB→＋23AC→＝13mAM→＋23nAN→，∵M，P，N三点共线，∴13m＋23n＝1，∴m＋

2n＝(m＋2n)13m＋23n＝13＋43＋2n3m＋2m3n≥53＋22n3m×2m3n＝53＋43＝3，当且仅当m＝n＝1时等号成立.故选A.【典例2】如果函数f(x)＝12(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间12，2上单调递减，那么mn的最大值为

()A．16B．18C．25D.812【解析】当m＝2时，易得n－8＜0，n＜8，此时mn＜16.当m≠2时，抛物线的对称轴为x＝－n－8m－2.据题意：①当m＞2时，－n－8m－2≥2，即2m＋n≤12.∵2m·n≤2m＋n2≤6，∴mn≤18.由2m＝n且2m＋n＝12得m

＝3，n＝6.②当m＜2时，抛物线开口向下，据题意：－n－8m－2≤12，m＋2n≤18.∵2n·m≤2n＋m2≤9，∴mn≤812.由2n＝m且m＋2n＝18，得m＝9＞2，故应舍去．要使mn取得最大值，应有m＋2n＝18(8＜n＜9)．此时mn＝(18－2n)n＜(

18－2×8)×8＝16.综合①②可得最大值为18.故选B.【典例3】在△ABC中，A＝π6，△ABC的面积为2，则2sinCsinC＋2sinB＋sinBsinC的最小值为()A.32B.334C.32D.53【解析】由△ABC的面积为2，所以S

＝12bcsinA＝12bcsinπ6＝2，得bc＝8，在△ABC中，由正弦定理得2sinCsinC＋2sinB＋sinBsinC＝2cc＋2b＋bc＝2cbbc＋2b＋b2bc＝168＋2b2＋b28＝84＋b2＋b2＋4

8－12≥284＋b2·b2＋48－12＝2－12＝32，当且仅当b＝2，c＝4时，等号成立，故选C【题型七】基本不等式的实际应用【典例1】某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一

个等腰直角三角形，其中AD＝60m，AB＝40m，且△EFG中，∠EGF＝90°，经测量得到AE＝10m，EF＝20m，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G作一直线分别交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设

DN＝x(m)．(1)将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；(2)当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．【解析】(1)作GH⊥EF，垂足为H.∵DN＝x，∴NH＝40－x，NA＝60－x，∵NHHG＝N

AAM，∴40－x10＝60－xAM，∴AM＝600－10x40－x.S五边形MBCDN＝S矩形ABCD－S△AMN＝40×60－12·AM·AN＝2400－5（60－x）240－x.∵N与F重合时，AM＝AF＝30适合条件，∴x∈(0，30]．(2)y＝2400－5（60－x）2

40－x＝2400－5[(40－x)＋40040－x＋40]，当且仅当40－x＝40040－x，即x＝20∈(0，30]时，y取得最大值2000,∴当DN＝20m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2000m2.答略．【典例2】如图，为处理含有某种杂质的

污水，要制造一个底宽2m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计)?【解析】设y为排出

的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k＞0.依题意要使y最小，只需ab最大．由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0)．∵a＋2b

≥22ab，∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.故当a＝6m，b＝3m时经沉淀后排出的水中杂质最少．解法二：同解法一得b≤30－aa＋2，代入y＝kab

求解．【典例3】如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，

则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？【解析】(1)设每间虎笼长为xm，宽为ym，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥22x×3y＝2

6xy，∴26xy≤18，得xy≤272，即S≤272.当且仅当2x＝3y时等号成立．由2x＝3y，2x＋3y＝18，解得x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使每间虎笼面积

最大．解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝9－32yy＝32(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤32（6－y）＋y22＝272.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.

5.故每间虎笼长4.5m，宽3m时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当

且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＝3y，xy＝24，解得x＝6，y＝4.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长度最小．解法二：由xy＝24，得x＝24y.∴l＝4x＋6y＝96y＋

6y＝616y＋y≥6×216y×y＝48，当且仅当16y＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长度最小．三、【培优训练】【训练一】(多选)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是()A.a＋b＋

c≤3B.(a＋b＋c)2≥3C.1a＋1b＋1c≥23D.a2＋b2＋c2≥1【解析】由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋b

c＋ca)＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c＝±33时，等号成立.∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，∴a＋b＋c≤－3或a＋b＋c≥3.若a＝b＝c＝－33，则1a＋1b＋1c＝－33<23.因此，A，C错误

.故选BD.【训练二】已知a＞0，b＞0，且ab＝1，求12a＋12b＋8a＋b的最小值；(2)若a，b∈R，ab>0，求a4＋4b4＋1ab的最小值.【解析】(1)因为a＞0，b＞0，ab＝1，所以原式＝ab2a＋ab2b＋8a＋b＝

a＋b2＋8a＋b≥2a＋b2·8a＋b＝4，当且仅当a＋b2＝8a＋b，即a＋b＝4时，等号成立.故12a＋12b＋8a＋b的最小值为4.(2)∵a，b∈R，ab>0，∴a4＋4b4＋1ab≥4a2b2＋1ab＝4ab＋1ab≥24

ab·1ab＝4，当且仅当a2＝2b2，4ab＝1ab，即a2＝22，b2＝24时取得等号.【训练三】若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xx－1＋2yy－1的最小值为________．【解析】因为x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy＝x

＋y>y，即有x>1，同理y>1，由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，于是得xx－1＋2yy－1＝1＋1x－1＋2＋2y－1＝3＋1x－1＋2y－1≥3＋21x－1·2y－1＝3＋22，当且仅当1x－1

＝2y－1，即x＝1＋22，y＝1＋2时取“＝”，所以xx－1＋2yy－1的最小值为3＋22.【训练四】设a>b>0，则a2＋1ab＋1aa－b的最小值是________．【解析】∵a>b>0，∴a－b>0，∴a(a－b

)>0，a2＋1ab＋1aa－b＝a2＋ab－ab＋1ab＋1aa－b＝a2－ab＋1aa－b＋ab＋1ab＝a(a－b)＋1aa－b＋ab＋1ab≥2＋2＝4，当且仅当aa－b＝1aa－b，ab

＝1ab，即a＝2，b＝22时等号成立．∴a2＋1ab＋1aa－b的最小值是4.【训练五】已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2ab－4a2－b2的最大值．【解析】∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝

(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥22ab，即ab≤24，ab≤18，∴S＝2ab－4a2－b2＝2ab－(1－4ab)＝2ab＋4ab－1≤2－12.当且仅当a＝14，b＝12时，等号成立．【训练六】如图所示，已知树顶A离地面212米，树上另一点B离地面11

2米，某人在离地面32米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．【解析】问题转化为求△ABC中∠BCA的取值范围．过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.设该人距离此树的距离CD＝x米，看A，B的视角最大，即∠BCA最大．不妨设∠BCD＝α，∠ACD＝β，则∠BC

A＝β－α，且tanα＝4x，tanβ＝9x，所以tan(β－α)＝9x－4x1＋9x×4x＝5xx2＋36＝5x＋36x≤52x×36x＝512，当且仅当x＝36x，即x＝6时取等号，此时∠BCA最大．故填6.四、【强化测

试】【单选题】1.若x>0，y>0，则“x＋2y＝22xy”的一个充分不必要条件是()A.x＝yB.x＝2yC.x＝2且y＝1D.x＝y或y＝1【解析】∵x>0，y>0，∴x＋2y≥22xy，当且仅当x＝2

y时取等号.故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝22xy”的充分不必要条件.故选C.2.函数f(x)＝x2＋4|x|的最小值为()A.3B.4C.6D.8【解析】f(x)＝x2＋4|x|＝|x|＋4|x|≥24＝4，当且仅当x＝±2时，等号成立，故选B.3.若a>0，b>

0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为()A.8B.6C.4D.2【解析】由lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有1a＋1b＝1，所以a＋b＝1a＋1b

(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C.4.已知正数a，b满足a＋b＝1，则4a＋1b的最小值为()A.53B.3C.5D.9【解析】由题意知，正数a，b满

足a＋b＝1，则4a＋1b＝4a＋1b(a＋b)＝4＋1＋4ba＋ab≥5＋24ba·ab＝9，当且仅当4ba＝ab，即a＝23，b＝13时等号成立，所以4a＋1b的最小值为9，故选D.5.已

知函数f(x)＝ex在点(0，f(0))处的切线为l，动点(a，b)在直线l上，则2a＋2－b的最小值是()A.4B.2C.22D.2【解析】由题意得f′(x)＝ex，f(0)＝e0＝1，k＝f′(0)＝e0＝1.所以切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0，∴a－b＋1＝0

，∴a－b＝－1，∴2a＋2－b≥22a·2－b＝22a－b＝22－1＝2当且仅当a＝－12，b＝12时取等号，故选D.6.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0，2]B．[－2，0

]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]【解析】因为1＝2x＋2y≥22x·2y＝22x＋y，(当且仅当2x＝2y＝12，即x＝y＝－1时等号成立)所以2x＋y≤12，所以2x＋y≤14，得x＋y≤－2.故选D.7.设a>0，若关于x的不等式x＋a

x－1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为()A．16B．9C．4D．2【解析】在(1，＋∞)上，x＋ax－1＝(x－1)＋ax－1＋1≥2（x－1）×a（x－1）＋1＝2a＋1(当且仅当x＝1＋a时取等号)．由题意知2a＋1≥5，所以a≥4.故选C.8.已

知x>0，y>0，且1x＋1＋1y＝12，则x＋y的最小值为()A．3B．5C．7D．9【解析】因为x>0，y>0.且1x＋1＋1y＝12，所以x＋1＋y＝21x＋1＋1y(x＋1＋y)＝2(1＋1＋yx＋1＋x＋1y)≥2(2＋2yx

＋1·x＋1y)＝8，当且仅当yx＋1＝x＋1y，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C．【多选题】9.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a＋b≥2abB．1a＋

1b>1abC．ba＋ab≥2D．a2＋b2≥2ab【解析】因为ab>0，所以ba>0，ab>0，所以ba＋ab≥2ba·ab＝2，当且仅当a＝b时取等号．所以选项C正确，又a，b∈R，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab一定成立．

故选CD.10.给出下面四个推断，其中正确的为()A．若a，b∈(0，＋∞)，则ba＋ab≥2B．若x，y∈(0，＋∞)，则lgx＋lgy≥2lgx·lgyC．若a∈R，a≠0，则4a＋a≥4D．若x，y

∈R，xy<0，则xy＋yx≤－2【解析】对于A项，因为a，b∈(0，＋∞)，所以ba＋ab≥2ba·ab＝2，当且仅当ba＝ab，即a＝b时取等号，故A项正确；对于B项，当x，y∈(0，1)时，lgx，lgy∈(－∞，0)

，此时lgx＋lgy≥2lgx·lgy显然不成立，故B项错误；对于C项，当a<0时，4a＋a≥4显然不成立，故C项错误；对于D项，若x，y∈R，xy<0，则－yx>0，－xy>0，所以xy＋yx＝－－xy＋－yx≤－2－xy·

－yx＝－2，当且仅当－xy＝－yx，即x＝－y时取等号，故D项正确．故选AD.11.已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则()A．a2＋b2≥12B．2a－b>12C．log2a＋log2b≥－2D.a＋b≤2【解析】对于选项A，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2

＋2ab＝(a＋b)2＝1，所以a2＋b2≥12，正确；对于选项B，易知0<a<1，0<b<1，所以－1<a－b<1，所以2a－b>2－1＝12，正确；对于选项C，令a＝14，b＝34，则log214＋log234＝－2＋log234<－2，错误；对于选项D，因为2＝2（a＋b），所

以[2（a＋b）]2－(a＋b)2＝a＋b－2ab＝(a－b)2≥0，所以a＋b≤2，正确．故选ABD.12.设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是()A．a＋b＋1ab≥22B.2aba＋b>abC.a2＋b2

ab≥a＋bD．(a＋b)1a＋1b≥4【解析】因为a>0，b>0，所以a＋b＋1ab≥2ab＋1ab≥22，当且仅当a＝b且2ab＝1ab，即a＝b＝22时取等号，故A正确；因为a＋b≥2ab>0，所以2aba＋b≤2ab2ab＝ab，当且仅当a＝b时取等号，故B错误；因为2aba

＋b≤2ab2ab＝ab，当且仅当a＝b时取等号，所以a2＋b2a＋b＝a＋b2－2aba＋b＝a＋b－2aba＋b≥2ab－ab＝ab，当且仅当a＝b时取等号，所以a2＋b2a＋b≥ab，即a2＋b2ab≥a＋b，故C正确；因为(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋

ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b时取等号，故D正确．故选ACD.【填空题】13.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S7－S5＝3(a4＋a5)，则4a3＋9a7的最小值为________.【解析】设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，∵S7－S5＝a7＋a6＝3(a4

＋a5)，∴a7＋a6a5＋a4＝q2＝3.∴4a3＋9a7＝4a3＋9a3q4＝4a3＋1a3≥24a3·1a3＝4，当且仅当4a3＝1a3，即a3＝12时等号成立.∴4a3＋9a7的最小值为4.14.设P(

x，y)是函数y＝2x(x>0)图象上的点，则x＋y的最小值为________．【解析】因为x>0，所以y>0，且xy＝2.由基本不等式得x＋y≥2xy＝22，当且仅当x＝y时等号成立．所以x＋y的最小值为22.15.函数y＝x2x＋1(x>－1)的最小值为________．

【解析】因为y＝x2－1＋1x＋1＝x－1＋1x＋1＝x＋1＋1x＋1－2(x>－1)，所以y≥21－2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立．16.若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，1a＋2b的最小值为________．【解析】因为a>0，b>0，且a＋2

b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝12a·2b≤12×a＋2b22＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以ab的最大值为2，因为1a＋2b＝1a＋2b·a＋2b4＝14(5＋2ba＋2ab)≥145＋2·2ba·2

ab＝94，当且仅当a＝b时等号成立，所以1a＋2b的最小值为94.【解答题】17.(1)当x<32时，求函数y＝x＋82x－3的最大值；(2)设0<x<2，求函数y＝x（4－2x）的最大值．【解析】(1)y＝12(2x－3)＋82x－3＋3

2＝－3－2x2＋83－2x＋32.当x<32时，有3－2x>0，所以3－2x2＋83－2x≥23－2x2·83－2x＝4，当且仅当3－2x2＝83－2x，即x＝－12时取等号．于是y≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0<x<2，所以2－x>0，所以

y＝x（4－2x）＝2·x（2－x）≤2·x＋2－x2＝2，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，所以当x＝1时，函数y＝x（4－2x）的最大值为2.18.已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．【解析】(1)由2x＋8y

－xy＝0，得8x＋2y＝1，又x>0，y>0，则1＝8x＋2y≥28x·2y＝8xy.得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1，则x

＋y＝8x＋2y·(x＋y)＝10＋2xy＋8yx≥10＋22xy·8yx＝18.当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.19.设a，b为正实数，且1a＋1b＝22.(1)求a2＋b2的最小值；(2

)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．【解析】(1)由22＝1a＋1b≥21ab得ab≥12，当且仅当a＝b＝22时取等号，故a2＋b2≥2ab≥1，当且仅当a＝b＝22时取等号，所以a2＋b2的最小值是1.(2)由(a－b)2≥4(ab)3得1a－1b2≥4ab，得

1a＋1b2－4ab≥4ab，从而ab＋1ab≤2，又ab＋1ab≥2，所以ab＋1ab＝2，所以ab＝1.20.(1)已知0＜x＜43，求x(4－3x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值．【解析】(1)已知0＜x＜43，∴0＜3x

＜4.∴x(4－3x)＝13(3x)(4－3x)≤133x＋4－3x22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时“＝”成立．∴当x＝23时，x(4－3x)取最大值为43.(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，所以x＋2

y＝3.∴2x＋4y≥22x·4y＝22x＋2y＝223＝42.当且仅当2x＝4y，x＋2y＝3，即x＝32，y＝34时“＝”成立．∴当x＝32，y＝34时，2x＋4y取最小值为42.21.(1)解不等式4x－1≤x－

1；(2)求函数y＝2x＋91－2xx∈0，12的最小值．【解析】(1)4x－1≤x－1⇔4－（x－1）2x－1≤0⇔（x－3）（x＋1）x－1≥0⇔（x＋1）（x－1）（x－3）≥0，x≠1⇔x≥3或－1≤x＜1.∴此不等式

的解集为{x|x≥3或－1≤x＜1}．(2)∵x∈0，12，∴2x＞0，1－2x＞0，∴y＝42x＋91－2x＝42x＋91－2x[2x＋(1－2x)]＝13＋9×2x1－2x＋4×（1－2x）2x≥25，当且仅当x＝15时，

等号成立，即函数的最小值为25.22.某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－km＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每

生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家

获取利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－2m＋1(m≥0)，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，所以2020年的利润y＝1.5x

×8＋16xx－8－16x－m＝－16m＋1＋（m＋1）＋29(m≥0)．(2)因为m≥0时，16m＋1＋(m＋1)≥216＝8，所以y≤－8＋29＝21，当且仅当16m＋1＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax

＝21(万元)．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．